Лекция 34. Поверхности 2-го порядка

Потребность в переходе

Лекция № 34. Поверхности 2-го порядка
 
 + + = + − = 
 
 + = 
 
 конус
 
 + − = 
 эллипсоид 

 эллиптический
 − = 
 параболоид
 
 + − = − 
 
 однополостный
 гиперболоид
 гиперболический двуполостный
 параболоид Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 1 гиперболоид

действительная функция одного действительного
 1 ⊆ ℝ ⊆ ℝ аргумента (ф-я одного аргументов)
 действительная функция двух действительных
 2 ⊆ ℝ ⊆ ℝ аргументов (ф-я двух аргументов)
 действительная функция трех действительных
 3 ⊆ ℝ ⊆ ℝ аргументов (функция трех аргументов)
Определение. Переменная называется функцией двух Определение. Переменная называется функцией трех
переменных и , если по некоторому закону каждой паре переменных , , если по некоторому закону каждой тройке
( , ) из некоторого множества ставится в соответствие ( , , ) из некоторого множества ставится в соответствие
вполне определенное значение ; = , . вполне определенное значение ; = , , .
 , − независимые переменные , , − независимые переменные
2,3,4 - функции точки. Изучать их можно с общих позиций. В этом – ближайшая цель!
Функция точки. = ; ∈ ⊆ ℝ ; ∈ ⊆ ℝ ; ∈ ⊆ ℝ . Область опр.
 
 ( ) 
 ℝ ℝ 
 ℝ 
 
 { } ≝ ∈ ℝ: , < ; = { }\ 
 Функция Область определения Область значений
 № 2 –х (3 - х) переменных ℝ2 (ℝ3 ) или их части ℝ1 или её часть
 1 = − ≥ [ ; ∞]
 2 = / ∙ ∙ ≠ −∞; ∪ ; ∞ = ℝ ∖ {( )}
 3 = ( ∙ ) ℝ [− ; ]
 4 = + + ℝ [ ; ∞)
 5 = /( + + ) ℝ ∖ {( , , )} ( ; ∞)
 6 = ∙ ∙ ( ) полупространство > ℝ 
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 2

1. Графические образы
На плоскости задана система координат В пространстве задана система координат
 = определена на . = , определена на .
 Множество точек ( , ), ∈ , Множество точек ( , , , ), , ∈ ,
 соединенных последовательно, соединенных последовательно,
 называется графиком функции ( ). называется графиком функции ( , ).
График = − линия на плоскости График = , − поверхность
 Линии уровня,
 контурные линии
 ( , ) ( , , , )
 … 1. Как строить?
 … … 
 
 Исследование функций и построение … 
 графиков с помощью производных
 … … … …
 
 Всё принципиально новое «проявляется» при … 
 переходе от одного переменного к двум
 Классификация поверхностей, как и кривых на плоскости – по разным признакам… (сфера
 интересов); при изучении ряда общих понятий (предел, непрерывность, интегрирование,
 дифференцирование, …) - классификации не требуется. Но иногда очень полезна ..
 Пока – по типу уравнения: алгебраические и его порядку – кривые (поверхности) 1го порядка, 2го, …
Класс линий 1го порядка на плоскости – один – прямые; + + = ,
 2го порядка – 3 (невырожденные: эллипсы, гиперболы, параболы).
Класс поверхностей 1го порядка – один – плоскости; + + + = ,
 2го порядка – 17 (5 - невырожденных) – предстоит рассмотреть.
Предел, непрерывность, дифференцирование, интегрирование,… - перенести с 1го на многие…
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 3

2. Линии уровня, контурные линии
 Для изучения характера изменения функции
 = , 
 Линии уровня – множество точек на плоскости
 , в которых = , принимает заданное
 постоянное значение = . Линию можно также
 получить, пересекая график функции = , 
 плоскостью = , и проектируя линию
 пересечения ортогонально на плоскость .
 Система линий уровня , = , где + −
 = = , позволяет судить об изменении
 функции: там, где линии уровня гуще – функция
 изменяется быстрее и наоборот.

 = + 
y 40
 40
4 30
 20 40
2 10 35
 5 30
 25
0
 20
 = 15
-2 10
 15 40
 25 5
-4 40 35 0
-6
 -6 -4 -2 0 2 4 x Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 4

 Пример 1.
 Построить математический 
 объект. Что это за объект? Как + = 
 естественно его назвать? 
 Поверхность

 «вытянуты» вдоль оси без квадрата
 
 парабола в плоскости ; 
 
 ⇛ = ⇒ = ; вершина в ∙ ; ветви вдоль
 оси в ⊕ направлении
 парабола в плоскости ; 
 ⇛ = ⇒ = ; вершина в ∙ ; ветви вдоль
 оси в ⊕ направлении
 ⇛ = ⇒ = ; = − начало координат;
 + = ± 
 = > ⇒ + = − эллипс 
 
 + = 

 Эллиптический параболоид
 Если ↑ ⇒ 
 полуоси эллипса 
 увеличиваются 
 
 + = ± 
 
 В компьютерном
 варианте это 
 выглядит так + = ± 
∎ Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 5

Галерея. Рассмотреть простейшие после плоскостей … По схеме изучения кривых

 Линия на плоскости Поверхность в пространстве
 З а д а н а с и с т е м а к о о р д и н а т
 ; , = ; , , = ;
 Классификация поверхностей, как и кривых на плоскости – по разным признакам… пока – по
типу уравнения: алгебраические и его порядку – кривые (поверхности) 1го порядка, 2го порядка
Класс линий 1го порядка на плоскости – один – Класс поверхностей 1го порядка – один –
 прямые; – изучили; плоскости; – изучили;
 {прямая в ℝ } ⟺ {( , ) ∈ ℝ | {плоскость в ℝ } ⟺ {( , , ) ∈ ℝ |
 + + = ; + ≠ } + + + = ; + + ≠ }
 Теорема 1. Любая прямая на плоскости Теорема 2. Любая плоскость в пространстве
представляет собой алгебраическую кривую представляет собой алгебраическую поверхность
 1го порядка и любая алгебраическая кривая 1го порядка и любая алгебраическая поверхность 1го
 1го порядка на плоскости есть прямая порядка в пространстве есть плоскость
Класс линий 2го порядка на плоскости: Класс поверхностей 2го порядка в ℝ :
 + + + + + + + + + 
 + = . + + + + + = .
Состоит из 3-х невырожденных типов кривых Состоит из 6-ти невырожденных объектов
эллипсы, гиперболы, параболы – изучен; (всего их 17) – предстоит изучить цель лекции

 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 6

Необходимо вспомнить, как это было проделано для плоских кривых 2го порядка:
 + + + + + = , (1)
где , , , , , − константы (коэффициенты уравнения), , − переменные. Если в этом
уравнении хотя бы один из коэффициентов при членах второй степени отличен от нуля
(аналитически это состоит в требовании + + ≠ ), то кривые, описываемые (1),
называются кривыми второго порядка на плоскости.
 ; ; − квадратичные члены, ; −линейные, −свободный член.
Кривые второго порядка были известны еще в Древней Греции. Тогда они назывались «коническими сечениями»,
изучению свойств которых посвящались научные трактаты. Применение изученных греками кривым нашлось в XVII –
XVIII веках в баллистике и астрономии: выяснилось, что пушечное ядро летит по параболической траектории, а движение
планет происходит по эллиптическим орбитам. Позже в небесной механике были введены понятия космических
скоростей. Оказалось, что тело, запущенное с земной поверхности c разной начальной скоростью может двигаться в
космическом пространстве по различным траекториям, представляющие собой кривые второго порядка: окружность,
эллипс, параболу, гиперболу. В XX веке многие физические эксперименты показали, что частицы в этих экспериментах
двигаются по траекториям, являющимися кривыми второго порядка. Например, заряженная частица в однородном
электрическом поле плоского конденсатора движется по параболе, или альфа-частицы в опыте Резерфорда при
рассеивании их ядром атома движутся по гиперболам. В этой связи, изучение кривых второго порядка в рамках курса
высшей математики имеет весьма важное как теоретическое, так и прикладное значение.
Некоторые кривые второго порядка изучались еще в школьном курсе алгебры: например, парабола, описываемая в
декартовой системе координат уравнением = + + , окружность с уравнением − + − = , где
 , – координаты центра, а – радиус, или гипербола = , уравнение которой записывается в виде = / .
 Все ли это кривые 2го порядка? Или есть ещё? окружность: + = ;
 Существует несколько подходов: парабола: = + + ;
 гипербола: ⋅ = ;
1. Преобразование координат с целью упрощения уравнения (1) (приведение его к канонической
 форме). Порядок уравнения при этом не меняется. После процедуры приведения уравнения к
 каноническому виду изучаются свойства кривой. Сейчас это математическая классика
 (математический).
2. Подход Аполлония Пергского (конические сечения).
3. Формулировки определения кривой (фактически её основное свойство) и вывод уравнения.
4. Теория инвариантов.
Достоинства и недостатки … Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 7

Приведение уравнения кривой второго порядка к
 каноническому виду
 + + + + + = , ( )
Далее предстояло рассмотреть все возможные кривые второго порядка, которые
удовлетворяют (1). Для упрощения анализа уравнения (1) его рассматривают в другой
декартовой системе координат, в которой уравнение (1) будет иметь наиболее простой вид.
Ранее были получены формулы перехода от одной системы координат к другой с помощью
параллельного переноса, поворота координатных осей на угол или совместного
применения того и другого. Рассмотрим вопрос об упрощении уравнения описывающего
кривую 2го порядка (1), при преобразовании системы координат на плоскости.
Начнем со случая, когда в уравнении (1) отсутствует член, содержащий произведение , то
есть, коэффициент = и оно имеет вид: + + + + = .
 
Упростить его можно, если применить параллельный перенос системы координат. Для этого
заменим и в рассматриваемом уравнении на ′и ′ по формулам (2):
 ′ + + ′ + + ′ + + ′ + + = ;
 , − здесь координаты «нового» центра системы координат в «старой» системе и мы их
можем выбирать по своему усмотрению. Раскрываем скобки и приводим подобные:

 I. Параллельный перенос ′ + ′ + ′ + + ′ + +
 ′ ′ + + + + + = . Положим
 , ∈ ; , ,
 ( ) + = ; + = 
 ′ , ′ ∈ ′ ′ ′ :
 ⇒ = − ; = − и (1) принимает вид
 ′ ′ ′
 = + , ′ + ′ + ( ) = −
 ′ (2)
 = + . уравнение 2го порядка без линейных членов!

 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 8

Замечание. Случай = и другие частные случаи будут рассмотрены позднее (более просто).
Если ≠ , то в (1) можно избавиться от квадратичного члена с помощью поворота
системы координат на угол , то есть формул:
 , ∈ ; ′ , ′ ∈ ′ ′ ′ :
 «Техника» остается прежней: подстановка
 = ′ − ′ , в (1) в место и соответствующих
 ′ ′
 = + . (3) значений ′ и ′ из формул перехода (3)
 или (4). Преобразования становятся
 II. Поворот системы довольно громоздкими, но принципиально
 нового они ничего не содержат.
 координат С подробностями можно познакомиться в
 ; более полных курсах аналитической
 ′ геометрии, например, в:
 ′; ′
 ′ Акопян А. В., Заславский А. А.
 ′ Геометрические свойства кривых второго
 ′ = + ′ − ′ , порядка. – М.: МЦНМО, 2007. – 136 с.
 (4)
 ′ = + ′ + ′ .
 III. Параллельный перенос
 и поворот
Кропотливо перебрав все возможные варианты коэффициентов в полученных после
преобразований уравнениях, приходим к фундаментальному результату:

Теорема 3. Для любой плоской кривой 2го порядка существует прямоугольная
 система координат, в которой она имеет один из следующих видов
 уравнений (называемых каноническими уравнениями) ⟹Табл.

 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 9

Классификация линий 2го порядка по каноническим уравнениям
№ Название кривой Каноническое уравнение
1 Эллипс (при = = – окружность) + = ; + = 
2 Мнимый эллипс + = − 
3 Пара пересекающихся мнимых прямых + = 
4 Гипербола − = 
5 Пара пересекающихся прямых − = 
6 Парабола = 
7 Пара параллельных прямых − = 
8 Пара параллельных мнимых прямых + = 
9 Пара совпадающих прямых = 
Кривую «можно узнать» так же по инвариантам без приведения к каноническому виду!
 + + + + + = ; переобозначим коэффициенты
 + + + + + = ; = , = , = 
 Инварианты относительно поворота и сдвига системы координат - числа:
 
 ∆= ; = ; = + = ;
 
 = + − инвариант
 системы
 относительно поворота
 координат (полуинвариант) Тогда ⟹Табл.
 
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 10

Классификация кривых 2го порядка по инвариантам
 Вид Признаки вида Название линии
 ∙ ∆< Эллипс
Параболический Гиперболический Эллиптический

 ∆≠ 
 > ∙ ∆> Эллипс мнимый
 тип

 ⇕
 ( ∙ > ) Пара мнимых пересекающихся прямых
 Центральные

 ∆= 
 , | − + = 

 ∆≠ Гипербола
 

Свойство Эллипс Гипербола Парабола
 Канонические уравнения + = ; > − = = 
 Фокальные свойства + = − = = + 
 Фокусы , ± ; ; = − , ± ; ; = + ( / ; )

 Эксцентриситет = = − < = = + > = 
 Фокальные радиусы , = ± , = ± + = + 
 Директрисы = ± / = ± / = − / 
 Асимптоты --- = ± / ---
 Фокальный параметр = = 

 Директориальное , ( , ) = ; − −ый фокус, − −я директриса
 свойство коник 

Коника Уравнение Схема
 
 на «длинной» оси
 
 . + = ; ≥ > ; 
 
 Фокусы
Эллипс

 = − ; , ∈ 
 - - 
 
 . + = ; < ≤ ;
 - - 
 
 = − ; , ∈ : = ± ; = / : = ± ; = / 
 
 Фокусы на оси

 . − = ; 
 с «плюсом»
Гипербола

 = + ; , ∈ 
 - - 
 - 
 
 - 
 . − = ;
 
 = + ; , ∈ : = ± ; = / : = ± ; = / 
 
 . = , > ; 
 Ветви вдоль оси
 «без квадрата»

 ( , )
 : = − 

 ( , ) ; : = − 
Парабола

 = + − касат.
 ( , ) 
 . = , > ;
 ( , ) ; : = − ; : = − 
 , = − фок. парам. = , = , 
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 13

3. Поверхности 2го порядка
Поверхностью 2го порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы
координаты которых удовлетворяют уравнению
 , , = + + + + + + + + + 
- квадратичной функции трёх переменных. Инвариантами этой функции относительно
преобразования координат (параллельного переноса и поворота осей) являются числа:
 ИНВАРИАНТЫ

В зависимости от значений инвариантов поверхности «конкретизируются» - подразделяются
на виды. В случае поверхностей 2го порядка существует 17 различных комбинаций (Табл. на
следующем слайде; на название поверхностей пока не обращаем внимание)
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 14

17 видов поверхностей 2-го порядка; невырожденные?

 ①
 ②
 ③
 ④
 ⑤
 ⑥
 ⑦
 ⑧
 ⑨
 ⑩
 ⑪
 ⑫
 ⑬
 ⑭
 ⑮
 ⑯
15 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка ⑰

4. Приведение уравнения поверхности 2го порядка к
 
 каноническому виду
 + + + + + + + + + = ( )
 
Далее предстоит рассмотреть все возможные поверхности 2го порядка, координаты точек
которых удовлетворяют уравнению (1). Для упрощения анализа уравнения (1) его
рассматривают в другой системе координат, в которой (1) будет иметь наиболее простой вид.
Идейная сторона вопроса аналогична соответствующим моментам для кривых 2го порядка,
однако «техника» исполнения значительно усложняется (больше возможностей поворота СК).
Осуществляя сказанное выше, приходим к основному выводу:
Теорема 4. Для любой поверхности 2го порядка существует прямоугольная
 система координат, в которой она имеет один из следующих видов
 уравнений (называемых каноническими уравнениями) ⟹Табл.
 ① ② ③ ④
 
 + + = + + = − + − =0 + − = 
 
 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
 
 + − = − + − = + = − = 
 
 ⑨ ⑩ ⑪ ⑫
 
 + = + = − + = − = 
 
 ⑬ ⑭ ⑮ ⑯-⑰
 + = ;
 − = = = = 
 
 Далее: построить эти поверхности, дать названия, изучать свойства …
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 16

 
 Схема того, как это делается – была. Вспомним.
 Построить поверхность 2го порядка.
 Как естественно её назвать? 
 + = 
 Поверхность 

 «вытянуты» вдоль оси без квадрата
 
 парабола в плоскости ; 
 
 ⇛ = ⇒ = ; вершина в ∙ ; ветви вдоль
 оси в ⊕ направлении
 парабола в плоскости ; 
 ⇛ = ⇒ = ; вершина в ∙ ; ветви вдоль
 оси в ⊕ направлении
 ⇛ = ⇒ = ; = − начало координат;
 = > ⇒ + = − эллипс + = ± 
 
 + = 

 Эллиптический параболоид
 Если ↑ ⇒ 
 полуоси эллипса 
 увеличиваются 
 
 + = ± 
 
 В компьютерном
 варианте это 
 выглядит так + = ± 
∎ Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 17

5. Построение невырожденных поверхностей 2го порядка
 по их каноническим уравнениям. 
 + + = ( )
5.1. Эллипсоид 
Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в
некоторой декартовой СК удовлетворяют уравнению(1); , , – положительные константы –
полуоси эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.
Система координат, в которой эллипсоид имеет такое уравнение называется его
канонической системой координат, а уравнение – каноническим уравнением.
Исследование и построение. Метод сечений координатными плоскостями
1) Эллипсоид имеет центр симметрии ( ; ; ) и три плоскости симметрии , , 
2) Сечения плоскостями = : Это уравнение при | | < определяет
 эллипс с полуосями
 
 + + = , ⇒ + = − − и − ;
 с ростом | | полуоси эллипса уменьшаются
 = 
 при | | = – точки , (± ; ; ); при | | > – мнимая кривая (нет пересечения).

3) Сечения плоскостями = : Это уравнение при | | < определяет
 + + = ,
 
 эллипс с полуосями
 ⇒ + = − − и − ;
 = 
при | | = – точки , ; (± ; ); при | | > – мнимая кривая (нет пересечения).
4) Сечения плоскостями = : Это уравнение при | | < определяет
 
 + + = , ⇒ + = − 
 эллипс с полуосями
 = − и − ;
при | | = – точки , ; ( ; ; ± ); при | | > – мнимая кривая (нет пересечения).
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 18

Приведенных данных
 достаточно
 Сфера
 Если все три полуоси
 для изображения схемы эллипсоида
 с
 равны ⟹ сфера
 каноническим уравнением:
 исследуемой поверхности 
 + + = 
 ∥ , 
 
 − 
 ( ) 
− 
 
 − 
 
 «Книжный» вариант

 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 19

 ) однополостный 5.2. Гиперболоиды ) двуполостный
Однополостным (двуполостным) гиперболоидом называется геометрическое место
точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе
координат удовлетворяют уравнению ( , , – положительные константы):
 
 +
 + 
 −
 − == 
 + − = − 
 
 Система координат, в которой гиперболоид
 имеет такое уравнение, называется его
 канонической системой координат, а
 уравнение – каноническим уравнением. 
 Величины , и называются полуосями
 гиперболоидов. При = , гиперболоиды
 является поверхностями вращения.
 
 + − = ; 
 + − = − ;
 
 − + = ; − + = − ;
 
− + + = ( ) − + + = − ( )
 
 «вытянуты» вдоль оси, Шуховская «вытянуты» вдоль оси,
 перед квадратом которой (Шаболовская) перед квадратом которой
 в уравнении стоит минус башня в уравнении стоит минус
Теорема. Через любую точку однополостного гиперболоида проходят две прямых,
лежащие полностью на нём (линейчатая поверхность). Строительные конструкции Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 20

Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 21

 ) эллиптический 5.3. Параболоиды
 ) гиперболический
Эллиптическим (гиперболическим) параболоидом называется геометрическое место
точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат
удовлетворяют уравнению ( и называются параметрами параболоида):
 Рассматривали

 строили
 седловую точку
 + = − = 
 
 Система координат, в которой
 параболоид имеет такое уравнение,
 называется его канонической
 системой координат, а уравнение –
 каноническим уравнением.
 Точка O называется вершиной
 
 Если = , то
эллиптический параболоид
 является поверхностью
 вращения
 
 + = ± ;
 
 − = ± ;
 + = ± ; 
 
 − 
 = ± ;
 + = ± ( ) 
 
 «вытянуты» вдоль 
 − 
 = ± ( )
 оси без квадрата 
22 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка «Перед которой плюс перед квадратом»

Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 23

5.4. Конус
 Конусом второго порядка называется геометрическое
 место точек пространства, координаты которых в
 некоторой декартовой системе координат
 удовлетворяют уравнению
 
 + − = ; + = −
 
 - вершина , , – положительные константы – полуоси конуса.
 Система координат, в которой конус имеет такое
 уравнение, называется его канонической системой
 координат, а уравнение – каноническим уравнением.

 Если = , то
 поверхность
 + − = ; вращения
 
 − + = ;
 
 − + + = ( )
 
 «Ось симметрии –
 соответствует … координате
 с минусом в уравнении»
 Общее определение ⟹
24 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка

 5.4.1. Общее определение конуса
 Поверхность, образованная прямыми линиями,
 проходящими через заданную точку и
 пересекающими данную плоскую линию (не
 ( ; ; ) проходящую через ), называется конической
 поверхностью или конусом.
 − направляющая; − вершина;
 прямая, описывающая поверхность – образующая.
 Получим уравнение такого конуса. Дано:
 , , = 
 : ; ( ; ; ) ; ( ; ; ) ∈ конусу.
 , , = 
 Необходимо связать текущие координаты , , .

 Пусть ; ; − точка пересечения образующей, проходящей через , с
направляющей . ∈ ⟹ координаты удовлетворяют уравнению линии ⟹
 ; ; = ,
 ; ; = .
 Канонические уравнения образующих, проходящие через и , имеют вид:
 − − − 
 = = .
 − − − 
 Исключая ; ; из записанных соотношений, получаем уравнение искомой
 поверхности ∎ Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 25

Задача. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, если
направляющей служит эллипс + = , лежащий в плоскости = .
Решение. Пусть ( ; ; ) ∈ конусу – любая (текущая) точка конуса. Канонические
уравнения образующих, проходящих через точки ; ; и точку ; ; 
пересечения образующей с эллипсом будут
 
 = = .
 
Исключаем , , из этих уравнений и уравнения + = (точка
 ; ; лежит на эллипсе), = .

Имеем:
 
 = , = ⟹ = ∙ ; = ∙ .
 
 Подставляя эти значения в уравнение эллипса, получаем

 ∙ ∙ 
 + = ⟺ + = ∎
 ∙ ∙ 

 Сравнение с ранее введенным определением конуса!

 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 26

 

 ( ; ; )

 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 27

5.5. Цилиндрические поверхности
Цилиндрической поверхностью (цилиндром)
называется поверхность, которую описывает прямая
(образующая), перемещающаяся параллельно самой
себе вдоль некоторой кривой (направляющей). 
Всё, в том числе и сложность получения уравнений, их
вид, зависит от направляющей и образующей. 
Наиболее простой вид уравнения цилиндров имеют
когда направляющие лежат в одной из координатных образующая направляющая
плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, ⊥ этой плоскости.
Цилиндр в этом случае задается уравнением, в которое не входит одна из
координат. Кривая, которую определяет это уравнение в соответствующей
координатной плоскости, является направляющей цилиндра, а образующая –
параллельна оси отсутствующей координаты.
Покажем это на примере, когда направляющая с уравнением , = лежит в
плоскости , а образующие параллельны оси . Возьмём на цилиндре
∀ ∙ , , . Она лежит на какой-то образующей. Пусть − точка пересечения
этой образующей с плоскостью ⟹ ∙ ∈ и её координаты удовлетворяют
уравнению , = . Но точка , , имеет такие же абсциссу и ординату, что
и точка ; ⟹ уравнению , = удовлетворяют и координаты точки
 , , , так как она не содержит . Поскольку − любая точка цилиндра, то
уравнение , = и будет уравнением этого цилиндра. ∎
Точно такие же рассуждения показывают, что , = есть уравнение цилиндра
с образующими, параллельными оси , а , = − с образующими,
параллельными . Такие цилиндры именуют по типу направляющей: круговые,
эллиптические, параболические, гиперболические, … Если направляющей цилиндра
является кривая второго порядка, то соответствующий цилиндр – второго порядка,
его уравнение – уравнение второй степени.
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 28

① ② ③ ④
 
 + + = + + = − + − = + − = 
 
 Однополостный
 Эллипсоид Мнимый эллипсоид Мнимый конус гиперболоид
 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
 
 + − = − + − = + = − = 
 
 Двуполостный Эллиптический Гиперболический
 гиперболоид Конус параболоид параболоид
 ⑨ ⑩ ⑪ ⑫
 
 + = + = − + = − = 
 
 Мнимый Пара мнимых
 Эллиптический эллиптический пересекающихся Гиперболический
 цилиндр цилиндр плоскостей цилиндр
 ⑬ ⑭ ⑮ ⑯-⑰
 + = −
 
 = = мнимые ∥ плоскости
 − = 
 Пара = − пара
Пара пересекающихся Параболический параллельных совпадающих
 плоскостей цилиндр плоскостей плоскостей
 эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды,
 эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры и конус –
 полный список всех невырожденных поверхностей 2го порядка
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 29

Классификация уравнений поверхностей 2го порядка

 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 30

Замечание
 Среди представленных
 уравнений есть такие,
 которым не удовлетворяет
ни одна точка пространства.
Например, уравнения 15, 16,
17 не представляют никакого
 геометрического образа.
 Однако, в этом случае
 говорят, что они
 представляют
 соответственно мнимый
 эллипсоид, мнимый
 эллиптический цилиндр, и
пару мнимых параллельных
 плоскостей - эти уравнения
 определяют вырожденные
 поверхность 2го порядка
 (мнимые поверхности).
 К вырожденным
 поверхностям 2го порядка
также относятся плоскости и
 точки, которые задаются
 уравнениями 2го порядка.
 Уравнение 13 представляет
 только одну точку – начало
 координат. Однако, по
 сходству с уравнением 4
 говорят, что уравнение 13
представляет мнимый конус
 2го порядка с
 действительной вершиной.
 Невырожденных
 поверхностей 2го порядка
5ть типов:
 эллипсоид,
 гиперболоиды,
 конус,
 параболоиды,
 цилиндры
 (всего 9 поверхностей).
Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка
 31

 = − = + = z
 
 y
 
 x

Эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 32

5.6. Поверхность вращения
 это поверхность, образованная вращением
 плоской кривой вокруг оси, ∈ ее плоскости
 
 , = ,
Кривая : лежит в плоскости .
 = . ; ; 
Задача: получить уравнение поверхности, ( ; ; )
 
образованной вращением вокруг оси .
 
Решение. Пусть ( ; ; ) точка на поверхности (текущая точка).
Проведём через неё плоскость⊥оси . ∙ ( ; ; ) и 
 ; ; − точки пересечения плоскости с осью и кривой . 
 = , = . Но = + ⟹ 
 
= ± + . ∈ ⟹ , = . 
Исключая вспомогательные координаты ; ⟹ ± + ; = −
 
- искомое уравнение поверхности. Ему удовлетворяют координаты любой точки поверхности
и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения. Формально
получается заменой в уравнении «вращающейся кривой» на ± + , координата 
(одноимённая оси вращения) остаётся без изменения.
При вращении этой же кривой около оси приходим к уравнению
 ; ± + = .
Если ∈ с уравнением ; = , то поверхность вращения
 вокруг оси , описывается уравнением: ; ± + = .
Пример. Прямая = вращается вокруг оси .
Что получается и уравнение. (Конус вращения): Другие варианты ⟹
 
 ± + = ⇔ + = . Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 33

Поверхности вращения. Сводка
 Вращающаяся линия Уравнение поверхности
уравнение
 плоскость ось вращения
 располож. вращения
 , = ,
 ± + ; = 
 = .
 , = ,
 ; ± + = 
 = .
 , = ,
 ; ± + = 
 = .
 , = ,
 ; ± + = 
 = .
 , = ,
 ; ± + = 
 = .
 , = ,
 ± + ; = 
 = .
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 34

ЧТО ОЗНАЧАЮТ НАЗВАНИЯ ТЕЛ
 ВРАЩЕНИЯ?

Конус (греч.яз. konos – Цилиндр (греч.яз.
 «затычка», «втулка», Kylindros –
 «сосновая шишка»). «валик», «каток»).
 Шар и Сфера
 (греч.яз. –
 «сфайра» – «мяч»).

 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 35

Претендующим на отличные оценки:
 Доказать, что через любую точку однополостного гиперболоида проходят две
 прямые, лежащие полностью на нём (линейчатая поверхность)

 Вопросы для самопроверки
1. Классификация линий на плоскости и поверхностей в пространстве по порядку
 уравнений, их представляющих. Общие уравнения кривых и поверхностей I-го и II-го
 порядков. Как много линий I-го и II-го порядков в ℝ , поверхностей I-го и II-го второго
 порядка в ℝ ?
2. Определения, канонические уравнения, их основные элементы, построение графиков;
 расположение относительно координатных осей в зависимости от уравнений
 a) эллипсоида, сферы;
 b) однополостного гиперболоида;
 c) двуполостного гиперболоида;
 d) эллиптического параболоида;
 e) гиперболического параболоида.
3. Линейчатые поверхности II-го порядка. Где используется это свойство (ТВ башня на
 Шаболовке …).
4. Определения, основные элементы, построение уравнений
 a) поверхностей вращения;
 b) конических поверхностей;
 c) цилиндрических поверхностей.
5. Сфера и тор как поверхности вращения.

Конец лекции №34
 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 36

Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 37