К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических биметаллических наночастиц
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
09,12
К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов
поверхностных плазмонов сферических
биметаллических наночастиц
© А.В. Коротун, В.В. Погосов
Национальный университет Запорожская политехника“,
”
Запорожье, Украина
E-mail: andko@zntu.edu.ua, vpogosov@zntu.edu.ua
Поступила в Редакцию 6 сентября 2020 г.
В окончательной редакции 6 сентября 2020 г.
Принята к публикации 8 сентября 2020 г.
Получены формулы для эффективного времени релаксации, когда длина свободного пробега электронов
меньше или сравнима с характерными размерами металлических областей. Рассчитана частотная дисперсия
оптических характеристик сферических биметаллических частиц вблизи плазменных резонансов в отсут-
ствии квантово-размерных эффектов. Сохраняя стиль общепринятого описания монометаллических частиц
на основе теорий Друде и Ми, проанализирована частотная зависимость электрической дипольной поля-
ризуемости двухслойной металлической наносферы. Появление двух максимумов поляризуемости является
следствием различия металлов ядра и оболочки. Расчеты были проведены для частиц Au@Ag, Ag@Au,
Au@Pt, Pt@Au и Pt@Pd, погруженных в тефлон. Продемонстрована возможность управления оптическими
характеристиками биметаллических частиц путем изменения их состава и объемного содержания металлов.
Проведены расчеты сечений поглощения и рассеяния, а также оптической радиационной эффективности
частиц в широком спектральном диапазоне. Оценена возможная температура биметаллических частиц при
поглощении электромагнитной волны (для целей фототермической терапии злокачественных опухолей).
Ключевые слова: биметаллическая наночастица, поверхностный плазмон, поляризуемость, сечение погло-
щения, сечение рассеяния, время релаксации.
DOI: 10.21883/FTT.2021.01.50409.178
1. Введение быть увеличена путем осаждения частиц Pt. Такие части-
цы соответствующих размеров позволяют осуществить
В последние десятилетия интенсивно исследуются эффективное разделение электронов и дырок, что при-
композитные материалы на основе металлических нано- водит к усилению фотокаталитической активности [16].
частиц [1–4]. Это связано с тем, что в поле электро- Металлические наночастицы можно использовать для
магнитной волны на наночастице локализируется опти- повышения эффективности работы полупроводниковых
ческая энергия вследствие возбуждения поверхностных солнечных элементов [11]. Наличие металлических на-
плазмонов. При этом интенсивность падающего излуче- ночастиц приводит к рассеянию падающего солнечного
ния вблизи поверхности наночастицы может возрастать света вглубь полупроводника, благодаря чему возрас-
на несколько порядков. В связи с этим, металличе- тает доля поглощенного полупроводником света. Это
ские наночастицы широко применяются в плазмонной позволяет уменьшить физическую толщину фотовольта-
нанолитографии [5], оптической микроскопии ближнего ического элемента при сохранении его оптической тол-
поля [6], астигматическом оптическом пинцете [7], для щины. Существует определенный оптимальный диапазон
усиления поля рамановского рассеяния [8], сенсорных и размеров металлических частиц, поскольку очень малые
фотогальванических устройствах [9,10], плазмонной фо- частицы сильно поглощают свет, что приводит к поте-
товольтаике [11], фотокатализе [12] и терапии злокаче- рям. В то же время их размер должен соответствовать
ственных опухолей [13]. В качестве плазмонных матери- условиям возбуждения локализованного поверхностного
алов чаще всего используют Au и Ag, поскольку для них резонанса, т. е. не должен превышать длину волны света.
резонансная частота локализованных поверхностных Наряду с элементным составом, свойства поверхност-
плазмонов лежит в видимой области спектра, а сами на- ного плазмонного резонанса существенно зависят от
ночастицы химически стабильны и просты в приготовле- размера, формы и внутренней структуры наночастиц [2].
нии [14]. Однако, фотофункциональные металлы, такие Так, например, пик поверхностного плазмонного резо-
как Pd и Pt, могут быть использованы в качестве фотока- нанса при деформации сферической наночастицы Au в
тализаторов [15]. Кроме того, эффективность фотоката- цилиндрическую расщепляется на два — поперечный и
литической активности диоксида титана (TiO2 ), который продольный. Таким образом, число резонансных мод и
используется для очистки окружающей среды, может положение пика поверхностного плазмонного резонанса
120К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 121
можно настраивать, манипулируя любым из указанных 'm
параметров или их комбинациями. l
По сравнению с монометаллическими наночастицами
's
биметаллические частицы более эффективны в регули-
l3
ровании плазмонного резонанса [17–20]. Состав биме-
таллических наночастиц можно изменять с целью управ- l
l2 q*
ления свойствами плазмонов, поскольку для разных
металлов они располагаются в разных областях спектра. 'c l1 j
Кроме того, положение и профиль резонанса локали-
зованных поверхностных плазмонов, а также их коли-
чество сильно зависит от морфологии биметаллической
частицы, т. е. пространственного расположения и упоря- Rc
дочения двух различных типов атомов [21]. Например, в
сплавной частице Ag-Au положение пика плазмонного
резонанса отличается от первого по частоте пика в
частице типа ядро−оболочка“ (Au@Ag), несмотря на R t
”
одинаковое молярное соотношение Ag/Au [22].
Переходные металлы, такие как Pd, также исполь-
зуются в фототермической терапии злокачественных Рис. 1. Биметаллическая наночастица и ее геометрические
новообразований. Этот материал, соединяясь, например, параметры (классические траектории электронов комментиру-
с наноструктурами Au, которые являются наилучшим ются в Приложении).
вариантом в фототермической терапии, смещает в низ-
кочастотную область и расширяет спектр поглощения
по сравнению с монометаллическими наночастицами Рассмотрим биметаллическую сферу общего радиуса
Au. Это явление максимизирует поглощение в ближней R в диэлектрической матрице с постоянной ǫm . Ядро
инфракрасной области и, следовательно, повышает фо- радиусом R c покрыто оболочкой толщиной t, R c + t = R
тотермический отклик структур на лазерное облучение. (рис. 1). Как следует из электродинамики [23], дипольная
В дополнение к многочисленным свойствам и примене- поляризуемость α@ такой частицы може быть записана
нию Pd и Pt, существуют значительные различия между в виде
диэлектрическими постоянными этих переходных метал-
лов и благородных металлов, таких как Au и Ag [14]. α@ (ǫs − ǫm )(2ǫs + ǫc ) − (2ǫs + ǫm )(ǫs − ǫc ) βc
= , (1)
Тем не менее интерпретация плазмонных резонансов, R3 (ǫs + 2ǫm )(2ǫs + ǫc ) − (2ǫs − ǫm )(ǫs − ǫc ) βc
основанная на модели свободных электронов, хорошо
применимая к таким металлам, как Ag и Au, может быть где величины α@ , ǫs , ǫc являются функциями частоты
распространена на Pd и Pt. Таким образом, исследование света ω, βc = R 3c /R 3 — объемная фракция“ материала
”
и сравнение оптических откликов наночастиц Pd@Pt ядра частицы,
и наночастиц других металлов представляет большой 0 ≤ βc < 1.
интерес. Если R c или t равны нулю (βc = 0 или 1), то би-
Поэтому, в связи с широкими перспективами ис- металлическая частица становится монометаллической
пользования биметаллических частиц, исследование их (ǫs = ǫc ≡ ǫ). Однако формула (1) выведена при условии
оптических характеристик, а также демонстрация воз- ненулевой толщины оболочки (βc < 1), т. е. с учетом
можности управления их свойствами путем изменения условий на границе раздела оболочки и диэлектрика мат-
состава и геометрических параметров ядра и оболочки, рицы. Использовать равенство βc = 1 следует с осторож-
является актуальной задачей. ностью, поскольку это может привести к нефизическим
Целью настоящей работы является расчет частотной результатам при описании плазмонного резонанса (см.
дисперсии оптических характеристик сферических би- комментарий к формуле (24)).
металлических частиц вблизи плазменных резонансов Запишем выражение (1) в более компактном виде
в отсутствии квантово-размерных эффектов. При этом α@ ǫ@ − ǫm
сохраняется стиль общепринятого описания монометал- = , (2)
R3 ǫ@ + 2ǫm
лических частиц на основе теорий Друде и Ми.
вводя диэлектрическую функцию двухслойной сферы
2. Теория 1 + 2βc δ@ ǫc − ǫs
ǫ@ = ǫs , δ@ ≡ . (3)
1 − βc δ@ ǫc + 2ǫs
Как известно, особенности взаимодействия электро-
магнитных волн с металлическими частичками отража- Далее необходимо выбрать рабочее выражение для ди-
ются в частотной дисперсии дипольной поляризуемости. электрических функций.
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1122 А.В. Коротун, В.В. Погосов
Простой и удобной для анализа является популярное Последний из учитываемых факторов уширения плаз-
модифицированное выражение теории Друде–Лоренца– монных линий в (5) это радиационный вклад, обуслов-
Зоммерфельда, которое мы применяем к описанию ленный излучением ускоренных внутренним электриче-
электронов ядра (оболочки) в отсутствии квантово- ским полем электронов во всех направлениях [27],
размерного эффекта
1 2 Ne 2 ω
eff 2 = Re σ (ω), (8)
ωb2p, c(s) ωb2p, c(s) τc(s)
eff
τc(s) τ rad 1/2 2
9 meff c 3 ǫm
∞ ǫ0
ǫc(s) = ǫc(s) − +i , (4)
eff 2 eff 2
1+ ωτc(s) ω 1 + ωτc(s)
где N — полное число электронов проводимости,
∞ Re σ (ω) — действительная часть проводимости металла.
где константа ǫc(s)
соответствует вкладу ионного остова
металла ядра или оболочки, соответственно Условием равноправного учета τ surf и τ rad для моно-
металлических частиц является неравенство ℓ bulk > 2R
n̄c(s) e 2 для длины свободного пробега электронов в объеме
ωb2p,c(s) = (ℓ bulk оценивается как v F τ bulk ). При выполнении условия
ǫ0 meff
c(s)
ℓ bulk < 2R роль радиационного затухания становится
— объемная плазменная частота, ǫ0 — диэлектрическая превалирующей [27].
постоянная, n̄, meff и τ eff — концентрация, эффективные В случае биметаллических частиц аналогичные нера-
масса и время релаксации электронов, соответственно; венства
n̄ = 3/(4πr 3s ), r s — среднее расстояние между электро- ℓcbulk > 2R c , ℓsbulk > 2t, (9)
нами.
Плазмонные возбуждения могут затухать безизлуча- ℓcbulk ≤ 2R c , ℓsbulk ≤ 2t (10)
тельно, передавая энергию решетке, или излучательно. мы будем распространять на металлические области
Начиная с больших частиц, при уменьшении их разме- ядра и оболочки.
ров, кроме рассеяния электронов на фононах, примесях Как оказалось, при сохранении стиля вычисления
и других дефектах, необходимо учитывать радиационное частот столкновения (5)−(8) для составной металли-
излучение электронов, а в случае, когда характерные ческой частицы, возникли принципиальные трудности.
размеры становятся меньше длины свободного пробега Если для вычисления τ surf монометаллической частицы
электронов в объеме, необходимо учитывать также рас- достаточно было найти среднюю длину свободного про-
сеяние на поверхности частицы. бега hℓiR , то для мультиметаллической частицы следует
Для монометаллических сфер эффективное время ре- уже рассчитывать среднее время hτ@surf iR . Это является
лаксации τ eff определяется выражением следствием того, что некоторые траектории электронов
1 1 1 1 пересекают области разных металлов (рис. 1). Такое
= bulk + surf + rad , (5) же замечание относится и к остальным компонентам
τ eff τ τ τ
эффективной частоты столкновения. Теперь и для них
где τ bulk — время релаксации в объеме 3D-металла. необходима четкость в определении траектории с учетом
Второе слагаемое в выражении (5), обусловленное параметров металлов, через которые они проходят. Чет-
рассеянием электронов на поверхности, в литературе кость траектории подразумевает способность выразить
принято записывать в виде [24]: ее через геометрические параметры частицы. А это
можно сделать только тогда, когда начало и конец клас-
1 vF vF сической траектории находится на поверхности. Таким
surf
= ≡A , (6)
τ hℓiR R образом все времена в
где hℓiR — средняя длина свободного пробега, 1 1 1 1
= + + (11)
τ@eff τ@bulk R τ@surf R τ@rad R
~ 1/3
v F = eff 3π 2 n̄ (7)
m
записываются в виде усредненных величин (их вывод
— скорость фермиевских электронов. приведен в Приложении).
Коэффициент A в (6) — эффективный параметр, опи- Слагаемые в (11) являются своего рода перекрест-
”
сывающий степень потери когерентности при рассеянии ными“ и создают эффект внутреннего перемешивания“
”
электрона на поверхности частицы. Так, для классиче- диэлектрических функций ǫc и ǫs в нашей задаче, как,
ского (диффузного) режима рассеяния A = 1 [24], а например, это происходит при внешнем перемешива-
”
для изотропного — A = 3/4. В общем случае параметр нии“ диэлектрических функций согласно формуле (1).
A может быть функцией частоты падающего света и Их нельзя отнести целиком либо к ядру либо к оболочке.
латерального размера системы [25,26] (см., например, Вследствие этого, в используемые при прямых вычисле-
рис. 4 в [26], где сравнивается рассчитанная зависимость ниях выражения (4) для ядра и оболочки, необходимо
eff
A(ω, R) для наночастиц Ag с экспериментами). заменить величины τc(s) на выражение τ@eff из (11).
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 123
Зная поляризуемость, можно определить сечения по- 106
глощения C abs и рассеяния C sca световой волны части- 3
цей. Эти величины представляют наибольший интерес,
поскольку являются экспериментально измеряемыми.
Так, сечение рассеяния измеряется в темнопольных экс- 105
периментах, а сечение экстинкции C ext = C abs + C sca —
Im a@, nm3
2
в измерениях пропускания.
Ограничиваясь дипольным приближением, сечения 104 1
поглощения C abs sca
@ и рассеяния C @ для биметаллических
mag
сфер определяются электрической α@ и магнитной α@
поляризуемостями [1,28]: 103
4πω 1/2 mag
C abs
@ = ǫ Im (α@ + α@ ), (12)
c m @–
wsp @+
wsp
102
ω 4 ǫm
2
mag
2 2 3 4 5
C sca
@ = 4
α@ + α@ , (13) hw, eV
6πc
где c — скорость света, а при условии однородности Рис. 2. Частотная зависимость мнимой части поляризуемости
поля электромагнитной волны в частице [29] составной частицы Au@Ag (R c = 20 nm, t = 5 nm) в тефлоне
при разных τ@eff : 1 — все компоненты обратных времен
ωR 1/2 в (11) 6= 0, 2 — компонента излучения = 0, 3 — компонента
ζ = |ǫm ǫ@ (ω)| ≪ 1, (14)
c рассеяния = 0.
выражение для магнитной поляризуемости имеет вид
2
R3
mag ωR (R c = 20 nm, t = 5 nm, т. е. при выполнении усло-
α@ = ǫm (ǫ@ − ǫm ) . (15)
c 30 @−
вия (10)) в тефлоне при разных τ@eff ; ωsp и ωsp @+
—
В инфракрасной области спектра с увеличением радиуса означают пазмонные частоты первого и второго резо-
R монометаллической сферы вклад Im α mag в (12)−(15) нансов. Результаты расчетов свидетельствуют о необхо-
возрастает и при R ≈ 2 nm величины Im α и Im α mag ста- димости учета всех каналов рассеяния, поскольку учет
новятся примерно одинаковыми [28]. В нашей задаче мы этих каналов по-отдельности приводит к завышенным
будем пренебрегать Im α mag , вследствие того, что вблизи значениям Im α@ на частотах поверхностных плазмон-
плазмонного резонанса ǫ@ (ω) → 0 и Im α mag ≪ Im α. ных резонансов и заниженным значениям в остальном
В качестве характеристики рассеивающей способно- частотном интервале.
” Конечно, всегда будут сложности с выбором размеров
сти“ наночастиц используется оптическая радиацион-
ная эффективность, величина которой рассчитывается частицы для выполнения условий (9) и (10). Некоторые
как [30]: из траекторий (ℓ2 на рис. 1) не будут удовлетворять
rad 1 указанным границам применимости. Такое же замечание
ξ@ = . (16) относится и к выводу компоненты (A9), особенно для
1 + C abs sca
@ /C @
крупных частиц (при условии ℓcbulk ≪ 2R c , ℓsbulk ≪ 2t).
rad
Величина ξ@ характеризует отношение энергии элек- Тогда полученные результаты следует воспринимать как
тромагнитного поля, рассеиваемой наночастицами, к экстраполяционные, а влияние неточности вычислений
энергии падающей электромагнитной волны и считается компонент времени на основные характеристики можно
важной для эффективной работы полупроводниковых оценить по рис. 2.
солнечных батарей, содержащих эти частицы. На рис. 3 приведены графики частотных зависимо-
стей действительной и мнимой частей, а также модуля
3. Результаты вычислений и их поляризуемости наносфер Au@Ag различных размеров.
Отметим, что функция Re α@ (ω) является знакопере-
обсуждение
Расчеты частотных зависимостей поляризуемости, се-
Используемые параметры, a 0 = ~2 /(me e 2 ) — боровский радиус
чений поглощения и рассеяния, а также оптической
радиационной эффективности были проведены для на-
носфер Au@Ag, Ag@Au, Au@Pt, Pt@Au и Pt@Pd, рас- Параметры Au [20] Ag [20] Pt [33] Pd [34]
положенных в тефлоне (ǫm = 2.3). Параметры металлов rs , a0 3.01 3.02 3.27 4.00
приведены в таблице. meff /me 0.99 0.96 0.54 0.37
С целью определения влияния компонент эффек- ǫ∞ 9.84 3.70 4.42 2.52
bulk
тивного времени релаксации на рис. 2 приведена ча- τ , 10−15 s 29 40 9.5 7.2
стотная зависимость Im α@ составной частицы Au@Ag ~ωb p , eV 9.07 9.17 10.9 9.70
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1124 А.В. Коротун, В.В. Погосов
1.0 107
a b
5 106 3 5
0.5 3 2
Re a@ , 106 nm3
4 105 4
Im a@ , nm3
1
0 104
2 1
103
–0.5
102
–1.0 101
2 3 4 5 2 3 4 5
hw, eV hw, eV
107
c
106 5
3
105 4
| a@ |, nm3
2
104 1
103
102
2 3 4 5
hw, eV
Рис. 3. Частотная зависимость дипольной поляризуемости сфер Au@Ag в тефлоне. Кривые 1−3 при радиусе ядра R c = var и
толщине оболочки t = 5 nm (const): 1 — R c = 10 nm, 2 — R c = 20 nm, 3 — R c = 30 nm. Кривые 4, 5 при R c = 20 nm (const) и
толщине оболочки t = var: 4 — t = 10 nm; 5 — t = 20 nm.
менной, в то время как Im α@ (ω) > 0 во всем диа- сферы [известно также, что от выбора модельного под-
пазоне частот. Кроме того, увеличение радиуса ядра, хода возможны как синий [31], так и красный сдвиги
т. е. увеличение фракции Au в наночастице (максимумы поверхностного резонанса [32]].
кривых в последовательности 1 → 2 → 3), приводит к Однако, в биметаллических сферах с уменьшением
тому, что первые максимумы Im α@ и |α@ | становятся R c при постоянной толщине оболочки t (т. е. в целом
более выраженными, а также к увеличению расстояния“ радиус кластера R уменьшается), как следует из рис. 3, b,
@+ @− ” @−
(ωsp − ωsp ) или отталкиванию“ между этими макси- наблюдается синий сдвиг первого резонанса ωsp (мак-
”
мумами и увеличению их численного значения. симумы кривых в последовательности 3 → 2 → 1 сдви-
Из выражения для дипольной поляризуемости моно- гаются вправо по шкале частот). Противоположный
металлической сферы и условия поверхностного плаз- красный размерный сдвиг наблюдается для тех же
менного резонанса @+
кривых на втором резонансе ωsp . Таким образом здесь,
@− @+
Re ǫ(ωsp ) = −2ǫm с уменьшением радиуса сферы резонансы ωsp и ωsp
притягиваются“ друг к другу.
следует формула для частоты поверхностных плазмонов ”
Для первого максимума кривых рис. 3, b в после-
ωb2p
2 довательности 5 → 4 → 2 (R c = const, t уменьшается,
2 1 vF
ωsp = ∞ − + A . (17) и в целом R уменьшается) наблюдается уже красный
ǫ + 2ǫm τ bulk R размерный сдвиг первого резонанса. В этом случае с
@− @+
Из (17) можно ожидать очень слабый классический уменьшением радиуса сферы резонансы ωsp и ωsp
размерный красный сдвиг при уменьшении радиуса отталкиваются“ друг от друга.
”
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 125
106 ωb p, Pt и ωb p, Au больше, чем для ωb p, Pt и ωb p, Pd (рис. 5, b
3
a и 5, c), причем в последнем случае первые максимумы
5 выражены сильнее вторых.
2
105 Соответствуют ли максимумы поляризуемости и сече-
4
ний плазмонным резонансам ядра и оболочки?
abs, nm2
104 В случае биметаллических частиц при анализе чис-
ленных результатов приходится оперировать со значи-
тельным количеством параметров металлов (см. таб-
C@
1
103
лицу), и учитывать радиусы ядра и оболочки. Поэто-
му аналитическое рассмотрение весьма затруднительно
102 при неизбежности прямых вычислений. Однако можно
попытаться провести анализ в некоторых предельных
101 случаях.
2 3 4 5 Напомним, что равенство нулю числителя и знаме-
hw, eV
105 нателя в выражении (1) определяют, соответственно,
b условия невидимости и резонансной поляризуемости.
104 3 5 Так, если поляризуемость частицы равна нулю, то она не
4 дает вклад в рассеянное поле и не поглощает энергию
103 внешней волны, поэтому сечения рассеяния и поглоще-
sca, nm2
102 ния частицы равны нулю, а, следовательно, отсутствует
рассеяние внешней волны. Этот эффект приводит к
101 2
C@
невозможности детектирования положения частицы, т. е.
частица является невидимой. Условие равенства нулю
100 1
действительной части знаменателя в (1) с учетом (4)
приводит к уравнению относительно плазмонных ча-
10–1 @±
стот ωsp .
10–2 Вследствие большого числа параметров задачи прове-
2 3 4 5
hw, eV дем анализ, начиная с приближения
Рис. 4. Частотные зависимости сечений поглощения и рассея- τ@eff = ∞, (18)
ния Au@Ag при тех же значениях параметров, что и на рис. 3.
которое означает отсутствие мнимой части у диэлектри-
ческой функций (4), т. е. нулевую ширину резонансов, а
также равенство нулю скобки в (17). Условие (18) поз-
Частотные зависимости сечений поглощения и рассе-
воляет записать биквадратное уравнение относительно
яния частиц Au@Ag приведены на рис. 4. Вследствие @
того, что C abs abs плазмонных частот ωsp
@ ∼ Im α@ , характер кривых C @ (ω) подо-
бен зависимостям Im α@ (ω). Кроме того, C sca@ ≪ C abs @ , @
4 @
2
a ωsp + b ωsp + c = 0, (19)
поэтому C ext
@ ≈ C abs
@ , и, таким образом, потери энергии
падающей электромагнитной волны определяются пре- где
имущественно процессами поглощения. a = 2(1 − βc )(ǫs∞ )2 + (1 + βc )ǫc∞ ǫs∞
На рис. 5 сравниваются частотные зависимости сече-
ний поглощения биметаллических наночастиц одинако- + 2(1 − βc )ǫm ǫc∞ + 2(2 + βc )ǫm ǫs∞ ,
вого размера, но разного элементного состава (Au@Pt, b = 2ǫm + ǫs∞ − 2βc (ǫs∞ − ǫm ) ωb2p, c
Pt@Au и Pt@Pd). Для всех трех систем заметны каче-
ственные и количественные различия кривых, но систе- − ǫc∞ + 4ǫs∞ + 4ǫm + 2βc (ǫc∞ − ǫm ) ωb2p, s ,
матика кривых такая же как на рис. 3, b. Так, перемена
c = ωb2p, s (1 − 2βc )ωb2p, c + 2(1 − 2βc )ωb2p, s .
металлов ядра и оболочки (рис. 5, a и b), во-первых, (20)
приводит к усилению размерного притяжения пиков Однако решение уравнения (19) в таком виде все еще
Au@Pt на рис. 5, a (синий / красный сдвиги) и пиков остается слишком громоздким и требуются дальнейшие
Pt@Au на рис.5, b (красный / слабый красный сдвиги), упрощения. С этой целью положим
во-вторых, наблюдается заметный красный сдвиг всей
картины резонансов на рис. 5, b по сравнению с рис. 5, a, ǫ ∞ , meff /me = 1, а также ǫm = 1 (21)
в основном связанный только с различием металлов,
а не размерами. Как показано ниже, формально это (сфера находится в вакууме). Использование усло-
объясняется разницей объемных плазмонных частоты вий (18) и (21) упрощает уравнение (19) (что отра-
∗@
(ωb p, Au < ωb p, Pt ). Следует отметить, что разница между жается на обозначениях ωsp ) и теперь его решение
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1126 А.В. Коротун, В.В. Погосов
106 106
a b
5
105 3 5 105 3
2
4 104
abs, nm2
abs, nm2
104 4
103
2
C@
C@
103 1
1 102
102 101
101 100
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
hw, eV hw, eV
106
c
105 5
2
abs, nm2
104 3
1
C@
103 4
102
101
3 4 5 6 7
hw, eV
Рис. 5. Частотные зависимости сечения поглощения частиц Au@Pt (a), Pt@Au (b) и Pt@Pd (c) при тех же значениях параметров,
что и на рис. 3.
становится более наглядным исчезновение поверхностного плазмона на самом деле
1h 2 является следствием граничных условий, отраженных в
∗@± 2
ωb p, c + 3ωb2p, s ± (ωb2p, c + ωb2p, s )2
ωsp = формуле (1) для поверхности ядра, граничащего только
6
с металлом оболочки, а не с внешней поверхностью.
1/2 i
− 8βc ωb2p, s (ωb2p, c − ωb2p, s ) . (22) В литературе популярной является идея использо-
вания, предложенной в [35], интуитивной схемы вы-
Из него сразу следует наличие двух плазменных резо- числения частот поверхностных плазмонов в слоистой
нансов у биметаллической сферы. сферической матрешке посредством комбинации уже
Интересно отметить два предельных перехода в (22), известных результатов для частот плазмонов поверхно-
превращающих биметаллическую частицу в две мономе- стей положительной и отрицательной кривизны (шарика
таллические, состоящие из разных металлов и полости). Формула (1) и предельный переход (24)
∗@− ωb p,s указывают на принципиальную невозможность такого
ωsp → √ ≡ ωsp,s при βc → 0; (23) приема для частиц, ядро и оболочка которых являются
3
металлическими.
∗@+
ωsp → ωb p,c при βc → 1. (24) Удобно использовать выражения (22) для определения
Первый предел (23) (ядро исчезает) приводит к ра- знака производных
∗@−
венству частоты первого резонанса ωsp частоте лока- ∗@±
лизованного поверхностного плазмона оболочки ωsp,s . ∂ωsp dβc βc
=∓ ,
Второй из этих переходов (24) (металл ядра за- ∂βc dR c R=const Rc
полняет весь объем, а оболочка исчезает) приводит к
∗@+ ∗@±
равенству частот поверхностного плазмона ωsp и объ- ∂ωsp dβc βc
емного плазмона ядра ωb p,c . Кажущееся парадоксальным =± , (25)
∂βc dR R c =const R
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 127
где и размеров, расположенных в тефлоне. Оба рисунка
∗@± демонстрируют сильную зависимость от сорта метал-
(ωb2p,c− ωb2p,s )(ωb2p,s /ωsp )
= h i1/2 . (26) ла и размеров ядра и оболочки. В видимой области
rad
(ωb2p,c + ωb2p,s )2 − 8βc ωb2p,s (ωb2p,c − ωb2p,s ) спектра (~ω ≈ 1 eV) величина ξ@ невелика, а на ре-
зонансных частотах, вследствие сильного поглощения
@± @± −4
Эти знаки и соответствуют размерным красным и [C abs sca
@ (ωsp ) ≫ C @ (ωsp )], имеет порядок 10 . Близость
синим сдвигам резонансов, упомянутым выше. Знаки rad
величины ξ@ к 1 наблюдается в средней и дальней
производных управляются знаком скобки в числите- ультрафиолетовой области, когда частицы обладают хо-
ле выражения (26), в которой присутствует разница рошими зеркальными свойствами. Такое же поведение
квадратов частот объемных плазмонов разных металлов при высоких частотах характерно и для частиц примерно
(см. таблицу). Например, при изменении архитектуры вдвое или втрое меньших размеров. Однако в видимом
частицы A@B на обратную“ структуру B@A, знак диапазоне величина ξ@rad
для них уменьшается более, чем
”
(26) в (25) меняется на противоположный. На приме- на порядок.
ре частиц Ag@Au и Au@Ag такой упрощенный анализ В литературе имеются сведения, что в случае, когда
подтверждается прямыми вычислениями. Однако для металлические наночастицы размещены в полупровод-
комбинаций других металлов, когда важным является нике со сложными зонами, то за счет плазмонных
учет констант ǫ ∞ , meff и ǫm , такие упрощенные пред- резонансов посредством ближнего поля можно добить-
ставления, по-видимому, оказываются недостаточными ся обратного эффекта — усиления взаимодействия с
[при смене архитектуры Au@Pt (рис. 5, a) на Pt@Au полупроводником, увеличивая тем самым эффективное
(рис. 5, b) размерный сдвиг второго резонанса значитель- сечение рассеяния и, соответственно, ξ@ rad
.
но ослабел, но все же остался красным].
Тем не менее, такое простое описание биметалли-
ческой сферы и, соответствующая ему формула (22), 1.0
указывает, во-первых, на наличие двух резонансов по
числу металлов в частице, что соответствует экспе-
a
3 2
риментам (рис. 4 в [17] и рис. 4, а в [22]), а, во- 0.8 4
5 1
вторых, позволяет выделить основные параметры задачи:
частоты объемных плазмонов ωb p,c и ωb p,s , а также 0.6
x rad
объемную фракцию ядра βc [формула (17) в этом при-
@
ближении вообще не содержит размерной зависимости]. 0.4
Смешение“ объемных плазмонов в соответствии с
”
формулой (1) осуществляется посредством параметра
βc . Для трехметаллической сферы, соответственно будет 0.2
три плазменных резонансных пика. Для анализа такой
ситуации пригодна формула для поляризуемости части- 0
цы с диэлектрическим ядром и двумя металлическими 1 5 10 15
hw, eV
оболочками из работы [36], что является аналогом 1.0
формулы (1) для двухслойной сферы. В случае сплавов,
по-видимому, будет один резонанс.
b
Что касается прямых вычислений характеристик в 0.8
2
3 1
более простом варианте (21), но с учетом (A3)−(A9),
например, для Au@Ag и Ag@Au, то они привели к 0.6
x rad
смещению всей картины резонансов целиком примерно
@
на удвоенные частоты с сохранением размерных сдвигов. 0.4
Полученные результаты неплохо согласуются с экспе-
риментами, в которых, как правило, анализируется пер- 4
@−
вый по частоте резонанс ωsp : в работе [17] на рис. 2, A, 0.2
B для частиц Ag@Au виден сильный голубой размерный
сдвиг при постоянном размере ядра Ag и уменьшении 0
толщины оболочки Au; аналогичная картина, но гораздо 1 5 10 15
hw, eV
слабее, имеет место на рис. 4, а в [22] для частиц
Au@Ag. Наши вычисления полностью согласуются с Рис. 6. Частотная зависимость радиационной эффективности
для частицы Au@Ag (a): 1 — R c = 20 nm и t = 20 nm,
результатами [17], но в сравнении с [22] дают не слабый
2 — R c = 50 nm и t = 20 nm, 3 — R c = 100 nm и t = 20 nm,
голубой, а красный сдвиг пика поглощения. 4 — R c = 50 nm и t = 30 nm, 5 — R c = 50 nm и t = 50 nm; для
На рис. 6, a и b в диапазоне ~ω = (1, 15) eV при- разных частиц (b): 1 — Au@Ag, 2 — Au@Pt, 3 — Pt@Au,
ведена рассчитанная частотная дисперсия радиацион- 4 — Pt@Pd с общими для них значениями R c = 50 nm и
ной эффективности крупных частиц разного состава t = 20 nm.
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1128 А.В. Коротун, В.В. Погосов
Все эти особенности позволяют эффективно приспо- На границах исследуемого диапазона частот и макси-
сабливать современные солнечные элементы к спектру мальных размеров наших частиц параметр ζ ≤ 1.
излучения Солнца, в зависимости от географического Скин-эффект в сферах, тонких металлических пласти-
положения на поверхности планеты или в космосе. нах и проволоках рассматривался неоднократно (см.,
Еще одним практически важным применением нано- например [31,32,39–42]). Для этого применялся как
плазмоники является фототермическая терапия злока- гидродинамический, так и кинетический подходы. По-
чественных опухолей. После внешней подкачки света следний использовался для частиц при ζ ≪ 1 [25,27].
средняя температура сферы повышается на 1T . Если Оценка глубины скин-слоя для полубесконечного Au
оптимальная температура сферы должна быть 42◦ C, то при ~ω = 1 eV дает величину в 5 nm, что фактически
1T = 42−36.6 = 5.4◦ . совпадает с толщиной нашей оболочки t при максималь-
Повышение температури частицы, вследствие погло- ном внешнем радиусе 50 nm. Параметр зеркальности по-
щения внешнего поля, можно оценить как верхности для тонких образцов можно считать равным
нулю [40,42].
I0 Специфика нашей постановки задачи заключается в
1T ≈ C abs , (27)
4πRκ @ том, что для всех каналов рассеяния длина свободного
где I 0 — интенсивность падающего света; κ — тепло- пробега фактически определяется внешним радиусом ча-
проводность окружающей среды [37]. стицы. Таким образом, невозможно классифицировать к
Оценки проведем для двух частиц Au@Ag/Ag@Au с нормальному или аномальному скин-эффекту относится
параметрами R c = 10 nm и t = 5 nm, κ = 0.25 W/m · K поглощение электромагнитной волны. Это находит под-
(тефлон), а также значением I 0 = 1 mW/µm2 для зе- тверждение и в диаграмме на рис. 1 работы [41]. Наши
леного света (λ = 530 nm) из работы [37]. Используя параметры модели попадают прямо в центр площади
”
данные рис. 4, а (кривая 1), при ~ωsp @−
= 2.98 eV для четырех углов“ на этой диаграмме. Возможно режим
@− поглощения относится к специфическому квазинор-
Au@Ag, и заново вычисляя при ~ωsp = 2.44 eV для ”
мальному“ скин-эффекту, отмеченному в [39] для тонкой
Ag@Au, имеем C abs 3 2 3 2
@ = 17.1 · 10 nm /8.04 · 10 nm , и
◦ ◦ пластинки, но оценить его для сферической симметрии
1T ≈ 360 /150 для Au@Ag / Ag@Au, соответственно.
не представляется возможным.
Если заменить тефлон на воду (κ = 0.6 W/m · K,
В связи с вышесказанным, авторы предлагают рас-
ǫm = 1.77), то 1T ≈ 150◦ /60◦ . Такой нагрев приблизи-
сматривать результаты данной работы на границах ис-
тельно на порядок превышает необходимый, но может
следуемого диапазона частот и максимальных размеров
быть легко скорректирован путем замены материала,
частиц как оценочные.
изменения параметров сферы, а также расстояния r от
нее, поскольку пространственное распределение темпе-
ратуры при r > R выглядит как 1T /r. 4. Заключение
Если на практике удается организовать конгломерат
близко расположенных наносфер, как в [17] и [22], это В приближении диффузного рассеяния получены вы-
позволяет увеличить на порядки величин поле внутри ражения для поверхностной, радиационной и объемной
конгломерата. Величина такого усиления характеризует- компонент эффективного времени релаксации электро-
ся фактором нов в случаях, когда длина свободного пробега элек-
G(r) = 1 + 2α/r 3 ,
2
(28) тронов меньше или несколько больше характерных раз-
меров ядра и оболочки биметаллической наночастицы.
где r > R — расстояние от центра сферы до точки, Показано, что учет всех компонент времени релаксации
для которой рассчитывается фактор усиления поля [38]. необходим для точного определения мнимой части поля-
Эта характеристика легко вычисляется в нашей схеме. ризуемости, а соответственно и величины поглощения,
Тогда, можно утверждать, что это усиление позволит на частоте поверхностного плазмонного резонанса.
уменьшить величину I 0 в формуле (27) на порядки Компоненты эффективного времени релаксации явля-
величины для того, чтобы достичь нужной температуры ются своего рода перекрестными“ и создают эффект
”
при терапии злокачественных опухолей. Возможно даже, внутреннего перемешивания“ диэлектрических функ-
”
что такая терапия будет происходить сама по себе“, ций ядра и оболочки в нашей задаче, как, например, это
”
т. е. вовсе без фиксированного внешнего источника из- происходит во внешнем перемешивании“ диэлектриче-
”
лучения (I 0 = 0), а лишь за счет слабых случайных ских функций согласно электродинамической формуле
источников, на длинах волн, которые соответствуют для общей диэлектрической функции биметаллической
окну прозрачности биологической ткани. сферы в диэлектрике. Эти компоненты невозможно
Отметим, что результаты представленной работы по- целиком отнести либо к ядру, либо к оболочке.
лучены в предположении однородности поля внутри Проведены расчеты частотных зависимостей поляри-
частицы, т. е. при выполнении условия ζ ≪ 1 [см. (14)]. зуемости, сечений поглощения и рассеяния, а также ра-
Такое неравенство хорошо выполняется в далекой ин- диационной эффективности для наночастиц различного
фракрасной области и вблизи плазменного резонанса, элементного состава в тефлоне, с различными значе-
когда ǫ@ (ω) → 0 и скин-эффектом можно пренебречь. ниями радиусов ядра и толщины оболочек. Результаты
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 129
демонстрируют возможность управления характеристи- Конфликт интересов
ками поглощения и рассеяния внешней волны. Так,
при одинаковых частотах вблизи резонансов величина У авторов нет конфликта интересов.
сечения рассеяния оказывается значительно меньше,
чем сечения поглощения, поэтому можна считать, что Приложение A: Расчет времен
потери энергии падающей электромагнитной волны в релаксации
соответствующем композите определяются преимуще-
ственно процессами поглощения. Поверхностное рассеяние. Для благородных металлов
С помощью упрощенной теории Друде выявлено, что при комнатной температуре (ℓ bulk ≃ 10−100 nm, длина
наличие двух резонансов соответствует только числу волны де Бройля электронов ∼ 0.3 nm) существенным
металлов в частице, а основными параметрами задачи оказываются неровности поверхности атомного масшта-
являются частоты объемных плазмонов и объемные ба. В связи с этим мы предполагаем, что рассеяние элек-
фракции этих металлов. Смешение“ объемных плазмо- тронов на поверхности биметаллической сферической
”
нов осуществляется посредством параметра объемной частицы является диффузным. Условием применения
фракции материала ядра. В этом же смысле нельзя точно классического подхода к описанию рассеяния является
соотнести оба плазменных резонанса к конкретному неравенство ~ω ≪ εF .
металлу. Выражение для вероятности рассеяния электронов по
Например, для частицы Au@Pt с уменьшением ради- всем направлениям, под углами, которые лежат в интер-
уса ядра при постоянной толщине оболочки, а также, вале между (θ, θ + dθ) и (ϕ, ϕ + dϕ) по отношению к
когда радиус ядра неизменный, а толщина оболочки касательной плоскости сферы (рис. 1), имеет вид
уменьшается (т. е. в целом радиус частицы уменьшается)
наблюдается заметный синий сдвиг первого и красный dW = W0 cos θ dθ dϕ,
сдвиг второго резонансов. Для частицы с обратной
архитектурой Pt@Au при тех же манипуляциях с разме- θ ∈ (0, π/2), ϕ ∈ (0, 2π).
рами наблюдается уже красный сдвиг обоих резонансов. Фактически речь идет об усреднении вектора (длины
В зависимости от параметров металлов при уменьшении свободного пробега) ~ℓ по всем направлениям. Для
радиуса сферы резонансы могут как притягиваться“, докритических“ углов θ ≤ θ ∗ , где cos θ ∗ = R c /R, элек-
” ”
так и отталкиваться“ друг от друга. Тем самым пока- трон рассеивается в металле оболочки, а для θ > θ ∗
”
зана принципиальная невозможность применения схемы рассеивается в обоих металлах. В этом случае запишем
гибридизации“ [35] для вычисления частот поверх- ~ℓ в виде суммы коллинеарных векторов ~ℓ = ~ℓ1 + ~ℓ2 + ~ℓ3
”
ностных плазмонов в слоистой сферической матрешке и среднее суммы будет равно сумме средних.
посредством комбинации уже известных результатов При преобразовании вектора в следующий вид
для частот плазмонов поверхностей положительной и ~ℓ1 /v F,s + ~ℓ2 /v F,c + ~ℓ3 /v F,s его направление не изменится
отрицательной кривизны (шарика и полости). (рассеянием на границе металлов пренебрегаем), а изме-
Характер кривых частотных зависимостей сечения по- нится только длина (теперь уже размерности времени),
глощения и радиационной эффективности существенно поэтому усреднение по направлениям проводится точно
зависит от элементного состава и морфологии наноча- так же.
стицы. Так, инверсия металлов ядра и оболочки может Среднее время релаксации на поверхности определя-
приводить как к красному“, так и синему“ сдвигам ется как
” ” R surf
экстремумов сечений поглощения и радиационной эф- surf
τ@ dW
фективности. Рассчитанная частотная дисперсия радиа- τ@ R = R . (A1)
dW
ционной эффективности крупных частиц разного состава
и размеров, расположенных в тефлоне, близка к единице Тогда
в средней и дальней ультрафиолетовой области, когда Z θ∗
2R sin θ
частицы обладают хорошими зеркальными свойствами. τ@surf R = cos θ dθ
Оценено повышение температуры вблизи биметал- 0 v F,s
лических сфер в различных средах вследствие погло- Z π/2
ℓ1 ℓ2 ℓ3
щения электромагнитной волны от внешних источни- + + + cos θ dθ. (A2)
ков. В качестве ремарки можно отметить возможность θ∗ v F,s v F,c v F,s
слабого нагревания сфер в радиочастотном диапазоне, Решая геометрическую задачу, имеем квадратное урав-
выгодном для глубинной терапии злокачественных ново- нение ℓ12 = R 2c − R 2 + 2ℓ1 R sin θ, решением которого яв-
образований. ляется 1/2
ℓ1 = R sin θ − R 2c − R 2 cos2 θ ,
Благодарности
а также
Авторы благодарят В.П. Курбацкого за обсуждение
результатов работы. ℓ2 = (R 2 − R 2c − ℓ12 )/ℓ1 , ℓ3 = 2R sin θ − ℓ2 − ℓ1 .
9 Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1130 А.В. Коротун, В.В. Погосов
Предельные переходы, превращающие биметалличе- В результате интегрирования в (A5) и (A6) получаем,
скую частицу в две разные монометаллические частицы, соответственно, выражения
проще сделать на этом этапе.
1/2
Полагая R c , βc → 0, имеем в (A2) θ ∗ → π/2, 9 ǫm R c3
hτ@rad iR =
ℓ2 /v F,c → 0 и в результате 2 V0 v F,s ωb3p,s
τ@surf → R/v F,s .
1 1 − βc1/3
R 1 − βc1/3 − 2
1 − βc2/3 ln 1/3
1 + βc
×
Полагая R c → R, βc → 1, имеем в (A2) θ → 0, ∗ 1 − βc
(ℓ1 + ℓ3 )/v F,s → 0 и в результате
1 1 − βc1/3
τ@surf R → R/v F,c . 3
v F,s ωb p,s βc1/3 + 1 − βc2/3 ln
2 1 + βc1/3
+ , (A7)
v F,c ωb3p,c βc
Рассчитывая интегралы в (A2) с учетом выражений
для ℓ1 , ℓ2 и ℓ3 , окончательно получаем
и
R "h 1/2 i bulk
τ@surf R
= , 1/2
9 ǫm c3 2 − 1 − βc2/3 τs
Av F,s hτ@rad iR =
2 V0 ωb3p,s 1 − βc
1 v F,s
=1+ −1
h i
2/3 1/2
ωb3p,s 1 − 1 − βc τcbulk
#
A v F,c
+ 3 . (A8)
" !# ωb p,c βc
1 1 − βc1/3
× βc1/3 + 1 − βc2/3 ln
. (A3)
2 1 + βc1/3 Объемное рассеяние. Сохраняя стиль вычислений в
диффузном приближении, запишем
Радиационное затухание. Используя в формуле (8)
Z θ∗ Z π/2
hτ@bulk iR = τsbulk cos θdθ+ 2τsbulk + τcbulk cos θdθ
2 eff
σ0 e n̄τ
Re σ (ω) = , σ0 = , 0 θ∗
1 + (ωτ eff )2 meff h 1/2 i bulk h 1/2 i bulk
= 2− 1−βc2/3 τs + 1− 1−βc2/3 τc .
а также неравенство в области плазменных частот
ωτ eff ≫ 1 и, следовательно, замену ω → ωb p , получаем (A9)
Полагая R c , βc → 0, следует положить τcbulk → 0. Тогда
9 3 1/2 1 hτ@bulk iR = τsbulk .
hτ@rad iR = c ǫm hBτ rad iR , B= . (A4)
2 ωb3pV Полагая R c , βc → 1, следует положить τsbulk → 0. Тогда
hτ@ iR = τcbulk .
bulk
1. Случай (9). Аналогично (A2) запишем Когда статья была написана, мы познакомились с
работой [43], в которой рассмотрено классическое рас-
сеяние электронов в двухслойной сферической частице
"Z
θ∗
9 2R sin θ
hτ@rad iR = c 3 ǫm
1/2
Bs cos θdθ и введен в формуле (37) критический угол (в нашей
2 v F,s
0 работе это θ ∗ на рис. 1 и в Приложении).
#
Z π/2
l1 l2 l3
+ Bs + Bc + Bs cos θdθ . Список литературы
θ∗ v F,s v F,c v F,s
(A5)
[1] S.A. Maier. Plasmonics: fundamentals and applications. Sprin-
Коэффициент Bc содержит объем ядра Vc = 4πR 3c /3 ger Science & Business Media (2007).
= βcV0, а коэффициент Bs — объем оболочки [2] V. Amendola, R. Pilot, M. Frasconi, O.M. Maragò, M.A. Iatı̀.
Vs = 4π(R 3 − R 3c )/3 = (1 − βc )V0 , где V0 = 4πR 3 /3 — J. Phys.: Condens. Matter. 29, 203002 (2017).
полный объем. [3] В.И. Балыкин, П.Н. Мелентьев. УФН 188, 143 (2018).
2. Случай (10). Тогда [4] А.В. Коротун, А.А. Коваль. Оптика и спектроскопия 127,
"Z 1032 (2019).
θ∗ [5] W. Srituravanich, N. Fang, C. Sun, Q. Luo, X. Zhan. Nano
9
hτ@rad iR = c 3 ǫm
1/2
Bs τsbulk cos θdθ Lett. 4, 1085 (2004).
2 0
[6] U. Schröter, A. Dereux. Phys. Rev. B 64, 125420 (2001).
Z π/2
# [7] A. Ambrosio, B. Piccirillo, A. Sasso, E. Santamato. Opt.
+ 2Bs τsbulk + Bc τcbulk
cos θdθ . (A6) Commun. 230, 337 (2004).
θ∗ [8] S. Nie, S.R. Emory. Science 275, 1102 (1997).
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 131
[9] B. Špačková, P. Wrobel, M. Bocková, J. Homola. Proc. IEEE
104, 2380 (2016).
[10] H.A. Atwater, A. Polman. Nature Mater. 9, 205 (2010).
[11] В.А. Миличко, А.С. Шалин, И.С. Мухин, А.Э. Ковров,
А.А. Красилин, А.В. Виноградов, П.А. Белов, К.Р. Симов-
ский. УФН 186, 801 (2016).
[12] E.M. Larsson, C. Langhammer, I. Zorić, B. Kasemo. Science
326, 1091 (2009).
[13] D.J. De Aberasturi, A.B. Serrano-Montes, L.M. Liz-Marzán.
Adv. Opt. Mater. 3, 602 (2015).
[14] F. Zarrinkhat, A.F. Najafabadi, T. Pakizeh. J. Opt. 19, 125003
(2017).
[15] C. Zhang, H. Zhao, L. Zhou, A.E. Schlather, L. Dong,
M.J. McClain, D.F. Swearer, P. Nordlander, N.J. Halas. Nano
Lett. 16, 6677 (2016).
[16] C.C. Wang, Y.C. Hsueh, C.Y. Su, C.C. Kei, T.P. Perng.
Nanotechnol. 26, 254002 (2015).
[17] M.M. Moskovits, I. Srnová-Šloufová, B. Vlčková. J. Chem.
Phys. 116, 10435 (2002).
[18] N. Valizade-Shahmirzadi, T. Pakizeh. Mater. Res. Express. 5,
04538 (2018).
[19] S. Sompech, S. Thaomola, A. Chingsungnoen, T. Dasri. Mater.
Res. Express. 6, 026201 (2019).
[20] А.В. Коротун, А.А. Коваль, В.И. Рева, И.Н. Титов. ФММ
120, 1136 (2019).
[21] А.В. Скиданенко, Л.А. Авакян, Е.А. Козинкина, Л.А. Буга-
ев. ФТТ 61, 115 (2019).
[22] Z. Gao, K. Deng, X. Wang, M. Miro, D. Tang. ACS Appl.
Mater. Interfaces 6, 18243 (2014).
[23] Г. Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. ИИЛ, М.
(1961). 536 с.
[24] U. Kreibig, M. Vollmer. Optical properties of metal clusters.
Springer, Berlin. (1995).
[25] N.I. Grigorchuk, P.M. Tomchuk. Phys. Rev. B 84, 085448
(2011).
[26] G.N. Blackman III, D.A. Genov. Phys. Rev. B 97, 115440
(2018).
[27] N.I. Grigorchuk. J. Opt. Soc. Am. B 29, 3404 (2012).
[28] В.П. Курбацкий, В.В. Погосов. Пис. ЖТФ 26, 84 (2000).
[29] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных
сред. Физматлит, М. (2001). 656 с.
[30] K. Tanabe. Mater. Lett. 61, 4573 (2007).
[31] R. Ruppin. J. Phys. Chem. Solids 39, 233 (1978).
[32] M. Cini. J. Opt. Soc. Am. 71, 386 (1981).
[33] M.A. Ordal, L.L. Long, R.J. Bell, S.E. Bell, R.R. Bell,
R.W. Alexander, Jr., C.A. Ward. Appl. Opt. 22, 1099 (1983).
[34] W.E. Vargas. Appl. Opt. 56, 1266 (2017)
[35] E. Prodan, C. Radloff, N.J. Halas, P. Nordlander. Science 302,
419 (2003).
[36] Н.В. Селина. Рос. нанотехн. 14, 59 (2019).
[37] G. Baffou, R. Quidant, F.J. Garcia de Abajo. ACS Nano 4,
709 (2010).
[38] K. Tanabe. J. Phys. Chem. C 112, 15721 (2008).
[39] Б.М. Болотовский. ЖЭТФ 32, 559 (1957) [Sov. Phys. JETP
5, 465 (1957)].
[40] M.L. Theye. Phys. Lett. 25A, 764 (1967).
[41] G.R. Henry. J. Appl. Phys. 43, 2996 (1972).
[42] И.О. Моисеев, А.А. Юшканов, Ю.И. Яламов. ЖТФ 74, 87
(2004).
[43] A. Moroz. J. Phys. Chem. C 112, 10641 (2008).
Редактор Т.Н. Василевская
9∗ Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1Вы также можете почитать
