Плазмон-поляритоны Дьяконова вдоль гиперболического метаматериала
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
http://www.computeroptics.ru journal@computeroptics.ru
Плазмон-поляритоны Дьяконова вдоль гиперболического метаматериала
М.В. Давидович1,2
1
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского,
Саратов, Россия,
2
ООО НПФ “ETNA PLUS”, Саратов, Россия
Аннотация
Рассмотрены диссипативные плазмон-поляритоны типа поверхностных волн Дьяконова
вдоль плоской границы гиперболического метаматериала с произвольной ориентацией кри-
сталлографической оси. Найдены условия существования быстрых, медленных, втекающих,
вытекающих, прямых и обратных плазмон-поляритонов. Рассмотрен волновод в виде асим-
метричного слоя гиперболического метаматериала. Приведено выражение для плотности
электромагнитной энергии в таком метаматериале.
Ключевые слова: плазмон-поляритоны Дьяконова, поверхностные волны, гиперболиче-
ский метаматериал, обратные волны.
Цитирование: Давидович, М.В. Плазмон-поляритоны Дьяконова вдоль гиперболиче-
ского метаматериала / М.В. Давидович // Компьютерная оптика. – 2021. – Т. 45, № 1. –
С. 48-57. – DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673.
Citation: Davidovich MV. Dyakonov plasmon-polaritones along a hyperbolic metamaterial
surface. Computer Optics 2021; 45(1): 48-57. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673.
ления ее ограничивают [9]. Поэтому для создания
Введение
ГММ в оптическом и мягком УФ-диапазонах требу-
В работе М.И. Дьяконова [1] рассмотрены по- ются нанотехнологии с получением слоев порядка
верхностные плазмон-поляритоны (ПП) вдоль грани- нескольких нанометров и менее. ГММ интересны как
цы одноосного кристалла и диэлектрика с диэлектри- воноведущие структуры ТГц и оптического диапазо-
ческой проницаемостью (ДП) , когда оптическая ось нов. В работах [10 ‒ 13] рассмотрен диэлектрический
параллельна плоскости раздела. Показано, что в слу- волновод (ДВ), стенки которого выполнены из недис-
чае || > > возможно существование поверхност- сипативного ГММ. Интересны ПП вдоль слоистых
ных волн, экспоненциально затухающих от границы структур [14], поверхностей ГММ [15] и слоев асим-
и распространяющихся в некотором интервале углов метричных ГММ, прорезанных под произвольным
относительно оси. Такие же волны исследованы в ра- углом к оптической оси [16, 17]. В [16] рассматрива-
боте [2] на границе двух одноосных кристаллов, ко- ется аномальное поглощение в слое несимметричного
гда оси параллельны границе раздела и образуют ГММ, а в [17] – усиление отраженной и прошедшей
между собой некоторый угол. При этом возникла волн в активном слое такого ГММ из графена за счет
необходимость представления поля через обыкновен- лазерной накачки. Использован метод матриц 4×4
ную и необыкновенную волны. В работе [3] рассмот- Берремана. Выросший в последнее время интерес к
рены волны вдоль границы двух одинаковых анизо- исследованию ПП на границах периодических мета-
тропных сред, в общем случае двуосных и немагнит- материалов или фотонных кристаллов (ФК), а также
ных. Граница раздела получена поворотом двух по- вдоль метаповерхностей [14, 18] связан с новыми
лупространств с этими средами в разные стороны от- технологическими возможностями их изготовления и
носительно нормали к ней. Волновод с двухосным практическими потребностями их использования. В
диэлектрическим заполнением без диссипации рас- работе [19] рассмотрены недиссипативные ПП вдоль
смотрен в работе [4], а с одноосным заполнением – в границы раздела гиромагнитного ГММ, описываемо-
[5]. В последнее время возник устойчивый интерес к го диагональным двухкомпонентным тензором ди-
гиперболическим метаматериалам (ГММ) из-за их электрической проницаемости (ДП) ̂ и гиротропным
весьма необычных свойств и ПП вдоль их границ. тензором ̂ . Такой ГММ интересен в плане пере-
Обзоры по ГММ даны в работах [6 ‒ 9]. ГММ харак- стройки дисперсии магнитным полем. Рассмотрена
теризуются большими значениями модуля волнового сложная поверхность изочастот в виде гиперболоида
вектора |k| по сравнению с волновым числом k0, неэл- и тора, влияние фаз Берри объемных ПП на кираль-
липтическим (почти гиперболическим) уравнением ные поверхностные ПП. Численные результаты ре-
Френеля для дисперсии необыкновенной волны, уси- шения дисперсионного уравнения (ДУ) не приведе-
лением ряда эффектов: Парселла, анизотропного ны. В работе [20] рассмотрены киральные ПП в двух-
сверхпланковского излучения, пространственной осном ФК без диссипации, одна компонента ДП ко-
дисперсии (ПД) [9]. Идеальная поверхность изоча- торого отрицательная, а две другие положительные и
стот в виде гиперболоида вращения имеет место в различные. В работе [21] использован разработанный
пренебрежении диссипацией и ПД, а реально эти яв- авторами ранее способ гомогенизации для ПП в
48 Computer Optics, 2021, Vol. 45(1) DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673Плазмон-поляритоны Дьяконова вдоль гиперболического метаматериала Давидович М.В.
ГММ. Потери не учитывались и численные результа- текающие ПП возможны в структурах, имеющих ко-
ты для дисперсии не приведены. В работе [22] рас- нечные (не нулевые и не бесконечные) поперечные
смотрено управление дисперсией ПП в графеновом сечения слоев. Из листа нулевой толщины (например,
ГММ внешним постоянным электрическим полем. из листа графена) невозможно вытекание (если толь-
Оптическая перестройка волн в графеновом ГММ ко он не активный, т.е. не оптически накачанный),
также рассмотрена в обзоре [23], оптически управля- поскольку нет запасенной энергии. В такой диссипа-
емые поверхностные ПП исследовались в работе [24], тивный лист волна может только втекать из вакуума
а объемные ПП – в работе [25]. Волновод в виде сим- (с обеих сторон). Из диссипативного полупростран-
метричного анизотропного слоя ФК без диссипации ства невозможно вытекание в вакуум, поскольку при
был рассмотрен в [26]. Диссипация в слоях ГММ в этом волна должна бесконечно нарастать вглубь.
цитированных работах не рассматривалась. Возможна только волна, втекающая из вакуума в
Цель данной работы – рассмотреть диссипативные полупространство [15, 27]. Это ППП, описываемый ДУ
ПП на границе ГММ, включая случай слоя асиммет- Ценнека k|z k|0 / 1 . Таким образом, при учете
ричного ГММ и ГММ с произвольной ориентацией диссипации есть медленные и быстрые втекающие ПП,
оси анизотропии. Численные результаты приведены а также быстрые вытекающие ПП. Если рассматривать
для оси анизотропии, лежащей в плоскости (x, z)
недиссипативные полупространства с ДП , то выте-
рис. 1. Получено также ДУ с произвольной ориентаци-
кающие в них волны можно считать быстрыми по от-
ей оси для толстого (полубесконечного) образца. Дан-
ная задача в известной литературе не решалась. Задача ношению к фазовой скорости c / , т.е. такая волна
требует определения волн с комплексными постоян- может с одной стороны втекать из вакуума и быть
ными распространения из комплексного ДУ. Общий медленной, а с другой стороны вытекать в среду, если
случай образца конечной толщины требует поиска ее фазовая скорость удовлетворяет условию
корней определителя четвертого порядка, имеющего c / v p c . Подводя к такому волноводу призму с
громоздкий вид. Графическое представление решений ДП , можно ее использовать для вывода или ввода
такой задачи, зависящее от двух произвольных углов, энергии. Вместо призмы удобно использовать доста-
может представлять отдельную задачу. точно широкий ДВ со скошенным торцом, при этом
Волны вдоль поверхностей раздела ось ДВ должна быть направлена под углом вытекания.
диссипативных структур Таким образом, спектр комплексных ПП F(, k) = 0
состоит из ветвей, не имеющих разрывов в комплекс-
В упомянутых выше работах диссипация не учи- ном пространстве k, а при разрешении этого ДУ в ви-
тывалась, искались именно волны, локализованные у де k = k' – ik'' = f () ветви k' = f' () и k'' = f'' () не
поверхности. Однако только такими волнами не ис- имеют разрывов в частотной области [14, 15]. В бес-
черпывается спектр волн: при диссипации, кроме конечном недиссипативном ФК разрешенное относи-
медленных поверхностных, возможны быстрые по- тельно частоты = (k) ДУ есть уравнение Френеля,
верхностные втекающие волны, а из слоя конечной которое при постоянстве частоты определяет поверх-
толщины возможно излучение быстрых вытекающих ность изочастот в k-пространстве (здесь важно, что
волн. Все такие комплексные волны также будем k = k', т.е. это действительное трехмерное простран-
называть плазмон-поляритонами (ПП). В запрещен- ство). В случае диссипации k-пространство шести-
ных зонах для поверхностных ПП (ППП) даже при мерное. В этом случае направление движения фазы
отсутствии диссипации существуют решения в виде p = k' / | k' |, направление движения энергии
комплексных волн с комплексной продольной посто- e = S / | S | и направление движения диссипации
янной распространения и комплексными поперечны- d = k'' / | k'' | в общем случае не совпадают. Без дис-
ми ее компонентами, а диссипация способствует пе- сипации можно ввести вектор групповой скорости
реходу от одной ветви к другой через запрещенные vg = k = k (k) |k=k'. Как градиент скаляра это по-
зоны [14]. ППП существуют за счет полного внутрен- лярный вектор, преобразующийся подобно вектору
него отражения. ПП возможны и при нарушении скорости. При этом возможны разрывы на кривых
полного внутреннего отражения (НПВО), в частно- k' = f' () в областях, в которых вектор vg не опреде-
сти, за счет потерь и втекания энергии. В ДВ (напри- лен. Его использование проблематично не только в
мер, выполненных в виде слоя) возможны вытекаю- этих областях уже при малой диссипации, но и в дру-
щие антиповерхностные ПП. В такой волне НПВО гих областях при существенной диссипации.
происходит при уменьшении частоты ниже критиче- Будем рассматривать 1D одноосные ФК, содер-
ской (на критической частоте фазовая скорость волны жащие металлические слои и называемые ГММ. При
равна скорости света в вакууме), и в ней волна экспо- приведении к главной оси (ось направлена по оси z) в
ненциально нарастает при удалении от поверхности ГММ имеем = xx = yy, || = zz, || 0 . Здесь и да-
[27]. Такое нарастание есть следствие экспоненци- лее штрих означает реальную часть. Для простоты
ального убывания волны при движении вдоль слоя будем рассматривать границу ГММ – вакуум, а реше-
[27] при выполнении закона сохранения энергии. Вы- ния уравнений Максвелла искать в виде:
Компьютерная оптика, 2021, том 45, №1 DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673 49http://www.computeroptics.ru journal@computeroptics.ru
E x, z, t E exp i t k x x k y y k z z , странения k z k0 1 k x2 k y2 / || являются
объемными [29].
H x, z , t H exp i t k x k
x y y k z .
z В качестве примера определения направления
движения энергии рассмотрим объемный ПП в ФК,
Подставляя их в уравнения Максвелла, имеем соот- описываемом тензорами ДП ̂ и магнитной проница-
ношения для амплитуд: емости ̂ . Пишем
k z H y k y H z 0 xx Ex ,
E 0 ˆ 1kˆH 0 ˆ 1k H ,
1 1
k x H z k z H x 0 xx E y ,
H 0 ˆ 1kˆE 0 ˆ 1k E .
1 1
k y H x k x H y 0 zz Ez , (1)
k y Ez k z E y 0 H x , Для вектора Пойнтинга S = Re (E×H*) / 2 имеем
k z Ex k x Ez 0 H y ,
S 0 Re ˆ 1 H* H k kH 2 / 2 . Здесь n = k / k0 ‒
1
k x E y k y Ex 0 H z . комплексный вектор замедления (векторный индекс
рефракции), H 2 = |H|2, Hk = kH. Далее все комплекс-
Систему уравнений (1) можно записать в сверну- ные величины представляем в виде n = n' – in'', где
том виде kˆH 0 ˆ E , kˆE 0 IˆH , где использова- штрихом обозначена реальная часть, а двойным
на эквивалентная оператору «ротор» при действии на штрихом – отрицательная мнимая часть, векторными
плоскую волну матрица индексами обозначаем проекции. Имеем
0 kz k y H* H n H H n H n H H n H n
ˆ
k k z 0 kx . (2) i H H n H n H H n H n ,
k y k x 0
ˆ 1 nH 2 H H H
Такая запись верна для любого (в том числе и недиа- n n
гонального) тензора ̂ , для которого система (1) не- с0
сколько усложняется, а также и для магнитного ФК S H H n H n ˆ 1 nH 2 .
2
при замене Iˆ ˆ . Как нетрудно проверить, введен-
ная матрица вырожденная и обладает следующими
H H n H n H H n H n
T
свойствами: матрица k̂ 2 не особенная и kˆˆ ˆ kˆ .
Это справедливо для любой симметричной матрицы Здесь
также обозначено ˆ 1 Re ˆ 1 ,
̂ . В случае диссипации у такой матрицы mn nm , ˆ 1 Im ˆ 1 . Полученное выражение для векто-
т.е. должны быть симметричными действительные и ра Пойнтинга обозначим Sh. С другой стороны, мож-
мнимые части ее элементов. В этом общем случае но получить такой же вектор Пойнтинга Se, выражен-
кристалла с диэлектрическими ̂ и магнитными ̂ ный через поле E. Его получим, заменяя H E,
свойствами и в частном случае (1) равенство нулю ˆ 1 ˆ 1 , 0 0. Очевидно, должно быть Se = Sh.
определителя шестого порядка есть необходимое
Для доказательства следует использовать векторные
условие для существования однородного решения.
соотношения:
Поскольку матрица k̂ особенная, каждое из уравне-
ний можно разрешить единственным образом, k E* H c0 E*ˆ E и k E H* c 0 H*ˆ H ,
например, H 0 k̂E . При подстановке в пер-
1
вое уравнение получаем однородную систему трех следующие из уравнений Максвелла, а также сопря-
уравнений в векторной форме kˆ 2 E k02 ˆ E и уравне- женные им соотношения, следующие из сопряжен-
ние Френеля в виде det k02 ˆ kˆ 2 0 . Этот определи- ных уравнений Максвелла. Имеем
тель третьего порядка, однако в него входят квадраты
компонент. Максимальная степень у компонент k k S c 0 E*ˆ E 0 H*ˆ H / 4 .
четвертая, а у волнового числа может быть шестой.
При отсутствии диссипации сразу следует условие
Из другого уравнения следует E 0 ˆ 1kˆH , си-
1
стема однородных уравнений k02 Iˆ kˆˆ 1kˆ H 0 и 2k S c0 Re E*ˆ E c0 Re H*ˆ H .
уравнение Френеля det k02 Iˆ kˆˆ 1kˆ 0 . Используя Указанные уравнения удобны как дополнительные
коммутационные свойства и симметричность тензора
ДП, видим, что оба уравнения Френеля совпадают. условия, накладываемые на тензоры при гомогени-
Это имеет место и в более общем случае магнитоди- зации.
электрического ФК, а также для бианизотропного В электродинамике известна проблема определе-
ФК. Для одноосного ФК уравнения Френеля разби- ния плотности энергии, особенно при диссипации,
ваются на два [9, 28]: для обыкновенной волны поскольку конструкции типа WE Eˆ *E* E*ˆ E / 4
k z2 k02 и для необыкновенной волны и WH Hˆ *H* H*ˆ H / 4 в общем случае ее не
||1 k x2 k y2 1k z2 k02 . ПП с постоянной распро- определяют [27, 28]. Проблема связана с запасенной
50 Computer Optics, 2021, Vol. 45(1) DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673Плазмон-поляритоны Дьяконова вдоль гиперболического метаматериала Давидович М.В.
энергией в веществе [27]. Поскольку перенос веще- Постановка задачи и ДУ
ства в использованных балансных уравнениях не рас-
Нас будут интересовать поверхностные E-волны
сматривался, приведенные соотношения отвечают
(ТМ-волны) относительно оси z, идущие вдоль по-
переносимой вдоль движения волны электромагнит-
верхности ГММ рис. 1, для которых Hz = 0. На этом
ной энергии. В случае соотношений типа (1)
рисунке ось z и ось анизотропии z' лежат в одной
Se = c0 | n'E 2 – Re (E*(n*E)) | / 2. Видим, что в общем
плоскости и повернуты в ней на угол α (нормаль
случае направление вектора Пойнтинга не совпадает
направлена по оси x). В таком случае при Hz = 0 это E-
с направлением движения фазы n', при этом, если
волны (ТМ-волны) относительно оси z. В случае про-
n'S < 0, то волна обратная. Если совпадают направле-
извольного угла поворота оси z (относительно оси x)
ния n' и n'', а все проекции поля H на это направление
волны вдоль нее гибридные, состоящие из E-волн и
равны нулю, то в этом случае
H-волн (необыкновенной и обыкновенной волн в
терминах кристаллооптики). Тогда в ГММ следует
S h с 0 H 2 ˆ 1 n ˆ 1 n / 2 . использовать их комбинацию и все уравнения (1). Та-
кой случай рассмотрен ниже. В системе координат,
Однако это тривиальный случай изотропной сре- связанной с осью анизотропии, имеем две компонен-
ды. Для нее Sh = c0 H2 ('n' + ''n'' ) / (2 ||2 ), и также ты тензора ДП: x'x' = y'y', z'z'. Наиболее простой слу-
следует Se = c0 E2 ('n' + ''n'' ) / (2 ||2 ). При этом чай имеет место при = 0 (для него штрихи будем
опускать). Далее такое обозначение соответствует
n ν 0 , нулевому углу. В исходной системе координат при
H 0 / 0 E , 0 компоненты тензора ДП будем помечать тиль-
дой. Для H-волны Ez = 0, и в этом случае ДУ H-ПП
поэтому Sh = Se. В изотропном случае имеем становится совсем простым: таким же, как в изотроп-
ной пластине с ДП xx. В случае движения ПП нор-
n i , мально к плоскости рис. 1 (когда ось z расположена
нормально) тензор ДП преобразуется применением
,(3)
2 2
n матрицы поворота на угол = относительно оси
x. При α=0 ДУ ПП вдоль оси y получим заменой
.
2 2
n zz yy. В общем случае гибридного ПП необходим
поворот на два произвольных угла относительно двух
Знак в (3) определяется условием n'' > 0, и формально осей y и x.
отрицательный знак возможен, только если одновре- В случае рис. 1 и α = 0 имеем
менно ' < 0 и ' < 0. Однако такие изотропные мета-
материалы не достижимы, а условие ' < 0 невозмож- k0 yy k y Ez / Z 0 k x k z H z
Hx ,
но и для пространственно однородных сред [30]. Сле- k02 yy k z2
довательно, однородная плоская волна в изотропной k y k z H z k0 k x xx k z xz Ez / Z 0
однородной среде всегда прямая. Однако на границах Hy ,
k z2 k02 xx
сред возможны комбинации неоднородных плоских
волн, при этом движение энергии пограничной волны Z 0 k0 k y H z k x k z k0 xz Ez
Ex ,
вдоль заданного направления получается путем k z2 k02 xx
усреднения вектора Пойнтинга по поперечному сече- Z k k H k y k z Ez
нию и направлениям k. В этом случае вектор k || = k z E y 0 0 x2 z ,
k0 yy k z2
задает это направление движения. Он может быть
выбран вдоль любой из осей (взята ось z), а условием при этом все компоненты связаны ДУ Френеля для
обратной волны является условие k z k z 0 [15]. Оно необыкновенной волны (оно справедливо для частно-
говорит о том, что фаза и энергия движутся в разные го случая обыкновенной волны). Полагая Hz = 0, име-
стороны, а движение энергии совпадает с направле- ем связи поперечных и продольной компонент
нием движения затухания. E y Ez k y k z / k z2 k02 xx , Ex Ez k x k z / k z2 k02 xx , а
также связи в виде волновых сопротивлений
Ez c 0 k02 xx k z2
,
Hx k y k0 xx
Ez c 0 k02 xx k z2
, (3)
Hy k x k0 xx
E y c 0 k z
.
Рис. 1. Слой ГММ с повернутой осью анизотропии (3) H x k0 xx
Компьютерная оптика, 2021, том 45, №1 DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673 51http://www.computeroptics.ru journal@computeroptics.ru
Аналогичные связи можно написать для случая Ez = 0. x'x' = (m + d) / 2, z'z' = 2m d / (m + d). ДП металла оце-
Для волны в вакууме k02 k x20 k y2 k z2 . Отношения в ниваем по формуле Друде –Лоренца
(3) являются волновыми сопротивлениями. Первое и
третье волновые сопротивления соответствуют пере- m L 2p / 2 ic .
носу энергии вдоль границы соответственно вдоль Далее, наряду с волновым числом k0 = / c, будем ис-
осей y и z, а второе – в перпендикулярном к ней пользовать плазменное волновое число kp = p / c. В
направлении вдоль x. ДУ ПП вдоль границы раздела пренебрежении диссипацией (при нулевой частоте
x=0 получается сшиванием. Сшиванию полей соот- столкновений c = 0) m L 2p / 2 . На низких (по
ветствует согласование волновых сопротивлений при сравнению с плазменной частой) частотах
движении вдоль оси x [15]: p / L компонента x'x' отрицательная, если
k02 k z2 k02 xx k z2 m < – d. При этом zz > 0. Если же m < – d, то x'x' > 0 и
. (4) z'z' < 0. Первый случай соответствует ГММ второго
kx0 k x xx
типа, а второй – ГММ первого типа [9]. Отметим, что
При этом достаточно использовать по одной волне эти условия легко можно уточнить при учете дисси-
в каждой среде. Равенство (4) и есть ДУ ПП вдоль пации, т.е. при конечном значении частоты столкно-
поверхности. Оно может быть записано в виде вений c, при этом следует говорить о значениях ре-
альных частей xx и zz . Учет пространственной
k02 k z2 k02 xx k z2 дисперсии возможен по формулам (20), (21) из рабо-
. (5)
k02 k y2 k z2 xx k02 zz zz / xx k z2 k y2 ты [9]. Гиперболическая дисперсия означает волны с
высоким значением |k| = k >> k0 (high-k waves). Однако
Это биквадратное уравнение относительно kz. При неограниченных значений быть не может. Имеет ме-
ky = 0 оно имеет простое решение сто ограничение kПлазмон-поляритоны Дьяконова вдоль гиперболического метаматериала Давидович М.В.
распадающегося на два: 0 2 1 . Здесь Новая ДП имеет полностью заполненную симмет-
ричную матрицу. ДУ для мод вдоль такого слоя мож-
exp ik x t exp ik xt но построить, используя матрицу передачи 4 × 4 Бер-
,
exp ik x t exp ik xt ремана для анизотропного слоя. Она связывает поля
по обе границы слоя, и, налагая условия излучения
при этом (втекания или вытекания), получаем довольно гро-
моздкий вид ДУ в виде равенства нулю определителя
k x k z xz / xx k02 xx k z2 / xx . четвертого порядка, который мы не приводим.
Мы рассмотрим более простое решение этой задачи
В случае симметрии xz 0 , k x k x , i / tan k x t
в старой системе координат, непосредственно исполь-
и ПП имеют либо электрическую, либо магнитную
зуя сшивание и считая слой толстым. Здесь уже нужно
стенки в центре слоя. В этом случае ДУ имеют вид
учесть две волны E и H вдоль оси z при наличии ком-
поненты ky. Выражаем все поля в ГММ через AEz и BHz
1
0 i tan k x t / 2 ,
(с произвольными амплитудами A и B). В вакууме бе-
где верхний знак соответствует «электрической стен- рем поля с другими помеченными нулем амплитудами:
ке», а нижний – «магнитной стенке». A0Ez и B0Hz. Сшивая компоненты Ez, Hz, Ey, Hy, получа-
Рассмотрим теперь ПП, движущийся под углом к ем однородную систему линейных уравнений. При
оси z вдоль границы такого асимметричного ГММ. сшивании Ez и Hz сразу имеем A0 = A, B0 = B, что снижа-
Задачу можно решить путем еще одного поворота си- ет размерность. Для поперечных компонент получаем
стемы координат вокруг оси x на угол , образуемый
Ex
k x k z k02 xz Ez Z0 k0 k y H z ,
новой осью z'' со старой осью z. Тогда ky'' = 0, но тен-
k z2 k02 xx
зор ДП приобретает сложный вид. Матрицу поворота
k k E Z 0 k0 k x H z
1 E y z y 2z ,
0 0 k z k02 yy
Tx 0 cos sin
ˆ
k x k z H z k0 yy k y Ez / Z 0
0 sin cos Hx ,
k z2 k02 yy
следует применить к ДП (7): k y k z H z k0 xx k x xz k z Ez / Z 0
Hy .
k z2 k02 xx
Tˆx1 Tˆx .
ДУ для такого ПП имеет вид
kx0 k k k k
2 2 x 2 xx2 x 2 xz z 2 x 0 2
kz k y
2
k z k0 k z k0 yy k z k0 xx
k z k0
2
. (9)
k02 k z2 k02 1 k z2 k02 xx 1 k z2 k02 1 k z2 k02 yy 1
Оно описывает гибридные моды с компонентами ky и первое уравнение имеет вид k x 0 k x / yy . Оно упро-
kz, распространяющиеся под углом к оси z. Входящую щается при α=0:
в это ДУ величину kx следует находить из уравнения
Френеля общего вида. В частных случаях ДУ (9) k y2 k02 2xx zz / 2xx 1 .
упрощается. При kz = 0 или ky = 0 левая часть (9) об-
ращается в нуль, уравнение Френеля также упроща- В этом случае второе уравнение превращается в со-
ется, а ДУ распадается на два для ПП, движущегося отношение kx = kx0, не имеющее решений. Можно по-
вдоль оси y, и два для ПП вдоль оси z. В первом слу- лучить упрощения ДУ и для случая α = / 2.
чае это ПП, движущийся перпендикулярно оси анизо- Представление поля внутри слоя через моды E и H
тропии. Во втором случае имеем два ДУ эквивалентно распространению в слое в двух направ-
k z2 k02 k x k x 0 yy / k x k x 0 и лениях обыкновенной и необыкновенной волн, но бо-
лее удобно. Для обыкновенных волн вектор E лежит
xx k x xz k z k z2 k02 k x 0 k z2 k02 xx , в плоскости, перпендикулярной оси анизотропии, по-
этому произвольное направление этого вектора тре-
а движение идет в плоскости оси анизотропии. При
бует введения двух волн: обыкновенной и необыкно-
симметрии k x2 zz k02 k z2 / xx и первое уравнение
венной. Конечность слоя означает необходимость
при α = 0 приобретает вид
введения волн с двумя поперечными компонентами
k z2 k02 2xx zz / xx zz . волнового вектора. Разделение ПП на обыкновенный
и необыкновенный для асимметричного ГММ в об-
Это H-ПП. Соответственно, второе уравнение описы- щем случае не происходит, но возможно в частных
вает E-ПП, который рассмотрен выше. В случае kz = 0 случаях при α = 0 и α = / 2.
Компьютерная оптика, 2021, том 45, №1 DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673 53http://www.computeroptics.ru journal@computeroptics.ru
Плотность энергии в метаматериале дом релаксации и требовало вычисления производной
функции, определяющей ДУ. При слабой диссипации
Плотность энергии для дисперсии среды, описы-
отрицательная ДП слоев металла создает поток мощ-
ваемой ДП m () c законом Друде –Лоренца, извест-
ности в металлических пленках, противоположный
на. Считаем, что резонансные частоты в члене L ()
движению фазы и потоку в диэлектрике и в вакууме,
лежат существенно выше рассматриваемой частоты
что может приводить к обратным ПП. В областях
и почти не оказывают влияние, т.е. L () = L = const.
сильных потерь (около плазмонных резонансов) ПП
Поэтому плотность энергии в металле описывается
прямые. Поворот оси позволяет управлять дисперси-
выражением W = We + Wm, в котором
ей. Замедление в симметричной структуре рис. 1 не-
WE 0 L 2p / 2 c2 E 2 / 4 , WH 0 H 2 / 4 . сколько больше замедления в сплошной металличе-
ской пленке той же толщины.
Поскольку H 0 m im / 0 E , то для металла
Wm 0 2 L m m2 m2 E 2 / 4 . (10)
При отсутствии диссипации имеем
Wm 0 L m E 2 / 2 ниже частоты p / L , а вы-
ше нее Wm = 0 L E2 / 2. Считаем, что и диэлектрик
описывается формулой Лоренца, все резонансные ча-
стоты которой также лежат далеко. Тогда
Wd = 0 d E2 / 2, и полная средняя за период плотность
энергии в ГММ дается формулой
WHM = (Wm dm + Wd dd) / d.
Численные результаты
Мы рассматриваем металлические слои с пара-
метрами L = 9,0, p = 1,36 1016, c = 2,8 1014 Гц и ди-
электрические слои с d = 3,0. Для использования
длин волн вплоть до 300 нм достаточно взять период
Рис. 2. Дисперсия замедления в слое ГММ толщины 50 нм
d~10 нм. Слой асимметричного ГММ представлен на
при разных углах α: ветвь ДУ со знаком “+”
рис. 1. Он является волноводом для ПП вдоль оси z.
Результаты численного итерационного решения ДУ
(8) приведены на рис. 2 и 3 для разных углов α и раз-
ных ветвей ДУ (знак « + » и « – » в формуле для ). В
случае симметрии рис. 2 соответствует магнитной
стенке в центре слоя, а рис. 3 – электрической стенке
в центре слоя. В случае металлической пленки это
соответственно антисимметричные и симметричные
ПП (по компоненте Hy). Стрелками показаны места
вставок более детальных графиков. На дисперсион-
ных ветвях имеются участки, для которых ПП обрат-
ные, причем как медленные, так и быстрые. Для
рис. 3 такие участки характерны для медленных ПП.
Итерации сходятся до значений нормированной
невязки порядка 10 –10, однако скорость сходимости
разная: от нескольких единиц до нескольких тысяч
итераций. Для решения ДУ использован метод мини-
мальных невязок с коррекцией сходимости: параметр
итерации на каждом шаге подбирался из условия ра-
венства нулю производной правой части итерацион- Рис. 3. Дисперсия замедления в слое асимметричного ГММ
ной формулы, что обеспечивает сходимость. Однако толщины 50 нм при разных углах α: ветвь ДУ со знаком “‒”
она может быть медленной, когда параметр итерации Результаты расчета дисперсии и потерь для ПП
мал, поэтому использовался алгоритм его корректи- вдоль границы полубесконечного образца ГММ при
ровки, позволяющий снизить максимальное число = 0 и = / 2 приведены на рис. 4, 5 и 6. Часть кри-
итераций до нескольких сотен. Определение опти- вых левее n' = 1 соответствует быстрым втекающим
мального параметра итерации производилось мето- волнам, а правее – медленным. Волны в плоскослои-
54 Computer Optics, 2021, Vol. 45(1) DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673Плазмон-поляритоны Дьяконова вдоль гиперболического метаматериала Давидович М.В.
стой среде c = / 2 более медленные, а в области
выше частоты плазмонного резонанса обратные. Это
отличает плоскослоистую среду от сплошной метал-
лической, для которой обратных волн нет. Для ГММ
с = 0 обратных волн нет, а максимальное замедле-
ние соответствует более высоким частотам, для кото-
рых m 0 . Кривые построены так, что k z 0 , по-
этому обратным волнам соответствуют как бы отри-
цательные потери. Часть из ветвей на рис. 2, 3 также
соответствует обратным волнам, при этом быстрым
ветвям (n' < 1) соответствуют вытекающие волны. Все
приведенные кривые не имеют разрывов и получены
путем решения ДУ при плавном изменении частоты.
Было использовано несколько тысяч частотных то-
чек, поэтому все ветви с резким переходом от нор- Рис. 5. Нормированные потери k z / k p E-ПП вдоль
мальной дисперсии к аномальной отрицательной
полупространства ГММ, соответствующие дисперсии
дисперсии и наоборот имеют не менее 5 точек. Резкие
рис. 3 для α = 0 (кривые 1 ‒ 3) и α = / 2 (кривые 4 – 6)
переходы обусловлены малой диссипацией. Увеличе- в зависимости от нормированного волнового числа k0 / kp
ние диссипации (загрубение) сглаживает кривые. От- при разных ДП d : 2 (кривые 1 ‒ 4), 3 (кривые 2 ‒ 5)
сутствие диссипации приводит к появлению запре- и 5 (кривые 3 ‒ 6)
щенных зон. В них kz мнимые, а волны эванесцент-
ные. Для толстой подложки рис. 4 ‒ 6 проявляется В области плазмонного резонанса k z k z ~ 1 / ,
только один резонанс, и кривые более гладкие. Рис. 6 т.е. для получения больших замедлений следует сни-
соответствует ПП типа Ценнека [15], при этом ано- жать диссипацию. Оценка для первой структуры дает в
мальной отрицательной дисперсии соответствует области резонанса k z k0 1 i 1 d2 2 / d / / 2 .
прямая волна, потери максимальны при резонансе и Для второй структуры рис. 4 имеют место два резонан-
высокие в области аномальной дисперсии (запрещен- са: низкочастотный с k z k0 1 i d / 1 d2 при
ной зоне). В вакууме энергия всегда переносится m – d, и на более высокой частоте с
вдоль движения фазы. Наличие обратных волн – это k z k0 1 i 1 d2 d / 1 d2 2 , при m 1 / d.
интегральный эффект, связанный с тем, что в метал- Непосредственно видно, что последний соответствует
лических структурах компонента вектора Пойнтинга обратному ПП. Все ПП на рис. 4 ‒ 6 втекающие, по-
может менять знак при m 0 , а полный поток энер-
скольку вытекание из диссипативного полупростран-
гии дается интегрированием компоненты Sz по попе-
ства невозможно.
речному сечению и есть разность двух противопо-
ложных потоков.
Рис. 6. Комплексный коэффициент замедления n = n’ ‒ in”
в слое ГММ толщины 5000 нм при α = / 2 в зависимости
от нормированной частоты: n’ – кривая 1, n” – кривая 2
Заключение
Рис. 4. Дисперсия E-ПП вдоль полупространства ГММ
со структурой, соответствующей α = 0 (кривые 1 ‒ 3) В работе с использованием простейшей гомогени-
и α = / 2 (кривые 4 – 6): зависимость нормированного зации получены точные решения для плазмон-
волнового числа от замедления n k z / k0 при разных поляритонов Дьяконова вдоль поверхности в общем
ДП d: 2 (кривые 1 ‒ 4), 3 (кривые 2 ‒ 5) и 5 (кривые 3 ‒ 6) случае асимметричного слоя гиперболического мета-
Компьютерная оптика, 2021, том 45, №1 DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673 55http://www.computeroptics.ru journal@computeroptics.ru
материала в виде плоскослоистой периодической ме- сред / Н.С. Аверкиев, М.И. Дьяконов // Оптика и спек-
талл-диэлектрической структуры, ось анизотропии троскопия. – 1990. – Т. 68, № 5. – С. 1118-1121.
3. Бикеев, О.Н. Поверхностные электромагнитные волны
которой лежит в плоскости распространения и повер-
на границе анизотропных сред / О.Н. Бикеев,
нута относительно оси распространения. Рассчитаны Л.А. Севастьянов // Вестник Российского университета
дисперсии ПП вдоль слоя конечной толщины и полу- дружбы народов. Серия: математика, информатика, фи-
пространства из такого ГММ, а также потери. Полу- зика. – 2017. – Т. 25, № 2. – С. 141-148. – DOI:
чены дисперсионные уравнения и для движения ПП 10.22363/2312-9735-2017-25-2-141-148.
под произвольным углом вдоль границы полупро- 4. Делицын, А.Л. Особенности распространения прямых
странства асимметричного ГММ. Учет простран- и обратных волн в волноводах с анизотропным запол-
нением / А.Л. Делицын // Учёные записки физического
ственной дисперсии, т.е. зависимости k0 , k x , k z факультета Московского университета. – 2017. – № 4. –
возможен, но приводит к сложным нелинейным дис- 1740703 (5 c).
персионным уравнениям и уравнениям Френеля, ана- 5. Моисеева, Н.М. Расчёт собственных волн планарного
лизировать которые возможно только численно. Как анизотропного волновода для различных положений
пространственная дисперсия, так и диссипация иска- оптической оси / Н.М. Моисеева // Компьютерная опти-
жают гиперболический закон дисперсии и ограничи- ка. – 2013. – Т. 37, № 1. – С. 13-18.
6. Guo, Y. Applications of hyperbolic metamaterial substrates
вают по модулю компоненты волнового вектора объ- / Y. Guo, W. Newman, C.L. Cortes, Z. Jacob // Advances in
емных волн, т.е. замыкают поверхность изочастот. OptoElectronics. – 2012. – Vol. 2012. – 452502. – DOI:
Найдены условия существования медленных и 10.1155/2012/452502.
быстрых, втекающих и вытекающих, а также прямых 7. Poddubny, А. Hyperbolic metamaterials / А. Poddubny,
и обратных поляритонов. Рассмотренный волновод в I. Iorsh, P. Belov, Yu. Kivshar // Nature Photonics. – 2013.
виде слоя асимметричного гиперболического метама- – Vol. 7, Issue 12. – P. 948-957. – DOI:
10.1038/nphoton.2013.243.
териала может быть использован в оптическом, ИУ- и
8. Noginov, M. Focus issue: hyperbolic metamaterials /
ТГц-диапазонах. В качестве реализации ГММ в ТГц- M. Noginov, M. Lapine, V. Podolskiy, Yu. Kivshar //
диапазоне удобно использовать структуры с листами Optics Express. – 2013. – Vol. 21, Issue 12. – P. 14895-
графена. В таких ГММ возможна компенсация потерь 14897. – DOI: 10.1364/OE.21.014895.
при применении лазерной оптической накачки в ви- 9. Давидович, М.В. Гиперболические метаматериалы: по-
димом диапазоне. Потери играют существенную роль лучение, свойства, применения, перспективы /
М.В. Давидович // УФН. – 2019. – Т. 189, № 12. –
при возбуждении и распространении ПП [9, 14, 15,
С. 1250-1284. – DOI: 10.3367/UFNr.2019.08.038643.
24]. Они максимальны при максимальном замедле- 10. Babicheva, V.E. Long-range plasmonic waveguides with
нии. Пренебрежение диссипацией приводит к появ- hyperbolic cladding / V.E. Babicheva, M.Y. Shalaginov,
лению запрещенных зон в области быстрых вытека- S. Ishii, A. Boltasseva, A.V. Kildishev // Optics Express. –
ющих волн с отсутствием в них действительных ре- 2015. – Vol. 23, Issue 24. – P. 31109-31119. DOI:
шений. Следует отметить, что ПП без диссипации 10.1364/OE.23.031109.
вдоль поверхности анизотропных кристаллов рас- 11. Ляшко, Е.И. Линейные направленные волны в гипер-
болическом планарном волноводе. Дисперсионные со-
сматривались еще в обзоре [31]. Анализ потерь тре- отношения / Е.И. Ляшко, А.И. Маймистов // Квантовая
бует определения комплексных корней, что усложня- электроника. – 2015. – Т. 45, № 11. – С. 1050-1054.
ет численное решение. Однако такой анализ позволя- 12. Ляшко, Е.И. Моды нелинейного планарного волновода
ет определить направление затухания волн и класси- с диэлектрическим слоем, погруженным в гиперболиче-
фицировать их как прямые или обратные, что суще- скую среду / Е.И. Ляшко, А.И. Маймистов // Квантовая
ственно проще, чем вычисление вектора Пойнтинга. электроника. – 2017. – Т. 47, № 11. – С. 1053-1063.
13. Lyashko, E.I. Guided waves in asymmetric hyperbolic slab
Обратные ПП интересны для фокусировки ПП на по- waveguides: the TM mode case / E.I. Lyashko,
верхности. Приложение внешнего магнитного поля A.I. Maimistov // Journal of the Optical Society of America
(например, вдоль оси ГММ) позволяет создавать B. – 2016. – Vol. 33, Issue 11. – P. 2320-2330. – DOI:
невзаимные волноведущие структуры. 10.1364/JOSAB.33.002320.
14. Давидович, М.В. Анализ плазмонов и гомогенизация в
Благодарности плоскослоистых фотонных кристаллах и гиперболиче-
ских метаматериалах / М.В. Давидович // Журнал экс-
Работа выполнена при поддержке Министерства
периментальной и теоретической физики. – 2016. –
науки и высшего образования РФ в рамках выполне- Т. 160, № 6. – С. 1069-1083.
ния работ по Государственному заданию (проект № 15. Давидович, М.В. Плазмоны в многослойных плос-
FSRR-2020-0004). кослоистых структурах / М.В. Давидович // Квантовая
электроника. – 2017. – Т. 47, № 6. – С. 567-579.
Литература 16. Nefedov, I.S. Total absorption in asymmetric hyperbolic
media / I.S. Nefedov, C.A. Valagiannopoulos,
1. Дьяконов, М.И. Новый тип пограничных электромаг- S.M. Hashemi, E.I. Nefedov // Scientific Reports. – 2013. –
нитных волн / М.И. Дьяконов // ЖЭТФ. – 1988. – Т. 94, Vol. 3. – 2662 (6 p.). – DOI: 10.1038/srep02662.
– Вып. 4. – С. 119-123. 17. Козина, О.Н. Оптические характеристики асимметрич-
2. Аверкиев, Н.С. Электромагнитные волны, локализо- ного гиперболического материала / О.Н. Козина,
ванные на границе раздела прозрачных анизотропных Л.А. Мельников // Известия Саратовского университета.
56 Computer Optics, 2021, Vol. 45(1) DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673Плазмон-поляритоны Дьяконова вдоль гиперболического метаматериала Давидович М.В.
Новая серия. Серия: Физика. – 2019. – Т. 19, № 2. – amaterials / T. Grig, O. Hess // Optics Express. – 2017. –
С. 122-131. – DOI: 10.18500/1817-3020-2019-19-2-122-131. Vol. 25, Issue 10. – P. 11466-11476.
18. Овчаренко, А.И. Двумерные Дьяконовские волны на ги- 25. Zhang, L. Tunable bulk polaritons of graphene-based hy-
перболической метаповерхности с анизотропной эффек- perbolic metamaterials / L. Zhang, Z. Zhang, C. Kang,
тивной поверхностной проводимостью / А.И. Овчаренко, B. Cheng, L. Chen, X. Yang, J. Wang, W. Li, B. Wang //
О.Е. Ермаков, M. Song, А.А. Богданов, И.В. Иорш, Optics Express. – 2014. – Vol. 22,Issue 11. – P. 14022-
Ю.С. Кившарь // Электроника и микроэлектроника СВЧ. 14030. – DOI: 10.1364/OE.22.014022.
– 2015. – Т. 1. – С. 54-57. 26. Бикеев, О.Н. Собственные волны плоского симметрич-
19. Chern, R.-L. Chiral surface waves on hyperbolic- ного анизотропного волновода / О.Н. Бикеев,
gyromagnetic metamaterials / R.-L. Chern, Y-Z. Yu // К.П. Ловецкий, А.Л. Севастьянов // Вестник Российско-
Optics Express. – 2017. – Vol. 25, Issue 10. – P. 11801-
го университета дружбы народов. Серия: Математика,
11812. DOI: 10.1364/OE.25.011801.
информатика, физика. – 2018. – Т. 26, № 2. – С. 119-128.
20. Gao, W. Chiral surface waves supported by biaxial hyper-
– DOI: 10.22363/2312-9735-2018-26-2-119-128.
bolic metamaterials / W. Gao, F. Fang, Y. Liu, S. Zhang //
27. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны /
Light: Science & Applications. – 2015. – Vol. 4. – e328. –
Л.А. Вайнштейн. – 2-е изд. – M.: Радио и связь, 1988. –
DOI: 10.1038/lsa.2015.101.
440 c.
21. Popov, V. Surface waves on multilayer hyperbolic met-
amaterials: Operator approach to effective medium approx- 28. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Т. 8. Электроди-
imation / V. Popov, A.V. Lavrinenko, A. Novitsky // Physi- намика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. –
cal Review B. – 2018. – Vol. 97, Issue 12. – 125428. – DOI: М.: Наука, 1982. – 622 с.
10.1103/PhysRevB.97.125428. 29. Zhukovsky, V.S. Physical nature of volume plasmon polar-
22. Xiang, Y. Engineered surface Bloch waves in graphene- itons in hyperbolic metamaterials / V.S. Zhukovsky,
based hyperbolic metamaterials / Y. Xiang, J. Guo, X. Dai, O. Kidwai, J.E. Sipe // Optics Express. – 2013. – Vol. 21,
S. Wen, D. Tang // Optics Express. – 2014. – Vol. 22, Is- Issue 12. – P. 14982-14987. – DOI: 10.1364/OE.21.014982.
sue 3. – P. 3054-3062. – DOI: 10.1364/OE.22.003054. 30. Давидович, М.В. Диамагнетизм и парамагнетизм мета-
23. Guo, T. Tunable terahertz amplification based on photoex- материала из колец с током / М.В. Давидович // Письма
cited active graphene hyperbolic metamaterials [Invited] / в ЖЭТФ. – 2018. – Т. 108, Вып. 5. – С. 299-326. – DOI:
T. Guo, L. Zhu, P.-Y. Chen, C. Argyropoulos // Optical Ma- 10.1134/S0370274X18170010.
terials Express. – 2014. – Vol. 8, Issue 12. – P. 3941-3952. 31. Агранович, В.М. Кристаллооптика поверхностных по-
– DOI: 10.1364/OME.8.003941. ляритонов и свойства поверхности / В.М. Агранович //
24. Grig, T. Tunable surface waves at the interface separating УФН. – 1975. – Т. 115, № 2. – С. 199-237. – DOI:
different graphene-dielectric composite hyperbolic met- 10.3367/UFNr.0115.197502b.0199.
Сведения об авторе
Давидович Михаил Владимирович, 1950 года рождения, в 1972 году окончил Саратовский государствен-
ный университет по специальности «Физика», в 1992 г. защитил кандидатскую диссертацию по специальности
01.04.03 «Радиофизика, включая квантовую радиофизику» в СГУ, в 2000 защитил докторскую диссертацию по
специальности 05.13.16 «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математи-
ческих методов в научных исследованиях (в области физики и электроники)» в СГТУ, работает в должности
профессора кафедры радиотехники и электродинамики Саратовского государственного университета им. Н.Г.
Чернышевского. Автор более 300 научных работ. Область научных интересов: электродинамика, радиофизика,
нанофотоника, плазмоника, электроника. E-mail: davidovichmv@info.sgu.ru .
ГРНТИ: 29.31.15
Поступила в редакцию 5 декабря 2019 г. Окончательный вариант – 5 сентября 2020 г.
Компьютерная оптика, 2021, том 45, №1 DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673 57Dyakonov plasmon-polaritones along a hyperbolic metamaterial surface
M.V. Davidovich 1,2
1
Saratov National Research State University named N.G. Chernyshevsky, Saratov, Russia,
2
LLC Research Production Firm “ETNA PLUS”, Saratov, Russia
Abstract
We consider dissipative Dyakonov plasmon-polaritons as surface waves propagating along the
plane boundary of a hyperbolic metamaterial with an arbitrary orientation of the crystallographic
axis. Conditions for the existence of fast, slow, gliding flowing, forward and backward plasmon-
polaritons are found. A waveguide in the form of an asymmetric layer of a hyperbolic metamateri-
al is also considered. An expression for the density of electromagnetic energy in such a metamate-
rial is given.
Keywords: Dyakonov surface plasmon-polaritones, surface waves, hyperbolic metamaterial,
backward waves.
Citation: Davidovich MV. Dyakonov plasmon-polaritones along a hyperbolic metamaterial
surface. Computer Optics 2021; 45(1): 48-57. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-673.
Acknowledgements: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Educa-
tion of Russia as part of the state project (project no. FSRRr-2020-0004).
[13] Lyashko EI, Maimistov AI. Guided waves in asymmetric
References hyperbolic slab waveguides: the TM mode case. J Opt Soc
[1] Dyakonov MI. New type of electromagnetic wave propa- Am B 2016; 33(11): 2320-2330. DOI:
gating at an interface. JETP 1988; 67(4): 714-716. 10.1364/JOSAB.33.002320.
[2] Averkiev NS, Diakonov MI. Electromagnetic waves local- [14] Davidovich MV. Plasmon analysis and homogenization in
ized at the boundary of transparent anisotropic media. Op- plane layered photonic crystals and hyperbolic metamateri-
tics and Spectroscopy 1990; 68(5): 653-655. als. JETP 2016; 160(6): 928-941. DOI:
[3] Bikeev ON, Sevastianov LA. Surface electromagnetic 10.1134/S106377611611025X.
waves at the interface of two anisotropic media [In Rus- [15] Davidovich MV. Plasmons in multilayer plane-layered
sian]. Discrete and Continuous Models and Applied structures. Quantum Electron 2017; 47(6): 567-579. DOI:
Computational Science 2017; 25(2): 141-148. DOI: 10.1070/QEL16272.
10.22363/2312-9735-2017-25-2-141-148. [16] Nefedov IS, Valagiannopoulos CA, Hashemi SM, Nefedov
[4] Delitsyn AL. Direct and backward waves propagation in EI. Total absorption in asymmetric hyperbolic media. Sci
anisotropic filled waveguides [In Russian]. Memoirs of the Rep 2013; 3: 2662. DOI: 10.1038/srep02662.
Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University [17] Kozina O.N., Melnikov L.A. Optical characteristics of
2017; 4: 1740703. asymmetrical hyperbolic metamaterials [In Russian].
[5] Moiseeva NM. The calculation of eigenvalues modes of Izvestiya of Saratov University. New Series. Series:
the planar anisotropic waveguides for various angles the Physics 2019; 19(2): 122-131. DOI: 10.18500/1817-3020-
optical axis. Computer Optics 2013; 37(1): 13-18. 2019-19-2-122-131.
[6] Guo Y, Newman W, Cortes CL, Jacob Z. Applications of [18] Ovcharenko AI, Ermakov OE, Song M, Bogdanov AA,
hyperbolic metamaterial substrates. Advances in Iorsh IV, Kivshar YS. Two-dimensional Deacon waves on
OptoElectronics 2012; 2012: 452502. DOI: a hyperbolic metasurface with anisotropic effective surface
10.1155/2012/452502. conductivity [In Russian]. Electronics and microelectronics
[7] Poddubny А, Iorsh I, Belov P, Kivshar Yu. Hyperbolic of microwave 2015; 1: 54-57.
metamaterials. Nat Photon 2013; 7(12): 948-957. DOI: [19] Chern R-L, Yu Y-Z. Chiral surface waves on hyperbolic-
10.1038/nphoton.2013.243. gyromagnetic metamaterials. Opt Express 2017; 25(10):
[8] Noginov M, Lapine M, Podolskiy V, Kivshar Yu. Focus 11801-11812. DOI: 10.1364/OE.25.011801.
issue: hyperbolic metamaterials. Opt Express 2013; 21(12): [20] Gao W, Fang F, Liu Y, Zhang S. Chiral surface waves
14895-14897. DOI: 10.1364/OE.21.014895. supported by biaxial hyperbolic metamaterials. Light Sci
[9] Davidovich MV. Hyperbolic metamaterials: production, Appl 2015; 4: e328. DOI: 10.1038/lsa.2015.101.
properties, applications, and prospects. Phys Usp 2019; [21] Popov V, Lavrinenko AV, Novitsky A. Surface waves on
62(12): 1173-1208. DOI: 10.3367/UFNe.2019.08.038643. multilayer hyperbolic metamaterials: Operator approach to
[10] Babicheva VE, Shalaginov MY, Ishii S, Boltasseva A, effective medium approximation. Phys Rev B 2018;
Kildishev AV. Long-range plasmonic waveguides with 97(12): 125428. DOI: 10.1103/PhysRevB.97.125428.
hyperbolic cladding. Opt Express 2015; 23(24): 31109- [22] Xiang Y, Guo J, Dai X, Wen S, Tang D. Engineered sur-
31119. DOI: 10.1364/OE.23.031109. face Bloch waves in graphene-based hyperbolic metamate-
[11] Lyashko EI, Maimistov AI. Linear guided waves in a hy- rials. Opt Express 2014; 22(3): 3054-3062. DOI:
perbolic planar waveguide. Dispersion relations. Quantum 10.1364/OE.22.003054.
Electron 2015; 45(11): 1050-1054. DOI: [23] Guo T, Zhu L, Chen P-Y, Argyropoulos C. Tunable te-
10.1070/QE2015v045n11ABEH015858. rahertz amplification based on photoexcited active gra-
[12] Lyashko EI, Maimistov AI. Modes of a nonlinear planar phene hyperbolic metamaterials [Invited]. Opt Mater
waveguide with a dielectric layer immersed in a hyperbolic Express 2014; 8(12): 3941-3952. DOI:
medium. Quantum Electron 2017; 47(11): 1053-1063. 10.1364/OME.8.003941.
DOI: 10.1070/QEL16483.[24] Grig T, Hess O. Tunable surface waves at the interface [28] Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Course of theoret-
separating different graphene-dielectric composite hyper- ical physics. Vol 8. Electrodynamics of continuous media.
bolic metamaterials. Opt Express 2017; 25(10): 11466- 2nd ed. Burlington, MA: Elsevier Butterworth-Heinemann;
11476. 1984.
[25] Zhang L, Zhang Z, Kang C, Cheng B, Chen L, Yang X, [29] Zhukovsky VS, Kidwai O, Sipe JE. Physical nature of vol-
Wang J, Li W, Wang B. Tunable bulk polaritons of gra- ume plasmon polaritons in hyperbolic metamaterials. Opt
phene-based hyperbolic metamaterials. Opt Express 2014; Express 2013; 21(12): 14982-14987. DOI:
22(11): 14022-14030. DOI: 10.1364/OE.22.014022. 10.1364/OE.21.014982.
[26] Bikeev ON, Lovetsky KP, Sevastyanov AL. Eigen waves [30] Davidovicch MV. Diamagnetism and paramagnetism of a
of a plane symmetric anisotropic waveguide [In Russian]. metamaterial consisting of rings with a current. JETP Lett
RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and 2018; 108(5): 279-286. DOI:
Physics 2018; 26(2): 119-128. DOI: 10.22363/2312-9735- 10.1134/S002136401817006X.
2018-26-2-119-128. [31] Agranovich V.M. Crystal optics of suface polaritons and
[27] Vainshtein LA. Electromagnetic waves [In Russian]. 2nd the properties of surfaces. Sov Phys Usp 1975; 18(2): 99-
ed. Moscow: “Rasdio i Svyaz” Publisher; 1988. 117. DOI: 10.1070/PU1975v018n02ABEH001948.
Author’s information
Michael Vladimirovich Davidovich (b. 1950) graduated from Saratov State University in 1972, in 1992 he defend-
ed his Candidate Thesis on the specialty 01.04.03 "Radiophysics, Including Quantum Radiophysics", Saratov State
University, in 2000 he defended his Doctoral Thesis on the specialty 05.13.16 "Application of Computer Technology,
Mathematical Modeling and Mathematical Methods in Scientific Research (Physics and Electronics)", works as a Pro-
fessor of Radio Engineering and Electrodynamics department in the Saratov State University.
E-mail: davidovichmv@info.sgu.ru .
Received December 5, 2019. The final version – September 5, 2020.Вы также можете почитать
