ПУЧКИ НЕКОММУТАТИВНЫХ ГЛАДКИХ И ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С НЕАБЕЛЕВОЙ ДВУМЕРНОЙ АЛГЕБРОЙ ЛИ
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
ПУЧКИ НЕКОММУТАТИВНЫХ ГЛАДКИХ И ГОЛОМОРФНЫХ
ФУНКЦИЙ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С НЕАБЕЛЕВОЙ ДВУМЕРНОЙ
АЛГЕБРОЙ ЛИ
arXiv:2108.13078v3 [math.FA] 17 Nov 2021
О. Ю. Аристов
Аннотация. В работах Доси и недавней статье автора было показано, что на про-
странстве характеров нильпотентной алгебры Ли существует пучок алгебр Фреше-
Аренса-Майкла — “некоммутативных голоморфных функций” в комплексном слу-
чае и “некоммутативных гладких” в действительном. Для алгебры Ли группы аф-
финных преобразований прямой (простейшей разрешимой алгебры Ли, которая не
является нильпотентной) в этой статье построен аналогичный пучок на специаль-
но выбранном пространстве представлений (в обоих вариантах — голоморфном и
гладком).
Всякой треугольной алгебре Ли g над R соответствует алгебра Фреше-Аренса-
Майкла, элементы которой можно рассматривать как некоммутативные функции
класса C ∞ , см. работу автора [1]. Там же рассмотрен локальный вариант этой алгеб-
ры в случае, когда g нильпотентна (по аналогии с алгебрами некоммутативных голо-
морфных функций, определённых Доси в [2, 3]). А именно, для каждого открытого
подмножества V множества характеров g умножение в универсальной обертывающей
алгебре U(g) может быть продолжено на некоторую алгебру Фреше-Аренса-Майкла
полиномиального роста (она обозначается через Cg∞ (V )), при этом возникает пучок
(некоммутативных, если g неабелева) алгебр этого типа [1, теоремы 5.1 и 5.5]. По-
хожим образом строится пучок некоммутативных голоморфных функций для ниль-
потентной алгебры Ли g над C (см. [3, § 5.1, с. 119–120], где наложены некоторые
ограничения на g, а также общий случай в [1, § 6]).
Однако, взятое без изменений, определение из [1] непригодно для треугольных
алгебр Ли, не являющихся нильпотентными. Как легко проверить, даже для про-
стейшей из таких алгебр, а именно, af1 (алгебры Ли группы аффинных преобразова-
ний прямой) умножение в U(af1 ) не всегда может быть продолжено до непрерывной
операции в нужном пространстве [1, § 5.2]. То же самое можно сказать и о некомму-
тативных голоморфных функциях.
В этой статье предложен способ преодоления этой трудности для случая af1 . Мы
рассмотрим топологическое пространство, состоящее из неразложимых представле-
ний af1 специального вида (множество характеров является его собственным подмно-
жеством) и для каждого его открытого подмножества V построим алгебру Фреше-
Аренса-Майкла Caf∞1 (V ), имеющую полиномиальный рост. В доказательстве того, что
она принадлежит нужному классу, используются любопытные алгебры треугольных
матриц, см. § 1. В результате возникает пучок (теорема 2.2), который может быть
назван пучком некоммутативных гладких функций по аналогии с абелевым слу-
чаем. Аналогично строится пучок Fg (−) некоммутативных голоморфных функций
для комплексификации алгебры af1 (теорема 2.7). Полученные для этой простейшей
Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 19-01-00447).
12 О. Ю. Аристов
алгебры результаты дают надежду на существование пучков и для произвольных
треугольных алгебр Ли.
Об используемых классах алгебр. Наличие полиномиального роста является
важнейшим свойством как глобально определённой алгебры Cg∞ , где g — треуголь-
ная R-алгебра Ли, так и локально определённых алгебр Cg∞ (V ), где g нильпотентна.
В частности, Cg∞ обладает универсальным свойством в классе банаховых алгебр по-
линомиального роста [1, теорема 4.4]. Последнее касается и случая, когда g = af1 .
Первая наша цель — задать локально определённые C ∞ алгебры для этого случая.
Естественно ожидать, что они также должны иметь полиномиальный рост, что и
подтверждает теорема 2.1.
Напомним, что локально выпуклая алгебра (здесь и ниже все алгебры обладают
единицей) над R или C называется алгеброй Аренса-Майкла, если её топология может
быть задана семейством субмультипликативных преднорм (т.е. таких что kabk 6
kak kbk). Иными словами, она является проективным пределом банаховых алгебр (см.
[4]). Следуя [1, определение 2.6], будем говорить, что R-алгебра Аренса-Майкла B
имеет полиномиальный рост, если для любого b ∈ B и для любой непрерывной
субмультипликативной преднормы k · k на B найдутся K > 0 и α > 0 такие, что
keisb k 6 K(1 + |s|)α для всех s ∈ R.
(здесь k · k продолжена на комплексификацию). В частности, таковыми являются
банаховы алгебры n раз непрерывно дифференцируемых функций C n [a, b], n ∈ Z+ ,
алгебры Аренса-Майкла бесконечно дифференцируемых функций C ∞ [a, b] и их обоб-
щения. Основные свойства алгебр полиномиального роста см. в [1], а также в [5].
Определённые в [1] алгебры некоммутативных C ∞ функций были введены по ана-
логии с алгебрами некоммутативных голоморфных функций, рассмотренных ранее
Доси в [2, 3] для нильпотентной C-алгебры Ли g: глобально определённой алгебры
Fg и локально определённых алгебр Fg (V ). В [1] определение Fg также распростране-
но на произвольные конечномерные разрешимые C-алгебры Ли (они автоматически
треугольны). Отметим, что в случае, когда g = af1 , соответствующая алгебра Faf1
обладает универсальным свойством в классе всех банаховых алгебр, т.е. является
оболочкой Аренса-Майкла, однако это лишь случайное совпадение (для произволь-
ных g это не так).
В [1, замечание 6.8] указано, что Fg (V ) для нильпотентной g и Fg в общем случае
являются проективными пределами банаховых алгебр, удовлетворяющих полиноми-
альному тождеству. Более того, мы можем ограничить множество полиномиальных
тождеств, так как фактически в [1] показано, что эти алгебры являются локально
разрешимыми алгебрами Аренса-Майкла.(Мы называем ассоциативную алгебру раз-
решимой, если она разрешима как алгебра Ли и алгебру Аренса-Майкла локально
разрешимой, если она является проективным пределом банаховых разрешимых ал-
гебр.) Отметим также, что всякая банахова R-алгебра полиномиального роста раз-
решима.
Так же, как и в случае алгебр некоммутативных гладких функций, естественно
ожидать, что свойства определённых в (2.10) алгебр Faf1 (V ) будут аналогичны свой-
ствам в нильпотентном случае. И действительно, Faf1 (V ) являются локально разре-
шимыми алгебрами Аренса-Майкла (см. теоремы 2.4 и 2.7).Пучки некоммутативных функций 3
1. Алгебры треугольных матриц
В этом параграфе мы определим некоторые алгебры треугольных матриц с элемен-
тами, принадлежащими пространствам бесконечно гладких и голоморфных функций
(с областями определения зависящими от положения в матрице) и покажем, что они
являются алгебрам Аренса-Майкла, которые имеют полиномиальный рост в случае
поля R и локально разрешимы в случае C. Эти алгебры играют вспомогательную
роль и будут использованы в доказательствах основных теорем из § 2, хотя, как пред-
ставляется, имеют и самостоятельный интерес.
C ∞ -версия: полиномиальный рост. Обозначим через Tp алгебру верхнетреуголь-
ных (включая диагональ) действительных матриц порядка p, где p ∈ N. В [1, тео-
рема 2.12] показано, что для любых p, m ∈ N и открытого подмножества W в Rm
алгебра матричнозначных функций C ∞ (W, Tp ) имеет полиномиальный рост. Эта ал-
гебра может быть отождествлена с Tp (C ∞ (W )) — алгеброй треугольных матриц с
элементами из C ∞ (W ). Нам понадобится следующее обобщение.
Будем рассматривать наборы
K = {Kij : 1 6 i 6 j 6 p}
компактных подмножеств Rm , таких что внутренность каждого Kij плотна. Обозна-
чим через Cpm семейство таких наборов, удовлетворяющих условию Kik ⊂ Kij ∩ Kjk
для всех допустимых значений индексов. Для данного n ∈ Z+ обозначим через
Tp (C n (K)) линейное пространство верхнетреугольных матриц вида
f11 f12 · · · f1p
f22
.. .
. .
. ,
fp−1,p−1 fp−1,p
fpp
где функции fij принадлежат разным пространствами, а именно, fij ∈ C n (Kij ). Мы
разрешаем множеству Kij быть пустым; в этом случае полагаем C n (Kij ) = 0. Рас-
смотренное как декартово произведение функциональных пространств, Tp (C n (K))
является банаховым пространством.
Если K ∈ Cpm , то для любых f ∈ C n (Kij ) и g ∈ C n (Kjk ) рассмотрим произведение
ограничений этих функций на Kik и будем записывать полученную функцию как f g
для простоты обозначений. Очевидно, f g ∈ C n (Kik ). Далее зададим умножение в
Tp (C n (K)) по стандартной формуле:
Pпроизведением матриц f = (fij ) и g = (gjk ) яв-
ляется матрица с элементами hik = j fij gjk . Ассоциативность умножения очевидна.
Предложение 1.1. Пусть n ∈ Z+ , p, m ∈ N и K ∈ Cpm . Тогда Tp (C n (K)) является
банаховой R-алгеброй полиномиального роста.
Доказательство. Легко видеть, что умножение в Tp (C n (K)) непрерывно и, следова-
тельно, она является банаховой алгеброй. Далее рассмотрим следующее расширение
банаховых алгебр:
0 ←− C n (K11 ) × · · · × C n (Kpp ) ←− Tp (C n (K)) ←− I ←− 0,4 О. Ю. Аристов
где I — идеал матриц с нулевой диагональю. Очевидно, что оно расщепимо и ниль-
потентно. Так как класс банаховых R-алгебр полиномиального роста стабилен от-
носительно перехода к замкнутым подалгебрам и конечным декартовым произведе-
ниям [1, предложение 2.11], а все C n (Kjj ) имеют полиномиальный рост [1, предло-
жение 2.13], то C n (K11 ) × · · · × C n (Kpp ) также имеет полиномиальный рост. Таким
образом, Tp (C(K)) — расщепимое нильпотентное расширение банаховой R-алгебры
полиномиального роста и согласно [1, теорема 2.14] сама является таковой.
Теперь предположим, что W = {Wij : 1 6 i 6 j 6 p} — набор открытых под-
множеств Rm , таких что Wik ⊂ Wij ∩ Wjk для всех допустимых значений индексов.
Рассмотрим линейное пространство Tp (C ∞ (W )) верхнетреугольных матриц (hij ), где
hij ∈ C ∞ (Wij ) для всех i 6 j, и снабдим его тем же умножением, что и выше, а также
топологией декартова произведения.
Теорема 1.2. Пусть p, m ∈ N, а W = {Wij : 1 6 i 6 j 6 p} — набор открытых
подмножеств Rm , таких что Wik ⊂ Wij ∩ Wjk для всех допустимых значений ин-
дексов. Тогда Tp (C ∞ (W )) является проективным пределом банаховых алгебр вида
Tp (C n (K)), где K ∈ Cpm и K ⊂ W (в том смысле, что Kij ⊂ Wij для всех до-
пустимых значений индексов) и, следовательно, R-алгеброй Фреше-Аренса-Майкла
полиномиального роста.
Доказательство. В силу предложения 1.1 достаточно показать первое утвержде-
ние, т.е. что Tp (C ∞ (W )) является проективным пределом банаховых алгебр вида
Tp (C n (K)), где K ∈ Cpm и K ⊂ W .
Заметим, что наборы компактных подмножеств K, удовлетворяющие условиям
K ∈ Cpm и K ⊂ W , образуют направленную систему по включению. Действительно,
′
первое условие сохраняется, так как Kik ∪ Kik ⊂ (Kij ∪ Kij′ ) ∩ (Kjk ∪ Kjk
′
), если
′ ′ ′
Kik ⊂ Kij ∩ Kjk и Kik ⊂ Kij ∩ Kjk , а второе — очевидным образом.
Если K ⊂ K ′ и n′ > n, мы имеем непрерывный гомоморфизм
′
Tp (C n (K ′ )) → Tp (C n (K)).
Тем самым возникает проективная система банаховых алгебр
(Tp (C n (K)) : K ∈ Cpm , K ⊂ W , n ∈ Z+ ).
С другой стороны, Tp (C ∞ (W )) есть проективный предел пространств вида Tp (C n (K)),
где K ⊂ W , в категории банаховых пространств. Таким образом, чтобы завершить
доказательство, достаточно для каждого K ⊂ W предъявить K ′ ∈ Cpm , такой что
K ⊂ K′ ⊂ W .
Заметим сначала, что для фиксированных i′ и k ′ , удовлетворяющих i′ 6 k ′ , и
любого x ∈ Wi′ k′ найдётся K ⊂ W , такой что x ∈ Ki′ k′ и K ∈ Cpm . Действительно,
x ∈ Wi′ j ∩ Wjk′ для всех j, таких что i′ 6 j 6 k ′ . Поэтому найдётся шар S ненулевого
радиуса с центром в x, содержащийся во всех Wi′ j и Wjk′ при тех же ограничениях
на j. Положим Kik := S, если i′ 6 i 6 k 6 k ′ , и Kik := ∅ в противном случае. Легко
проверить, что требуемое условие Kik ⊂ Kij ∩ Kjk выполнено для всех допустимых
значений индексов, т.е. K ∈ Cpm .Пучки некоммутативных функций 5
`
Рассмотрим топологическое пространство i6j Wij (дизъюнктное объединение) и
`
его компактное подмножество i6j Kij . Согласно только что доказанному существу-
S m
` (K α ), такое что α K α = W и K α ∈ Cp для каждого α. В силу ком-
ет семейство
пактности i6j Kij и того, что каждое множество в (K α ) является окрестностью,
можно считать семейство конечным. Так как система Cpm направлена, то переходя к
объединению, получаем требуемое K ′ .
Голоморфная версия: локально разрешимые алгебры. Теперь обратимся к
алгебрам треугольных матриц, составленных из голоморфных функций.
Будем рассматривать наборы K = {Kij : 1 6 i 6 j 6 p} компактных подмножеств
в Cm , а также наборы W = {Wij : 1 6 i 6 j 6 p} открытых подмножеств Cm , таких
что Wik ⊂ Wij ∩ Wjk для всех допустимых значений индексов. (Как и в действи-
тельном случае, Cpm обозначает семейство компактных подмножеств с аналогичным
ограничением, при этом требование плотной внутренности не обязательно.)
Обозначим через A(Kij ) банахову алгебру функций, голоморфных внутри и непре-
рывных на замыкании Kij (снабжённую max-нормой). Тогда Tp (A(K)) является ба-
наховым пространством.
Предложение 1.3. Пусть p, m ∈ N и K ∈ Cpm . Тогда Tp (A(K)) является банаховой
разрешимой алгеброй.
Доказательство. Умножение в Tp (A(K)) непрерывно и, следовательно, она явля-
ется банаховой алгеброй. Легко видеть, что подпространство [Tp (A(K)), Tp (A(K))]
нильпотентно и тем самым алгебра разрешима.
Рассмотрим линейное пространство Tp (O(W )) верхнетреугольных матриц (fij ), где
каждая fij принадлежит пространству O(Wij ) голоморфных функций, и снабдим его
тем же умножением, что и выше, а также топологией декартова произведения.
Теорема 1.4. Пусть p, m ∈ N, а W = {Wij : 1 6 i 6 j 6 p} — набор откры-
тых подмножеств Cm , таких что Wik ⊂ Wij ∩ Wjk для всех допустимых значений
индексов. Тогда Tp (O(W )) является проективным пределом банаховых алгебр вида
Tp (A(K)), где K ∈ Cpm и K ⊂ W и, следовательно, локально разрешимой алгеброй
Фреше-Аренса-Майкла.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.2 с использованием предло-
жения 1.3 вместо предложения 1.1.
2. Локально определённые алгебры некоммутативных функций и
пучки
Пусть af1 обозначает двумерную алгебру Ли (действительную или комплексную в
зависимости от контекста) с базисом e1 , e2 и умножением, определённым соотноше-
нием [e1 , e2 ] = e2 . В этом параграфе мы определяем топологическое пространство,
состоящее из неразложимых представлений af1 специального вида, и покажем, что
для каждого открытого подмножества V можно определить алгебру Фреше-Аренса-
Майкла полиномиального роста Caf∞1 (V ) в действительном случае и локально разре-
шимую алгебру Фреше-Аренса-Майкла Faf1 (V ) в комплексном. Также мы докажем
основные результаты статьи о том, что соответствующие функторы задают пучки
(теоремы 2.2 и 2.7).6 О. Ю. Аристов
Пучок некоммутативных функций класса C ∞ . В случае, когда g — нильпо-
тентная C-алгебра Ли, а V — открытое подмножество в множестве её характеров,
умножение в универсальной обертывающей алгебре U(g) непрерывно продолжается
на Cg∞ (V ) := C ∞ (V )Z+ (см. [1, теорема 5.1]). Для алгебры af1 , которая не является
нильпотентной, определение необходимо модифицировать. Идея заключается в том,
чтобы вместо степени пространства C ∞ (V ) рассмотреть произведение пространств
вида C ∞ (Vq ), где открытые множества Vq связаны некоторыми соотношениями.
Рассмотрим следующее семейство неразложимых представлений алгебры af1 :
σr,q (e1 ) := Xq + r и σr,q (e2 :) = Yq (r ∈ R, q ∈ Z+ ),
где
q 0 1
q−1 0 1
.. .. ..
Xq :=
.
и Yq :=
. . .
(2.1)
1 0 1
0 0
(Для краткости мы отождествляем конечномерный оператор и его матрицу.)
Обозначим множество {σr,q : r ∈ R, q ∈ Z+ } через ΩR и зададим на нём топологию
следующим образом. Рассмотрим на семействе всех подмножеств R операцию сдвига:
X + µ := {x + µ : x ∈ X} (X ⊂ R, µ ∈ R).
Будем называть подмножество в ΩR открытым, если оно имеет вид
∞
[
{σr,q : r ∈ Vq }, (2.2)
q=0
где (Vq )q∈Z+ — последовательность открытых подмножеств R, удовлетворяющих усло-
вию
Vq ∩ (Vq + 1) ⊃ Vq+1 (q ∈ Z+ ); (2.3)
в частности, последовательность (Vq ) не возрастает. (Сдвиг на 1 обусловен тем, что
это число является собственным значением оператора ad e1 в присоединённом пред-
ставлении.) Аксиомы топологии непосредственно следуют из того, что сдвиг комму-
тирует c операциями пересечения и объединения. (Заметим, что получившаяся то-
пология не является хаусдорфовой, так как открытое множество содержащее σr,q+1
содержит также σr,q и σr−1,q .)
Для открытого подмножества V в ΩR , представленного в форме (2.2), положим
∞
Y
Caf∞1 (V ) := C ∞ (Vq ). (2.4)
q=0
(Заметим, что если Vq является пустым множеством для некоторого q, то C ∞ (Vq ) —
нулевая алгебра. Очевидно, что тогда это выполнено и для значений индекса боль-
ших q; тем самым в этом случае произведение можно считать конечным.)
В случае, когда V = ΩR , имеем Vq = R для всех q. Пространство Caf∞1 (ΩR ) совпадает
c Cg∞ , определённым в [1] (для g = af1 ).Пучки некоммутативных функций 7
Записывая элементы универсальной обертывающей алгебры U(af1 ) в виде a =
P j
j fj (e1 )e2 , где fj принадлежат алгебре многочленов R[λ], мы получаем линейное
отображение
U(af1 ) → Caf∞1 (V ) : a 7→ (fq ). (2.5)
Теорема 2.1. Пусть V — открытое подмножество ΩR . Тогда умножение в U(af1 )
продолжается до непрерывного умножения в Caf∞1 (V ). Более того, относительно
этого умножения Caf∞1 (V ) является проективным пределом банаховых R-алгебр по-
линомиального роста и, следовательно, алгеброй Фреше-Аренса-Майкла полиноми-
ального роста.
Доказательство. Мы рассуждаем как в [1, пример 4.7] с тем отличием, что вместо
Tq+1 (C ∞ (R)) используем алгебры вида Tq+1 (C ∞ (W )) со специально подобранными
W.
Обозначим через R[λ; Tq+1 ] алгебру матричнозначных многочленов и рассмотрим
для каждого q ∈ Z+ гомоморфизм
eq : U(af1 ) → R[λ; Tq+1 ],
π eq (a) := (λ 7→ σλ,q (a)).
π
Из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта следует, что всякий элемент U(af1 ) может
P
быть представлен в виде a = j fj (e1 )ej2 . Тогда нетрудно проверить, что
f0 (λ + q) f1 (λ + q) ··· fq (λ + q)
f0 (λ + q − 1)
. .
πq (a)](λ) =
[e .. .. .
(2.6)
f0 (λ + 1) f1 (λ + 1)
f0 (λ)
Положим
Wijq+1 := Vj−i − q − 1 + i (1 6 i 6 j 6 q + 1), (2.7)
а также
W (q+1) := {Wijq+1 : 1 6 i 6 j 6 q + 1}.
Очевидно, что W (q+1) — набор открытых подмножеств в R.
Проверим, что Wikq+1 ⊂ Wijq+1 ∩ Wjk
q+1
для 1 6 i 6 j 6 k 6 q + 1. Действительно, из
(2.3) получаем, что Vk−i ⊂ Vj−i и Vk−i ⊂ Vk−j + j − i (используя равенство k − j =
(k − i) − (j − i)). Тогда
Wikq+1 = Vk−i − q − 1 + i ⊂ (Vj−i − q − 1 + i) ∩ (Vk−j − q − 1 + j) = Wijq+1 ∩ Wjk
q+1
.
Итак, Tq+1 (C ∞ (W (q+1) )) удовлетворяет условиям теоремы 1.2 и, следовательно, яв-
ляется проективным пределом банаховых R-алгебр полиномиального роста, а также
алгеброй Фреше.
Увеличивая область значений каждого π eq до Tq+1 (C ∞ (W (q+1) )), мы можем рас-
смотреть гомоморфизм
∞
Y
ρV : U(af1 ) → Tq+1 (C ∞ (W (q+1) )) : a 7→ (e
πq (a)).
q=08 О. Ю. Аристов
Заметим, что U(af1 ) является плотным подпространством в Caf∞1 (V ) (в силу того,
что согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации непрерывно дифференциру-
емых функций алгебра многочленов плотна в каждом C ∞ (Vq )). Так как класс ал-
гебр Фреше стабилен относительно перехода к счётным декартовым произведениям
и замкнутым подалгебрам, и тоже самое верно для класса проективных пределов
банаховых алгебр полиномиального роста [1, предложение 2.11], то для завершения
доказательства достаточно проверить, что ρV непрерывен и топологически инъекти-
вен (относительно ограничения топологии в Caf∞1 (V ) на U(af1 )).
Докажем непрерывность. Для этого нужно установить непрерывность гомомор-
физма U(af1 ) → Tq+1 (C ∞ (W (q+1) )) для каждого q. Напомним, что топология на
C ∞ (U), где U — открытое подмножество Rm , может быть задана семейством пред-
норм X
|f |K,n := |f (β) |K,0 , где |f |K,0 := max |f (x)|,
x∈K
β∈Zm
+ , |β|=n
где n ∈ Z+ , а K — произвольное компактное подмножество U. (Здесь |β| := β1 +
(β)
· · · βm для β = (β1 , . . . , βm ) ∈ Zm
+ , а через f обозначается частная производная
функции f .)
С одной стороны, топология на Tq+1 (C ∞ (W (q+1) )) задаётся семейством преднорм
h 7→ |hij |Kij ,n , h = (hij ) ∈ Tq+1 (C ∞ (W (q+1) )), (2.8)
где 1 6 i 6 j 6 q + 1, Kij — компактное подмножество Wij , а n ∈ Z+ . С другой сторо-
ны, топология на U(af1 ), унаследованная из Caf∞1 (V ), задаётся семейством преднорм
a 7→ |fp |M,l (p, l ∈ Z+ , M ⊂ Vp и компактно). (2.9)
Оценивая матричные элементы в (2.6), получаем, что
|e
πq (a)ij |Kij ,n 6 |fj−i |Kij +q+1−i, n (i 6 j)
для каждого a ∈ U(af1 ). Таким образом, чтобы убедиться в непрерывности ρV , до-
статочно для каждого набора компактных подмножеств K, такого что K ⊂ W (q+1) ,
найти такие компактные Mk ⊂ Vk , k = 0, . . . , q, чтобы Kij + q + 1 − i ⊂ Mj−i для всех
i 6 j. Однако
Kij + q + 1 − i ⊂ Wikq+1 + q + 1 − i = Vj−i ,
S
поэтому Mk := j−i=k Kij удовлетворяет нужному условию. Непрерывность доказана.
Теперь докажем, что ρV топологически инъективен. Для этого необходимо оценить
преднорму из (2.9) (для данных p, l ∈ Z+ и компактного подмножества M в Vp )
p+1
преднормами вида (2.8). Из (2.7) получаем, что W1,p+1 := Vp − p. Тем самым M − p ⊂
p+1
W1,p+1 . Теперь рассмотрим гомоморфизм π ep . Так как fp соответствует элементу в
правом верхнем углу в (2.6) (с q = p), заключаем, что
|fp |M,l = |(e
πp (a))1,p+1 |M −p,l.
Отсюда следует, что ρ топологически инъективен, и теорема доказана.
Напомним, что пучком пространств Фреше (алгебр Фреше) называют предпу-
чок пространств Фреше (алгебр Фреше), который одновременно является пучком
множеств после применения забывающего функтора (см. обсуждение в [1, замеча-
ние 5.4]). Далее пучки в подкатегориях алгебр Фреше также понимаются в этом
смысле.Пучки некоммутативных функций 9
Пусть V и W — открытые подмножества ΩR и W ⊂ V . Тогда топология на U(af1 ),
задаваемая вложением U(af1 ) → Caf∞1 (V ), сильнее, чем топология задаваемая вло-
жением U(af1 ) → Caf∞1 (W ). Так как обе алгебры являются пополнениями U(af1 ), мы
имеем непрерывный гомоморфизм τV W : Caf∞1 (V ) → Caf∞1 (W ).
Теорема 2.2. (ср. [1, теорема 5.5]) Соответствия
V 7→ Caf∞1 (V ) и (W ⊂ V ) 7→ τV W
задают пучок R-алгебр Фреше-Аренса-Майкла полиномиального роста на ΩR .
Доказательство. Рассматриваемое соответствие является контравариантным функ-
тором из категории открытых подмножеств ΩR в категорию R-алгебр Фреше-Аренса-
Майкла полиномиального роста, т.е. мы имеем предпучок. По определению (см. (2.4))
для каждого открытого множества V ⊂ ΩR пространство Фреше Caf∞1 (V ) является
произведением счётного семейства пространств C ∞ (Vp ). Из аксиомы склейки для
функций класса C ∞ на R следует аксиома склейки для рассматриваемого предпучка
множеств на ΩR .
Пучок некоммутативных голоморфных функций. В этом разделе мы рас-
смотрим комплексификацию действительной алгебры Ли, обсуждаемой выше, и так-
же обозначим её через af1 (упрощая обозначения). Основные конструкции для неё те
же, что и в действительным случае. В частности, нам понадобится семейство пред-
ставлений {σλ,q : λ ∈ C, q ∈ Z+ } вида (2.1); обозначим его через ΩC и будем называть
подмножество в ΩC открытым, если оно имеет вид (2.2) где (Vq )q∈Z+ — последова-
тельность открытых подмножеств C, удовлетворяющих условию (2.3).
Отметим важное отличие от случая функций класса C ∞ — алгебра многочленов
не обязана быть плотна в алгебре голоморфных функций на произвольном открытом
множестве. Однако это ограничение носит технический характер и может быть без
труда преодолено.
Для открытого подмножества V в ΩC вида (2.2), положим
∞
Y
Faf1 (V ) := O(Vq ), (2.10)
q=0
где O(Vq ) обозначает алгебру голоморфных функций. В частности, пространство
Фреше Faf1 (ΩC ) совпадает c Faf1 , определённым как в [1, § 6].
Обозначим через B семейство всех открытых подмножеств V = (Vq ) в ΩC , удо-
влетворяющее следующим условиям: 1) для некоторого p ∈ Z+ множество Vq пусто,
если q > p; 2) для q = 0, . . . , p найдётся ε ∈ (0, 1), такое что Vq есть объединение
открытых дисков с центрами в σλ,q , . . . , σλ−p+q,q и радиусами ε (в частности, Vp есть
диск с центром в σλ,p ). Легко видеть, что B является базой топологии ΩC .
Лемма 2.3. Если V принадлежит B, то линейное отображение U(af1 ) → Faf1 (V ),
заданное так же как в (2.5), имеет плотный образ.
Доказательство. Достаточно показать, что отображение C[λ] → O(Vq ) имеет плот-
ный образ для каждого q. Так как V принадлежит B, то Vq либо пусто, либо является
объединением непересекающихся открытых дисков в C. Таким образом, утверждение
легко следует из теоремы Мергеляна (см., например, [6, с. 386, Theorem 20.5]).
Завершающие статью три теоремы аналогичны теоремам 6.2, 6.5 и 6.6 из [1].10 О. Ю. Аристов
Теорема 2.4. Пусть V = (Vq ) — открытое подмножество ΩC , такое что алгебра
многочленов плотна в O(Vq ) для каждого q (например, V ∈ B). Тогда умножение
в U(af1 ) продолжается до непрерывного умножения в Faf1 (V ). Относительно это-
го умножения Faf1 (V ) является локально разрешимой C-алгеброй Фреше-Аренса-
Майкла.
Нам понадобится следующее предложение, которое проверяется непосредственно.
Предложение 2.5. Класс локально разрешимых алгебр Аренса-Майкла стабилен
относительно перехода к декартовым произведениям и замкнутым подалгебрам.
Доказательство теоремы 2.4. Мы повторяем рассуждения из теоремы 2.1. Надо от-
метить лишь следующее. Рассматривается гомоморфизм
∞
Y
U(af1 ) → Tq+1 (O(W (q+1) )) : a 7→ (e
πq (a)),
q=0
где W (q+1) строится тем же самым способом. Для проверки того, что Tq+1 (O(W (q+1) ))
является локально разрешимой алгеброй Фреше-Аренса-Майкла используем теоре-
му 1.4 вместо теоремы 1.2. В силу сделанных предположений, гомоморфизм имеет
плотный образ, поэтому согласно предложению 2.5 достаточно проверить непрерыв-
ность и топологическую инъективность. Эти свойства устанавливаются так же, как
в теореме 2.1, поскольку все используемые оценки включают только равномерные
нормы (без производных).
Если V и W принадлежат B и W ⊂ V , то мы имеем непрерывный гомоморфизм
τV W : Faf1 (V ) → Faf1 (W ).
Теорема 2.6. Соответствия
V 7→ Faf1 (V ) и (W ⊂ V ) 7→ τV W
задают на ΩC пучок локально разрешимых C-алгебр Фреше-Аренса-Майкла на базе
топологии B.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2 с очевидной заменой пуч-
ка гладких функций на пучок голоморфных и семейства всех открытых множеств
на базу топологии.
Теорема 2.7. Для каждого открытого подмножества V в ΩC существует умно-
жение, относительно которого Faf1 (V ) является локально разрешимой алгеброй
Фреше-Аренса-Майкла. В случае, когда алгебра многочленов плотна в O(V ), умно-
жение является непрерывным продолжением с U(af1 ). Кроме того, соответствия
из теоремы 2.6 задают пучок Faf1 (−) локально разрешимых C-алгебр Фреше-Аренса-
Майкла на ΩC .
Доказательство. Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы 6.6 из [1], мы
заключаем, что Faf1 (−) является продолжением пучка на базе B из теоремы 2.6. В
частности, он оказывается пучком алгебр Фреше-Аренса-Майкла. Локальная разре-
шимость следует из предложения 2.5. Пучки некоммутативных функций 11
Список литературы
[1] О. Ю. Аристов, Некоммутативные функции класса C ∞ в контексте треугольных алгебр Ли,
arXiv:2103.06143, 2021.
[2] A. A. Dosiev (Dosi), Formally-radical functions in elements of a nilpotent Lie algebra and
noncommutative localizations, Algebra Colloq., 17, Sp. Iss. 1 (2010), 749–788.
[3] A. A. Dosi, Taylor functional calculus for supernilpotent Lie algebra of operators, Journal of Operator
Theory, 63:1 (2010), 191–216.
[4] A. Я. Хелемский, Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления,
гомологии, Наука, М., 1989.
[5] О. Ю. Аристов, Оболочки в классе банаховых алгебр полиномиального роста и C ∞ -функции
от свободных переменных, препринт 2021.
[6] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book, New York, 1987.
Email address: aristovoyu@inbox.ruВы также можете почитать
