КОМПЕНСАЦИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ НА БАЗЕ ПРЕДСКАЗАНИЯ ДЛЯ LTI СИСТЕМ С ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
1333
УДК 681.51
КОМПЕНСАЦИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
НА БАЗЕ ПРЕДСКАЗАНИЯ
ДЛЯ LTI СИСТЕМ С ДИНАМИЧЕСКОЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Е.И. Веремей
Санкт-Петербурский государственный университет
Россия, 198504, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр., 35
E-mail: e_veremey@mail.ru
Ключевые слова: система управления, запаздывание, регулятор, асимптотический на-
блюдатель, устойчивость
Аннотация: Работа посвящена вопросам синтеза динамических обратных связей для
линейных стационарных систем управления с запаздыванием по управляющему входу
или измеряемому выходу. В качестве основы принят подход, позволяющий в опреде-
ленном смысле компенсировать запаздывание с учетом известных динамических
свойств LTI системы. Предлагаются два новых метода синтеза стабилизирующих регу-
ляторов по выходу, имеющих собственную динамику. Первый из них позволяет постро-
ить предсказывающую динамическую обратную связь для объектов с запаздыванием по
управлению. Второй метод дает возможность формировать стабилизирующие регулято-
ры, в которых используется предсказывающий наблюдатель, для объектов с запаздыва-
нием по измерениям.
1. Введение
При проведении исследований и проектирования современных систем автоматиче-
ского управления достаточно часто встречаются ситуации, когда невозможно пренеб-
речь наличием транспортного запаздывания в динамике объекта управления или иных
элементов системы. В частности, необходимость учета запаздывания возникает при
реализации управления в компьютерных сетях, при передаче информации через линии
связи, при наличии масштабных вычислений для формирования управления в режиме
реального времени и т.д.
Чаще всего, запаздывание играет негативную роль в динамике системы, порождая
дополнительные проблемы с обеспечением устойчивости, робастности и качества
управления. Однако вполне возможны и обратные ситуации, где введение запаздыва-
ния приводит к улучшению указанных динамических свойств.
В отечественной и зарубежной научной литературе уделяется значительное внима-
ние вопросам исследования динамических систем с запаздыванием. Одной из первых
работ, с которых началось систематическое развитие соответствующей теории, являет-
ся монография [1]. Многочисленные практические аспекты этой теории обсуждаются в
книге [2]. В работе [3] представлены алгебраические методы исследования систем с за-
паздыванием.
Современное состояние проблем устойчивости при наличии временного запазды-
вания детально отражено в монографии [4]. В ней предложены оригинальные методы
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1334
исследования устойчивости по Ляпунову, развивающие идеологию функционалов Ля-
пунова-Красовского. В частности, детально представлен функционал полного типа, ко-
торый служит мощным аналитическим инструментом, позволяющим решать широкий
круг проблем, связанных с запаздыванием.
Одним из подходов, ориентированных на практический синтез стабилизирующих
управлений для линейных систем, служит определенная компенсация запаздывания с
помощью обратной связи, которая выполняется на базе предсказания поведения векто-
ра состояния (или его оценки) объекта управления. Это предсказание выполняется ана-
литически с помощью формулы Коши, что позволяет в конечном итоге формировать
стабилизирующее управляющее воздействие по текущему измерению.
Идея компенсации с предсказанием была впервые предложена в статье [5], даль-
нейшее ее развитие отражено в монографиях [6] и [7], причем в последней из них ком-
пенсационный подход применяется для нелинейных систем и систем управления с рас-
пределенными параметрами.
Данная статья посвящена некоторому расширению возможностей компенсацион-
ного подхода при синтезе стабилизирующих управлений для линейных стационарных
(LTI) систем с запаздыванием на входе или выходе. Основное внимание уделяется двум
задачам: компенсации запаздывания по управлению с помощью динамического регуля-
тора произвольной структуры по выходу, а также компенсации запаздывания по изме-
рению с помощью наблюдателя. В работе [7] первая задача рассматривается только в
частном варианте, а решение второй дано в такой форме, которая не совсем удобна для
исследования динамических свойств. Тем не менее, применение общей методологии,
принятой в [7], позволяет выполнить указанное расширение.
2. Компенсация запаздывания в LTI системах
Рассмотрим основную идею построения системы с обратной связью, которая ком-
пенсирует запаздывание по входу LTI объекта. Этот подход был впервые применен в
статье [5], а здесь он рассматривается в современной форме, как предложено в моно-
графии [7].
Пусть задан линейный стационарный объект своим уравнением состояния
(1) x (t ) Ax(t ) Bu(t h) ,
где x E n – вектор состояния, u E m – управляющее воздействие, поступающее на
объект с запаздыванием h 0 , причем пару матриц ( A, B) с постоянными компонента-
ми далее будем считать вполне управляемой.
Наряду с системой (1) рассмотрим уравнения объекта без запаздывания
(2) x Ax Bu
с теми же матрицами A и B .
В силу полной управляемости существует управление по состоянию
(3) u Kx ,
стабилизирующее объект (2), поскольку с помощью матрицы K можно назначить лю-
бой заданный спектр собственных значений матрицы A BK замкнутой системы (2),
(3). Будем считать, что ее гурвицевость обеспечена выбором матрицы K .
Покажем, что при этом обратная связь
t
e
A
(4) u(t ) Ke Ah x(t ) Ke At Bu ()d
t h
обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы (1), (4).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1335
С этой целью обратимся к объекту с запаздыванием (1) и сначала будем формиро-
вать для нее управление в виде
(5) u(t h) Kx (t ) ,
что эквивалентно соотношению
(6) u(t ) Kx(t h) .
Замыкая управлением (6) объект (1), получим замкнутую систему с уравнением
(7) x A BK x ,
которая асимптотически устойчива в силу выбора матрицы K .
Однако реализация управления (6) предполагает знание состояния объекта в мо-
мент t h , что в общем случае физически невозможно. Тем не менее, поскольку мы
имеем дело с LTI системой, указанное состояние объекта можно вычислить (спрогно-
зировать), пользуясь формулой Коши, используя вектор x(t ) в текущий момент и век-
тор u(t ) , заданный на отрезке t [t h, t ] .
Действительно, формула Коши
t2
e
A ( t 2 t1 ) A ( t 2 t1 ) A ( t1 )
(8) x(t2 ) e x(t1 ) e Bu( t1 )d
t1
позволяет определить состояние объекта (1) в любой момент t t2 , если нам известно
его состояние в любой момент t t1 и поведение управления на отрезке t [t1 , t2 ] . В
частности, полагая t1 t , t2 t h и вводя обозначение h , согласно (8) получим
t
e
Ah At A
(9) x(t h) e x(t ) e Bu()d .
t h
Итак, формула (9) определяет прогноз состояния в момент времени t h на основе
состояния в момент t и с учетом знания поведения управления на отрезке t [t h, t ] .
Подставляя соотношение (9) в формулу (6), получим стабилизирующую обратную
связь (4), что и требовалось показать.
Рассмотрим некоторые особенности управления (4). С этой целью введем в рас-
смотрение вспомогательную динамическую векторную переменную
t
(10) z (t ) e ABu()d , z E n .
0
Из очевидного равенства
t t h t
e Bu()d e Bu()d e
A A A
Bu()d
0 0 t h
с учетом обозначения (10) следует
t
e
A
(11) Bu()d z (t ) z (t h) .
t h
Подставляя (11) в (4), получим уравнение обратной связи в виде
(12) u(t ) Ke Ah x(t ) Ke At z (t ) z (t h) ,
причем вспомогательная переменная z (t ) , согласно (10) удовлетворяет дифференци-
альному уравнению
(13) z (t ) e At Bu (t ) .
На основании соотношений (12) и (13) обратная связь (4) может быть представлена
в виде регулятора
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1336
z (t ) e At BKe At z (t ) e At BKe At z (t h) e At BKe Ah x(t ),
(14) ,
u(t ) Ke At z (t ) Ke At z (t h) Ke Ah x(t ).
Из соотношений (14) следует, что этот регулятор является нестационарным линей-
ным объектом с собственной динамикой, на вход которого поступает текущее состоя-
ние x(t ) объекта управления, а выходом служит текущее значение управляющего сиг-
нала u(t ) . Введенная ранее переменная z (t ) представляет вектор состояния регулятора
(14). Обратим внимание на тот факт, что этот регулятор, в отличие от объекта управле-
ния, обладает запаздыванием h по состоянию.
3. Предсказывающие регуляторы по выходу
Непосредственная практическая реализация рассмотренных выше предсказываю-
щих обратных связей (14), построенных на базе исходных статических регуляторов (3)
по состоянию затруднена, поскольку вектор состояния x(t ) , как правило, полностью не
измеряется. Для систем без запаздывания недостаток информации в известном смысле
восполняется путем введения дополнительной динамики в обратную связь, которая
формируется по измеряемому выходу. При этом часто используются регуляторы на ба-
зе асимптотических наблюдателей дающих оценку вектора состояния (приближение к
нему). Аналогичный подход предлагается работе [7] и для систем с запаздыванием, его
суть состоит в следующем.
Рассмотрим LTI-объект с математической моделью в пространстве состояний
x (t ) Ax(t ) Bu(t h),
(15)
y (t ) Cx(t ),
где введено дополнительное обозначение y E k для вектора измерений с заданной
матрицей Ck n , имеющей постоянные компоненты. Будем считать, что пара ( A, C) яв-
ляется вполне наблюдаемой.
Вначале обратимся к соответствующей LTI системе без запаздывания
x Ax Bu,
(16)
y Cx
и сформируем для нее регулятор на базе асимптотического наблюдателя:
ξ Aξ Bu H (y Cz ),
(17)
u Kξ.
Здесь ξ E n – вектор состояния наблюдателя, матрица K выбирается из условия гур-
вицевости матрицы A BK , а матрица H – из условия гурвицевости матрицы A HC .
Согласно (16) и (17) легко записать дифференциальное уравнение ε A HC ε , кото-
рому удовлетворяет ошибка ε x ξ наблюдения. Тогда уравнения замкнутой системы
можно представить в виде
x Ax Bu,
x A BK x BKε,
(18) ε A HCε,
ε A HCε,
u K K x ε
откуда следует выражение
(19) ( s ) det Es A BK det Es A HC
для ее характеристического полинома. В силу выбора матриц K и H он является гур-
вицевым, т.е. сформированная динамическая обратная связь (17) стабилизирует систе-
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1337
му (16) без запаздывания.
Теперь вернемся к системе с запаздыванием (15) и построим для нее предсказы-
вающий регулятор по состоянию, удовлетворяющий условию (5) для выбранной мат-
рицы K . Как и в предшествующем параграфе, сформируем управление (4), для которо-
го выполняется условие (6), стабилизируя систему (15).
Далее, согласно [7], построим наблюдатель с запаздыванием
(20) ξ (t ) Aξ (t ) Bu(t h) Hy (t ) Cξ (t ),
где взята выбранная выше матрица H . Заметим, что ошибка оценивания ε x ξ в
данном случае удовлетворяет тому же уравнению ε A HC ε , что и в варианте без
запаздывания. Формируя вместо (4) управление по оценкам, получим предсказываю-
щий регулятор с дополнительной динамикой, предложенный в [7]:
ξ (t ) Aξ (t ) Bu(t h) Hy (t ) Cξ (t ),
(21) t
e
A
u(t ) Ke Ahξ (t ) Ke At Bu()d.
t h
Нетрудно проверить, что характеристический полином замкнутой системы (15),
(21), как и в ситуации без запаздывания, определяется выражением (19), т.е. является
гурвицевым полиномом.
Итак, регулятор (21) можно трактовать, как предсказывающую трансформацию ис-
ходного динамического регулятора (17) по выходу для стабилизации системы с запаз-
дыванием (15). Заметим, что регулятор (17) является частным случаем по отношению к
произвольным LTI динамическим обратным связям вида
(22) u W ( p )y , p d / dt ,
где элементами передаточной матрицы W служат правильные рациональные дроби.
1
Действительно, для регулятора (17) имеем W( p) K Ep A HC BK H , т.е. его tf-
модель может быть представлена в виде (22).
Однако в практических задачах исходные динамические регуляторы, обеспечи-
вающие желаемые динамические свойства замкнутой системы (16), (22), далеко не все-
гда сводятся к виду (17). В качестве примера можно привести весьма популярные об-
ратные связи ПИД типа.
В связи с отмеченным обстоятельством возникает естественное желание обобщить
метод синтеза предсказывающей обратной связи на основе исходного регулятора (17)
на динамический регулятор (22) произвольной структуры.
С этой целью представим модель (22) в виде уравнений пространства состояний
ξ A k ξ B k y,
(23)
u Ck ξ Dk y ,
где ξ E – вектор состояния. Матрицы представления (23) удовлетворяют тождеству
W( s) Ck E s A k B k Dk , где E – единичная матрица размера .
1
Справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть LTI регулятор
ξ A k ξ B k η,
(24)
u Ck ξ Dk η
стабилизирует замкнутую систему без запаздывания с объектом управления
x Ax Bu,
(25)
η C1x, C1 Ce Ah .
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1338
Тогда обратная связь по выходу с математической моделью
z (t ) e At Bu(t ),
ξ A k ξ B k γ ,
(26)
u Ck ξ Dk γ,
γ y (t ) Ce A (t h ) z (t ) z (t h)
обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы (15), (26) где объ-
ект управления имеет запаздывание по управляющему входу.
Доказательство теоремы 1. Вначале запишем уравнения замкнутой системы (25),
(24), исключая переменную u ,
(27)
x A BDk Ce Ah x BC k ξ,
ξ B Ce Ah x A ξ,
k k
и замечая, что матрица этой системы является гурвицевой.
Теперь обратимся к системе (15) с запаздыванием и на базе регулятора (22) постро-
им для нее обратную связь, которая для любого момента t удовлетворяет условию
(28) u(t h) W ( p ) η(t ) u(t h) W ( p )Ce Ah x(t ) ,
откуда следует, что
(29) u(t ) W ( p )Ce Ah x(t h) .
Итак, мы пришли к управлению с прогнозом, который можно выполнить по фор-
муле (9): после ее подстановки в соотношение (29) получим
t
(30) u(t ) W ( p ) y (t ) Ce e e ABu ()d ,
Ah At
t h
т.е. предсказывающий регулятор, аналогичный (4), построенный по выходу. Как и ра-
нее, введем в рассмотрение вспомогательный вектор z (t ) , удовлетворяющий диффе-
ренциальному уравнению (13), что позволит представить обратную связь (30) в виде
(31)
u(t ) W ( p ) y (t ) Ce Ah e At z (t ) z (t h) .
И, наконец, представим обратную связь с tf-моделью (31) уравнениями пространст-
ва состояний с учетом тождества W( s) Ck E s A k B k Dk . С этой целью введем в
1
рассмотрение вспомогательную переменную γ y (t ) Ce A (t h ) z (t ) z (t h), и, допол-
няя систему уравнением (13), получим (26). Теорема 1 доказана.
Приведенное утверждение имеет конструктивный характер, определяющий кон-
кретный метод синтеза. Он включает два этапа: вначале формируется регулятор по вы-
ходу (22) с заданной структурой, который стабилизирует вспомогательную LTI систему
(25). Этот регулятор разворачивается в нормальную форму (24), а затем трансформиру-
ется к предсказывающему регулятору (30) или (26) с дополнительной динамикой, кото-
рый стабилизирует исходную систему (15) с запаздыванием.
4. Наблюдатели с предсказанием ошибки наблюдения
Предсказывающие динамические регуляторы можно применить и для стабилиза-
ции LTI систем, имеющих запаздывание по измеряемому выходу, математическая мо-
дель которых в пространстве состояний задается уравнениями
x (t ) Ax(t ) Bu(t ),
(32)
y (t ) Cx(t h),
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1339
обладающими свойствами полной управляемости и полной наблюдаемости.
В данном случае для формирования обратной связи по выходу будем использо-
вать асимптотические наблюдатели предсказывающего типа, которые позволяют вос-
станавливать информацию о текущем состоянии x(t ) объекта управления по текущему
измерению y (t ) . Далее при формировании обратной связи полученные оценки ξ (t ) ис-
пользуются вместо вектора x(t ) в стабилизирующем регуляторе (3). Естественно, что
необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой системы при этом яв-
ляется асимптотическая устойчивость нулевого положения равновесия для уравнения
ошибки ε x ξ наблюдения.
В работе [7] представлены два варианта предсказывающих наблюдателей:
«классический» и «полный» (по терминологии автора). Первый из них трактуется как
редуцированный, поскольку он не оценивает состояние измерителя, обладающего соб-
ственной динамикой, определяемой запаздыванием. Это приводит к увеличению ошиб-
ки оценивания при наличии шумов в измерениях.
Полный вариант предсказывающего наблюдателя, предложенный в [7], учиты-
вает это обстоятельство. Однако уравнение ошибки наблюдения для этого варианта яв-
ляется относительно сложным, что затрудняет доказательство асимптотической устой-
чивости и практическое применение обратной связи.
Здесь предлагается новая модификация наблюдателя, который свободен от указан-
ных недостатков, что достигается предсказанием ошибки измерения.
Как и динамические регуляторы, рассмотренные выше, любой указанный вариант
предсказывающего наблюдателя базируется на использовании формулы Коши
t2
e
A ( t 2 t1 ) A ( t2 t1 ) A ( t1 )
(33) x(t2 ) e x(t1 ) e Bu ()d ,
t1
справедливой для состояния системы (32) в любые конечные моменты t1 и t2 времени.
В частности, полагая t1 t , t2 t h , имеем
t h
e
Ah Ah A ( t )
(34) x(t h) e x(t ) e Bu() d ,
t
а в случае t1 t h , t2 t получаем
t
e
Ah A ( t )
(35) x(t ) e x(t h) Bu()d ,
t h
причем последнюю формулу можно трактовать как прогноз состояния x(t ) , выполнен-
ный по состоянию x(t h) с учетом поведения управления на отрезке [t h, t ] .
Классический предсказывающий наблюдатель для системы (32) без управления
формируется на базе формулы (34), согласно которой имеем x(t h) e Ah x(t ) , что по-
сле подстановки в (32) дает систему без запаздывания
x (t ) Ax(t ) Bu(t ),
(36)
y (t ) Ce Ah x(t ).
Обычный асимптотический наблюдатель для этой системы имеет вид
ξ Aξ e Ah Ly Ce Ahξ , ξ E ,
n
(37)
а ошибка ε x ξ наблюдения согласно (36) и (37) удовлетворяет уравнению
(38) ε A Lε, A L A e Ah LCe Ah .
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1340
Если матрица L обеспечивает гурвицевость матрицы A LC , то и матрица A L
будет гурвицевой при любом значении h , поскольку эти две матрицы подобны (не-
трудно показать, что справедливо равенство e Ah A L e Ah A LC ).
При учете управления можно сформировать классический предсказывающий на-
блюдатель как обобщение простейшего наблюдателя (37). С этой целью запишем урав-
нения системы с запаздыванием (32) с учетом формулы (34) в виде
x (t ) Ax(t ) Bu(t ),
t
(39)
y (t ) Ce Ah x(t ) Ce Ah e A ( t ) Bu()d.
t h
В соответствии с (39) примем уравнения наблюдателя в виде
ξ Aξ Bu e Ah L y y e ,
t
(40)
e
Ah Ah A ( t )
y e Ce ξ Ce Bu()d.
t h
Заметим, что согласно (39) и (40) уравнение для ошибки оценивания и в данном
случае имеет вид (38), а это значит, что если матрица L в наблюдателе (40) обеспечи-
вает гурвицевость матрицы A LC , и матрица A L будет гурвицевой при любом значе-
нии h , т.е. ошибка наблюдения экспоненциально стремится к нулю с ростом времени.
Наряду с (40), рассмотрим также полный наблюдатель Крстича
ξ Aξ Bu e Ah L y y e ,
t
(41)
e
A
y e (t ) Cξ (t h) Ce At L y () y e ()d .
t h
Заметим, что, в отличие от классического варианта, здесь дифференциальное урав-
нение для ошибки наблюдения, к сожалению, не сводится к (38), что существенно за-
трудняет доказательство экспоненциального стремления ошибки к нулю. Это доказа-
тельство проводится в [7] с использованием уравнений в частных производных и с при-
влечением аппарата функций Ляпунова.
Теперь рассмотрим иной способ формирования предсказывающего наблюдателя,
который, как и наблюдатель Крстича, оценивает динамику в канале измерения, однако
более прост в плане динамики ошибки наблюдения.
Итак, рассмотрим систему с запаздыванием (32), для которой справедливо сле-
дующее утверждение.
Теорема 2. Пусть матрица L выбрана так, что все собственные значения мат-
рицы A LCe Ah расположены в открытой левой полуплоскости. Тогда наблюдающее
устройство
ξ Aξ Bu L y y e ,
t
(42)
y e (t ) Cξ (t h) Ce A (t h ) e AL y () y e ()d .
t h
обеспечивает экспоненциальное стремление к нулю ошибки ε x ξ наблюдения для
вектора состояния x(t ) системы (32), в которой управление имеет запаздывание по
измеряемому выходу.
Доказательство теоремы 2. Вначале будем формировать наблюдающее устройст-
во для системы (32) в следующем виде:
(43) ξ Aξ Bu v ,
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1341
где v v(t ) – корректирующая добавка, которая подлежит поиску. При этом ошибка
ε x ξ наблюдения должна удовлетворять дифференциальному уравнению
(44) ε (t ) Aε(t ) v (t ) .
Если удастся построить корректирующую добавку так, чтобы выполнялось условие
(45) v (t ) LCe Ahε(t ) ,
то уравнение ошибки примет вид
(46) ε A*ε, A* A LCe Ah ,
и если матрица A* гурвицева, то мы имеем экспоненциальную сходимость ошибки к
нулю (заметим, что A* A L ).
Для построения коррекции (45) на базе текущего измерения y (t ) Cx(t h) , что
сразу же определяет ее предсказывающий характер, по отношению к ошибке ε(t ) , вос-
пользуемся формулой Коши для системы (44) при любых значениях t1 и t2 :
t2
e
A ( t 2 t1 ) A ( t 2 t1 ) A ( t1 )
(47) ε(t 2 ) e ε(t1 ) e v ()d .
t1
В частности, полагая t1 t h , t 2 t , получим
t
e
Ah At A
(48) ε(t ) e ε(t h) e v()d ,
t h
что после подстановки в (45) дает
t
A (t h )
(49) v (t ) L Cx(t h) Cξ (t h) Ce e A v()d .
t h
Теперь введем обозначение для оценки измеряемой переменной y :
t
(50) y e (t ) Cξ (t h) Ce A (t h ) e A v()d ,
t h
в соответствии с которым из (49) имеем
(51) v (t ) L y (t ) y e (t ) .
Итак, сформирован наблюдатель (43), где корректирующая добавка v (t ) , опреде-
ляемая соотношениями (51) и (50), удовлетворяет тождеству (45). Отсюда следует экс-
поненциальное стремление к нулю ошибки наблюдения, обеспечиваемое предсказы-
вающим наблюдателем (42) при условии гурвицевости матрицы A* A LCe Ah . Тео-
рема 2 доказана.
В заключение приведем формулы, аналогичные (14), которые позволяют предста-
вить уравнения в пространстве состояний для всех трех рассмотренных выше наблюда-
телей как линейных нестационарных объектов с запаздыванием.
1) Классический предсказывающий наблюдатель:
At
z e Bu,
ξ Aξ Bu e L y y ,
Ah
(52) e
Ah A (t h)
y e (t ) Ce ξ (t ) Ce z (t ) z (t h).
2) Полный предсказывающий наблюдатель Крстича:
z e At Ly y e ,
(53)
ξ Aξ Bu e Ah Ly y , e
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.1342
y e (t ) Cξ (t h) Ce At z (t ) z (t h).
3) Полный наблюдатель с предсказанием ошибки наблюдения:
At
z e L y y e ,
(54) ξ Aξ Bu L y y , e
A (t h )
y e (t ) Cξ (t h) Ce z (t ) z (t h).
5. Заключение
Рассмотренный в работе компенсационный подход к синтезу стабилизирующих
управлений при наличии запаздывания по входу и выходу по существу позволяет трак-
товать замкнутый контур, как систему без запаздывания. Это обстоятельство дает воз-
можность привлекать широкий спектр известных подходов к синтезу, которые обеспе-
чивают не только устойчивость, но и другие желаемые динамические свойства синте-
зируемой системы. В подавляющем большинстве случаев эти методы приводят к по-
строению регуляторов, имеющих собственную динамику.
Предложенные в данной работе методы позволяют трансформировать синтезиро-
ванные динамические регуляторы для стабилизации систем с запаздыванием при со-
хранении устойчивости замкнутого контура, что определяет актуальность принятого
подхода. В дополнение к разработанным в монографии [7] методам предложена новая
форма моделей предсказывающих регуляторов и наблюдателей, которая в явном виде
представляет их динамические особенности и может быть полезной при рассмотрении
вопросов практической реализации.
В рамках направлений для продолжения исследований, прежде всего, представля-
ется целесообразным рассмотрение робастных свойств предлагаемых обратных связей,
а также развитие конкретных методов синтеза с обеспечением желаемой динамики.
Список литературы
1. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.
2. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978. 416 с.
3. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во Санкт-
Петербургского университета, 1993. 320 с.
4. Kharitonov V.L. Time-Delay Systems. Lyapunov Functionals and Martices. Birkhäuser, 2013. 312 p.
5. Smith O.J.M. A Controller to overcome dead time // ISAJ. 1959. Vol. 6, No. 2. P. 28-33.
6. Marshall J.E., Gorecki H., Korytowski A., Walton K. Time-Delay Systems. Stability and Performance Crite-
ria with Applications. Ellis Horwood, 1992. 244 p.
7. Krstic M. Delay Compensation for Nonlinear, Adaptive, and PDE Systems. Birkhäuser, 2009. 466 p.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.Вы также можете почитать
