К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических биметаллических наночастиц
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1 09,12 К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических биметаллических наночастиц © А.В. Коротун, В.В. Погосов Национальный университет Запорожская политехника“, ” Запорожье, Украина E-mail: andko@zntu.edu.ua, vpogosov@zntu.edu.ua Поступила в Редакцию 6 сентября 2020 г. В окончательной редакции 6 сентября 2020 г. Принята к публикации 8 сентября 2020 г. Получены формулы для эффективного времени релаксации, когда длина свободного пробега электронов меньше или сравнима с характерными размерами металлических областей. Рассчитана частотная дисперсия оптических характеристик сферических биметаллических частиц вблизи плазменных резонансов в отсут- ствии квантово-размерных эффектов. Сохраняя стиль общепринятого описания монометаллических частиц на основе теорий Друде и Ми, проанализирована частотная зависимость электрической дипольной поля- ризуемости двухслойной металлической наносферы. Появление двух максимумов поляризуемости является следствием различия металлов ядра и оболочки. Расчеты были проведены для частиц Au@Ag, Ag@Au, Au@Pt, Pt@Au и Pt@Pd, погруженных в тефлон. Продемонстрована возможность управления оптическими характеристиками биметаллических частиц путем изменения их состава и объемного содержания металлов. Проведены расчеты сечений поглощения и рассеяния, а также оптической радиационной эффективности частиц в широком спектральном диапазоне. Оценена возможная температура биметаллических частиц при поглощении электромагнитной волны (для целей фототермической терапии злокачественных опухолей). Ключевые слова: биметаллическая наночастица, поверхностный плазмон, поляризуемость, сечение погло- щения, сечение рассеяния, время релаксации. DOI: 10.21883/FTT.2021.01.50409.178 1. Введение быть увеличена путем осаждения частиц Pt. Такие части- цы соответствующих размеров позволяют осуществить В последние десятилетия интенсивно исследуются эффективное разделение электронов и дырок, что при- композитные материалы на основе металлических нано- водит к усилению фотокаталитической активности [16]. частиц [1–4]. Это связано с тем, что в поле электро- Металлические наночастицы можно использовать для магнитной волны на наночастице локализируется опти- повышения эффективности работы полупроводниковых ческая энергия вследствие возбуждения поверхностных солнечных элементов [11]. Наличие металлических на- плазмонов. При этом интенсивность падающего излуче- ночастиц приводит к рассеянию падающего солнечного ния вблизи поверхности наночастицы может возрастать света вглубь полупроводника, благодаря чему возрас- на несколько порядков. В связи с этим, металличе- тает доля поглощенного полупроводником света. Это ские наночастицы широко применяются в плазмонной позволяет уменьшить физическую толщину фотовольта- нанолитографии [5], оптической микроскопии ближнего ического элемента при сохранении его оптической тол- поля [6], астигматическом оптическом пинцете [7], для щины. Существует определенный оптимальный диапазон усиления поля рамановского рассеяния [8], сенсорных и размеров металлических частиц, поскольку очень малые фотогальванических устройствах [9,10], плазмонной фо- частицы сильно поглощают свет, что приводит к поте- товольтаике [11], фотокатализе [12] и терапии злокаче- рям. В то же время их размер должен соответствовать ственных опухолей [13]. В качестве плазмонных матери- условиям возбуждения локализованного поверхностного алов чаще всего используют Au и Ag, поскольку для них резонанса, т. е. не должен превышать длину волны света. резонансная частота локализованных поверхностных Наряду с элементным составом, свойства поверхност- плазмонов лежит в видимой области спектра, а сами на- ного плазмонного резонанса существенно зависят от ночастицы химически стабильны и просты в приготовле- размера, формы и внутренней структуры наночастиц [2]. нии [14]. Однако, фотофункциональные металлы, такие Так, например, пик поверхностного плазмонного резо- как Pd и Pt, могут быть использованы в качестве фотока- нанса при деформации сферической наночастицы Au в тализаторов [15]. Кроме того, эффективность фотоката- цилиндрическую расщепляется на два — поперечный и литической активности диоксида титана (TiO2 ), который продольный. Таким образом, число резонансных мод и используется для очистки окружающей среды, может положение пика поверхностного плазмонного резонанса 120
К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 121 можно настраивать, манипулируя любым из указанных 'm параметров или их комбинациями. l По сравнению с монометаллическими наночастицами 's биметаллические частицы более эффективны в регули- l3 ровании плазмонного резонанса [17–20]. Состав биме- таллических наночастиц можно изменять с целью управ- l l2 q* ления свойствами плазмонов, поскольку для разных металлов они располагаются в разных областях спектра. 'c l1 j Кроме того, положение и профиль резонанса локали- зованных поверхностных плазмонов, а также их коли- чество сильно зависит от морфологии биметаллической частицы, т. е. пространственного расположения и упоря- Rc дочения двух различных типов атомов [21]. Например, в сплавной частице Ag-Au положение пика плазмонного резонанса отличается от первого по частоте пика в частице типа ядро−оболочка“ (Au@Ag), несмотря на R t ” одинаковое молярное соотношение Ag/Au [22]. Переходные металлы, такие как Pd, также исполь- зуются в фототермической терапии злокачественных Рис. 1. Биметаллическая наночастица и ее геометрические новообразований. Этот материал, соединяясь, например, параметры (классические траектории электронов комментиру- с наноструктурами Au, которые являются наилучшим ются в Приложении). вариантом в фототермической терапии, смещает в низ- кочастотную область и расширяет спектр поглощения по сравнению с монометаллическими наночастицами Рассмотрим биметаллическую сферу общего радиуса Au. Это явление максимизирует поглощение в ближней R в диэлектрической матрице с постоянной ǫm . Ядро инфракрасной области и, следовательно, повышает фо- радиусом R c покрыто оболочкой толщиной t, R c + t = R тотермический отклик структур на лазерное облучение. (рис. 1). Как следует из электродинамики [23], дипольная В дополнение к многочисленным свойствам и примене- поляризуемость α@ такой частицы може быть записана нию Pd и Pt, существуют значительные различия между в виде диэлектрическими постоянными этих переходных метал- лов и благородных металлов, таких как Au и Ag [14]. α@ (ǫs − ǫm )(2ǫs + ǫc ) − (2ǫs + ǫm )(ǫs − ǫc ) βc = , (1) Тем не менее интерпретация плазмонных резонансов, R3 (ǫs + 2ǫm )(2ǫs + ǫc ) − (2ǫs − ǫm )(ǫs − ǫc ) βc основанная на модели свободных электронов, хорошо применимая к таким металлам, как Ag и Au, может быть где величины α@ , ǫs , ǫc являются функциями частоты распространена на Pd и Pt. Таким образом, исследование света ω, βc = R 3c /R 3 — объемная фракция“ материала ” и сравнение оптических откликов наночастиц Pd@Pt ядра частицы, и наночастиц других металлов представляет большой 0 ≤ βc < 1. интерес. Если R c или t равны нулю (βc = 0 или 1), то би- Поэтому, в связи с широкими перспективами ис- металлическая частица становится монометаллической пользования биметаллических частиц, исследование их (ǫs = ǫc ≡ ǫ). Однако формула (1) выведена при условии оптических характеристик, а также демонстрация воз- ненулевой толщины оболочки (βc < 1), т. е. с учетом можности управления их свойствами путем изменения условий на границе раздела оболочки и диэлектрика мат- состава и геометрических параметров ядра и оболочки, рицы. Использовать равенство βc = 1 следует с осторож- является актуальной задачей. ностью, поскольку это может привести к нефизическим Целью настоящей работы является расчет частотной результатам при описании плазмонного резонанса (см. дисперсии оптических характеристик сферических би- комментарий к формуле (24)). металлических частиц вблизи плазменных резонансов Запишем выражение (1) в более компактном виде в отсутствии квантово-размерных эффектов. При этом α@ ǫ@ − ǫm сохраняется стиль общепринятого описания монометал- = , (2) R3 ǫ@ + 2ǫm лических частиц на основе теорий Друде и Ми. вводя диэлектрическую функцию двухслойной сферы 2. Теория 1 + 2βc δ@ ǫc − ǫs ǫ@ = ǫs , δ@ ≡ . (3) 1 − βc δ@ ǫc + 2ǫs Как известно, особенности взаимодействия электро- магнитных волн с металлическими частичками отража- Далее необходимо выбрать рабочее выражение для ди- ются в частотной дисперсии дипольной поляризуемости. электрических функций. Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
122 А.В. Коротун, В.В. Погосов Простой и удобной для анализа является популярное Последний из учитываемых факторов уширения плаз- модифицированное выражение теории Друде–Лоренца– монных линий в (5) это радиационный вклад, обуслов- Зоммерфельда, которое мы применяем к описанию ленный излучением ускоренных внутренним электриче- электронов ядра (оболочки) в отсутствии квантово- ским полем электронов во всех направлениях [27], размерного эффекта 1 2 Ne 2 ω eff 2 = Re σ (ω), (8) ωb2p, c(s) ωb2p, c(s) τc(s) eff τc(s) τ rad 1/2 2 9 meff c 3 ǫm ∞ ǫ0 ǫc(s) = ǫc(s) − +i , (4) eff 2 eff 2 1+ ωτc(s) ω 1 + ωτc(s) где N — полное число электронов проводимости, ∞ Re σ (ω) — действительная часть проводимости металла. где константа ǫc(s) соответствует вкладу ионного остова металла ядра или оболочки, соответственно Условием равноправного учета τ surf и τ rad для моно- металлических частиц является неравенство ℓ bulk > 2R n̄c(s) e 2 для длины свободного пробега электронов в объеме ωb2p,c(s) = (ℓ bulk оценивается как v F τ bulk ). При выполнении условия ǫ0 meff c(s) ℓ bulk < 2R роль радиационного затухания становится — объемная плазменная частота, ǫ0 — диэлектрическая превалирующей [27]. постоянная, n̄, meff и τ eff — концентрация, эффективные В случае биметаллических частиц аналогичные нера- масса и время релаксации электронов, соответственно; венства n̄ = 3/(4πr 3s ), r s — среднее расстояние между электро- ℓcbulk > 2R c , ℓsbulk > 2t, (9) нами. Плазмонные возбуждения могут затухать безизлуча- ℓcbulk ≤ 2R c , ℓsbulk ≤ 2t (10) тельно, передавая энергию решетке, или излучательно. мы будем распространять на металлические области Начиная с больших частиц, при уменьшении их разме- ядра и оболочки. ров, кроме рассеяния электронов на фононах, примесях Как оказалось, при сохранении стиля вычисления и других дефектах, необходимо учитывать радиационное частот столкновения (5)−(8) для составной металли- излучение электронов, а в случае, когда характерные ческой частицы, возникли принципиальные трудности. размеры становятся меньше длины свободного пробега Если для вычисления τ surf монометаллической частицы электронов в объеме, необходимо учитывать также рас- достаточно было найти среднюю длину свободного про- сеяние на поверхности частицы. бега hℓiR , то для мультиметаллической частицы следует Для монометаллических сфер эффективное время ре- уже рассчитывать среднее время hτ@surf iR . Это является лаксации τ eff определяется выражением следствием того, что некоторые траектории электронов 1 1 1 1 пересекают области разных металлов (рис. 1). Такое = bulk + surf + rad , (5) же замечание относится и к остальным компонентам τ eff τ τ τ эффективной частоты столкновения. Теперь и для них где τ bulk — время релаксации в объеме 3D-металла. необходима четкость в определении траектории с учетом Второе слагаемое в выражении (5), обусловленное параметров металлов, через которые они проходят. Чет- рассеянием электронов на поверхности, в литературе кость траектории подразумевает способность выразить принято записывать в виде [24]: ее через геометрические параметры частицы. А это можно сделать только тогда, когда начало и конец клас- 1 vF vF сической траектории находится на поверхности. Таким surf = ≡A , (6) τ hℓiR R образом все времена в где hℓiR — средняя длина свободного пробега, 1 1 1 1 = + + (11) τ@eff τ@bulk R τ@surf R τ@rad R ~ 1/3 v F = eff 3π 2 n̄ (7) m записываются в виде усредненных величин (их вывод — скорость фермиевских электронов. приведен в Приложении). Коэффициент A в (6) — эффективный параметр, опи- Слагаемые в (11) являются своего рода перекрест- ” сывающий степень потери когерентности при рассеянии ными“ и создают эффект внутреннего перемешивания“ ” электрона на поверхности частицы. Так, для классиче- диэлектрических функций ǫc и ǫs в нашей задаче, как, ского (диффузного) режима рассеяния A = 1 [24], а например, это происходит при внешнем перемешива- ” для изотропного — A = 3/4. В общем случае параметр нии“ диэлектрических функций согласно формуле (1). A может быть функцией частоты падающего света и Их нельзя отнести целиком либо к ядру либо к оболочке. латерального размера системы [25,26] (см., например, Вследствие этого, в используемые при прямых вычисле- рис. 4 в [26], где сравнивается рассчитанная зависимость ниях выражения (4) для ядра и оболочки, необходимо eff A(ω, R) для наночастиц Ag с экспериментами). заменить величины τc(s) на выражение τ@eff из (11). Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 123 Зная поляризуемость, можно определить сечения по- 106 глощения C abs и рассеяния C sca световой волны части- 3 цей. Эти величины представляют наибольший интерес, поскольку являются экспериментально измеряемыми. Так, сечение рассеяния измеряется в темнопольных экс- 105 периментах, а сечение экстинкции C ext = C abs + C sca — Im a@, nm3 2 в измерениях пропускания. Ограничиваясь дипольным приближением, сечения 104 1 поглощения C abs sca @ и рассеяния C @ для биметаллических mag сфер определяются электрической α@ и магнитной α@ поляризуемостями [1,28]: 103 4πω 1/2 mag C abs @ = ǫ Im (α@ + α@ ), (12) c m @– wsp @+ wsp 102 ω 4 ǫm 2 mag 2 2 3 4 5 C sca @ = 4 α@ + α@ , (13) hw, eV 6πc где c — скорость света, а при условии однородности Рис. 2. Частотная зависимость мнимой части поляризуемости поля электромагнитной волны в частице [29] составной частицы Au@Ag (R c = 20 nm, t = 5 nm) в тефлоне при разных τ@eff : 1 — все компоненты обратных времен ωR 1/2 в (11) 6= 0, 2 — компонента излучения = 0, 3 — компонента ζ = |ǫm ǫ@ (ω)| ≪ 1, (14) c рассеяния = 0. выражение для магнитной поляризуемости имеет вид 2 R3 mag ωR (R c = 20 nm, t = 5 nm, т. е. при выполнении усло- α@ = ǫm (ǫ@ − ǫm ) . (15) c 30 @− вия (10)) в тефлоне при разных τ@eff ; ωsp и ωsp @+ — В инфракрасной области спектра с увеличением радиуса означают пазмонные частоты первого и второго резо- R монометаллической сферы вклад Im α mag в (12)−(15) нансов. Результаты расчетов свидетельствуют о необхо- возрастает и при R ≈ 2 nm величины Im α и Im α mag ста- димости учета всех каналов рассеяния, поскольку учет новятся примерно одинаковыми [28]. В нашей задаче мы этих каналов по-отдельности приводит к завышенным будем пренебрегать Im α mag , вследствие того, что вблизи значениям Im α@ на частотах поверхностных плазмон- плазмонного резонанса ǫ@ (ω) → 0 и Im α mag ≪ Im α. ных резонансов и заниженным значениям в остальном В качестве характеристики рассеивающей способно- частотном интервале. ” Конечно, всегда будут сложности с выбором размеров сти“ наночастиц используется оптическая радиацион- ная эффективность, величина которой рассчитывается частицы для выполнения условий (9) и (10). Некоторые как [30]: из траекторий (ℓ2 на рис. 1) не будут удовлетворять rad 1 указанным границам применимости. Такое же замечание ξ@ = . (16) относится и к выводу компоненты (A9), особенно для 1 + C abs sca @ /C @ крупных частиц (при условии ℓcbulk ≪ 2R c , ℓsbulk ≪ 2t). rad Величина ξ@ характеризует отношение энергии элек- Тогда полученные результаты следует воспринимать как тромагнитного поля, рассеиваемой наночастицами, к экстраполяционные, а влияние неточности вычислений энергии падающей электромагнитной волны и считается компонент времени на основные характеристики можно важной для эффективной работы полупроводниковых оценить по рис. 2. солнечных батарей, содержащих эти частицы. На рис. 3 приведены графики частотных зависимо- стей действительной и мнимой частей, а также модуля 3. Результаты вычислений и их поляризуемости наносфер Au@Ag различных размеров. Отметим, что функция Re α@ (ω) является знакопере- обсуждение Расчеты частотных зависимостей поляризуемости, се- Используемые параметры, a 0 = ~2 /(me e 2 ) — боровский радиус чений поглощения и рассеяния, а также оптической радиационной эффективности были проведены для на- носфер Au@Ag, Ag@Au, Au@Pt, Pt@Au и Pt@Pd, рас- Параметры Au [20] Ag [20] Pt [33] Pd [34] положенных в тефлоне (ǫm = 2.3). Параметры металлов rs , a0 3.01 3.02 3.27 4.00 приведены в таблице. meff /me 0.99 0.96 0.54 0.37 С целью определения влияния компонент эффек- ǫ∞ 9.84 3.70 4.42 2.52 bulk тивного времени релаксации на рис. 2 приведена ча- τ , 10−15 s 29 40 9.5 7.2 стотная зависимость Im α@ составной частицы Au@Ag ~ωb p , eV 9.07 9.17 10.9 9.70 Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
124 А.В. Коротун, В.В. Погосов 1.0 107 a b 5 106 3 5 0.5 3 2 Re a@ , 106 nm3 4 105 4 Im a@ , nm3 1 0 104 2 1 103 –0.5 102 –1.0 101 2 3 4 5 2 3 4 5 hw, eV hw, eV 107 c 106 5 3 105 4 | a@ |, nm3 2 104 1 103 102 2 3 4 5 hw, eV Рис. 3. Частотная зависимость дипольной поляризуемости сфер Au@Ag в тефлоне. Кривые 1−3 при радиусе ядра R c = var и толщине оболочки t = 5 nm (const): 1 — R c = 10 nm, 2 — R c = 20 nm, 3 — R c = 30 nm. Кривые 4, 5 при R c = 20 nm (const) и толщине оболочки t = var: 4 — t = 10 nm; 5 — t = 20 nm. менной, в то время как Im α@ (ω) > 0 во всем диа- сферы [известно также, что от выбора модельного под- пазоне частот. Кроме того, увеличение радиуса ядра, хода возможны как синий [31], так и красный сдвиги т. е. увеличение фракции Au в наночастице (максимумы поверхностного резонанса [32]]. кривых в последовательности 1 → 2 → 3), приводит к Однако, в биметаллических сферах с уменьшением тому, что первые максимумы Im α@ и |α@ | становятся R c при постоянной толщине оболочки t (т. е. в целом более выраженными, а также к увеличению расстояния“ радиус кластера R уменьшается), как следует из рис. 3, b, @+ @− ” @− (ωsp − ωsp ) или отталкиванию“ между этими макси- наблюдается синий сдвиг первого резонанса ωsp (мак- ” мумами и увеличению их численного значения. симумы кривых в последовательности 3 → 2 → 1 сдви- Из выражения для дипольной поляризуемости моно- гаются вправо по шкале частот). Противоположный металлической сферы и условия поверхностного плаз- красный размерный сдвиг наблюдается для тех же менного резонанса @+ кривых на втором резонансе ωsp . Таким образом здесь, @− @+ Re ǫ(ωsp ) = −2ǫm с уменьшением радиуса сферы резонансы ωsp и ωsp притягиваются“ друг к другу. следует формула для частоты поверхностных плазмонов ” Для первого максимума кривых рис. 3, b в после- ωb2p 2 довательности 5 → 4 → 2 (R c = const, t уменьшается, 2 1 vF ωsp = ∞ − + A . (17) и в целом R уменьшается) наблюдается уже красный ǫ + 2ǫm τ bulk R размерный сдвиг первого резонанса. В этом случае с @− @+ Из (17) можно ожидать очень слабый классический уменьшением радиуса сферы резонансы ωsp и ωsp размерный красный сдвиг при уменьшении радиуса отталкиваются“ друг от друга. ” Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 125 106 ωb p, Pt и ωb p, Au больше, чем для ωb p, Pt и ωb p, Pd (рис. 5, b 3 a и 5, c), причем в последнем случае первые максимумы 5 выражены сильнее вторых. 2 105 Соответствуют ли максимумы поляризуемости и сече- 4 ний плазмонным резонансам ядра и оболочки? abs, nm2 104 В случае биметаллических частиц при анализе чис- ленных результатов приходится оперировать со значи- тельным количеством параметров металлов (см. таб- C@ 1 103 лицу), и учитывать радиусы ядра и оболочки. Поэто- му аналитическое рассмотрение весьма затруднительно 102 при неизбежности прямых вычислений. Однако можно попытаться провести анализ в некоторых предельных 101 случаях. 2 3 4 5 Напомним, что равенство нулю числителя и знаме- hw, eV 105 нателя в выражении (1) определяют, соответственно, b условия невидимости и резонансной поляризуемости. 104 3 5 Так, если поляризуемость частицы равна нулю, то она не 4 дает вклад в рассеянное поле и не поглощает энергию 103 внешней волны, поэтому сечения рассеяния и поглоще- sca, nm2 102 ния частицы равны нулю, а, следовательно, отсутствует рассеяние внешней волны. Этот эффект приводит к 101 2 C@ невозможности детектирования положения частицы, т. е. частица является невидимой. Условие равенства нулю 100 1 действительной части знаменателя в (1) с учетом (4) приводит к уравнению относительно плазмонных ча- 10–1 @± стот ωsp . 10–2 Вследствие большого числа параметров задачи прове- 2 3 4 5 hw, eV дем анализ, начиная с приближения Рис. 4. Частотные зависимости сечений поглощения и рассея- τ@eff = ∞, (18) ния Au@Ag при тех же значениях параметров, что и на рис. 3. которое означает отсутствие мнимой части у диэлектри- ческой функций (4), т. е. нулевую ширину резонансов, а также равенство нулю скобки в (17). Условие (18) поз- Частотные зависимости сечений поглощения и рассе- воляет записать биквадратное уравнение относительно яния частиц Au@Ag приведены на рис. 4. Вследствие @ того, что C abs abs плазмонных частот ωsp @ ∼ Im α@ , характер кривых C @ (ω) подо- бен зависимостям Im α@ (ω). Кроме того, C sca@ ≪ C abs @ , @ 4 @ 2 a ωsp + b ωsp + c = 0, (19) поэтому C ext @ ≈ C abs @ , и, таким образом, потери энергии падающей электромагнитной волны определяются пре- где имущественно процессами поглощения. a = 2(1 − βc )(ǫs∞ )2 + (1 + βc )ǫc∞ ǫs∞ На рис. 5 сравниваются частотные зависимости сече- ний поглощения биметаллических наночастиц одинако- + 2(1 − βc )ǫm ǫc∞ + 2(2 + βc )ǫm ǫs∞ , вого размера, но разного элементного состава (Au@Pt, b = 2ǫm + ǫs∞ − 2βc (ǫs∞ − ǫm ) ωb2p, c Pt@Au и Pt@Pd). Для всех трех систем заметны каче- ственные и количественные различия кривых, но систе- − ǫc∞ + 4ǫs∞ + 4ǫm + 2βc (ǫc∞ − ǫm ) ωb2p, s , матика кривых такая же как на рис. 3, b. Так, перемена c = ωb2p, s (1 − 2βc )ωb2p, c + 2(1 − 2βc )ωb2p, s . металлов ядра и оболочки (рис. 5, a и b), во-первых, (20) приводит к усилению размерного притяжения пиков Однако решение уравнения (19) в таком виде все еще Au@Pt на рис. 5, a (синий / красный сдвиги) и пиков остается слишком громоздким и требуются дальнейшие Pt@Au на рис.5, b (красный / слабый красный сдвиги), упрощения. С этой целью положим во-вторых, наблюдается заметный красный сдвиг всей картины резонансов на рис. 5, b по сравнению с рис. 5, a, ǫ ∞ , meff /me = 1, а также ǫm = 1 (21) в основном связанный только с различием металлов, а не размерами. Как показано ниже, формально это (сфера находится в вакууме). Использование усло- объясняется разницей объемных плазмонных частоты вий (18) и (21) упрощает уравнение (19) (что отра- ∗@ (ωb p, Au < ωb p, Pt ). Следует отметить, что разница между жается на обозначениях ωsp ) и теперь его решение Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
126 А.В. Коротун, В.В. Погосов 106 106 a b 5 105 3 5 105 3 2 4 104 abs, nm2 abs, nm2 104 4 103 2 C@ C@ 103 1 1 102 102 101 101 100 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 hw, eV hw, eV 106 c 105 5 2 abs, nm2 104 3 1 C@ 103 4 102 101 3 4 5 6 7 hw, eV Рис. 5. Частотные зависимости сечения поглощения частиц Au@Pt (a), Pt@Au (b) и Pt@Pd (c) при тех же значениях параметров, что и на рис. 3. становится более наглядным исчезновение поверхностного плазмона на самом деле 1h 2 является следствием граничных условий, отраженных в ∗@± 2 ωb p, c + 3ωb2p, s ± (ωb2p, c + ωb2p, s )2 ωsp = формуле (1) для поверхности ядра, граничащего только 6 с металлом оболочки, а не с внешней поверхностью. 1/2 i − 8βc ωb2p, s (ωb2p, c − ωb2p, s ) . (22) В литературе популярной является идея использо- вания, предложенной в [35], интуитивной схемы вы- Из него сразу следует наличие двух плазменных резо- числения частот поверхностных плазмонов в слоистой нансов у биметаллической сферы. сферической матрешке посредством комбинации уже Интересно отметить два предельных перехода в (22), известных результатов для частот плазмонов поверхно- превращающих биметаллическую частицу в две мономе- стей положительной и отрицательной кривизны (шарика таллические, состоящие из разных металлов и полости). Формула (1) и предельный переход (24) ∗@− ωb p,s указывают на принципиальную невозможность такого ωsp → √ ≡ ωsp,s при βc → 0; (23) приема для частиц, ядро и оболочка которых являются 3 металлическими. ∗@+ ωsp → ωb p,c при βc → 1. (24) Удобно использовать выражения (22) для определения Первый предел (23) (ядро исчезает) приводит к ра- знака производных ∗@− венству частоты первого резонанса ωsp частоте лока- ∗@± лизованного поверхностного плазмона оболочки ωsp,s . ∂ωsp dβc βc =∓ , Второй из этих переходов (24) (металл ядра за- ∂βc dR c R=const Rc полняет весь объем, а оболочка исчезает) приводит к ∗@+ ∗@± равенству частот поверхностного плазмона ωsp и объ- ∂ωsp dβc βc емного плазмона ядра ωb p,c . Кажущееся парадоксальным =± , (25) ∂βc dR R c =const R Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 127 где и размеров, расположенных в тефлоне. Оба рисунка ∗@± демонстрируют сильную зависимость от сорта метал- (ωb2p,c− ωb2p,s )(ωb2p,s /ωsp ) = h i1/2 . (26) ла и размеров ядра и оболочки. В видимой области rad (ωb2p,c + ωb2p,s )2 − 8βc ωb2p,s (ωb2p,c − ωb2p,s ) спектра (~ω ≈ 1 eV) величина ξ@ невелика, а на ре- зонансных частотах, вследствие сильного поглощения @± @± −4 Эти знаки и соответствуют размерным красным и [C abs sca @ (ωsp ) ≫ C @ (ωsp )], имеет порядок 10 . Близость синим сдвигам резонансов, упомянутым выше. Знаки rad величины ξ@ к 1 наблюдается в средней и дальней производных управляются знаком скобки в числите- ультрафиолетовой области, когда частицы обладают хо- ле выражения (26), в которой присутствует разница рошими зеркальными свойствами. Такое же поведение квадратов частот объемных плазмонов разных металлов при высоких частотах характерно и для частиц примерно (см. таблицу). Например, при изменении архитектуры вдвое или втрое меньших размеров. Однако в видимом частицы A@B на обратную“ структуру B@A, знак диапазоне величина ξ@rad для них уменьшается более, чем ” (26) в (25) меняется на противоположный. На приме- на порядок. ре частиц Ag@Au и Au@Ag такой упрощенный анализ В литературе имеются сведения, что в случае, когда подтверждается прямыми вычислениями. Однако для металлические наночастицы размещены в полупровод- комбинаций других металлов, когда важным является нике со сложными зонами, то за счет плазмонных учет констант ǫ ∞ , meff и ǫm , такие упрощенные пред- резонансов посредством ближнего поля можно добить- ставления, по-видимому, оказываются недостаточными ся обратного эффекта — усиления взаимодействия с [при смене архитектуры Au@Pt (рис. 5, a) на Pt@Au полупроводником, увеличивая тем самым эффективное (рис. 5, b) размерный сдвиг второго резонанса значитель- сечение рассеяния и, соответственно, ξ@ rad . но ослабел, но все же остался красным]. Тем не менее, такое простое описание биметалли- ческой сферы и, соответствующая ему формула (22), 1.0 указывает, во-первых, на наличие двух резонансов по числу металлов в частице, что соответствует экспе- a 3 2 риментам (рис. 4 в [17] и рис. 4, а в [22]), а, во- 0.8 4 5 1 вторых, позволяет выделить основные параметры задачи: частоты объемных плазмонов ωb p,c и ωb p,s , а также 0.6 x rad объемную фракцию ядра βc [формула (17) в этом при- @ ближении вообще не содержит размерной зависимости]. 0.4 Смешение“ объемных плазмонов в соответствии с ” формулой (1) осуществляется посредством параметра βc . Для трехметаллической сферы, соответственно будет 0.2 три плазменных резонансных пика. Для анализа такой ситуации пригодна формула для поляризуемости части- 0 цы с диэлектрическим ядром и двумя металлическими 1 5 10 15 hw, eV оболочками из работы [36], что является аналогом 1.0 формулы (1) для двухслойной сферы. В случае сплавов, по-видимому, будет один резонанс. b Что касается прямых вычислений характеристик в 0.8 2 3 1 более простом варианте (21), но с учетом (A3)−(A9), например, для Au@Ag и Ag@Au, то они привели к 0.6 x rad смещению всей картины резонансов целиком примерно @ на удвоенные частоты с сохранением размерных сдвигов. 0.4 Полученные результаты неплохо согласуются с экспе- риментами, в которых, как правило, анализируется пер- 4 @− вый по частоте резонанс ωsp : в работе [17] на рис. 2, A, 0.2 B для частиц Ag@Au виден сильный голубой размерный сдвиг при постоянном размере ядра Ag и уменьшении 0 толщины оболочки Au; аналогичная картина, но гораздо 1 5 10 15 hw, eV слабее, имеет место на рис. 4, а в [22] для частиц Au@Ag. Наши вычисления полностью согласуются с Рис. 6. Частотная зависимость радиационной эффективности для частицы Au@Ag (a): 1 — R c = 20 nm и t = 20 nm, результатами [17], но в сравнении с [22] дают не слабый 2 — R c = 50 nm и t = 20 nm, 3 — R c = 100 nm и t = 20 nm, голубой, а красный сдвиг пика поглощения. 4 — R c = 50 nm и t = 30 nm, 5 — R c = 50 nm и t = 50 nm; для На рис. 6, a и b в диапазоне ~ω = (1, 15) eV при- разных частиц (b): 1 — Au@Ag, 2 — Au@Pt, 3 — Pt@Au, ведена рассчитанная частотная дисперсия радиацион- 4 — Pt@Pd с общими для них значениями R c = 50 nm и ной эффективности крупных частиц разного состава t = 20 nm. Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
128 А.В. Коротун, В.В. Погосов Все эти особенности позволяют эффективно приспо- На границах исследуемого диапазона частот и макси- сабливать современные солнечные элементы к спектру мальных размеров наших частиц параметр ζ ≤ 1. излучения Солнца, в зависимости от географического Скин-эффект в сферах, тонких металлических пласти- положения на поверхности планеты или в космосе. нах и проволоках рассматривался неоднократно (см., Еще одним практически важным применением нано- например [31,32,39–42]). Для этого применялся как плазмоники является фототермическая терапия злока- гидродинамический, так и кинетический подходы. По- чественных опухолей. После внешней подкачки света следний использовался для частиц при ζ ≪ 1 [25,27]. средняя температура сферы повышается на 1T . Если Оценка глубины скин-слоя для полубесконечного Au оптимальная температура сферы должна быть 42◦ C, то при ~ω = 1 eV дает величину в 5 nm, что фактически 1T = 42−36.6 = 5.4◦ . совпадает с толщиной нашей оболочки t при максималь- Повышение температури частицы, вследствие погло- ном внешнем радиусе 50 nm. Параметр зеркальности по- щения внешнего поля, можно оценить как верхности для тонких образцов можно считать равным нулю [40,42]. I0 Специфика нашей постановки задачи заключается в 1T ≈ C abs , (27) 4πRκ @ том, что для всех каналов рассеяния длина свободного где I 0 — интенсивность падающего света; κ — тепло- пробега фактически определяется внешним радиусом ча- проводность окружающей среды [37]. стицы. Таким образом, невозможно классифицировать к Оценки проведем для двух частиц Au@Ag/Ag@Au с нормальному или аномальному скин-эффекту относится параметрами R c = 10 nm и t = 5 nm, κ = 0.25 W/m · K поглощение электромагнитной волны. Это находит под- (тефлон), а также значением I 0 = 1 mW/µm2 для зе- тверждение и в диаграмме на рис. 1 работы [41]. Наши леного света (λ = 530 nm) из работы [37]. Используя параметры модели попадают прямо в центр площади ” данные рис. 4, а (кривая 1), при ~ωsp @− = 2.98 eV для четырех углов“ на этой диаграмме. Возможно режим @− поглощения относится к специфическому квазинор- Au@Ag, и заново вычисляя при ~ωsp = 2.44 eV для ” мальному“ скин-эффекту, отмеченному в [39] для тонкой Ag@Au, имеем C abs 3 2 3 2 @ = 17.1 · 10 nm /8.04 · 10 nm , и ◦ ◦ пластинки, но оценить его для сферической симметрии 1T ≈ 360 /150 для Au@Ag / Ag@Au, соответственно. не представляется возможным. Если заменить тефлон на воду (κ = 0.6 W/m · K, В связи с вышесказанным, авторы предлагают рас- ǫm = 1.77), то 1T ≈ 150◦ /60◦ . Такой нагрев приблизи- сматривать результаты данной работы на границах ис- тельно на порядок превышает необходимый, но может следуемого диапазона частот и максимальных размеров быть легко скорректирован путем замены материала, частиц как оценочные. изменения параметров сферы, а также расстояния r от нее, поскольку пространственное распределение темпе- ратуры при r > R выглядит как 1T /r. 4. Заключение Если на практике удается организовать конгломерат близко расположенных наносфер, как в [17] и [22], это В приближении диффузного рассеяния получены вы- позволяет увеличить на порядки величин поле внутри ражения для поверхностной, радиационной и объемной конгломерата. Величина такого усиления характеризует- компонент эффективного времени релаксации электро- ся фактором нов в случаях, когда длина свободного пробега элек- G(r) = 1 + 2α/r 3 , 2 (28) тронов меньше или несколько больше характерных раз- меров ядра и оболочки биметаллической наночастицы. где r > R — расстояние от центра сферы до точки, Показано, что учет всех компонент времени релаксации для которой рассчитывается фактор усиления поля [38]. необходим для точного определения мнимой части поля- Эта характеристика легко вычисляется в нашей схеме. ризуемости, а соответственно и величины поглощения, Тогда, можно утверждать, что это усиление позволит на частоте поверхностного плазмонного резонанса. уменьшить величину I 0 в формуле (27) на порядки Компоненты эффективного времени релаксации явля- величины для того, чтобы достичь нужной температуры ются своего рода перекрестными“ и создают эффект ” при терапии злокачественных опухолей. Возможно даже, внутреннего перемешивания“ диэлектрических функ- ” что такая терапия будет происходить сама по себе“, ций ядра и оболочки в нашей задаче, как, например, это ” т. е. вовсе без фиксированного внешнего источника из- происходит во внешнем перемешивании“ диэлектриче- ” лучения (I 0 = 0), а лишь за счет слабых случайных ских функций согласно электродинамической формуле источников, на длинах волн, которые соответствуют для общей диэлектрической функции биметаллической окну прозрачности биологической ткани. сферы в диэлектрике. Эти компоненты невозможно Отметим, что результаты представленной работы по- целиком отнести либо к ядру, либо к оболочке. лучены в предположении однородности поля внутри Проведены расчеты частотных зависимостей поляри- частицы, т. е. при выполнении условия ζ ≪ 1 [см. (14)]. зуемости, сечений поглощения и рассеяния, а также ра- Такое неравенство хорошо выполняется в далекой ин- диационной эффективности для наночастиц различного фракрасной области и вблизи плазменного резонанса, элементного состава в тефлоне, с различными значе- когда ǫ@ (ω) → 0 и скин-эффектом можно пренебречь. ниями радиусов ядра и толщины оболочек. Результаты Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 129 демонстрируют возможность управления характеристи- Конфликт интересов ками поглощения и рассеяния внешней волны. Так, при одинаковых частотах вблизи резонансов величина У авторов нет конфликта интересов. сечения рассеяния оказывается значительно меньше, чем сечения поглощения, поэтому можна считать, что Приложение A: Расчет времен потери энергии падающей электромагнитной волны в релаксации соответствующем композите определяются преимуще- ственно процессами поглощения. Поверхностное рассеяние. Для благородных металлов С помощью упрощенной теории Друде выявлено, что при комнатной температуре (ℓ bulk ≃ 10−100 nm, длина наличие двух резонансов соответствует только числу волны де Бройля электронов ∼ 0.3 nm) существенным металлов в частице, а основными параметрами задачи оказываются неровности поверхности атомного масшта- являются частоты объемных плазмонов и объемные ба. В связи с этим мы предполагаем, что рассеяние элек- фракции этих металлов. Смешение“ объемных плазмо- тронов на поверхности биметаллической сферической ” нов осуществляется посредством параметра объемной частицы является диффузным. Условием применения фракции материала ядра. В этом же смысле нельзя точно классического подхода к описанию рассеяния является соотнести оба плазменных резонанса к конкретному неравенство ~ω ≪ εF . металлу. Выражение для вероятности рассеяния электронов по Например, для частицы Au@Pt с уменьшением ради- всем направлениям, под углами, которые лежат в интер- уса ядра при постоянной толщине оболочки, а также, вале между (θ, θ + dθ) и (ϕ, ϕ + dϕ) по отношению к когда радиус ядра неизменный, а толщина оболочки касательной плоскости сферы (рис. 1), имеет вид уменьшается (т. е. в целом радиус частицы уменьшается) наблюдается заметный синий сдвиг первого и красный dW = W0 cos θ dθ dϕ, сдвиг второго резонансов. Для частицы с обратной архитектурой Pt@Au при тех же манипуляциях с разме- θ ∈ (0, π/2), ϕ ∈ (0, 2π). рами наблюдается уже красный сдвиг обоих резонансов. Фактически речь идет об усреднении вектора (длины В зависимости от параметров металлов при уменьшении свободного пробега) ~ℓ по всем направлениям. Для радиуса сферы резонансы могут как притягиваться“, докритических“ углов θ ≤ θ ∗ , где cos θ ∗ = R c /R, элек- ” ” так и отталкиваться“ друг от друга. Тем самым пока- трон рассеивается в металле оболочки, а для θ > θ ∗ ” зана принципиальная невозможность применения схемы рассеивается в обоих металлах. В этом случае запишем гибридизации“ [35] для вычисления частот поверх- ~ℓ в виде суммы коллинеарных векторов ~ℓ = ~ℓ1 + ~ℓ2 + ~ℓ3 ” ностных плазмонов в слоистой сферической матрешке и среднее суммы будет равно сумме средних. посредством комбинации уже известных результатов При преобразовании вектора в следующий вид для частот плазмонов поверхностей положительной и ~ℓ1 /v F,s + ~ℓ2 /v F,c + ~ℓ3 /v F,s его направление не изменится отрицательной кривизны (шарика и полости). (рассеянием на границе металлов пренебрегаем), а изме- Характер кривых частотных зависимостей сечения по- нится только длина (теперь уже размерности времени), глощения и радиационной эффективности существенно поэтому усреднение по направлениям проводится точно зависит от элементного состава и морфологии наноча- так же. стицы. Так, инверсия металлов ядра и оболочки может Среднее время релаксации на поверхности определя- приводить как к красному“, так и синему“ сдвигам ется как ” ” R surf экстремумов сечений поглощения и радиационной эф- surf τ@ dW фективности. Рассчитанная частотная дисперсия радиа- τ@ R = R . (A1) dW ционной эффективности крупных частиц разного состава и размеров, расположенных в тефлоне, близка к единице Тогда в средней и дальней ультрафиолетовой области, когда Z θ∗ 2R sin θ частицы обладают хорошими зеркальными свойствами. τ@surf R = cos θ dθ Оценено повышение температуры вблизи биметал- 0 v F,s лических сфер в различных средах вследствие погло- Z π/2 ℓ1 ℓ2 ℓ3 щения электромагнитной волны от внешних источни- + + + cos θ dθ. (A2) ков. В качестве ремарки можно отметить возможность θ∗ v F,s v F,c v F,s слабого нагревания сфер в радиочастотном диапазоне, Решая геометрическую задачу, имеем квадратное урав- выгодном для глубинной терапии злокачественных ново- нение ℓ12 = R 2c − R 2 + 2ℓ1 R sin θ, решением которого яв- образований. ляется 1/2 ℓ1 = R sin θ − R 2c − R 2 cos2 θ , Благодарности а также Авторы благодарят В.П. Курбацкого за обсуждение результатов работы. ℓ2 = (R 2 − R 2c − ℓ12 )/ℓ1 , ℓ3 = 2R sin θ − ℓ2 − ℓ1 . 9 Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
130 А.В. Коротун, В.В. Погосов Предельные переходы, превращающие биметалличе- В результате интегрирования в (A5) и (A6) получаем, скую частицу в две разные монометаллические частицы, соответственно, выражения проще сделать на этом этапе. 1/2 Полагая R c , βc → 0, имеем в (A2) θ ∗ → π/2, 9 ǫm R c3 hτ@rad iR = ℓ2 /v F,c → 0 и в результате 2 V0 v F,s ωb3p,s τ@surf → R/v F,s . 1 1 − βc1/3 R 1 − βc1/3 − 2 1 − βc2/3 ln 1/3 1 + βc × Полагая R c → R, βc → 1, имеем в (A2) θ → 0, ∗ 1 − βc (ℓ1 + ℓ3 )/v F,s → 0 и в результате 1 1 − βc1/3 τ@surf R → R/v F,c . 3 v F,s ωb p,s βc1/3 + 1 − βc2/3 ln 2 1 + βc1/3 + , (A7) v F,c ωb3p,c βc Рассчитывая интегралы в (A2) с учетом выражений для ℓ1 , ℓ2 и ℓ3 , окончательно получаем и R "h 1/2 i bulk τ@surf R = , 1/2 9 ǫm c3 2 − 1 − βc2/3 τs Av F,s hτ@rad iR = 2 V0 ωb3p,s 1 − βc 1 v F,s =1+ −1 h i 2/3 1/2 ωb3p,s 1 − 1 − βc τcbulk # A v F,c + 3 . (A8) " !# ωb p,c βc 1 1 − βc1/3 × βc1/3 + 1 − βc2/3 ln . (A3) 2 1 + βc1/3 Объемное рассеяние. Сохраняя стиль вычислений в диффузном приближении, запишем Радиационное затухание. Используя в формуле (8) Z θ∗ Z π/2 hτ@bulk iR = τsbulk cos θdθ+ 2τsbulk + τcbulk cos θdθ 2 eff σ0 e n̄τ Re σ (ω) = , σ0 = , 0 θ∗ 1 + (ωτ eff )2 meff h 1/2 i bulk h 1/2 i bulk = 2− 1−βc2/3 τs + 1− 1−βc2/3 τc . а также неравенство в области плазменных частот ωτ eff ≫ 1 и, следовательно, замену ω → ωb p , получаем (A9) Полагая R c , βc → 0, следует положить τcbulk → 0. Тогда 9 3 1/2 1 hτ@bulk iR = τsbulk . hτ@rad iR = c ǫm hBτ rad iR , B= . (A4) 2 ωb3pV Полагая R c , βc → 1, следует положить τsbulk → 0. Тогда hτ@ iR = τcbulk . bulk 1. Случай (9). Аналогично (A2) запишем Когда статья была написана, мы познакомились с работой [43], в которой рассмотрено классическое рас- сеяние электронов в двухслойной сферической частице "Z θ∗ 9 2R sin θ hτ@rad iR = c 3 ǫm 1/2 Bs cos θdθ и введен в формуле (37) критический угол (в нашей 2 v F,s 0 работе это θ ∗ на рис. 1 и в Приложении). # Z π/2 l1 l2 l3 + Bs + Bc + Bs cos θdθ . Список литературы θ∗ v F,s v F,c v F,s (A5) [1] S.A. Maier. Plasmonics: fundamentals and applications. Sprin- Коэффициент Bc содержит объем ядра Vc = 4πR 3c /3 ger Science & Business Media (2007). = βcV0, а коэффициент Bs — объем оболочки [2] V. Amendola, R. Pilot, M. Frasconi, O.M. Maragò, M.A. Iatı̀. Vs = 4π(R 3 − R 3c )/3 = (1 − βc )V0 , где V0 = 4πR 3 /3 — J. Phys.: Condens. Matter. 29, 203002 (2017). полный объем. [3] В.И. Балыкин, П.Н. Мелентьев. УФН 188, 143 (2018). 2. Случай (10). Тогда [4] А.В. Коротун, А.А. Коваль. Оптика и спектроскопия 127, "Z 1032 (2019). θ∗ [5] W. Srituravanich, N. Fang, C. Sun, Q. Luo, X. Zhan. Nano 9 hτ@rad iR = c 3 ǫm 1/2 Bs τsbulk cos θdθ Lett. 4, 1085 (2004). 2 0 [6] U. Schröter, A. Dereux. Phys. Rev. B 64, 125420 (2001). Z π/2 # [7] A. Ambrosio, B. Piccirillo, A. Sasso, E. Santamato. Opt. + 2Bs τsbulk + Bc τcbulk cos θdθ . (A6) Commun. 230, 337 (2004). θ∗ [8] S. Nie, S.R. Emory. Science 275, 1102 (1997). Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
К расчету оптических характеристик и размерных сдвигов поверхностных плазмонов сферических... 131 [9] B. Špačková, P. Wrobel, M. Bocková, J. Homola. Proc. IEEE 104, 2380 (2016). [10] H.A. Atwater, A. Polman. Nature Mater. 9, 205 (2010). [11] В.А. Миличко, А.С. Шалин, И.С. Мухин, А.Э. Ковров, А.А. Красилин, А.В. Виноградов, П.А. Белов, К.Р. Симов- ский. УФН 186, 801 (2016). [12] E.M. Larsson, C. Langhammer, I. Zorić, B. Kasemo. Science 326, 1091 (2009). [13] D.J. De Aberasturi, A.B. Serrano-Montes, L.M. Liz-Marzán. Adv. Opt. Mater. 3, 602 (2015). [14] F. Zarrinkhat, A.F. Najafabadi, T. Pakizeh. J. Opt. 19, 125003 (2017). [15] C. Zhang, H. Zhao, L. Zhou, A.E. Schlather, L. Dong, M.J. McClain, D.F. Swearer, P. Nordlander, N.J. Halas. Nano Lett. 16, 6677 (2016). [16] C.C. Wang, Y.C. Hsueh, C.Y. Su, C.C. Kei, T.P. Perng. Nanotechnol. 26, 254002 (2015). [17] M.M. Moskovits, I. Srnová-Šloufová, B. Vlčková. J. Chem. Phys. 116, 10435 (2002). [18] N. Valizade-Shahmirzadi, T. Pakizeh. Mater. Res. Express. 5, 04538 (2018). [19] S. Sompech, S. Thaomola, A. Chingsungnoen, T. Dasri. Mater. Res. Express. 6, 026201 (2019). [20] А.В. Коротун, А.А. Коваль, В.И. Рева, И.Н. Титов. ФММ 120, 1136 (2019). [21] А.В. Скиданенко, Л.А. Авакян, Е.А. Козинкина, Л.А. Буга- ев. ФТТ 61, 115 (2019). [22] Z. Gao, K. Deng, X. Wang, M. Miro, D. Tang. ACS Appl. Mater. Interfaces 6, 18243 (2014). [23] Г. Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. ИИЛ, М. (1961). 536 с. [24] U. Kreibig, M. Vollmer. Optical properties of metal clusters. Springer, Berlin. (1995). [25] N.I. Grigorchuk, P.M. Tomchuk. Phys. Rev. B 84, 085448 (2011). [26] G.N. Blackman III, D.A. Genov. Phys. Rev. B 97, 115440 (2018). [27] N.I. Grigorchuk. J. Opt. Soc. Am. B 29, 3404 (2012). [28] В.П. Курбацкий, В.В. Погосов. Пис. ЖТФ 26, 84 (2000). [29] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. Физматлит, М. (2001). 656 с. [30] K. Tanabe. Mater. Lett. 61, 4573 (2007). [31] R. Ruppin. J. Phys. Chem. Solids 39, 233 (1978). [32] M. Cini. J. Opt. Soc. Am. 71, 386 (1981). [33] M.A. Ordal, L.L. Long, R.J. Bell, S.E. Bell, R.R. Bell, R.W. Alexander, Jr., C.A. Ward. Appl. Opt. 22, 1099 (1983). [34] W.E. Vargas. Appl. Opt. 56, 1266 (2017) [35] E. Prodan, C. Radloff, N.J. Halas, P. Nordlander. Science 302, 419 (2003). [36] Н.В. Селина. Рос. нанотехн. 14, 59 (2019). [37] G. Baffou, R. Quidant, F.J. Garcia de Abajo. ACS Nano 4, 709 (2010). [38] K. Tanabe. J. Phys. Chem. C 112, 15721 (2008). [39] Б.М. Болотовский. ЖЭТФ 32, 559 (1957) [Sov. Phys. JETP 5, 465 (1957)]. [40] M.L. Theye. Phys. Lett. 25A, 764 (1967). [41] G.R. Henry. J. Appl. Phys. 43, 2996 (1972). [42] И.О. Моисеев, А.А. Юшканов, Ю.И. Яламов. ЖТФ 74, 87 (2004). [43] A. Moroz. J. Phys. Chem. C 112, 10641 (2008). Редактор Т.Н. Василевская 9∗ Физика твердого тела, 2021, том 63, вып. 1
Вы также можете почитать