МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
На правах рукописи
КИРИЛЛОВ Олег Николаевич
АНАЛИЗ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
И ОПТИМИЗАЦИЯ ЦИРКУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ
Специальность - 01.02.01 - Теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва 2000Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления
механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук
А.П. Сейранян
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор С.А. Агафонов
доктор физико-математических наук,
профессор В.В. Трофимов
Ведущая организация:
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша.
Защита диссертации состоится 21 апреля 2000 г. в 16.00 часов на
заседании диссертационного совета Д.053.05.01 в МГУ по адресу:
119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ,
механико-математический факультет, аудитория 16-10.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-
математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан марта 2000 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.01
доктор физико-математических наук Д.В. Трещев
2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В задачах устойчивости для различных классов
механических систем (консервативных, циркуляционных, гамильтоновых,
гироскопических и др.), зависящих от параметров, возникает
необходимость построения областей устойчивости и исследования их
границ. Анализ границ областей устойчивости важен для оценки скорости
развития неустойчивости. Он также может служить основой для
построения градиентных процедур и вывода необходимых условий
экстремума в задачах оптимизации конструкций по критерию
устойчивости.
Целью работы является изучение границ областей устойчивости и
неустойчивости линейных автономных механических систем с
неконсервативными позиционными силами (циркуляционных систем) как
с конечным числом степеней свободы, так и распределенных, зависящих
от параметров. Работа направлена на развитие методов анализа
бифуркаций собственных значений вдоль кривых в пространстве
параметров и использование их для исследования и решения задач
оптимизации конструкций.
Основные результаты и их научная новизна. Результаты, полученные в
диссертации, являются новыми и состоят в следующем:
1) Исследованы границы областей устойчивости, флаттера и дивергенции
двух- и трехпараметрических конечномерных циркуляционных систем:
перечислены все особенности общего положения, возникающие на
границах, и построены линейные аппроксимации границ как в особых,
так и в регулярных точках.
2) Метод анализа границ между областями устойчивости, флаттера и
дивергенции, развитый для конечномерного случая, распространен на
распределенные циркуляционные системы, оператор которых не
матричный, а линейный дифференциальный.
33) Исследованы перестройки общего положения частотных кривых вблизи
границ областей устойчивости, флаттера и дивергенции в
двухпараметрических циркуляционных системах. Установлена связь
между типом перестройки и свойствами выпуклости границ и получены
аналитические выражения, описывающие перестройки как в
конечномерном, так и в распределенном случаях.
4) Исследованы границы области устойчивости в обобщенной задаче Бека
об устойчивости упругого стержня, нагруженного потенциальной и
тангенциальной следящей силами. Показано, что граница области
устойчивости имеет особенность 0 2 с вырожденным касательным
конусом, отвечающую двукратному нулевому собственному значению с
цепочкой Келдыша длины 2, и найден касательный конус к области
устойчивости в этой особой точке.
5) Рассмотрены две формулировки задачи оптимизации по критерию
устойчивости упругого стержня, движущегося под действием следящей
силы. При помощи анализа бифуркаций собственных значений
получены явные выражения для градиентов критических нагрузок по
отношению к распределениям массы стержня и неконструктивной
массы. Предложен итерационный метод поиска оптимальных
распределений масс и выведены необходимые условия экстремума.
Найдены решения, удовлетворяющие необходимым условиям, и
проанализирована их связь с особенностями границ областей
устойчивости и неустойчивости и с перестройками частотных кривых
вблизи границ.
6) Рассмотрена задача Лейпхольца об оптимальном выборе массы
материальной точки и ее оптимальном расположении вдоль
однородного упругого стержня, движущегося под действием следящей
силы. Показано, что оптимальные значения массы материальной точки и
ее координаты вдоль стержня доставляют максимум критической
нагрузке в точке особенности границы области устойчивости - так
называемого «полукубического ребра возврата». В этой точке
4образуется трехкратное положительное собственное значение с
цепочкой Келдыша длины 3.
Методы исследования. В диссертации развиваются методы теории
возмущений собственных значений, приближенные методы вычисления
областей устойчивости и численные методы решения задач оптимизации
конструкций по критерию устойчивости.
Обоснованность. Все утверждения диссертации строго доказаны с
использованием математических методов. Рассмотренные примеры
подтверждают теоретические выводы. Исследована практическая
сходимость использованных численных методов и алгоритмов.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут
быть использованы для численного и аналитического исследования
устойчивости конечномерных и распределенных циркуляционных систем
вблизи как особых, так и регулярных точек границы области
устойчивости. Результаты диссертации применимы к задачам
оптимизации конструкций по критерию устойчивости для построения
градиентных процедур и вывода необходимых условий экстремума.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:
1) на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня
рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 1998г.) [6],
2) на 7 Симпозиуме AIAA/USAF/NASA/ISSMO по междисциплинарному
анализу и оптимизации (Сент-Луис, США, 1998г.) [1],
3) на 5 Международном симпозиуме «Динамические и технологические
проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 1999г.)
[7],
4) на Научной конференции «Ломоносовские чтения - 99» (Москва,
1999г.),
5) на 3 Всемирном конгрессе по оптимизации конструкций и
междисциплинарной оптимизации (Буффало, США, 1999г.) [3],
56) на 7 Международной конференции «Устойчивость, управление и
динамика твердого тела» (Донецк, Украина, 1999г.) [8],
7) на Международной конференции «Инвариантные методы исследования
на многообразиях структур геометрии, анализа и математической
физики», посвященной 90-летию со дня рождения Г.Ф. Лаптева
(Москва, 1999г.) [9], а также на семинарах в МГУ и DCAMM (Датском
центре по прикладной математике и механике).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [1, 2, 4, 6],
препринте [5], сборниках трудов и тезисах докладов научных
конференций [3, 7-10]. В совместных работах авторы внесли равный вклад
и несут равную ответственность за полученные результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав и заключения, содержит 1 таблицу, 46 рисунков и список
литературы из 98 наименований. Общий объем диссертации - 160 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение содержит краткий обзор литературы, посвященной различным
аспектам устойчивости циркуляционных систем, задачам оптимизации
конструкций по критерию устойчивости, методам исследования границ
областей устойчивости, теории возмущений несамосопряженных
операторов и теории особенностей. Обосновывается актуальность темы и
кратко излагается содержание глав и параграфов диссертации.
В первой главе рассматриваются механические системы, находящиеся
под действием неконсервативных позиционных сил (циркуляционные
системы, Г. Циглер (1968)), описываемые линейными автономными
дифференциальными уравнениями вида
&& + Aq = 0 , q ∈R m ,
q (1)
6где несимметрическая матрица A гладко зависит от вектора
вещественных параметров p ∈R n . Исследуется строение границ областей
устойчивости и неустойчивости таких систем в их регулярных и особых
точках в пространстве параметров при n = 2, 3 .
В первом параграфе приводится критерий устойчивости циркуляционных
систем (1). Хорошо известно, что циркуляционные системы не обладают
асимптотической устойчивостью, но могут быть устойчивыми по
Ляпунову. Для этого необходимо и достаточно, чтобы все собственные
значения λ матрицы A были положительными и полупростыми (когда
алгебраическая и геометрическая кратности λ совпадают), так как в
противном случае образование жордановой клетки приводит к
неустойчивости из-за появления секулярных членов. Если все λ
вещественные, причем некоторые из них отрицательные, то система (1)
теряет устойчивость из-за существования решений вида q = u exp ( λ t )
(статическая неустойчивость, или дивергенция). Если же хотя бы одно
собственное значение λ матрицы A является комплексным, то система (1)
неустойчива благодаря решениям вида (
q = u exp Im λ t ± i Re λ t )
(колебательная неустойчивость, или флаттер).
В соответствии с критерием устойчивости пространство параметров R n
разбивается на области устойчивости (S), флаттера (F) и дивергенции (D).
Точка p 0 ∈ R n , которой отвечает матрица с простым спектром, не
содержащим нулевых собственных значений, всегда является внутренней
для одной из областей устойчивости, флаттера или дивергенции. Точки
границ между этими областями соответствуют матрицам с нулевыми
простыми или кратными собственными значениями, а также матрицам,
содержащим вещественные ненулевые кратные собственные значения.
Во втором параграфе изложен метод классификации особенностей общего
положения, возникающих на границах областей устойчивости и
7неустойчивости n- параметрических циркуляционных систем,
основанный на работах В.И. Арнольда (1971) и Д.М. Галина (1972) по
миниверсальным деформациям матриц. Известно, что в гладких точках
границ между областями устойчивости, флаттера и дивергенции матрица
A циркуляционной системы имеет простое нулевое или вещественное
ненулевое двукратное собственное значение. Особенности границ (точки,
где теряется гладкость) появляются при усложнении жордановой
структуры матрицы A . Подсчитано количество особенностей в случаях,
когда n ≤ 9 . Для одно-, двух- и трехпараметрических циркуляционных
систем составлены полные списки особенностей общего положения
n = 1: 0, α 2 ; (2)
n = 2: 0 2 , 0α 2 ,α 3 ,α 2 β 2 ; (3)
0 3 , 0 2α 2 , 0α 3 , 0α 2 β 2 ,
n = 3: (4)
αα ,α ,α β ,α β γ .
4 3 2 2 2 2
Здесь использованы обозначения типа матриц в виде произведения
определителей жордановых клеток, отвечающих вещественным
собственным значениям: например, 0α 3 означает наличие в спектре
матрицы A простого нулевого и трехкратного вещественного ненулевого
собственного значения с жордановой цепочкой порядка 3.
В третьем параграфе в явном виде выписаны выражения для нескольких
первых членов разложений, описывающих поведение простых и распад
двух- и трехкратных собственных значений при вариациях вектора
параметров вдоль кривых p( ε ) = p 0 + εe + ε 2 d , где ε > 0 - малый параметр,
а e и d - заданные векторы в пространстве R n . Вещественное собственное
значение λ 0 с жордановой цепочкой длины l при вариации параметров
распадается, вообще говоря, на l простых собственных значений, которые
представляются в виде рядов по дробным степеням ε
λ = λ 0 + λ 1ε 1 l + λ 2 ε 2 l +K (5)
8В случае l = 2 коэффициент λ 1 в (5) выражается через скалярное
произведение вектора вариации e и некоторого вектора f1 ∈ R n ,
компоненты которого находятся при помощи первых производных
матрицы A по параметрам и собственных векторов сопряженных задач на
собственные значения u 0 и v 0
⎛ ∂A ⎞
λ 12 = f1 , e ; f1s = ⎜ u 0 , v 0 ⎟ , s = 1, 2,K, n . (6)
⎝ ∂ ps ⎠
Здесь угловыми скобками обозначено скалярное произведение в
пространстве параметров R n , а круглыми - в пространстве векторов R m .
Для вырожденных направлений вектора e = e * : f1 , e * = 0 , на которых
коэффициент λ1 обращается в нуль, разложение (5) становится
несправедливым. В этом случае возмущение двукратного собственного
значения λ 0 представляется в виде ряда Тейлора
λ = λ 0 + ελ 2 + ε 2 λ 4 +K ,
где множитель λ 2 является решением квадратного уравнения
λ22 + h1 ,e * λ 2 + H1e * , e * = f1 ,d . (7)
Здесь компоненты вещественного вектора h1 ∈R n выражаются через
первые производные матрицы A по параметрам и собственные и
присоединенные векторы сопряженных задач на собственные значения
u 0 , u1 и v 0 , v 1
⎛ ∂A ⎞ ⎛ ∂A ⎞
h1s = − ⎜ u1 , v 0 ⎟ − ⎜ u 0 , v 1 ⎟ , s = 1, 2,K, n . (8)
⎝ ∂ ps ⎠ ⎝ ∂ ps ⎠
Подобные конструктивные формулы выведены и для компонент
вещественной матрицы H1 . Для трехкратного собственного значения с
жордановой цепочкой длины l = 3 получены аналогичные (6), (7)
выражения, описывающие его распад в случае общего положения и для
вырождений первого и второго порядка.
В четвертом и пятом параграфах в случаях, когда матрица A
циркуляционной системы гладко зависит от двух или трех параметров,
9найдены касательные конусы (множества направлений e кривых p( ε ) ,
лежащих в данной области) к областям устойчивости и дивергенции в
регулярных и особых точках их границ. В регулярных точках граница
между областями устойчивости и дивергенции определяется простыми
нулевыми собственными значениями, а между областями устойчивости
(дивергенции) и флаттера - двукратными положительными
(отрицательными) собственными значениями с жордановой цепочкой
длины 2. Получены выражения для касательных конусов для всех типов
особенностей общего положения (3), (4), перечисленных в § 2. В
большинстве случаев для этого используется анализ бифуркаций кратных
собственных значений при помощи явных формул § 3, за исключением
двух особенностей, отвечающих собственным значениям высокой
кратности - 0 3 и α 4 . Для них удобнее сначала построить касательные
конусы в пространстве параметров миниверсальной деформации матрицы
A , а затем при помощи гладкой замены базиса и параметров найти
выражения для касательных конусов в исходном пространстве параметров
Rn .
На плоскости двух параметров диаграммы устойчивости циркуляционных
систем допускают особенности вида α 2β 2 и 0α 2 (точки излома границы),
касательные конусы к области устойчивости в которых представляют
собой плоские углы
{
α 2β 2 : K S = e : f1α ,e > 0 , f1β , e >0 , }
(9)
0α : K S = {e: f1 , e > 0 , g 1 , e > 0 } ,
2
а также особенности 0 2 и α 3 (точки возврата) с вырожденными
касательными конусами, являющимися лучами направлений
α 3 : K S, D = {e: q 1 , e = 0 , r1 , e > 0} ,
(10)
2
0 : {
K S = e: f10 ,e =0, h10 ,e }Таким образом, в линейном приближении геометрию области
устойчивости (или дивергенции) определяют вещественные векторы f1 ,
h 10 , которые вычисляются по формулам (6), (8), и векторы g 1 , q 1 , r1 ,
которые находятся аналогично. Из результатов § 3 следует, что вектор g 1
является вектором нормали к границе между областями устойчивости и
дивергенции, а вектор f1 - к границе между областями флаттера и
устойчивости (или дивергенции) в их регулярных точках. Как видно из (6),
(8), для построения линейной аппроксимации границы области
устойчивости или неустойчивости достаточно информации о
циркуляционной системе в точке границы. В пространстве трех
параметров диаграммы устойчивости циркуляционных систем допускают
двенадцать типов особенностей общего положения, среди которых
двугранные углы (9) и ребра возврата (10), трехгранные углы α 2 β 2γ 2 ,
0α 2 β 2 (α > 0, β > 0) , конус αα , усеченные ребра возврата 0α 3 (α > 0) ,
α 3 β 2 , 0 2 α 2 (α > 0) , а также трехгранные шпили 0 3 и α 4 . Касательные
конусы в последних восьми особых точках определяются уже при помощи
трех векторов. Например, в случае трехгранного угла α 2 β 2γ 2
{ }
K S , D = e: f1α , e > 0, f1β , e > 0, f1γ , e > 0 .
В шестом и седьмом параграфах в качестве примеров рассмотрены задачи
об устойчивости пластинки в набегающем потоке газа и о стабилизации
двуногого шагающего аппарата в режиме комфортабельной ходьбы.
Построены области устойчивости и исследованы их границы. Показано,
что граница области устойчивости в обеих задачах имеет особенность с
вырожденным касательным конусом, отвечающую двукратному нулевому
собственному значению с цепочкой Жордана порядка 2, - единственно
возможную в двухпараметрических циркуляционных системах с двумя
степенями свободы. Наличие этой особенности во второй задаче резко
ограничивает выбор коэффициентов обратной связи, стабилизирующих
комфортабельную двуногую ходьбу.
11Во второй главе развивается метод анализа границ областей
устойчивости для распределенных циркуляционных систем вида
&&y + Ly = 0 , y = y( x, t ) , (11)
где L - несамосопряженный линейный дифференциальный оператор по
координате x ∈[0, 1] со стационарными граничными условиями, гладко
зависящий от вектора вещественных параметров p ∈R n .
В первом параграфе рассматриваются сопряженные задачи на собственные
значения для дифференциального оператора, вводится понятие цепочки
функций, присоединенных к собственной функции ( цепочка Келдыша) и
приводится критерий устойчивости распределенных циркуляционных
систем.
Задача на собственные значения для оператора L получается в результате
подстановки в уравнение (11) решения y( x, t ) = u( x ) exp i λ t ( )
l(u) = λu, U s (u) = 0 , s = 1,2,..., m . (12)
Здесь l(u) - линейное дифференциальное выражение
d mu d m −1 u du
l(u) ≡ a 0 ( x ) + a1 ( x ) + L + a m −1 ( x ) + a m ( x) ,
dx m dx m −1 dx
а U s (u) - линейные формы по переменным u(0) , u ′(0) , ... , u (
m−1)
(0) ; u(1) ,
( m−1)
u ′(1) , ... , u (1)
m −1 ⎛
k ⎞
s d u d ku
U (u) ≡ ∑ ⎜ α k k
s
⎜ + β sk ⎟.
k =0 ⎝ dx x =0
dx x =1 ⎟⎠
k
Как и в конечномерном случае распределенная циркуляционная система
устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения λ
являются положительными и полупростыми. Если при всех вещественных
λ некоторые из них отрицательны, циркуляционная система статически
неустойчива (дивергенция). Появление хотя бы одного комплексного
собственного значения означает колебательную неустойчивость (флаттер).
12В соответствии с критерием устойчивости пространство параметров R n
разбивается на области устойчивости, флаттера и дивергенции. В случае
общего положения границы между этими областями состоят из гладких
гиперповерхностей коразмерности 1, отвечающих либо вещественным
ненулевым двукратным собственным значениям с цепочкой Келдыша
длины 2 (аналог жордановой цепочки векторов, М.В. Келдыш (1951)) либо
простым нулевым собственным значениям. На некоторых
гиперповерхностях более высокой коразмерности границы допускают
особенности, отвечающие собственным значениям более высокой
кратности. Анализируя бифуркации собственных значений в окрестности
точки границы между различными областями при вариациях параметров,
можно найти направления в пространстве R n , стабилизирующие или
дестабилизирующие распределенную циркуляционную систему.
Во втором параграфе выводятся явные выражения для нескольких первых
членов разложений, описывающих поведение простых и распад
двукратных собственных значений линейного дифференциального
оператора в невырожденных и в некоторых вырожденных случаях при
вариациях вектора параметров вдоль кривых вида p( ε ) = p 0 + εe + ε 2 d , где
ε > 0 - малый параметр, а e и d - заданные векторы в пространстве
параметров.
Пусть, например, в точке p 0 ∈ R n имеется двукратное собственное
значение λ 0 с цепочкой Келдыша второго порядка. Это означает, что при
p = p 0 существуют собственная функция u 0 и присоединенная u1 ,
отвечающие λ 0 и удовлетворяющие уравнениям
l 0 (u 0 ) = λ 0 u 0 , U 0s (u 0 ) = 0 ; l 0 (u1 ) = λ 0 u1 + u 0 , U 0s (u1 ) = 0 ;
s = 1,2,..., m ,
где l 0 (u) = l (u ) p = p , U 0s ( u) = U s ( u) . Комплексно сопряженному
0 p= p0
собственному значению λ 0 отвечает цепочка Келдыша, состоящая из
функций v0 и v1
l 0* ( v 0 ) = λ 0 v 0 , V0s ( v 0 ) = 0 ; l 0* ( v1 ) = λ 0 v1 + v 0 , V0s ( v1 ) = 0 ;
13s = 1,2,..., m .
Сопряженные дифференциальные выражения l 0 (u) и l 0* ( v) связаны
посредством тождества Лагранжа
1 1
∫0 l 0 (u)vdx = U 01 V02 m + U 02 V02 m −1 +K+U 02 m V01 + ∫ ul 0* ( v)dx ,
0
где формы U 01 , U 02 , ..., U 02 m (а также V01 , V02 , ..., V02 m ) линейно независимы.
При вариации вектора параметров p 0 собственное значение λ 0 и
соответствующая собственная функция u0 получат приращения,
представимые в виде рядов по дробным степеням ε , М.И. Вишик и Л.А.
Люстерник (1960)
λ = λ 0 + ε 1/ 2 λ 1 + ε λ 2 + ε 3/ 2 λ 3 +K
u = u 0 + ε 1/ 2 w 1 + ε w 2 + ε 3/ 2 w 3 +K
Бифуркация двукратного собственного значения λ 0 в случае общего
положения описывается выражением
λ = λ 0 ± ε f1 , e + iε f 2 , e + o( ε ) , (13)
⎛⎛ ∂ l ⎞ m ∂U s ⎞
f1k + if 2k = ⎜⎜ (u 0 ), v 0 ⎟ − ∑ (u 0 ) V02m − s +1 (v 0 )⎟ (u 1 , v 0 ) . (14)
⎝ ⎝ ∂p k ⎠ s =1 ∂p k ⎠
1
Здесь (u, v ) = ∫ u( x )v( x )dx - скалярное произведение в функциональном
0
пространстве, а a, b = ∑i =1 a i bi - скалярное произведение для векторов
n
из R n . Компоненты вещественных векторов f1 и f 2 выражены в (14) через
собственные и присоединенные функции и первые производные
дифференциального выражения l(u) и операторов граничных условий
U s (u) по параметрам, вычисленные в точке p = p 0 .
Если собственное значение λ 0 вещественное, то в (13) нужно положить
f 2 = 0 . В этом случае векторы e , удовлетворяющие условию f1 , e < 0 ,
лежат в области флаттера, тогда как условие f 1 , e > 0 выделяет область
устойчивости (дивергенции) при λ 0 > 0 ( λ 0 < 0 ). Следовательно, точки
R n , отвечающие двукратным вещественным собственным значениям с
14цепочкой Келдыша длины 2, формируют границу между областями
флаттера и устойчивости (или дивергенции), а уравнение f1 , e = 0
определяет касательную гиперплоскость к границе в точке p = p 0 . Вектор
f1 ортогонален границе и направлен в область устойчивости (или
дивергенции). Разложение λ 0 в вырожденном случае, когда f1 , e = 0 ,
начинается со слагаемого, пропорционального ε . Уравнение для
определения коэффициента при ε в вырожденном случае оказывается в
точности тем же, что было найдено в первой главе для конечномерных
циркуляционных систем (7).
В третьем параграфе рассмотрена обобщенная задача Бека об
устойчивости упругого консольно закрепленного стержня, нагруженного
на свободном конце потенциальной и тангенциальной следящей силами.
Построены и проанализированы области устойчивости, флаттера и
дивергенции на плоскости двух параметров: абсолютной величины
неконсервативной силы и угла ее отклонения от касательной к срединной
линии стержня на свободном конце. Получены явные выражения для
нормальных векторов к границам областей флаттера и дивергенции в
регулярных точках через собственные и присоединенные функции. В
аналитическом виде найдены собственные и присоединенные функции,
отвечающие простому нулевому собственному значению и двукратному
вещественному с цепочкой Келдыша второго порядка. Вычислены
нормальные векторы, построены линейные аппроксимации и исследованы
свойства выпуклости границ в нескольких характерных точках.
Показано, что граница области устойчивости имеет особенность 0 2 с
вырожденным касательным конусом, отвечающую двукратному нулевому
собственному значению с цепочкой Келдыша длины 2. Получено
уравнение, позволяющее определить координаты особой точки на
плоскости параметров. Найден касательный конус к области устойчивости
в особой точке 0 2 . Во всех рассмотренных точках границ получены явные
выражения, описывающие поведение собственных значений при
вариациях параметров. Сравнение приближенных значений с решениями
трансцендентного частотного уравнения показывает, что найденные
15формулы с высокой точностью приближают собственные значения в
малой окрестности точки границы.
Третья глава посвящена исследованию перестроек общего положения в
однопараметрических семействах частотных карт в окрестности
регулярных точек границ между областями устойчивости, флаттера и
дивергенции для конечномерных и распределенных циркуляционных
систем. Показано, что в случае общего положения существуют четыре
типа таких перестроек, связанных с выпуклостью или вогнутостью
областей флаттера и дивергенции.
В первом параграфе отмечается, что исследование перестроек в
однопараметрических семействах частотных карт стало необходимым,
после того как в задачах оптимизации циркуляционных систем по
критерию устойчивости был обнаружен эффект перехлеста ветвей
частотных кривых, который, как правило, блокирует процесс
оптимизации. В таких задачах обычно имеется параметр нагрузки p ,
критическое значение которого требуется максимизировать, варьируя
параметры проектирования. Частотная карта - это зависимости λ( p)
собственных значений оператора L от параметра нагрузки, причем при
p = 0 все собственные значения положительные и простые. Если
параметры проектирования фиксированы, то, как известно, в случае
общего положения при изменении одного параметра p собственные
значения могут либо менять знак, либо попарно сливаться с образованием
двукратных с цепочкой Жордана (Келдыша) длины 2, чтобы затем
образовать комплексно-сопряженные пары. Если же освободить
параметры проектирования и рассматривать семейства частотных карт, то
неустранимыми станут некоторые вырожденные случаи распада
собственных значений, Рис. 1.
16Рис. 1.
В задачах оптимизации естественно возникают однопараметрические
семейства, поскольку градиентный метод движется по точкам некоторой
кривой в пространстве параметров проектирования. Так как в
однопараметрических семействах частотных карт эффективными являются
лишь два параметра из n («параметр нагрузки» и «параметр семейства»),
то естественно рассмотреть сначала перестройки в двухпараметрических
циркуляционных системах. Перестройки общего положения,
встречающиеся в случае двух параметров, будут неустранимыми и при
n > 2.
Во втором параграфе рассматриваются перестройки частотных кривых в
окрестности регулярной точки границы между областями устойчивости
(дивергенции) и флаттера, а в третьем параграфе - в окрестности
регулярной точки границы между областями устойчивости и дивергенции.
Получены аналитические выражения, описывающие каждую из четырех
разновидностей перестроек, отвечающих выпуклости или вогнутости этих
двух типов границ. Показано, что уравнения перестроек имеют
одинаковый вид в конечномерном и распределенном случаях.
Коэффициенты в полученных уравнениях выражаются через производные
операторов (матричного или дифференциального) по параметрам и
собственные и присоединенные векторы (функции). В явном виде
выписаны квадратичные аппроксимации границ областей флаттера и
дивергенции в регулярных точках, позволяющие установить связь между
свойствами выпуклости границ и типом перестройки.
17Пусть, например, λ 0 - двукратное положительное собственное значение в
регулярной точке p 0 границы между областями устойчивости и флаттера.
Тогда можно вычислить вектор нормали к границе f1 , направленный в
область устойчивости, и ввести локальные нормальные координаты ( ε, ρ)
с началом в точке p 0 , Рис. 2. В этих координатах квадратичная
аппроксимация границы записывается в виде
D 2 2
ρ=− ε , D ≡ h1 , e * − 4 H 1e * , e * .
4 f1
Если величина D > 0 , то область флаттера выпукла, а перестройка в
однопараметрическом семействе частотных кривых λ( ε ) , зависящих от
параметра ρ , описывается формулой
2 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ ε D⎞
⎜ λ − λ 0 + ε h1 ,e * ⎟ − ⎜ ⎟ = ρ f1 . (15)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
В уравнении (15) компоненты вещественного вектора f1 определяются в
(6) для конечномерных циркуляционных систем, а для распределенных
систем - в (14). Вектор h1 и матрица H1 также выражаются через
производные оператора циркуляционной системы по параметрам и
собственные и присоединенные векторы (функции).
Рис. 2.
Уравнение (15) задает семейство гипербол. При ρ > 0 для любого ε
существуют вещественные решения λ( ε ) этого уравнения, что означает
устойчивость системы, Рис. 2. Если ρ = 0 , то решениями уравнения (15)
18являются две прямые, пересекающиеся в точке ( λ = λ 0 , ε = 0) . При ρ < 0
существует интервал значений параметра ε , где собственные значения
комплексно-сопряженные, Рис. 2, отвечающий области флаттера. Таким
образом, эффект перехлеста частотных кривых, Рис. 1, описывается
квадратным уравнением (15). Отметим, что это уравнение можно
построить по информации об операторе циркуляционной системы и его
собственных и присоединенных векторах (функциях) в точке p 0 границы
между областями устойчивости и флаттера.
В четвертом и пятом параграфах исследованы перестройки частотных
кривых в задаче об устойчивости пластинки в набегающем потоке газа и в
обобщенной задаче Бека об устойчивости упругого консольно
закрепленного стержня, нагруженного на свободном конце потенциальной
и тангенциальной следящей силами.
В четвертой главе исследуются три задачи оптимизации упругого
стержня, движущегося под действием следящей силы. Функционалом
качества, который требуется максимизировать, является критическое
значение следящей силы, вызывающее статическую или динамическую
потерю устойчивости. В первой задаче ищется оптимальное распределение
массы стержня, поперечные сечения которого представляют собой
геометрически подобные фигуры, при неизменной полной массе
материала. Второй рассматривается задача об оптимальном распределении
заданной неконструктивной массы вдоль стержня постоянного
поперечного сечения. При этом требуется, чтобы масса груза,
приходящаяся на единицу длины стержня, не превосходила заданной
величины. В третьей задаче отыскиваются оптимальные масса и
расположение материальной точки вдоль однородного упругого стержня,
движущегося под действием следящей силы.
В первом параграфе выводятся уравнения, описывающие плоское
движение неоднородного упругого стержня, несущего неконструктивную
массу (груз), под действием следящей силы.
19Во втором параграфе поставлена и исследована задача об оптимальном
распределении массы упругого стержня, движущегося под действием
следящей силы. В задаче необходимо найти распределение, доставляющее
максимум функционалу критической нагрузки при неизменной массе
материала стержня. Выведены соотношения, описывающие поведение
простых и распад двукратных собственных значений с цепочкой Келдыша
второго порядка при вариациях параметров задачи (распределение массы и
величина следящей силы) через собственные функции прямой и
сопряженной задач на собственные значения. Показано, что «условие
флаттера», заключающееся в ортогональности собственных функций
прямой и сопряженной задач, является простым следствием образования
цепочки Келдыша. При помощи анализа бифуркаций собственных
значений вблизи границ областей статической и динамической
неустойчивости получены явные выражения для градиентов критических
нагрузок флаттера и дивергенции по распределению массы стержня через
собственные функции прямой и сопряженной задач на собственные
значения. Предложен градиентный метод оптимизации, учитывающий
изопериметрическое условие и позволяющий монотонно увеличивать
функционал критической нагрузки на каждой итерации. Показано, что
оптимальные решения могут достигаться в точках функционального
пространства, где функционал критической нагрузки терпит разрыв.
Получены необходимые условия экстремума для таких случаев и найдено
решение, удовлетворяющее этим необходимым условиям. При этом
критическая нагрузка возрастает по сравнению с однородным стержнем
(В.И. Феодосьев (1965)) более чем в 2.5 раза.
В третьем параграфе поставлена и исследована задача об оптимальном
размещении заданной неконструктивной массы, погонная плотность
которой ограничена, вдоль однородного упругого стержня, движущегося
под действием следящей силы. При помощи анализа бифуркаций
собственных значений на границах областей флаттера и дивергенции
выведены явные выражения для градиентов критических нагрузок
20флаттера и дивергенции по распределению неконструктивной массы.
Построен алгоритм оптимизации, основанный на градиентном методе и
учитывающий изопериметрическое условие и ограничения сверху и снизу
на распределение массы, который позволяет монотонно увеличивать
критическую нагрузку на каждой итерации. При помощи принципа
максимума Понтрягина показано, что оптимальные распределения
неконструктивной массы являются релейными функциями. Выведены
необходимые условия экстремума. Путем численного решения задачи
оптимизации получены три релейных распределения с двумя и четырьмя
точками переключения, удовлетворяющие необходимым условиям
экстремума.
В четвертом параграфе исследована задача об оптимальном выборе массы
материальной точки и ее оптимальном расположении вдоль однородного
упругого стержня, движущегося под действием следящей силы (задача
Лейпхольца). В пространстве трех параметров (значение следящей силы,
отношение массы груза к полной массе системы и смещение груза
относительно точки приложения следящей силы) построены области
устойчивости, флаттера и дивергенции. Найдено оптимальное решение.
Показано, что оптимальные значения массы материальной точки и ее
координаты вдоль стержня доставляют максимум критической нагрузке в
точке особенности границы области устойчивости - так называемого
«полукубического ребра возврата». В этой точке образуется трехкратное
положительное собственное значение с цепочкой Келдыша длины 3.
Построены частотные кривые, соответствующие трехкратному
собственному значению и иллюстрирующие его распад при вариациях
параметров.
В заключении перечислены результаты диссертации по главам и
параграфам.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА
211. Oleg N. Kirillov and Alexander P. Seyranian (1998) Optimization of Stabil-
ity of a Flexible Missile under Follower Thrust // AIAA Paper #98-4969. P.
2063-2073.
2. О.Н. Кириллов (1999) Оптимизация устойчивости летящего стержня //
Вестник молодых ученых. Серия ПММ. Т. 1, Вып. 1. С. 64-79. С-Пб.
3. Oleg N. Kirillov and Alexander P. Seyranian (1999) Optimization of Stabil-
ity of a Flying Column // 3rd World Congress of Structural and Multidiscipli-
nary Optimization: Buffalo, New York (USA), May 17-21. Short paper pro-
ceedings. Vol. 2. P. 355-357.
4. О.Н. Кириллов, А.П. Сейранян (2000) О перестройках частотных кривых
в двухпараметрических циркуляционных системах // Научно-
методический сборник статей по теоретической механике. МГТУ им.
Баумана (принята к печати).
5. Oleg N. Kirillov and Alexander P. Seyranian (1999) On the Stability Bounda-
ries of Circulatory Systems // Moscow State Lomonosov Univ., Institute of
Mechanics. Preprint No. 51-99.
6. Alexander P. Seyranian and Oleg N. Kirillov (2000) Bifurcation Diagrams
and Stability Boundaries of Circulatory Systems // Theoretical and Applied
Mechanics, Yugoslav Society of Mechanics. Vol. 26. (accepted).
7. О.Н. Кириллов, А.П. Сейранян (1998) Оптимизация критической силы в
задаче об упругой устойчивости летящего стержня // Международная
конференция, посвященная 90-летию Л. С. Понтрягина. Москва. Тезисы
докладов: Оптимальное управление и добавления. С. 232-235.
8. О.Н. Кириллов, А.П. Сейранян (1999) Оптимальные распределения
массы и жесткости в задаче об упругой устойчивости летящего стержня
// V Международный симпозиум «Динамические и технологические
проблемы механики конструкций и сплошных сред». МАИ. Москва.
Материалы симпозиума: секция «Динамика и прочность конструкций».
С. 37-38.
9. Oleg N. Kirillov and Alexander P. Seyranian (1999) Bifurcation Diagrams
and Stability Boundaries of Circulatory Systems // VII Международная
конференция «Устойчивость, управление и динамика твердого тела»,
ИПММ НАНУ. Донецк. Украина. Тезисы докладов. С. 64.
2210. О.Н. Кириллов, А.П. Сейранян, (1999) «Бифуркационные диаграммы и
границы областей устойчивости циркуляционных систем».
Международная конференция «Инвариантные методы исследования на
многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики»,
посвященная 90-летию со дня рождения Г.Ф. Лаптева. МГУ. Москва,
25-30 октября. Материалы конференции. С. 23-24.
23Вы также можете почитать
