ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕХАНИКО–МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра общей математики и информатики
Матейко О. М., Плащинский П.В.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Учебно-методическое пособие
для студентов географического факультета
по специальностям:
G 1-31 02 01 – география
H 1-33 01 02 – геоэкология
I 1-51 01 01 – геология
МИНСК
2004Рецензенты:
Доктор географических наук, профессор Н.К. Чертко
Кандидат физико-математических наук, доцент С.П. Сташулёнок
Рекомендовано Ученым советом географического факультета
2004 года, протокол №
В пособии рассматриваются математические задачи с географи-
ческим содержанием. Приведены примеры из физической и экономи-
ческой географии, иллюстрирующие основные математические поня-
тия из таких разделов высшей математики, как алгебра и аналитиче-
ская геометрия, математический анализ, дифференциальные уравне-
ния. Рассматриваются также математические модели, описывающие
некоторые процессы, протекающие в сложных природных и природ-
но-хозяйственных системах.
Предназначено для студентов географического факультета.
© Матейко О. М., Плащинский П.В.
2ВВЕДЕНИЕ
Математические методы уже давно (с 50-х годов XX века, под-
робнее см. [9]) и с успехом применяются в географии и геологии. Для
решения задач кристаллографии широко используется векторная и
матричная алгебра, аналитическая геометрия, различные разделы
дифференциального исчисления. Расчеты расстояний между струк-
турными скважинами при разведке и разработке массивных заложе-
ний рассчитываются с применением определенных интегралов. Изу-
чение тепловых потоков от пласта к окружающим породам и задачи
движения газа в пористой среде решаются через дифференциальные
уравнения.
В процессе математизации географии наибольшее применение
получила математическая статистика. Традиционные географические
описания при стандартизации легко сводятся в таблицы и полученный
обширный материал легко «свертывается» с помощью статистическо-
го анализа. Операции сравнения, выявления сходства и различий ме-
жду объектами при создании классификаций или при районировании
(традиционные географические задачи) также в значительной мере
опираются на приемы, вытекающие из статистических описаний.
Применение математической статистики к различным областям физи-
ческой географии подробно освещено в [9].
Как указывается в [6], построение курса математики на факульте-
тах нематематического профиля должно базироваться на концепции
профессиональной направленности преподавания математики, позво-
ляющей в процессе обучения максимально удовлетворять тем требо-
ваниям, которые предъявляются к математическому образованию со-
ответствующей специальности. Студенты, изучающие высшую мате-
матику должны интересоваться её приложениями к своей специально-
сти, иначе у них складывается впечатление, что математика в даль-
нейшей работе им совершенно не нужна, откуда и возникает соответ-
ствующее отношение к предмету. Имеется различная литература по
применению математических методов в географии, однако освоить
студентам первого курса многие из этих методов не представляется
возможным, так как у них пока нет необходимых знаний, как по мате-
матике, так и по географии.
Тем не менее, курс лекций должен дополняться элементами ма-
тематического моделирования некоторых геолого-географических
процессов и явлений. Теория по основным разделам общего курса
должна подкрепляться различными задачами географического содер-
3жания. Их рассмотрение повышает интерес студентов к изучению
высшей математики. Такие задачи обладают и психологическим фак-
тором, так как убедительно показывают студентам, насколько важна
математика для изучения географии, и настраивают их на серьезное
отношение к ее изучению.
В данном пособии и рассматриваются такие задачи. Приведены
примеры из физической и экономической географии, иллюстрирую-
щие основные математические понятия из таких разделов высшей ма-
тематики, как алгебра и аналитическая геометрия, математический
анализ, дифференциальные уравнения. Рассматриваются также мате-
матические модели, описывающие некоторые процессы, протекающие
в сложных природных и природно-хозяйственных системах.
Авторы надеются, что данное пособие послужит хорошим допол-
нением курса высшей математики, читаемого на географическом фа-
культете и поможет студентам лучше его понять и усвоить.
41. АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В этом разделе рассматриваются некоторые географические зада-
чи, которые решаются методами алгебры и аналитической геометрии.
Аналитическая геометрия используется при описании строения
земной коры, в частности, можно осуществлять аппроксимацию скла-
док земной коры линиями первого и второго порядков (см. [2]). Век-
торное и тензорное исчисления используются в целях пространствен-
ного описания тектонических движений, деформаций и напряжений в
земной коре. Векторная и матричная алгебра широко используется
для решения задач кристаллографии.
Рассмотрим задачу, которая решается с использованием таких
математических понятий, как уравнение прямой и расстояние от точки
до прямой.
1.1. Задача о движении эпицентра циклона по прямой
Эпицентр циклона, движущийся прямолинейно, во время первого
измерения находился в 16 км к северу и 9 км к западу от метеостан-
ции, а во время второго измерения находился в 12 км к северу и 6 км к
западу от метеостанции. Определить наименьшее расстояние, на
которое эпицентр циклона приблизится к метеостанции.
Введем систему координат: центр О – метеостанция, ось Ox на-
правлена с запада на восток, ось Oy направлена с юга на север
(рис.1.1). Циклон движется по прямой, проходящей через точки с
координатами (–9;16) и (–6;12).
(–9;16) y
(–6;12)
A 4
H
O 3 B x
Рис. 1.1
5Уравнение прямой, проходящей через две точки с
y − y1 x − x1
координатами (x1, y1) и (x2, y2) имеет вид: = . Подставив
y2 − y1 x2 − x1
y − 16 x + 9
в него координаты точек (–9;16) и (–6;12), получим: = ,
−4 3
4
откуда y = − x + 4 . Данная прямая пересекает оси координат в точках
3
A(0;4) и B(3;0). Кратчайшее расстояние от циклона до метеостанции –
высота OH в треугольнике OAB. Находим её длину, используя
1
формулу SOAB = OH AB , где S OAB – площадь треугольника OAB.
2
Получаем:
2 SOAB 4⋅3 12
OH = = = = 2,4 км.
AB 4 2 + 32 5
Векторы и матрицы
Векторы применяются в климатологии при рассмотрении
ветровых движений и в геоморфологии, где с их помощью оценивают
влияние наклона долины на степень размыва речного русла.
1.2. Задача о разложении ветра на компоненты
Рассмотрим ветер, дующий со скоростью 10 м/сек с северо-
запада под углом 300 к северу или под углом 3300, отсчитываемых от
севера в направлении по часовой стрелке. Требуется вычислить
северную и западную компоненты. Изобразим ветер в виде
вектора a , где | a | = 10 м/сек (рис. 1.2).
N
w
n
a 300
W E
S
Рис. 1.2
6Пусть n и w – соответственно северная и западная компоненты
этого ветра, т. е. два взаимно-перпендикулярных вектора, дающих при
сложении вектор a . Вычислим длины этих векторов, это и будут
искомые величины.
Северная ( n ) и западная ( w ) компоненты имеют вид:
| w | = 10sin300 = 5м/сек и | n | = 10cos300 = 5 3 ≈ 8,66м/сек.
В качестве упражнения предлагаем читателю самостоятельно
решить следующие задачи.
1. Разложить северо-западный ветер, скорость которого 5,7 м/сек,
на западную и северную компоненты.
2. Найти направление и скорость ветра, являющегося результатом
взаимного действия морского бриза, дующего на берег со скоростью
14 м/сек, и ветра, дующего с берега на море со скоростью 9 м/сек и
под углом 600 к береговой линии.
3. Ветер, дующий в горизонтальном направлении со скоростью 2,5
м/сек, обусловливает подъем некоторой массы кучевых облаков со
скоростью 5 м/сек. Определите направление и скорость движения
облаков.
1.3. Основные операции над матрицами
С помощью алгебры матриц многомерные географические
описания переводятся на формализованный язык, доступный для
математической обработки.
Рассмотрим случай, когда для какой-либо местности известно
среднее количество дней с дождем для осени, зимы и весны, причем
это количество равно соответственно 64, 57 и 46 дням. Мы можем
представить эти данные в виде вектора – строки A, где запись
A = [64 57 46] является матрицей, содержащей 1µ3 элемента. Если мы
хотим оценить возможное количество таких дней за 5
последовательных лет, мы должны найти произведение матрицы A на
число пять: 5A = [320 285 230].
Предположим, что для той же местности имеются данные о числе
дней со снегом, и сосредоточим свое внимание на рассмотрение сезо-
на, который характеризуется выпадением осадков как в виде дождя,
так и снега, то мы можем составить две матрицы размером 2µ3 для
иллюстрации операции сложения матриц. Если в году x за три соот-
ветствующих сезона было 70, 64 и 39 дней с дождем и 4, 10 и 8 дней
со снегом, а в году y 71, 38 и 32 дней с дождем и 0, 35 и 10 дней со
снегом, то можно задать матрицу A, отражающую выпадение осадков
7в виде дождя, и матрицу B, отражающую выпадение осадков в виде
снега:
⎡70 64 39⎤ ⎡4 10 8 ⎤
A= ⎢ ⎥ и B= ⎢0 35 10⎥ .
⎣ 71 38 32⎦ ⎣ ⎦
В каждой матрице строки представляют собой данные для
соответствующего года, а столбцы – выпадение осадков по сезонам.
Год x (верхняя строка), очевидно был относительно дождливым и
мягким, в то время как год y был особенно снежным зимой.
Складывая обе матрицы, получим третью матрицу С,
характеризующую совместное выпадение осадков как в виде дождя,
так и снега в каждом году:
⎡70 + 4 64 + 10 39 + 8 ⎤ ⎡74 74 47⎤
С =⎢ ⎥ =⎢ ⎥.
⎣ 71 + 0 38 + 35 32 + 10⎦ ⎣ 71 73 42⎦
Для иллюстрации закона умножения матриц используем наши
данные об осадках ( с дополнением сведений о тумане в течении года
x и y) при решении простой экономической задачи. Местной
транспортной компании необходимо подсчитать стоимость убытков
из-за задержек, вызванных дождем, снегом и туманом, в районе, для
которого получены указанные выше данные. Пусть количество дней с
туманом в году x было 12, а в году y – 15. Если мы суммируем
количество дней, когда выпадают осадки каждого вида для
учитываемого года, мы получим матрицу D размером 2×3, в которой
первый столбец показывает количество дней с дождем, второй – со
снегом, третий – с туманом. Таким образом, Di1 = A i1 + A i2 + A i3 , Di2 =
B i1 + B i2 + B i3, i =1, 2. Матрица имеет вид:
⎡173 22 12⎤
D= ⎢ ⎥.
⎣141 45 15 ⎦
Теперь обозначим стоимость задержек транспорта, вызванных
дождем (F11), снегом (F21) и туманом (F31) как столбец матрицы F:
⎡10 ⎤
F = ⎢50⎥ .
⎢ ⎥
⎢⎣20⎥⎦
8Умножаем матрицу D на матрицу F, при этом вычисляем сумму
произведений элементов каждой строки матрицы D на соответствую-
щие элементы матрицы F:
⎡10 ⎤
⎡173 22 12⎤ ⎢ ⎥ ⎡173 × 10 + 22 × 50 + 12 × 20⎤ ⎡3070⎤
DF = ⎢ ⎥ ⎢50⎥ = ⎢141 × 10 + 45 × 50 + 15 × 20 ⎥ = ⎢3960⎥ .
⎣141 45 15 ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣20⎦
Общая стоимость убытков за год x составила 3070 единиц, а за
год y – 3960 единиц.
1.4. Пример речной сети c использованием матриц и
элементов теории графов
В физической географии матрицы в основном используются как
вспомогательные средства при проведении вычислений и в анализе
главных компонент, при изучении географических сетей. Рассмотрим
пример речной сети. Её участок простого вида представлен в виде
ориентированного графа на рис. 1.3 (основные понятия теории графов
можно найти в [10]).
d
a 2
1 f
3
e
b 4
5
c
Рис. 1.3
Можно представить участок речной сети также в матричной фор-
ме согласно количеству притоков (рёбра графа), сходящихся в каждой
9точке их слияния (вершины графа). Для изображения речной сети та-
кая матрица может быть составлена как с использованием ребер, так и
вершин.
10Ребра представлены числами от 1 до 5, а вершины буквами от a
до f. Матрицы, изображающие данную речную сеть через ребра и
вершины, имеют вид:
1 2 3 4 5 a b c d e f
a ⎡0 1 0 0 0 0⎤
1 ⎡0 0 0 1 1⎤ ⎢1
b 0 1 0 1 0⎥
2 ⎢0 0 1 1 0⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ c ⎢0 1 0 0 0 0⎥
3 ⎢0 1 0 1 0⎥ ⎢ ⎥
⎢
4 ⎢1 1 1 0 1⎥
⎥ d ⎢0 0 0 0 1 0⎥
e ⎢0 1 0 1 0 1⎥
5 ⎢⎣1 0 0 1 0⎥⎦ ⎢ ⎥
f ⎣0 0 0 0 1 0⎦
В матрице ребер 0 означает, что соответствующие притоки
непосредственно не соединяются, а 1 — означает их соединение. Из
матриц, видно, что приток 2 непосредственно сливается с притоками 3
и 4, а не с 1 и 5. В матрице вершин использованы аналогичные
обозначения. Например, вершина d непосредственно связана с
вершиной e, но не связан с другими вершинами, а вершина b связана с
вершинами a, c и e.
Каждая из этих матриц симметрична, однако, этой симметрии для
речной сети не может быть в случае, если мы попытаемся отразить то
простейшее свойство воды, что она не может течь вверх по склону. В
таких ситуациях необходимо указывать, что связь в одном из
направлений невозможна. Условие, отражающее этот момент и
делающее матрицу несимметричной, состоит в том, что строки
представляют собой течение «из» a, b, c и т.д., а столбцы — течение
«в» a, b , c и т.д. Поскольку возможны связи только «из» 1 в 5 или из f
в e, то в каждой матрице некоторые связи утрачиваются. В результате
матрицы будут иметь вид:
1 2 3 4 5 a b c d e f
a ⎡0 1 0 0 0 0⎤
1 ⎡0 0 0 0 1⎤ ⎢0
b 0 1 0 0 0⎥
2 ⎢0 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ c ⎢0 0 0 0 0 0⎥
3 ⎢0 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥
⎢
4 ⎢0 0 0 0 1⎥
⎥ d ⎢0 0 0 0 1 0⎥
e ⎢0 1 0 0 0 0⎥
5 ⎢⎣0 0 0 0 0⎥⎦ ⎢ ⎥
f ⎣0 0 0 0 1 0⎦
11Сумма по каждому столбцу дает общее количество притоков,
впадающих в каждую реку. В нашем случае: по два притока в ребра 4
и 5 и по два в вершины b и e. Изменения речной сети легко
представить путем сложения и вычитания матриц. Изложенный метод
можно распространить и на другие характеристики речной сети,
такие, например, как расход воды, размер русла и т. п.
1.5. Оценка миграции населения с использованием матриц [7]
Матрица перераспределения населения между n районами имеет
общий вид:
⎡ m11 m12 … m1n ⎤
⎢m m22 … m2 n ⎥
⎢ 21 ⎥.
⎢… … … …⎥
⎢ ⎥
⎣ mn1 mn 2 … mnn ⎦
В матрице mi j — количество населения, мигрировавшего в течение
некоторого фиксированного промежутка времени T из участка с
номером i в участок с номером j. Кроме того, подразумевается, что
мигрантов в иные районы или из других районов нет.
Если обозначить количество людей, выехавших из участка с но-
мером i, (в том числе переместившихся внутри него) через ni, а коли-
чество мигрантов, "осевших" на участке с номером j, обозначить kj, то
n n
ni = ∑ mij и kj = ∑ mij . (1.1)
j =1 i =1
То есть для вычисления ni необходимо сложить все числа,
находящиеся в столбце с номером i, а для нахождения kj —
расположенные в строке с номером j. Отсюда несложно вывести
равенство:
n n n n n n
∑ ni = ∑∑ mij = ∑∑ mij = ∑ k j = M .
i =1 i =1 j =1 j =1 i =1 j =1
Обозначив xl,0 – начальное количество населения, проживавшего
в районе l, легко найти количество населения через время T:
xl ,1 = xl ,0 + kl − nl .
Если миграция населения подчинена закону
ni k j
mij = ,
M
12получаем, так называемое, невозмущенное перераспределение. Только
в этом случае можно однозначно определить элементы mi j по
известным суммам отъезда ni и прибытия kj, так как система
уравнений (1.1) имеет бесконечное множество решений.
Вводится в рассмотрение матрица V =[vi j] отклонений от
невозмущенного перераспределения по формуле:
ni k j
vij = mij − .
M
Пример. Рассмотрим ситуацию с четырьмя районами.
Предположим, что матрица перераспределения в данном случае имеет
вид:
⎡20 31 22 19⎤
⎢13 14 17 9 ⎥
⎢ ⎥.
⎢24 8 17 10⎥
⎢ ⎥
⎣ 41 5 34 5 ⎦
Здесь, например, цифра 20 в первом столбце первой строки означает
число людей, переехавших в пределах района 1, а цифра 17 третьего
столбца второй строки — количество населения, переехавшего из
района 2 в район 4.
Общее количество переехавших из некоторого района получаем
суммированием всех чисел соответствующей строки, а количество
приехавших в район — суммированием чисел соответствующего
столбца. Так из района 2 выехало 53 человека (n2 = 13 + 14 + 17 + 9), а
въехало в него — 58 человек (k2 = 31 + 14 + 8 +5). Аналогично, n1 = 92,
n3 = 59, n4 = 85, k1 = 98, k3 = 90, k4 = 43.
Количество всех переехавших в течение исследуемого
промежутка времени М = 289, что несложно получить,
просуммировав все элементы матрицы перераспределения, либо
все ni, либо все kj.
13Построим матрицу V отклонений от невозмущенного
перераспределения. Например, v11 = m11 – n1 k1 / M = 20 –
92 * 98 / 289 = – 11. Числа в матрице округляются до целого значения.
Вычислив значения всех элементов данной матрицы, получим:
⎡− 11 13 − 7 5 ⎤
⎢−4 3 0 1⎥
V= ⎢ ⎥.
⎢ 4 − 4 −1 1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 12 − 12 8 − 8⎦
1.6. Задача о возрастном составе населения с использованием
матриц [4, с. 134–138]
Проводятся исследования возрастного состава населения.
Задача состоит в прогнозировании количества населения
определенной возрастной группы через фиксированный
промежуток времени.
Разделим все население в году с номером t на N + 1 возрастную
группу Si(t) (по одному году в каждой группе). Здесь S0(t) — число
родившихся в течение года с номером t и оставшихся в живых.
Опытным путем были определены коэффициенты Pi дожития в
каждой из выделенных групп, то есть коэффициенты передвижки из
возрастной группы с возрастом i лет в группу с возрастом i + 1 лет.
Также найдены коэффициенты Fi рождаемости внутри каждой группы
определенного возраста.
С использованием введенных коэффициентов легко вывести
следующие равенства:
S0(t + 1) = F0⋅S0(t) + F1⋅S1(t) + … + FN⋅SN(t),
Si(t + 1) = Pi – 1⋅S i – 1(t), i = 1, 2, … , N – 1,
SN(t + 1) = PN – 1⋅SN – 1(t) + PN ⋅SN(t).
Поясним приведенные формулы:
- группа нулевого возраста S0(t + 1) образуется из числа детей,
родившихся в каждой возрастной группе. Безусловно,
коэффициенты рождаемости Фi равны нулю для некоторого
количества младших и старших возрастных групп;
14- все промежуточные возрастные группы получаются из групп
предыдущего возраста S i – 1(t) умножением на коэффициент дожи-
тия Pi – 1;
- самая старшая возрастная группа SN(t + 1) состоит из людей
данной группы, доживших до нового года, и людей, перешедших
из группы предыдущего возраста.
Удобнее всего работать с данными формулами, если ввести
следующие объекты:
вектор-строку σ(t) состояния возрастных групп в году t,
σ(t ) = [ S 0 (t ) S1 (t ) … S N (t )]
и матрицу коэффициентов перехода π
⎡ F0 P0 0 0 0 ⎤
⎢ F 0 P1 0 0 ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢F 0 0 P2 0 ⎥
π=⎢ 2 ⎥.
⎢ ⎥
⎢ FN −1 0 0 0 PN −1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ FN 0 0 0 PN ⎦
Тогда возрастную ситуацию через год можно определить равенством
σ(t + 1) = σ(t)⋅π,
а через k лет — равенством
σ(t + k) = σ(t)⋅πk.
Здесь используется умножение вектор-строки σ(t) на матрицу π и
умножение матрицы π на себя k раз.
15Если разделить население не на годовые группы, а на более
крупные, то придется ввести еще один вид коэффициентов: Qi —
коэффициент выживших в данной возрастной группе в течение года.
Тогда матрица перехода из одной возрастной группы в другую будет
выглядеть следующим образом:
⎡ F0 P0 0 0 0 0 ⎤
⎢ F Q1 P1 0 0 0 ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢ F2 0 Q2 P2 0 0 ⎥
⎢ ⎥
π=⎢ ⎥,
⎢ FN − 2 0 0 0 PN −2 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ FN −1 0 0 0 QN −1 PN −1 ⎥
⎢⎣ FN 0 0 0 0 QN ⎥⎦
так как теперь
Si(t + 1) = Pi – 1⋅S i – 1(t) + Qi⋅Si(t), i = 1, 2, … , N – 1,
то есть количество людей в определенной возрастной группе
получается как сумма тех из них, что перешли из предыдущей
группы, и тех, которые выжили в данной группе, но не перешли в
следующую.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть все население разделено
на 5 групп: до года, от года до 25 лет, от 26 до 50 лет, от 51 до 75 лет и
старше 75 лет. Если начальное состояние
σ(0) = [2114, 5631, 4957, 3284, 1265]
и матрица перехода π имеет вид
⎡ 0 0,98 0 0 0⎤
⎢0,25 0,9 0,05 0 0⎥
⎢ ⎥
π = ⎢ 0,15 0 0,8 0,04 0 ⎥ ,
⎢ ⎥
⎢ 0,1 0 0 0,7 0,2⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0,4⎥⎦
16то через год мы получим следующую демографическую ситуацию:
⎡ 0 0,98 0 0 0⎤
⎢0,25 0,9 0,05 0 0⎥
⎢ ⎥
σ(1) = [2114, 5631, 4957, 3284, 1265] × ⎢ 0,15 0 0,8 0,04 0 ⎥ =
⎢ ⎥
⎢ 0,1 0 0 0,7 0,2⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0,4⎥⎦
= [2151, 7139, 4247, 2497, 1162].
Все числа в последнем равенстве получены умножением строки σ(0)
на соответствующие столбцы матрицы π. Например, число 7193
человек во второй возрастной группе получилось (с округлением) так:
7139 = 2114 * 0,98 + 5631 * 0,9.
Аналогично, через 2 года
σ(2) = [2421, 8534, 3754, 1917, 964],
и через 3 года
σ(3) = [2696, 10054, 3430, 1492, 769].
Цифры в данном примере не имеют ровно никакого
экспериментального подтверждения, но если представить себе, что
ситуация действительно развивается по приведенным данным, то
можно сделать вывод о росте населения, но при этом сокращении
среднего срока жизни. Дальнейшую оценку приведенной
демографической ситуации оставим специалистам, мы стремимся
лишь показать границы применимости математического аппарата к
данной задаче.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Функции
К понятию функции нас приводит изучение разнообразных явле-
ний в окружающем мире: каждому моменту времени в данной мест-
ности соответствует определенная температура воздуха; атмосферное
давление изменяется в зависимости от высоты местности; продуктив-
ность водоема зависит от продолжительности солнечного освещения,
морские приливы и отливы периодически повторяются в зависимости
от фазы Луны и т.д. Во всех этих случаях значению одной величины
(время, высота над уровнем моря, продолжительность солнечного ос-
17вещения, положение Луны) ставится в соответствие определенное
значение другой величины по определенному закону. Основные спо-
собы задания функции: аналитический, табличный и графический.
Примером табличного способа задания может служить запись резуль-
татов нивелирования, где в одной графе помещаются расстояния x, а в
другой – отвечающие им отметки высоты H. Строя по данным ниве-
лирования топографический профиль, мы переходим от табличного к
графическому способу задания.
В качестве примера графика функции можно привести результат
работы приборов самописцев, имеющихся на метеорологических
станциях, регистрирующих величины атмосферного давления,
температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток.
По полученному графику можно определить значения указанных
величин.
Каждый из трёх способов задания функции – табличный, графи-
ческий и аналитический – имеет свои преимущества и недостатки с
точки зрения применения их в географии. Преимущества табличного
задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента,
помещенного в таблице, можно сразу установить значение функции с
точностью, соответствующей произведенным измерениям. Но зато
для получения промежуточных значений функции требуется затрата
времени на интерполяционные вычисления. Кроме того, табличная
запись, особенно если она велика, не обладает наглядностью и не
позволяет обозреть общий ход функции. Достоинствами графического
способа изображения функции являются наглядность и возможность
определения ее значения для любого значения аргумента. Однако при
этом возникают дополнительные ошибки за счет самого процесса из-
мерения на графике. Графический способ получил преимущественное
распространение в географии в тех случаях, когда объектом исследо-
вания являются геометрические формы со сложными очертаниями,
трудно поддающиеся аналитическому выражению. Положительными
сторонами аналитического способа задания функции являются: крат-
кость записи, возможность определения значения функции для любо-
го значения аргумента и, что самое главное, возможность изучения
функциональной зависимости с помощью математического анализа.
Недостатком этого способа является то, что он применим для описа-
ния лишь сравнительно простых форм и процессов. Например, урав-
нения, которыми мы попытались бы описать очертания реального
рельефа земной поверхности или истинную историю его развития,
оказались бы слишком сложными. Для преодоления этого затрудне-
18ния выработан ряд приемов, сводящихся в первую очередь к прибли-
женному выражению (аппроксимации) сложных реальных функцио-
нальных зависимостей более простыми зависимостями.
Используя математический аппарат, можно исследовать
природные закономерности, проводить прогнозирование событий,
анализировать прошедшие. Для этого необходимо владеть приемами
перевода всех этих задач на математический язык. И одной из первых
задач исследователя при обработке экспериментальных данных
является задача нахождения имеющейся функциональной
зависимости между измеренными величинами, которые могут быть
линейными и нелинейными.
2.1. Пример линейной зависимости
Рыхлые грунты в свежих выемках или насыпях располагаются
под углом естественного откоса на склонах терриконов. Зная угол
естественного откоса, под которым располагается рыхлый материал,
нетрудно определить высоту любой точки осыпи, выемки или насыпи
относительно подошвы.
Пусть на рис. 2.1 линия OS изображает склон, сложенный
материалом, лежащим под углом естественного откоса α. Проведем
через подошву склона О горизонтальную ось абсцисс, направив её
навстречу падению склона. Примем подошву склона, точку О за
начало координат. Из точки О восстановим вертикальную ось ординат
OH. Тогда высота точки склона, находящейся на расстоянии x от его
подошвы, определяется из равенства h = xtgα = kx, где k = tgα. Мы
получили простейший вид линейной функции, выражающийся в
прямой пропорциональности между двумя переменными величинами.
Общий вид линейной функции нетрудно получить, перенеся начало
координат из точки О в точку О1 и проведя новую ось ординат О1H1. В
новой координатной системе ордината точки склона с абсциссой x1 =
0, уже не будет равна нулю, а примет значение h0. Тогда получим
функцию
h = kx + h0.
H H H1 S
S
h0
h
α O α
O X O1 X
19x
Рис. 2.1
Предполагая, что рыхлый материал осыпи ложится под углом
естественного откоса и образует прямолинейный склон, описываемый
линейной функцией, мы допустили некоторую схематизацию. В
действительности формирование осыпи идет более сложным путем.
Однако в первом приближении можно заменить истинный
криволинейный профиль осыпи прямой линией.
2.2. Функции, связывающие температуру с высотой подъема
частицы воздуха [5]
Степень устойчивости атмосферы определяется содержанием
влаги в воздухе и степенью его насыщения, скоростью убывания
температуры с высотой (вертикальный градиент температуры
окружающей атмосферы – ВГА) и температурой у земной
поверхности. Ненасыщенная частица воздуха, нагретая до
температуры выше окружающей атмосферы, будет перемещаться
вертикально вверх со скоростью, определяемой действующей на нее
подъемной силой (которая сама является функцией разности
температур частицы воздуха и окружающей атмосферы), и будет
охлаждаться до тех пор, пока воздух остается ненасыщенным.
Угловой коэффициент функции, связывающей температуру с высотой
подъема при условии ненасыщения, равен числу – 0.98. Температура
(Т) на данной высоте (z мä102) для ненасыщенной частицы
определяется этим угловым коэффициентом и начальной
температурой (Т0) у поверхности Земли, где z = 0. То есть
T = – 0,98z + T0. (2.1)
Это уравнение справедливо до тех пор, пока частица воздуха ос-
тается ненасыщенной. Когда частица насыщается влагой, высвобож-
дение скрытой теплоты парообразования по мере ее подъема частично
компенсируется убыванием температуры с высотой, и поэтому в опи-
сание этого процесса уже следует ввести вторую функцию, включаю-
щую влажноадиабатический вертикальный градиент температу-
ры (ВГТ). Для простоты мы примем ВГТ постоянным и равным числу
– 0,500 С/100м (его значение на высоте примерно 1000 м при темпера-
20туре 100 С). Тогда функция ВГТ будет иметь вид: T = – 0,50z + k. Бу-
дем считать, что приземная температура равна 200 С, а точка ро-
сы 110 С, тогда уравнение для ВГТ примет вид:
T = – 0,50z + 15,6. (2.2)
Пока было сделано предположение о том, что атмосфера
неустойчива: температура воздуха в поднимающейся частице всегда
выше, чем в окружающей атмосфере. В реальной атмосфере скорость
изменения температуры с высотой никогда не бывает постоянной на
всех уровнях, и любая функция, связывающая T с z, будет нелинейной
и весьма сложной. Однако предположим, что это изменение можно с
удовлетворительной степенью точности аппроксимировать при
помощи уравнения
T = – 0,30z + 13, (2.3)
показывающего, что температура у поверхности равна 130С, а
убывание температуры составляет 0,30С/100м. Высота, на которой
частица воздуха, нагретая у поверхности до 200С, прекратила бы
дальнейший подъем, определяется из решения системы, состоящей из
уравнений (2.1) и (2.3) для случая ненасыщения, либо системы,
состоящей из уравнений (2.1) и (2.2) для случая насыщения.
Пересечение прямых, которые определяют данные уравнения дают
точку, в которой температуры поднимающейся частицы и
окружающей атмосферы одинаковы. Решая систему уравнений (2.1) и
(2.3), получим z = 10,29 или 1029 м. Однако, поскольку полученная
величина превышает высоту, на которой частица воздуха становится
насыщенной (920 м), мы должны решить систему уравнений (2.1) и
(2.2), откуда получаем z = 13 или 1300 м. Таким образом, при
принятых условиях частица воздуха прекратит подъем на высоте 1300
м, то есть близ верхней границы вертикального развития кучевого
облака, имеющего мощность 380 м (1300 м – 920 м).
Соотношение между уравнениями показано графически (рис. 2.2).
Оси координат здесь представлены, как это принято в метеорологии,
так что высота z , независимая переменная, отложена на оси ординат.
2130
25
20
Z (m * 100)
15
Вершина облака 1300 м
10
Основание облака 920 м
5
0
0 5 10 15 20 25
T
Рис. 2.2
2.3. Скорость перемещения и уклон земной поверхности как
производные
Скорость представляет собой важнейшую кинематическую
характеристику перемещений земной поверхности, позволяющую
оценивать и сравнивать интенсивность перемещений. Низкая точность
измерений перемещений земной поверхности долгое время
вынуждала ограничиваться лишь данными о средних скоростях за
длительные промежутки времени. Даже сейчас при изучении
геологического прошлого во многих случаях приходится пользоваться
средними скоростями за геологические периоды. Однако по мере
совершенствования методики и техники измерений, сроки
наблюдений все больше сгущаются вплоть до перехода к
непрерывной автоматической записи перемещений земной
поверхности. Результаты измерений изображаются в виде кривых и
аппроксимируются в виде формул, отражающих с той или иной
точностью истинный ход перемещений. При этом возникает задача
определения истинного значения скорости в данный момент времени.
Определим истинную скорость вертикального перемещения точ-
ки земной поверхности, заданного аналитически в виде зависимости
высоты от времени H = H(t). Средняя скорость за промежуток време-
22H 2 − H 1 ∆H
ни ∆t = t2 – t1 равна отношению = . Скорость в данный
t2 − t1 ∆t
момент времени t0 это
∆H (t0 )
lim = H ′(t0 ) .
t →t0 ∆t
Скорость является важнейшей кинематической характеристикой
развития рельефа, позволяя оценивать и сравнивать интенсивность
геоморфологических процессов.
Уклон представляет собой один из основных морфометрических
показателей, характеризуя общий облик рельефа, проходимость,
условия возведения сооружений. Средний уклон определяют как
тангенс угла, образуемого линией профиля с отрицательным
направлением оси абсцисс, если положительное направление оси
абсцисс выбрать по направлению падения склона. Когда профиль
изображен не в виде ломаной, а в виде кривой линии, то средний
уклон между двумя точками определяют как тангенс угла наклона
секущей, проведенной через эти точки. Наконец, уклоном в данной
точке называется тангенс угла наклона касательной к кривой в этой
точке. Направим ось абсцисс по падению склона, выберем на склоне
две точки M и N, соединим их секущей MN и обозначим через α угол,
образуемый секущей с отрицательным направлением оси абсцисс
(рис 2.3).
Рис. 2.3
23Рассмотрим треугольник MNP. Средний уклон iMN = tgα MN =
H 2 − H1 ∆H ∆H dH
=− . При ∆x → 0 точка N → M, а отношение → .
x2 − x1 ∆x ∆x dx
Таким образом,
∆H ⎞
iM = tgα MT = = lim ⎛⎜ −
dH
⎟=− .
∆x → 0⎝ ∆x ⎠ dx
Следовательно, уклон профиля в данной точке оказывается численно
равным производной высоты по расстоянию, взятой с отрицательным
знаком.
Пример. Вычислим уклон профиля равновесия подводного
берегового склона с внешней стороны главного подводного
берегового вала, полагая, что профиль равновесия представляет собой
вогнутую кривую параболического типа, описываемую уравнением H2
= ax, где a – постоянная. Здесь x – расстояние, отсчитываемое от
берега, H – глубина, отсчитываемая вниз от уровня моря. Направив
ось ординат вниз, перепишем уравнение в виде – H = ax . Уклон
равен
i= ( )′
ax =
a
4x
.
Таким образом, с увеличением расстояния от берега уклон убывает.
2.4. Аналитическая классификация элементов рельефа на
плоскости
Области с мягким рельефом в виде чередования возвышенностей
и понижений рисуются на профиле плавной волнистой линией,
аналитическое выражение которой можно представить как
непрерывную функцию H = H(x) (рис. 2.4). На таком профиле между
гребневыми точками возвышенностей и килевыми точками
понижений выделяются участки с однообразным уклоном – склоны. В
пределах каждого склона касательные к каждому профилю наклонены
везде в одну сторону. Это участки монотонного возрастания или
убывания функции H(x). Уклон, как уже говорилось, принято считать
всегда положительным, выбирая направление оси абсцисс по падению
склона. При этом условии склон можно определить математически
как участок профиля, на котором имеет место монотонное убывание
высоты или где производная высоты по расстоянию везде
отрицательна.
24Y
X
Рис 2.4
Охарактеризуем теперь форму склона. Рассмотрим широко
распространенную в природе форму склона, выпуклого в верхней
части и вогнутого в нижней. В нескольких точках склона проведем
касательные, наглядно показывающие, как изменяется вдоль склона
производная H ′( x ) . При следовании от подошвы к водоразделу на
вогнутой части профиля, углы наклона касательных возрастают –
производная получает положительные приращения. Дальше, на
выпуклом участке профиля, углы наклона касательных начинают
убывать, и приращения производной становятся отрицательными. Это
можно охарактеризовать используя вторую производную H ′′( x ) . На
вогнутой части склона вторая производная положительна, H ′′( x ) > 0,
а на выпуклой отрицательна, H ′′( x ) < 0. В точке перегиба от вогнутой
части к выпуклой вторая производная обращается в нуль, H ′′( x ) = 0.
Таким образом, знак второй производной позволяет различать
выпуклые и вогнутые склоны, а ее абсолютная величина указывает
степень выпуклости или вогнутости. Вторую производную также
можно использовать для различения максимумов – гребневых точек
( H ′′( x ) < 0) от минимумов – килевых точек ( H ′′( x ) > 0).
2.5. Скорость и ускорение затухающих геоморфологических
процессов
Рассмотрим затухающие геоморфологические процессы, описы-
ваемые экспоненциальной функцией H = H0 e – mt. Вычислим произ-
водную H ′ = – mH0 e – mt = – mH. Таким образом, скорость движения
пропорциональна самой функции и с течением времени монотонно
убывает. Вторая производная высоты по времени H ′′ = − mH ′ = m2H
представляет собой ускорение перемещения земной поверхности.
252.6. Аналитическое описание изменений очертаний профиля
во времени
Функция H(x) описывает очертания неизменного во времени
профиля, ничего не сообщая о его развитии. Функция H(t) описывает
движение во времени, но всего лишь одной точки. Чтобы получить
представление о развитии очертаний профиля во времени, высоту H
надо поставить в зависимость сразу от двух переменных: расстояния x
и времени t, т.е. H = H(x;t). Простейшей функцией двух переменных
является произведение двух функций, каждая из которых зависит
только от одной переменной, H = X(x)T(t). Опишем функцией такого
вида простейшую кинематическую модель сводового тектонического
поднятия. Будем считать, что сводовое поднятие имеет постоянную
ширину и бесконечно большую длину, что распределение
интенсивности движений во всех поперечных сечениях поднятия
одинаково и что, следовательно, можно ограничиться рассмотрением
развития профиля поднятия в одном сечении. Поскольку функция X(x)
должна описывать форму свода, положим, что она симметрична
относительно оси высот H, совмещаемой с осью поднятия и
обращается в нуль на обеих границах поднятия, при x = l и x = – l.
Для определенности будем считать, что X(x) = cos Ωx, где Ω = 2πl .
Функцию T(t) определим, исходя из существующих представлений о
сравнительно быстром вначале, а затем постепенно затухающем росте
горных поднятий. Такой ход поднятия может быть описан
экспоненциальной функцией вида T(t) = H m (1 − e − p0t ) , где H m
представляет собой полную высоту поднятия, достигаемую при
t → ∞; p0 – логарифмический декремент затухания поднятия во
времени: чем p0 больше, тем меньше времени требуется, чтобы
поднятие достигло заданной высоты H, и наоборот. Таким образом,
имеем следующую математическую модель роста сводового
поднятия:
H = H m (1 − e − p0t ) cos Ωx.
В более общем случае, когда поднятие осложнено
периодическими колебательными движениями (тектонические
колебания представим в виде синусоидальной функции с убывающей
экспоненциальной амплитудой) модель тектонических движений
примет вид:
H = [ H m (1 − e − p0t ) – ae − p1t sin ωt ] cos Ωx,
262π
где ω = , а T – период колебаний.
T
H
Hm t¶
t2
t1
t0
X
-l l
Рис. 2.5
Исследование функции двух переменных сводят обычно к
исследованию функции одной переменной. Этого можно достигнуть,
полагая временно один из аргументов постоянным и исследуя
функцию при переменном значении другого аргумента. Например,
придавая в уравнении H = H(x,t) времени t постоянные значения t = t1,
t2, t3, … будем получать уравнения очертаний профиля в
соответствующие моменты. Вычерчивая графики каждой из функций
H = H(x,t1), H = H(x,t2), … получим семейство кривых, изображающих
последовательные очертания перемещающегося профиля (семейство
косинусоидальных кривых на рис. 2.5). Если последовательно
придавать постоянные значения расстоянию x = x1, x2, x3,… получаем
функции H = H(x1,t), H = H(x2,t), … которые описывают зависимость
высоты от времени для какой-либо точки профиля. Взятые вместе они
дают представление о развитии профиля в целом.
Вычислим уклон, определяемый функцией H = H(x,t). Для этого
обратимся к функции H = H(x,t1). Здесь высота H оказывается
функцией только одной переменной x. Поэтому уклон профиля,
очертания которого изменяются с течением времени, представляет
собой частную производную высоты по расстоянию, взятую с
обратным знаком:
27∂H ( x, t )
i= − = − H ′x ( x; t ).
∂x
Рассматривая уравнение H = H(x1,t) можно определить скорость
перемещения профиля как частную производную высоты H по
времени t при постоянном значении второй переменной x:
∂H ( x, t )
V= = H t′ ( x; t ).
∂t
Вычислим скорость роста сводового поднятия, описываемого
уравнением H = H m (1 − e − p0t ) cos Ωx. Дифференцируя по t будем
иметь
∂H ∂
V= = H m cos Ωx (1 − e − p0t ) = H m cos Ωxp0 e − p0t =
∂t ∂t
= p0 H m e − p0t cos Ωx.
Скорость поднятия является функцией двух переменных t и x,
изменяясь в поперечном направлении по косинусоидальному закону,
как и величина поднятия, и затухая во времени по
экспоненциальному закону.
Для более сложной модели поднятия скорость определяется так:
∂
V= [ H m (1 − e − p0t ) – ae − p1t sin ωt cos Ωx] =
∂t
= [p0 H m e − p0t + ae − p1t (p1 sin ωt – ω cos ωt )] cos Ωx
В физической географии очень часты ситуации, когда на какой-
либо фактор среды оказывают влияние несколько других факторов. В
этих случаях мы получаем функции, зависящие более чем от одной
переменной. Например, тип почвы (y) зависит от климата (x1),
растительности (x2), жизнедеятельности организмов (x3), материнской
породы (x4), осадков (x5) и времени (x6). Таким образом,
y = f(x1, x2, x3, x4, x5, x6).
Пример. Пусть в рассмотренной выше задаче, ширина l = 5 км,
полная высота поднятия H m =100 мм, логарифмический декремент
200
p0 = ln ≈ ln1,005 ≈ 0,005. Тогда функция H = H m (1 − e − p0t ) cos Ωx,
199
описывающая кинематическую модель сводового тектонического
поднятия принимает вид
28H = 100(1 − (199
200
) t
) cos
π
10
x = 100(1 − (0,995)t
) cos
π
10
x.
При x = 0, получаем наибольшую высоту поднятия, которая
определяется из равенства H = 100(1 − (0,995)t ) при различных
значениях времени t. Так, при t = 1 год, H = 0,5 мм, при t = 10 лет, H
= 4,8 мм, при t → ∞, H → 100 мм. При x = 5 км, высота поднятия H =
0.
Функция скорости роста сводового поднятия
V = p0 H m e − p0t cos Ωx при данных значениях принимает вид V =
t π
= 0,5 (0,995) cos x. При x = 0, скорость будет принимать
10
наибольшие значения. Например, при t = 1 год, V = 0,497 мм/год, при
t = 10 лет, V = 0,475 мм/год, при t → ∞,V → 0 .
2.7. Другие примеры нелинейных функций
Дьюри показал, что для рек Нен и Грейт-Уз в Восточной Англии
расход воды с периодом повторяемости в 2,33 года связан с площадью
водосбора следующим образом: y = 5,1 x 0,98, где y – расход воды в куб.
футах/сек, x – общая площадь водосбора в квадратных милях. Каждая
переменная может принимать одно любое значение в пределах,
используемых для установления связи (максимальный и
минимальный размер водосбора).
Функция y = a + bt – 0,5 связывает скорость инфильтрации воды в
почву со временем t. Возможность применения этой функции к
конкретной ситуации зависит от минимальной скорости a, с какой
вода просачивается в почву до состояния ее полного насыщения. Эта
минимальная скорость зависит в свою очередь от типа почвы.
Постоянная b характеризует степень влажности почвы. Если к
моменту начала инфильтрации почва была почти насыщенной, то
слагаемое bt – 0,5 будет очень маленьким, поскольку при b = 0 мы
имеем скорость инфильтрации в условиях насыщения почвы.
Функция асимптотически стремится к значению y = a. Подобные
связи, только без первой константы, часто возникают при
рассмотрении стока реки с единицы площади водосбора, отнесенного
ко всей площади бассейна. Например, при анализе кривых
среднемноголетнего максимального паводочного стока, полученных
для некоторых рек, мы сталкиваемся с функциями вида y =kt – 0,5.
29Похожие по виду уравнения можно найти в некоторых областях
гидрометеорологии. Например, для большинства конвективных лив-
ней общее пространственное распределение интенсивности дождя от-
носительно центрального максимума характеризуется тем, что интен-
сивность падает в радиальном направлении от центра ливня. Во мно-
гих районах мира связь между средней интенсивностью ливня при
данной его продолжительности и площадью ливня имеет вид:
P = a – bA0,5,
где константа a означает центральный максимум выпадения осадков,
а b – скорость уменьшения интенсивности дождя в радиальном на-
правлении от центра ливня.
Применение интегрирования
Природные объекты, в отличие от технических имеют, как прави-
ло, формы, не укладывающиеся в рамки строгой геометрической
классификации, например, сложная конфигурация контуров почв, ов-
рагов, ареалов распространения отдельных видов растений. В связи с
этим вызывает затруднение расчет площади неправильной формы. В
таких случаях прибегают к процессу интегрирования, т.е. делению
общей площади на составные части, приближающиеся к строгим гео-
метрическим формам, к которым можно применить законы математи-
ки. Интегрирование применяется и при вычислении других статисти-
ческих показателей: объёмов, площадей поверхностей, центров тяже-
сти и др. Рассмотрим несколько примеров, которые решаются с ис-
пользованием определенного и несобственного интегралов.
Функция y = a + bt – 0,5 связывает скорость инфильтрации воды в
почву со временем t. Общее количество воды Q, просочившейся в
почву за некоторый промежуток времени, графически представляется
площадью, расположенной под кривой между границами временного
интервала (рис. 2.6).
y
t
30t2
∫
Таким образом Q = ( a + bt − 0,5 )dt .
t1
Пример. Найти общее количество воды, проникшей в грунт за
период времени 0,1 – 0,5 часа, если скорость инфильтрации
–0,5
изменяется по закону
t1 y = 15 + 5tt2 .
Искомое количество воды равно
Рис. 2.6
0,5
0,5
∫ (15 + 5t
− 0,5 0,5
Q= )dt = (15t + 10t ) = 6 + 5 2 − 10 ≈ 9,91
0,1
0,1
2.8. Вычисление объема холма при помощи интегрирования
Округлые формы рельефа – холмы, вулканические конусы,
терриконы, карстовые блюдца и воронки – часто имеют настолько
правильные очертания, что их можно рассматривать как тела,
образуемые вращением профиля формы вокруг её оси симметрии.
При планировке территории для подсчета объема выемок и насыпей
необходимо знать объемы срезаемых и засыпаемых форм рельефа.
Объемы вулканических конусов дают представление о количестве
продуктов извержений, объемы карстовых воронок – о количестве
растворенного материала. Объёмы такого рода форм рельефа можно
вычислять, воспользовавшись формулой для определения объемов тел
вращения с помощью определенного интеграла. Вычислим этим
способом объем холма, профиль которого можно аппроксимировать
экспоненциальной функцией H = H 0e − mx , где H 0 – высота вершины;
m – логарифмический декремент, характеризующий крутизну
склонов: чем склоны холма круче, тем m больше. Воспользуемся фор-
H0
1 H0
мулой V = π
∫ x 2 dH . Из равенства H = H 0e − mx выразим x = ln
m H
.
0
Таким образом:
31H0
1 H0
V =π
∫m 2
ln 2
H
dH =
0
π
= 2
[(ln 2 H 0 + 2 ln H 0 + 2) H − 2(ln H 0 − 1) H ln H + H ln 2 H ]0H 0
m
2 πH 0
Подстановка верхнего предела интегрирования дает . При
m2
подстановке нижнего предела интегрирования используем то, что
1
ln H H = 0;
lim H ln H = lim = lim
H →0 H →0 1 H →0 − 1
H H2
1
ln H −2
2
lim H ln H = lim H = lim (−2 H ln H ) = 0.
H →0 H →0 1 H →0
H2
(При вычислении данных пределов мы применили правило Лопиталя-
Бернулли.) Поэтому при подстановке нижнего предела H = 0
выражение целиком обращается в нуль. Следовательно, объем холма
2 πH 0
V= .
m2
Пример. Вычислим объем холма, профиль которого можно
аппроксимировать экспоненциальной функцией H = H 0e − mx , где H 0
= 5м высота вершины; m = 0,35 – логарифмический декремент.
2 πH 0
Воспользуемся формулой V = . Подставляя значения, получаем
m2
2π × 5
V= 2
= 256,3 м2.
0,35
2.9. Определение интенсивности потока фотонов [8, с. 39]
Определить в спектре Солнца интенсивность потока
фотонов, которые могут приводить к разложению озона.
Принять, что λmax = 1180 нм — максимальная длина волны,
способная разложить молекулу озона.
Интенсивность фотонов частоты ν в верхних слоях атмосферы
Земли вычисляется по модифицированной формуле Планка:
328β E π ν 2
FN = ,
c 2 (e hν / kT − 1)
где βE = 5,4⋅10 6 — среднее расстояние от Солнца до Земли, h, k, c —
постоянные Планка, Больцмана и скорость света в вакууме, Т —
абсолютная температура.
Проводя интегрирование по всем частотам от νmin = c/λmax =
= 2,5⋅1014 Гц до бесконечности и заменяя eh ν / k T – 1 на eh ν / k T, так как
экспонента на много порядков больше единицы, получим интеграл:
∞
2 − 2 − hν / kT
I= ∫ 8β E π ν c e dν .
ν min
Обозначая a = h /k T и b = 8 βE π c – 2, имеем несобственный интеграл:
∞
I =b
∫ ν 2 e − aν dν .
ν min
Несобственный интеграл по бесконечному промежутку понимают
как предел:
A
∫ν e
2 − aν
I = b lim dν .
A→ ∞
ν min
Интеграл под знаком предела считают с помощью метода
интегрирования по частям.
A u = ν2 du = 2ν dν
∫
2 − aT
ν e dν = 1 =
dv = e − aν dν v = − e − aν
ν min a
A A
ν 2 − aν 2 u=ν du = dν
=−
a
e
ν min
+
a ∫ ν e − aν d ν =
dv = e − aν 1
d ν v = − e − aν
a
=
ν min
A A A
⎛ ν 2 2ν ⎞ − aν 2 ⎛ ν 2 2ν 2 ⎞ − aν
= −⎜
⎝
+
⎜ a a2 ⎟
⎟e
⎠ ν min
a ∫
+ 2 e − aν dν = − ⎜
⎜
⎝ a
+ 2 + 3 ⎟e
a a ⎟⎠ ν min
=
ν min
⎛ ν2 2ν 2 ⎞⎟ − aν min ⎛⎜ A2 2 A 2 ⎞⎟ − aA
= ⎜ min + min + e − + 2 + 3 e .
⎜ a a 2 3⎟
a ⎠ ⎜ a a a ⎠⎟
⎝ ⎝
33Переходя к пределу при A → ∞ получим
⎛ ν 2min 2ν min 2 ⎞⎟ −aν min
I = b⋅⎜ + + e ≈ 2 ⋅ 10 22
фотонов ⋅ см–2
⋅ с–2
.
⎜ a a 2
a 3⎟
⎝ ⎠
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Изменение природных процессов во времени может быть
выражено с помощью математического аппарата в виде
дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения
используются, например, в геоморфологии при изучении склоновых
процессов, в динамической метеорологии. Особенно часто
используются дифференциальные уравнения в геоморфологии,
геологии и других областях, когда не удаётся установить
непосредственную связь между переменными величинами и описать
поведение системы в целом. Поэтому обычно выделяется часть
системы и рассматривается её динамика в течение бесконечно малого
промежутка времени, а также определяются зависимости,
описывающие элементарный процесс. При этом приходится
оперировать бесконечно малыми величинами и их отношениями,
поэтому полученные зависимости будут включать переменные
величины, их дифференциалы и производные, т.е. дифференциальные
уравнения. Для перехода от бесконечно малых величин, которые
связываются дифференциальными уравнениями, к конечным
величинам, описывающим систему в целом, используется операция
интегрирования.
3.1. Поля ветра в пограничном слое атмосферы
Турбулентное трение между земной поверхностью и атмосферой
приводит к уменьшению скорости ветра и изменению направления
ветра близ подстилающей поверхности. Максимальное уменьшение
скорости ветра и наибольшее отклонение его направления отмечаются
в так называемом «пограничном слое атмосферы». Таким слоем счи-
таются нижние 500 – 1000 м тропосферы. Детальное наблюдение за
возрастанием скорости ветра с высотой показало, что здесь нет пря-
мопропорциональной (линейной) зависимости и что вертикальный
сдвиг ветра, то есть скорость изменения скорости ветра на единицу
расстояния по вертикали, максимален около земной поверхности при
начальном условии, что на высоте (z), равной нулю, скорость ветра (v)
также равна нулю. Следовательно, вертикальный сдвиг ветра умень-
34шается с ростом высоты, то есть можно написать ∂v ~ 1z . Составим
∂z
дифференциальное уравнение зависимости скорости ветра от высоты
для данной подстилающей поверхности. Оно имеет вид ∂∂vz = b 1z ,
b = u∗/k, где u∗ — динамическая скорость ветра и k — постоянная
Кармана (примерно 0,4). Интегрируя, получаем v = b ln z + C, где С —
произвольная постоянная. Таким образом, мы видим, что нелинейное
увеличение скорости ветра с высотой в пограничном слое атмосферы
имеет вид полулогарифмической зависимости. Такие уравнения слу-
жат фундаментом, на котором строятся математические модели поля
ветра в пограничном слое.
3.2. Уравнения движения атмосферного воздуха
Выведем уравнения скорости геострофического и градиентного
ветра. Для того, чтобы в атмосфере могло произойти любое движение,
нужно приложить силу, сообщающую ускорение частице воздуха.
Частица воздуха, даже на молекулярном уровне имеет массу, и поэто-
му прикладываемая сила определяется произведением массы частицы
на ускорение, то есть: F = ma. В атмосфере такой силой является сила
градиента давления (барический градиент), который вызывает ускоре-
ние воздушной частицы в горизонтальной плоскости. В пределах зем-
ной атмосферы мы можем разложить градиент давления по двум го-
ризонтальным и вертикальному направлениям. Если обозначить че-
рез u, v и w соответствующие скорости в каждом направлении x, y и z,
то будем иметь
du
Fx = m , (3.1)
dt
dv
Fy = m , (3.2)
dt
dw
Fz = m . (3.3)
dt
Поскольку давление является единственной силой, действующей
на частицу воздуха в горизонтальной плоскости, можно считать, что
вдоль оси x давление p вызывает силу pdydz, действующую на прямо-
угольную площадку ABCD (рис. 3.1).
35F
dy B
E
A
dz
pdydz
C
(p + ∂p
∂x
dx )dydz G
H
D
Рис. 3.1
∂p
Так как имеется градиент давления ( ∂x ) в направлении x, то сила
∂p
барического градиента (p + dx ) dydz будет оказывать воздействие
∂x
на другую прямоугольную площадку EFGH, находящуюся на рас-
стоянии dx. Для использования градиента давления мы использовали
частные производные, поскольку он может быть разложен по трем
направлениям в соответствии с наличием трех независимых перемен-
ных x, y, z. Разность между этими двумя силами дает градиент давле-
ния в направлении x, то есть:
∂p ∂p
Fx = m[ pdydz – (p + dx ) dydz] = – m ( dx dydz). (3.4)
∂x ∂x
Считая, что масса частицы воздуха равна единице, и учитывая,
что плотность (ρ) есть отношение массы тела к его объему, имеем:
∂p 1
Fx = − (3.5)
∂x ρ
и аналогично
∂p 1
Fy = − . (3.6)
∂y ρ
Мы можем получить такое же выражение и для вертикального
направления z, но в этом случае мы должны принять во внимание
ускорение силы тяжести g, которое вызывает падение атмосферного
давления с высотой (вертикальный барический градиент), и отсюда:
∂p 1
Fz = g = − (3.7)
∂z ρ
36Сравнивая уравнение (3.1) с (3.5), а уравнение (3.2) с (3.6), получаем:
du ∂p 1 dv ∂p 1
=− , =− . Введем в уравнение соответствующий член
dt ∂x ρ dt ∂y ρ
для выражения силы Кориолиса (опять по отношению к единице
массы): C = 2VΩ sin φ = Vf, где V – скорость ветра, направленная по
градиенту давления (полному), Ω – угловая скорость вращения Земли,
φ – географическая широта, а f – так называемый параметр Кориолиса.
Если мы разложим силу Кориолиса по двум взаимно
перпендикулярным направлениям y и x, скорости вдоль которых
обозначены соответственно через v и u, а также учтем, что сила
Кориолиса пропорциональна по величине и перпендикулярна по
направлению скорости ветра, то поучим, что компонента силы
dv
Кориолиса vf не связана с компонентой ускорения в направлении
dt
du
y, а связана с компонентой в направлении x. Таким образом,
dt
du ∂p 1
уравнения движения в направлениях x и y имеют вид: =− ,
dt ∂x ρ
dv ∂p 1
=− . Можно преобразовать эти уравнения, заметив, что если
dt ∂y ρ
du dv
и равны нулю, то составляющие скорости ветра, отвечающие
dt dt
этим условиям, будут пропорциональны градиенту давления, так что
для u и v мы имеем:
∂p 1 ∂p 1
u =− , v= − .
∂y fρ ∂x fρ
Условия, при которых составляющие ускорения по каждому на-
правлению равны нулю, определяют условия установившегося тече-
ния, и возникающий ветер, образующий прямой угол с градиентом
давления (то есть он направлен по параллельным изобарам), называ-
ется геострофическим. Такой ветер должен дуть перпендикулярно на-
правлению градиента давления, поскольку в выражении для u (ком-
поненты вдоль оси x) содержится градиент давления только вдоль оси
y. Мы можем записать уравнение для геострофического ветра, найдя
компоненты u и v для любого момента времени, так как такой ветер
дует параллельно построенным изобарам. Обозначая скорость гео-
37dp 1
строфического ветра Vg, будем иметь: Vg = , где n – направление
dn fρ
по нормали к изобарам. Для искривленного изобарического течения
следует преобразовать уравнение, добавив член, отражающий центро-
стремительное ускорение. Это ускорение искривляет траекторию
движения частицы воздуха относительно изобары. Центростреми-
тельное ускорение возрастает с уменьшением радиуса кривизны тра-
ектории и с увеличением скорости ветра. Отсюда, если обозначить че-
рез r радиус кривизны, то для антициклона, где центростремительное
ускорение направлено против градиента давления, получим:
V 2 dp 1
fV = − , а для циклона, где барический градиент и центрост-
r dr ρ
ремительное ускорение действуют в одном направлении, будем иметь:
V 2 dp 1
fV = − − .
r dr ρ
3.3. Задача о росте дерева [1, с. 66]
Свободную энергию (активные вещества) дерево получает
путем фотосинтеза. Она расходуется на собственно сам процесс
фотосинтеза, на рост дерева (то есть на построение живой
ткани) и на подъем раствора питательных веществ из почвы. За
большие промежутки времени растение получает постоянное
количество света на единицу поверхности и может поглощать
питательные вещества из неограниченного запаса. Найти закон
роста дерева любой породы, учитывая, что зрелое растение в
процессе роста сохраняет свои пропорции.
Пусть функция x = x( t) описывает линейные размеры дерева в
момент времени t, используемые для высоты и вычисления площади
поверхности зеленой части (кроны) дерева, а также объема растения.
Составим уравнение баланса энергии.
Свободная энергия Eф образуется путем фотосинтеза в зеленой
части растения и ее величина растет пропорционально поверхности ее
кроны, то есть
Eф = k1⋅x2,
где k1 — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и
формы листвы, а также от интенсивности фотосинтеза.
Энергия от фотосинтеза Eф будет расходоваться полностью на
следующие процессы:
38Вы также можете почитать
