ОБ УСКОРЕНИИ ЧАСТИЦ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОМ ЕМУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ, НАРАСТАЮЩЕМ ВО ВРЕМЕНИ ACCELERATION OF PARTICLES IN A ...
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
Солнечно-земная физика. 2021. Т. 7. № 2 Solnechno-zemnaya fizika. 2021. Vol. 7. Iss. 2
УДК 533.9(201) Поступила в редакцию 14.12.2020
DOI: 10.12737/szf-72202103 Принята к публикации 25.02.2021
ОБ УСКОРЕНИИ ЧАСТИЦ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОМ ЕМУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ,
НАРАСТАЮЩЕМ ВО ВРЕМЕНИ
ACCELERATION OF PARTICLES IN A CONSTANT MAGNETIC FIELD
AND AN ELECTRIC FIELD PERPENDICULAR TO IT, INCREASING WITH TIME
Г.Н. Кичигин G.N. Kichigin
Институт солнечно-земной физики СО РАН, Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS,
Иркутск, Россия, king@iszf.irk.ru Irkutsk, Russia, king@iszf.irk.ru
Аннотация. Рассматривается задача ускорения Abstract. The paper addresses the problem of accel-
частиц в постоянном однородном магнитном поле В eration of particles in a constant, uniform magnetic field
и перпендикулярном ему однородном медленно рас- of magnitude B and a uniform electric field perpendicu-
тущем электрическом поле E. В предположении lar to it, which slowly increases with time. Assuming
линейного нарастания электрического поля до мак- that the electric field grows linearly up to the maximum
симальной величины Em =В найдены приближенные value Em =B, approximate analytical relations have been
аналитические соотношения, определяющие зави- found which determine the particle velocity dependence
симость скорости частицы от времени ускорения. on the acceleration time. The particles are shown to ac-
Показано, что частицы за все время нарастания celerate for the entire time of the increase in the electric
электрического поля ускоряются до некоторой ко- field to a certain final energy, whose value depends on
нечной энергии, величина которой определяется the acceleration rate. It has been established that the
темпом нарастания электрического поля. Установ- lower the acceleration rate, the greater the limiting en-
лено, что чем он меньше, тем больше предельная ergy. In the case when the ratio Em /BГ.Н. Кичигин G.N. Kichigin временем взаимодействия частиц с этими полями по сравнению с В. Это означает, что n — число цик- [Dvornikov, Sdobnov, 2002]. Обстоятельное исследо- лотронных периодов вращения частицы в магнит- вание модуляции КЛ за счет различных факторов, ном поле B за время Т — должно быть велико: связанных с электромагнитными полями гелиосферы, n =1/(2πε) >>1, следовательно, должен быть малым дано в [Дворников и др., 2013], где показано, что параметр ε=1/(ωВT) =Tс /(2πT)
Об ускорении частиц в постоянном магнитном поле Acceleration of particles in a constant magnetic field
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (2)
В частном случае линейной зависимости Е(t) от
времени для численного решения исходных уравне-
ний мы использовали метод Рунге — Кутты. В рас-
четах параметр ε варьировался в интервале значений
10–2 >ε>10–7, в котором ε изменяется в пределах пяти
порядков величины. Результаты численных расчетов
для ε=10–2 и ε=10–3 представлены на рис. 1, на кото-
ром приведены зависимости компонент скорости
от времени. Для наглядности показаны зависимости
от времени разностей v – vd, w – εγ 3d , где vd , εγ 3d — Рис. 1. Зависимость от времени (в единицах vd) компо-
усредненные по времени значения осциллирующих нент скорости частиц для ε = 0.01 и ε = 0.001. Приведены
величин v и w. Видно, что в начале ускорения ско- разности между осциллирующими во времени компонен-
рость частиц имеет колебательный характер, а период тами скоростей v и w и их усредненными по времени зна-
осцилляций, как и должно быть, совпадает с цикло- чениями vd и εγ3 соответственно
тронным. Очевидно, такое поведение скорости ча-
стиц связано с их циклотронным вращением в маг- v = ( vvd )1/ 2 , w = εγ 3 , v = vd (1 – w 2 vd2 ). (8)
нитном поле. В расчетах получено, что пока присут-
Необходимо отметить, что на осцилляторном
ствует ларморовское вращение частиц в процессе
этапе ускорения все величины в формуле (8) —
их ускорения, удовлетворительно соблюдаются
средние по времени значения. Величины, определя-
соотношения
емые из формулы (8), и полученные численными
v ≈ v ≈ vd = ετ, γ ≈ γ d = (1 – vd2 ) –1/ 2 , w = εγ 3 . (7) расчетами, практически совпадают.
Например, их максимальное различие, зафикси-
Из рисунка видно, что основная особенность по- рованное в расчетах в момент времени, при котором
лученных результатов состоит в том, что процесс vd =0.999999 (значение, близкое к конечному vd = 1)
ускорения частиц разбивается на два этапа. На первом получилось следующим: 1) для ε=10–2(v– (vvd)1/2) =
решения имеют осциллирующий характер, и в интер- = – 0.016, w– εγ3 =0.19, v – (vd – w2/vd) =0.065; 2) для
вале используемых значений ε этот этап длится более ε=10–4(v– (vvd)1/2) =–0.0018, w– εγ3 =0.054, v –(vd –
90 % времени ускорения. Видно, что длительность w2/vd) =0.0048. Видно, что с уменьшением ε это раз-
первого этапа возрастает с уменьшением ε, свя- личие становится все меньше, а самое большое при
занного с темпом нарастания электрического поля, максимальном значении ε =10–2 не превосходит 20 %.
а на финальном отрезке осцилляторного этапа период Используя (8), для энергии частиц на втором этапе
колебаний компонент скорости растет, а амплитуда можно получить
колебаний падает. Когда амплитуда стремится к нулю,
характер решений резко изменяется и начинается 1 γ d2 = 1 γ 2 – ε 2 γ 6 ,
второй, апериодический этап временного поведения из чего следует, что при завершении процесса уско-
скорости, на котором временные зависимости ком- рения, т. е. при vd =1, энергия имеет предельное зна-
понент принимают апериодический монотонный чение γm =ε–1/4. Это означает, что при конечных зна-
вид. Как выяснилось при анализе результатов чис- чениях ε максимальная энергия частиц, полученная
ленных расчетов, как на первом этапе, так и на вто- за все время ускорения, ограниченна, а ее предель-
ром, для компоненты скорости w вполне приемле- ное значение контролируется величиной ε. Зависи-
мым по точности оказалось соотношение w=εγ3, мость предельной энергии γm от ε показана на рис. 2.
которое было принято за основу. Нетрудно показать Приведены две кривые, одна из которых получена с
с помощью первой формулы из системы (2), что со- помощью численных расчетов, другая — это зави-
отношение w=εγ3 можно получить, если положить симость, представленная формулой γm =ε–1/4. Видно,
vvd =v2, v ≈ vd =εt, что и было сделано. Далее из фор- что они мало отличаются друг от друга, что свиде-
мулы v2 =vvd =v2 +w2 с учетом того, что в расчетах тельствует о безусловной надежности найденных
w/vd 1, а в конце ускорения,
втором этапе, мы пришли к следующему важному
где γm =ε–1/4, tm=1/ε неравенство тоже справедливо,
заключению: на всем временном участке ускорения,
где w/vd γ 3m = 1 ε3/ 4 . Таким образом,
ются следующие приближенные зависимости скоро- можно считать, что запрещенный для использования
сти частиц от времени: формул (8) начальный отрезок времени tн пренебре-
26Г.Н. Кичигин G.N. Kichigin
ным периодам). При более быстром нарастании Е,
как мы полагаем, применение метода Альфвена для
решения поставленной задачи уже вызывает сомнения.
Следуя методу Альфвена, для решения уравне-
ния движения в качестве первого шага представим
скорость частицы как сумму двух скоростей —
дрейфовой скорости vd =c[EВ]/В2 и скорости v1:
v =vd +v1. Тогда уравнение движения примет вид
d (mγv1 ) d (mγv d )
= q[ v1В] / c – .
dt dt
В следующем приближении, принимая на вто-
ром шаге, что электрическое поле медленно нарас-
тает во времени, учтем влияние малой силы
d (mγv d )
f= − , действующей на частицу. Положим
dt
v1 =v2 +vР, где vР=с[fВ]/(qВ2) — скорость дрейфа ча-
стицы под действием магнитного поля В и силы f.
Учитывая, что векторы f и В взаимно перпендику-
лярны, в результате получим
Рис. 2. Зависимость от параметра ε предельной энер-
гии γm, полученной из численных расчетов (сплошная d (mγv 2 ) d (mγv Р )
кривая) и по формуле γm = ε–1/4 (штриховая кривая) / = q[ v 2 В] / c – .
dt dt
жимо мал по сравнению с полным временем ускоре-
d (mγv Р )
ния tm (tн ~1Об ускорении частиц в постоянном магнитном поле Acceleration of particles in a constant magnetic field
Следовательно, в нарастающем во времени в данной работе. Следовательно, полученные в ра-
электрическом поле прирост энергии определится боте результаты мы можем уверенно использовать
из уравнения для решения поставленных задач. Для задачи 2 мы
полагаем, что нарастающее во времени электриче-
dγ 2
(
2 1 – vd2) dt
= γ d.
dv
dt
(9) ское поле создается при движении пространственно
ограниченных потоков плазмы, выброшенных из
В общем случае для рассматриваемого нами при- Солнца и движущихся в искривленном магнитном
ближения vdГ.Н. Кичигин G.N. Kichigin
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
И ВЫВОДЫ Альвен Х. Космическая плазма. М.: Мир, 1983. 216 с.
Найдено приближенное аналитическое решение Альвен Г., Фельтхаммар К.-Г. Космическая электро-
релятивистского уравнения движения частиц в про- динамика. М.: Мир, 1967. 206 с.
странственно-однородном электромагнитном поле, Дворников В.М., Кравцова М.В., Сдобнов В.Е.
Диагностика лектромагнитных характеристик межпланетной
структура которого определяется стационарным среды по эффектам в космических лучах. Геомагнетизм и
магнитным полем В и строго перпендикулярным аэрономия. 2013. T. 53, № 4. C. 457–468. DOI: 10.7868/
ему электрическим полем, линейно нарастающем во S001679401304007X.
времени от нулевого значения до максимальной ве- Дорман Л.И., Смирнов В.С., Тясто М.И. Космические
личины Em =В. Решение представлено достаточно лучи в магнитном поле Земли. М.: Наука, 1971. 399 с.
простыми формулами (8), которые определяют зави- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука,
симость скорости частицы от времени ускорения. 1967. 460 с.
Показано, что за все время нарастания электриче- Морозов А.И., Соловьев Л.С. Движение заряженных
ского поля до величины В частицы ускоряются до частиц в электромагнитных полях. Вопросы теории
плазмы. М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 2. С. 177–255.
некоторой конечной энергии, величина которой Dvornikov V.M., Sdobnov V.E. Variations in the rigidity
определяется параметром ε, связанным с темпом spectrum and anisotropy of cosmic rays at the period of
нарастания электрического поля, причем, чем мень- Forbush effect on 12–15 July 1982. International J.
ше этот темп, тем больше предельная энергия. Geomagnetism and Aeronomy. 2002. Vol. 3, no. 3. P. 217–228.
Для принятого в работе диапазона изменения Lindberg L. Plasma flow in a curved magnetic field. Astro-
параметра ε (10–2 >ε>10–7) установлено, что если phys. Space Sci. 1978. Vol. 55. P. 203–225. DOI: 10.1007/
Em /BВы также можете почитать
