Лекция 34. Поверхности 2-го порядка
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
Потребность в переходе Лекция № 34. Поверхности 2-го порядка + + = + − = + = конус + − = эллипсоид эллиптический − = параболоид + − = − однополостный гиперболоид гиперболический двуполостный параболоид Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 1 гиперболоид
действительная функция одного действительного
1 ⊆ ℝ ⊆ ℝ аргумента (ф-я одного аргументов)
действительная функция двух действительных
2 ⊆ ℝ ⊆ ℝ аргументов (ф-я двух аргументов)
действительная функция трех действительных
3 ⊆ ℝ ⊆ ℝ аргументов (функция трех аргументов)
Определение. Переменная называется функцией двух Определение. Переменная называется функцией трех
переменных и , если по некоторому закону каждой паре переменных , , если по некоторому закону каждой тройке
( , ) из некоторого множества ставится в соответствие ( , , ) из некоторого множества ставится в соответствие
вполне определенное значение ; = , . вполне определенное значение ; = , , .
, − независимые переменные , , − независимые переменные
2,3,4 - функции точки. Изучать их можно с общих позиций. В этом – ближайшая цель!
Функция точки. = ; ∈ ⊆ ℝ ; ∈ ⊆ ℝ ; ∈ ⊆ ℝ . Область опр.
( )
ℝ ℝ
ℝ
{ } ≝ ∈ ℝ: , < ; = { }\
Функция Область определения Область значений
№ 2 –х (3 - х) переменных ℝ2 (ℝ3 ) или их части ℝ1 или её часть
1 = − ≥ [ ; ∞]
2 = / ∙ ∙ ≠ −∞; ∪ ; ∞ = ℝ ∖ {( )}
3 = ( ∙ ) ℝ [− ; ]
4 = + + ℝ [ ; ∞)
5 = /( + + ) ℝ ∖ {( , , )} ( ; ∞)
6 = ∙ ∙ ( ) полупространство > ℝ
Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 2
1. Графические образы На плоскости задана система координат В пространстве задана система координат = определена на . = , определена на . Множество точек ( , ), ∈ , Множество точек ( , , , ), , ∈ , соединенных последовательно, соединенных последовательно, называется графиком функции ( ). называется графиком функции ( , ). График = − линия на плоскости График = , − поверхность Линии уровня, контурные линии ( , ) ( , , , ) … 1. Как строить? … … Исследование функций и построение … графиков с помощью производных … … … … Всё принципиально новое «проявляется» при … переходе от одного переменного к двум Классификация поверхностей, как и кривых на плоскости – по разным признакам… (сфера интересов); при изучении ряда общих понятий (предел, непрерывность, интегрирование, дифференцирование, …) - классификации не требуется. Но иногда очень полезна .. Пока – по типу уравнения: алгебраические и его порядку – кривые (поверхности) 1го порядка, 2го, … Класс линий 1го порядка на плоскости – один – прямые; + + = , 2го порядка – 3 (невырожденные: эллипсы, гиперболы, параболы). Класс поверхностей 1го порядка – один – плоскости; + + + = , 2го порядка – 17 (5 - невырожденных) – предстоит рассмотреть. Предел, непрерывность, дифференцирование, интегрирование,… - перенести с 1го на многие… Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 3
2. Линии уровня, контурные линии Для изучения характера изменения функции = , Линии уровня – множество точек на плоскости , в которых = , принимает заданное постоянное значение = . Линию можно также получить, пересекая график функции = , плоскостью = , и проектируя линию пересечения ортогонально на плоскость . Система линий уровня , = , где + − = = , позволяет судить об изменении функции: там, где линии уровня гуще – функция изменяется быстрее и наоборот. = + y 40 40 4 30 20 40 2 10 35 5 30 25 0 20 = 15 -2 10 15 40 25 5 -4 40 35 0 -6 -6 -4 -2 0 2 4 x Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 4
Пример 1. Построить математический объект. Что это за объект? Как + = естественно его назвать? Поверхность «вытянуты» вдоль оси без квадрата парабола в плоскости ; ⇛ = ⇒ = ; вершина в ∙ ; ветви вдоль оси в ⊕ направлении парабола в плоскости ; ⇛ = ⇒ = ; вершина в ∙ ; ветви вдоль оси в ⊕ направлении ⇛ = ⇒ = ; = − начало координат; + = ± = > ⇒ + = − эллипс + = Эллиптический параболоид Если ↑ ⇒ полуоси эллипса увеличиваются + = ± В компьютерном варианте это выглядит так + = ± ∎ Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 5
Галерея. Рассмотреть простейшие после плоскостей … По схеме изучения кривых
Линия на плоскости Поверхность в пространстве
З а д а н а с и с т е м а к о о р д и н а т
; , = ; , , = ;
Классификация поверхностей, как и кривых на плоскости – по разным признакам… пока – по
типу уравнения: алгебраические и его порядку – кривые (поверхности) 1го порядка, 2го порядка
Класс линий 1го порядка на плоскости – один – Класс поверхностей 1го порядка – один –
прямые; – изучили; плоскости; – изучили;
{прямая в ℝ } ⟺ {( , ) ∈ ℝ | {плоскость в ℝ } ⟺ {( , , ) ∈ ℝ |
+ + = ; + ≠ } + + + = ; + + ≠ }
Теорема 1. Любая прямая на плоскости Теорема 2. Любая плоскость в пространстве
представляет собой алгебраическую кривую представляет собой алгебраическую поверхность
1го порядка и любая алгебраическая кривая 1го порядка и любая алгебраическая поверхность 1го
1го порядка на плоскости есть прямая порядка в пространстве есть плоскость
Класс линий 2го порядка на плоскости: Класс поверхностей 2го порядка в ℝ :
+ + + + + + + + +
+ = . + + + + + = .
Состоит из 3-х невырожденных типов кривых Состоит из 6-ти невырожденных объектов
эллипсы, гиперболы, параболы – изучен; (всего их 17) – предстоит изучить цель лекции
Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 6
Необходимо вспомнить, как это было проделано для плоских кривых 2го порядка: + + + + + = , (1) где , , , , , − константы (коэффициенты уравнения), , − переменные. Если в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов при членах второй степени отличен от нуля (аналитически это состоит в требовании + + ≠ ), то кривые, описываемые (1), называются кривыми второго порядка на плоскости. ; ; − квадратичные члены, ; −линейные, −свободный член. Кривые второго порядка были известны еще в Древней Греции. Тогда они назывались «коническими сечениями», изучению свойств которых посвящались научные трактаты. Применение изученных греками кривым нашлось в XVII – XVIII веках в баллистике и астрономии: выяснилось, что пушечное ядро летит по параболической траектории, а движение планет происходит по эллиптическим орбитам. Позже в небесной механике были введены понятия космических скоростей. Оказалось, что тело, запущенное с земной поверхности c разной начальной скоростью может двигаться в космическом пространстве по различным траекториям, представляющие собой кривые второго порядка: окружность, эллипс, параболу, гиперболу. В XX веке многие физические эксперименты показали, что частицы в этих экспериментах двигаются по траекториям, являющимися кривыми второго порядка. Например, заряженная частица в однородном электрическом поле плоского конденсатора движется по параболе, или альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома движутся по гиперболам. В этой связи, изучение кривых второго порядка в рамках курса высшей математики имеет весьма важное как теоретическое, так и прикладное значение. Некоторые кривые второго порядка изучались еще в школьном курсе алгебры: например, парабола, описываемая в декартовой системе координат уравнением = + + , окружность с уравнением − + − = , где , – координаты центра, а – радиус, или гипербола = , уравнение которой записывается в виде = / . Все ли это кривые 2го порядка? Или есть ещё? окружность: + = ; Существует несколько подходов: парабола: = + + ; гипербола: ⋅ = ; 1. Преобразование координат с целью упрощения уравнения (1) (приведение его к канонической форме). Порядок уравнения при этом не меняется. После процедуры приведения уравнения к каноническому виду изучаются свойства кривой. Сейчас это математическая классика (математический). 2. Подход Аполлония Пергского (конические сечения). 3. Формулировки определения кривой (фактически её основное свойство) и вывод уравнения. 4. Теория инвариантов. Достоинства и недостатки … Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 7
Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду + + + + + = , ( ) Далее предстояло рассмотреть все возможные кривые второго порядка, которые удовлетворяют (1). Для упрощения анализа уравнения (1) его рассматривают в другой декартовой системе координат, в которой уравнение (1) будет иметь наиболее простой вид. Ранее были получены формулы перехода от одной системы координат к другой с помощью параллельного переноса, поворота координатных осей на угол или совместного применения того и другого. Рассмотрим вопрос об упрощении уравнения описывающего кривую 2го порядка (1), при преобразовании системы координат на плоскости. Начнем со случая, когда в уравнении (1) отсутствует член, содержащий произведение , то есть, коэффициент = и оно имеет вид: + + + + = . Упростить его можно, если применить параллельный перенос системы координат. Для этого заменим и в рассматриваемом уравнении на ′и ′ по формулам (2): ′ + + ′ + + ′ + + ′ + + = ; , − здесь координаты «нового» центра системы координат в «старой» системе и мы их можем выбирать по своему усмотрению. Раскрываем скобки и приводим подобные: I. Параллельный перенос ′ + ′ + ′ + + ′ + + ′ ′ + + + + + = . Положим , ∈ ; , , ( ) + = ; + = ′ , ′ ∈ ′ ′ ′ : ⇒ = − ; = − и (1) принимает вид ′ ′ ′ = + , ′ + ′ + ( ) = − ′ (2) = + . уравнение 2го порядка без линейных членов! Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 8
Замечание. Случай = и другие частные случаи будут рассмотрены позднее (более просто). Если ≠ , то в (1) можно избавиться от квадратичного члена с помощью поворота системы координат на угол , то есть формул: , ∈ ; ′ , ′ ∈ ′ ′ ′ : «Техника» остается прежней: подстановка = ′ − ′ , в (1) в место и соответствующих ′ ′ = + . (3) значений ′ и ′ из формул перехода (3) или (4). Преобразования становятся II. Поворот системы довольно громоздкими, но принципиально нового они ничего не содержат. координат С подробностями можно познакомиться в ; более полных курсах аналитической ′ геометрии, например, в: ′; ′ ′ Акопян А. В., Заславский А. А. ′ Геометрические свойства кривых второго ′ = + ′ − ′ , порядка. – М.: МЦНМО, 2007. – 136 с. (4) ′ = + ′ + ′ . III. Параллельный перенос и поворот Кропотливо перебрав все возможные варианты коэффициентов в полученных после преобразований уравнениях, приходим к фундаментальному результату: Теорема 3. Для любой плоской кривой 2го порядка существует прямоугольная система координат, в которой она имеет один из следующих видов уравнений (называемых каноническими уравнениями) ⟹Табл. Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 9
Классификация линий 2го порядка по каноническим уравнениям № Название кривой Каноническое уравнение 1 Эллипс (при = = – окружность) + = ; + = 2 Мнимый эллипс + = − 3 Пара пересекающихся мнимых прямых + = 4 Гипербола − = 5 Пара пересекающихся прямых − = 6 Парабола = 7 Пара параллельных прямых − = 8 Пара параллельных мнимых прямых + = 9 Пара совпадающих прямых = Кривую «можно узнать» так же по инвариантам без приведения к каноническому виду! + + + + + = ; переобозначим коэффициенты + + + + + = ; = , = , = Инварианты относительно поворота и сдвига системы координат - числа: ∆= ; = ; = + = ; = + − инвариант системы относительно поворота координат (полуинвариант) Тогда ⟹Табл. Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 10
Классификация кривых 2го порядка по инвариантам Вид Признаки вида Название линии ∙ ∆< Эллипс Параболический Гиперболический Эллиптический ∆≠ > ∙ ∆> Эллипс мнимый тип ⇕ ( ∙ > ) Пара мнимых пересекающихся прямых Центральные ∆= , | − + = ∆≠ Гипербола
Свойство Эллипс Гипербола Парабола Канонические уравнения + = ; > − = = Фокальные свойства + = − = = + Фокусы , ± ; ; = − , ± ; ; = + ( / ; ) Эксцентриситет = = − < = = + > = Фокальные радиусы , = ± , = ± + = + Директрисы = ± / = ± / = − / Асимптоты --- = ± / --- Фокальный параметр = = Директориальное , ( , ) = ; − −ый фокус, − −я директриса свойство коник
Коника Уравнение Схема на «длинной» оси . + = ; ≥ > ; Фокусы Эллипс = − ; , ∈ - - . + = ; < ≤ ; - - = − ; , ∈ : = ± ; = / : = ± ; = / Фокусы на оси . − = ; с «плюсом» Гипербола = + ; , ∈ - - - - . − = ; = + ; , ∈ : = ± ; = / : = ± ; = / . = , > ; Ветви вдоль оси «без квадрата» ( , ) : = − ( , ) ; : = − Парабола = + − касат. ( , ) . = , > ; ( , ) ; : = − ; : = − , = − фок. парам. = , = , Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 13
3. Поверхности 2го порядка Поверхностью 2го порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению , , = + + + + + + + + + - квадратичной функции трёх переменных. Инвариантами этой функции относительно преобразования координат (параллельного переноса и поворота осей) являются числа: ИНВАРИАНТЫ В зависимости от значений инвариантов поверхности «конкретизируются» - подразделяются на виды. В случае поверхностей 2го порядка существует 17 различных комбинаций (Табл. на следующем слайде; на название поверхностей пока не обращаем внимание) Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 14
17 видов поверхностей 2-го порядка; невырожденные? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ 15 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка ⑰
4. Приведение уравнения поверхности 2го порядка к каноническому виду + + + + + + + + + = ( ) Далее предстоит рассмотреть все возможные поверхности 2го порядка, координаты точек которых удовлетворяют уравнению (1). Для упрощения анализа уравнения (1) его рассматривают в другой системе координат, в которой (1) будет иметь наиболее простой вид. Идейная сторона вопроса аналогична соответствующим моментам для кривых 2го порядка, однако «техника» исполнения значительно усложняется (больше возможностей поворота СК). Осуществляя сказанное выше, приходим к основному выводу: Теорема 4. Для любой поверхности 2го порядка существует прямоугольная система координат, в которой она имеет один из следующих видов уравнений (называемых каноническими уравнениями) ⟹Табл. ① ② ③ ④ + + = + + = − + − =0 + − = ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ + − = − + − = + = − = ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ + = + = − + = − = ⑬ ⑭ ⑮ ⑯-⑰ + = ; − = = = = Далее: построить эти поверхности, дать названия, изучать свойства … Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 16
Схема того, как это делается – была. Вспомним. Построить поверхность 2го порядка. Как естественно её назвать? + = Поверхность «вытянуты» вдоль оси без квадрата парабола в плоскости ; ⇛ = ⇒ = ; вершина в ∙ ; ветви вдоль оси в ⊕ направлении парабола в плоскости ; ⇛ = ⇒ = ; вершина в ∙ ; ветви вдоль оси в ⊕ направлении ⇛ = ⇒ = ; = − начало координат; = > ⇒ + = − эллипс + = ± + = Эллиптический параболоид Если ↑ ⇒ полуоси эллипса увеличиваются + = ± В компьютерном варианте это выглядит так + = ± ∎ Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 17
5. Построение невырожденных поверхностей 2го порядка по их каноническим уравнениям. + + = ( ) 5.1. Эллипсоид Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой СК удовлетворяют уравнению(1); , , – положительные константы – полуоси эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным. Система координат, в которой эллипсоид имеет такое уравнение называется его канонической системой координат, а уравнение – каноническим уравнением. Исследование и построение. Метод сечений координатными плоскостями 1) Эллипсоид имеет центр симметрии ( ; ; ) и три плоскости симметрии , , 2) Сечения плоскостями = : Это уравнение при | | < определяет эллипс с полуосями + + = , ⇒ + = − − и − ; с ростом | | полуоси эллипса уменьшаются = при | | = – точки , (± ; ; ); при | | > – мнимая кривая (нет пересечения). 3) Сечения плоскостями = : Это уравнение при | | < определяет + + = , эллипс с полуосями ⇒ + = − − и − ; = при | | = – точки , ; (± ; ); при | | > – мнимая кривая (нет пересечения). 4) Сечения плоскостями = : Это уравнение при | | < определяет + + = , ⇒ + = − эллипс с полуосями = − и − ; при | | = – точки , ; ( ; ; ± ); при | | > – мнимая кривая (нет пересечения). Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 18
Приведенных данных достаточно Сфера Если все три полуоси для изображения схемы эллипсоида с равны ⟹ сфера каноническим уравнением: исследуемой поверхности + + = ∥ , − ( ) − − «Книжный» вариант Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 19
) однополостный 5.2. Гиперболоиды ) двуполостный Однополостным (двуполостным) гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению ( , , – положительные константы): + + − − == + − = − Система координат, в которой гиперболоид имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат, а уравнение – каноническим уравнением. Величины , и называются полуосями гиперболоидов. При = , гиперболоиды является поверхностями вращения. + − = ; + − = − ; − + = ; − + = − ; − + + = ( ) − + + = − ( ) «вытянуты» вдоль оси, Шуховская «вытянуты» вдоль оси, перед квадратом которой (Шаболовская) перед квадратом которой в уравнении стоит минус башня в уравнении стоит минус Теорема. Через любую точку однополостного гиперболоида проходят две прямых, лежащие полностью на нём (линейчатая поверхность). Строительные конструкции Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 20
Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 21
) эллиптический 5.3. Параболоиды ) гиперболический Эллиптическим (гиперболическим) параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению ( и называются параметрами параболоида): Рассматривали строили седловую точку + = − = Система координат, в которой параболоид имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат, а уравнение – каноническим уравнением. Точка O называется вершиной Если = , то эллиптический параболоид является поверхностью вращения + = ± ; − = ± ; + = ± ; − = ± ; + = ± ( ) «вытянуты» вдоль − = ± ( ) оси без квадрата 22 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка «Перед которой плюс перед квадратом»
Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 23
5.4. Конус Конусом второго порядка называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению + − = ; + = − - вершина , , – положительные константы – полуоси конуса. Система координат, в которой конус имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат, а уравнение – каноническим уравнением. Если = , то поверхность + − = ; вращения − + = ; − + + = ( ) «Ось симметрии – соответствует … координате с минусом в уравнении» Общее определение ⟹ 24 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка
5.4.1. Общее определение конуса Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через заданную точку и пересекающими данную плоскую линию (не ( ; ; ) проходящую через ), называется конической поверхностью или конусом. − направляющая; − вершина; прямая, описывающая поверхность – образующая. Получим уравнение такого конуса. Дано: , , = : ; ( ; ; ) ; ( ; ; ) ∈ конусу. , , = Необходимо связать текущие координаты , , . Пусть ; ; − точка пересечения образующей, проходящей через , с направляющей . ∈ ⟹ координаты удовлетворяют уравнению линии ⟹ ; ; = , ; ; = . Канонические уравнения образующих, проходящие через и , имеют вид: − − − = = . − − − Исключая ; ; из записанных соотношений, получаем уравнение искомой поверхности ∎ Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 25
Задача. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, если направляющей служит эллипс + = , лежащий в плоскости = . Решение. Пусть ( ; ; ) ∈ конусу – любая (текущая) точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки ; ; и точку ; ; пересечения образующей с эллипсом будут = = . Исключаем , , из этих уравнений и уравнения + = (точка ; ; лежит на эллипсе), = . Имеем: = , = ⟹ = ∙ ; = ∙ . Подставляя эти значения в уравнение эллипса, получаем ∙ ∙ + = ⟺ + = ∎ ∙ ∙ Сравнение с ранее введенным определением конуса! Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 26
( ; ; ) Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 27
5.5. Цилиндрические поверхности Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (образующая), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (направляющей). Всё, в том числе и сложность получения уравнений, их вид, зависит от направляющей и образующей. Наиболее простой вид уравнения цилиндров имеют когда направляющие лежат в одной из координатных образующая направляющая плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, ⊥ этой плоскости. Цилиндр в этом случае задается уравнением, в которое не входит одна из координат. Кривая, которую определяет это уравнение в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра, а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты. Покажем это на примере, когда направляющая с уравнением , = лежит в плоскости , а образующие параллельны оси . Возьмём на цилиндре ∀ ∙ , , . Она лежит на какой-то образующей. Пусть − точка пересечения этой образующей с плоскостью ⟹ ∙ ∈ и её координаты удовлетворяют уравнению , = . Но точка , , имеет такие же абсциссу и ординату, что и точка ; ⟹ уравнению , = удовлетворяют и координаты точки , , , так как она не содержит . Поскольку − любая точка цилиндра, то уравнение , = и будет уравнением этого цилиндра. ∎ Точно такие же рассуждения показывают, что , = есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси , а , = − с образующими, параллельными . Такие цилиндры именуют по типу направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические, … Если направляющей цилиндра является кривая второго порядка, то соответствующий цилиндр – второго порядка, его уравнение – уравнение второй степени. Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 28
① ② ③ ④ + + = + + = − + − = + − = Однополостный Эллипсоид Мнимый эллипсоид Мнимый конус гиперболоид ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ + − = − + − = + = − = Двуполостный Эллиптический Гиперболический гиперболоид Конус параболоид параболоид ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ + = + = − + = − = Мнимый Пара мнимых Эллиптический эллиптический пересекающихся Гиперболический цилиндр цилиндр плоскостей цилиндр ⑬ ⑭ ⑮ ⑯-⑰ + = − = = мнимые ∥ плоскости − = Пара = − пара Пара пересекающихся Параболический параллельных совпадающих плоскостей цилиндр плоскостей плоскостей эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры и конус – полный список всех невырожденных поверхностей 2го порядка Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 29
Классификация уравнений поверхностей 2го порядка Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 30
Замечание Среди представленных уравнений есть такие, которым не удовлетворяет ни одна точка пространства. Например, уравнения 15, 16, 17 не представляют никакого геометрического образа. Однако, в этом случае говорят, что они представляют соответственно мнимый эллипсоид, мнимый эллиптический цилиндр, и пару мнимых параллельных плоскостей - эти уравнения определяют вырожденные поверхность 2го порядка (мнимые поверхности). К вырожденным поверхностям 2го порядка также относятся плоскости и точки, которые задаются уравнениями 2го порядка. Уравнение 13 представляет только одну точку – начало координат. Однако, по сходству с уравнением 4 говорят, что уравнение 13 представляет мнимый конус 2го порядка с действительной вершиной. Невырожденных поверхностей 2го порядка 5ть типов: эллипсоид, гиперболоиды, конус, параболоиды, цилиндры (всего 9 поверхностей). Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 31
= − = + = z y x Эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 32
5.6. Поверхность вращения это поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг оси, ∈ ее плоскости , = , Кривая : лежит в плоскости . = . ; ; Задача: получить уравнение поверхности, ( ; ; ) образованной вращением вокруг оси . Решение. Пусть ( ; ; ) точка на поверхности (текущая точка). Проведём через неё плоскость⊥оси . ∙ ( ; ; ) и ; ; − точки пересечения плоскости с осью и кривой . = , = . Но = + ⟹ = ± + . ∈ ⟹ , = . Исключая вспомогательные координаты ; ⟹ ± + ; = − - искомое уравнение поверхности. Ему удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения. Формально получается заменой в уравнении «вращающейся кривой» на ± + , координата (одноимённая оси вращения) остаётся без изменения. При вращении этой же кривой около оси приходим к уравнению ; ± + = . Если ∈ с уравнением ; = , то поверхность вращения вокруг оси , описывается уравнением: ; ± + = . Пример. Прямая = вращается вокруг оси . Что получается и уравнение. (Конус вращения): Другие варианты ⟹ ± + = ⇔ + = . Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 33
Поверхности вращения. Сводка Вращающаяся линия Уравнение поверхности уравнение плоскость ось вращения располож. вращения , = , ± + ; = = . , = , ; ± + = = . , = , ; ± + = = . , = , ; ± + = = . , = , ; ± + = = . , = , ± + ; = = . Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 34
ЧТО ОЗНАЧАЮТ НАЗВАНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ? Конус (греч.яз. konos – Цилиндр (греч.яз. «затычка», «втулка», Kylindros – «сосновая шишка»). «валик», «каток»). Шар и Сфера (греч.яз. – «сфайра» – «мяч»). Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 35
Претендующим на отличные оценки: Доказать, что через любую точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, лежащие полностью на нём (линейчатая поверхность) Вопросы для самопроверки 1. Классификация линий на плоскости и поверхностей в пространстве по порядку уравнений, их представляющих. Общие уравнения кривых и поверхностей I-го и II-го порядков. Как много линий I-го и II-го порядков в ℝ , поверхностей I-го и II-го второго порядка в ℝ ? 2. Определения, канонические уравнения, их основные элементы, построение графиков; расположение относительно координатных осей в зависимости от уравнений a) эллипсоида, сферы; b) однополостного гиперболоида; c) двуполостного гиперболоида; d) эллиптического параболоида; e) гиперболического параболоида. 3. Линейчатые поверхности II-го порядка. Где используется это свойство (ТВ башня на Шаболовке …). 4. Определения, основные элементы, построение уравнений a) поверхностей вращения; b) конических поверхностей; c) цилиндрических поверхностей. 5. Сфера и тор как поверхности вращения. Конец лекции №34 Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 36
Каф. ВМ Поверхности 2-го порядка 37
Вы также можете почитать
