ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ДИФФУЗИЕЙ - JOURNALS

 
СЛЕДУЮЩИЕ СЛАЙДЫ
Ингель

известия ран. физика атмосферы и океана, 2019, том 55, № 3, с. 36–40

УДК 532.51: 532.527: 532.529.2: 551.463.2: 551.515.3: 551.552

                     ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ,
                     ОБУСЛОВЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
                                ДИФФУЗИЕЙ
                                              © 2019 г. Л. Х. Ингель
                                             ФГБУ «НПО «Тайфун»
                                         249038, Обнинск, ул. Победы, 4
                                Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН
                                       119017 Москва, Пыжевский пер., 3
                                           e-mail: lev.ingel@gmail.com
                                           Поступила в редакцию 06.03.2018 г.
                                             Принята к печати 30.05.2018 г.

      Конвекция, обусловленная двойной (дифференциальной) диффузией во вращающейся среде,
      вообще говоря, может приводить к переносу завихренности, в частности, к ее концентрации.
      В геофизических приложениях это обычно не рассматривается, поскольку пространственные
      и временные масштабы такой конвекции и эффектов вращения сильно различаются – период
      планетарного вращения на много порядков больше характерного времени существования соот-
      ветствующих конвективных структур в морской воде. В работе обращается внимание на то, что
      в атмосфере возможны процессы, в которых заметный перенос завихренности, обусловленный
      различием эффективных коэффициентов переноса для разных субстанций, представляется более
      реальным. Эффекты типа двойной диффузии в воздухе, в принципе возможны, в связи с некото-
      рым различием в скоростях переноса тепла, водяного пара и (или) тяжелой примеси. Рассмотре-
      на простейшая линейная модель конвекции, обусловленной двойной диффузией во вращающей-
      ся среде. Обсуждается возможность вклада подобных эффектов в концентрацию завихренности
      при зарождении смерчей.
      Ключевые слова: двойная (дифференциальная) диффузия, конвекция, вращение, тяжелая при-
      месь, турбулентный перенос, линейная модель, смерчи.
      DOI: https://doi.org/10.31857/S0002-351555336-40

   К настоящему времени известен ряд специ-                        В настоящей заметке обращается внимание
фических особенностей гидротермодинами-                         на некоторые особенности проявлений двух-
ки двухкомпонентных сред, плотность кото-                       компонентного характера среды при нали-
рых зависит не только от температуры, но и от                   чии фонового вращения. Влияние вращения
концентрации примеси (см., например, [1–6]).                    на конвекцию, обусловленную дифференци-
В геофизических приложениях в этой связи                        альной диффузией, ранее обсуждалось в ли-
обы­чно обсуждаются свойства соленой мор-                       тературе (см., например, [3, 5, 6] и библиог-
ской воды. Коэффициенты молекулярной                            рафию в этих работах). Но в геофизических
диффузии для тепла и соли различаются на два                    приложениях приходится иметь в виду, что
порядка и это позволяет как теоретически, так                   эффекты планетарного вращения проявля-
и экспериментально уверенно идентифициро-                       ются на достаточно больших пространствен-
вать некоторые эффекты, связанные с двухком-                    ных масштабах, в то время как эффекты мо-
понентным характером среды. Нетривиально,                       лекулярной диффузии — н  ​ а малых. Поэтому
в частности, то, что в таких средах диссипатив-                 в морской воде эффекты вращения не могут
ные процессы могут приводить не к затуханию,                    заметно влиять на отдельные конвективные
а к генерации течений. Это связано с упомяну-                   элементы (например, такие как «солевые
тым различием скоростей диффузии (распро-                       пальцы» [1]).
странен термин «двойная» или «дифференци-                          Но имеются и другие, не столь изученные
альная» диффузия).                                              и прозрачные, примеры двойной диффузии,

                                                           36
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ                                    37

относящиеся к атмосфере. Это относится,        и относительно небольших различиях коэф-
например, к воздуху, содержащему водяной       фициентов обмена, «двойная диффузия», мо-
пар. Скорости обмена теплом и водяным па-      жет способствовать поддержанию отрицатель-
ром могут несколько различаться из-за того,    ного отклонения плавучести, нисходящего
что существует «дополнительный» механизм       движения и процесса концентрации завихрен-
обмена теплом — радиационный обмен [7].        ности.
Другой пример, на котором мы ниже оста-           В рассматриваемом случае, в отличие от мор-
новимся — воздух, содержащий тяжелые ча-       ской воды, может отсутствовать упомянутый
стицы, например, капли воды. Турбулентная      разрыв между характерными пространственны-
диффузия такой тяжелой примеси — слож-         ми и временными масштабами проявлений эф-
ная задача, но мы здесь ограничимся про-       фектов вращения и диффузии. Фоновое враще-
стым и естественным предположением, что        ние в этом случае может оказаться гораздо более
турбулентная диффузия тяжелой примеси          быстрым, чем планетарное, что может приво-
несколько медленнее, чем турбулентный об-      дить к заметным эффектам уже на меньших мас-
мен теплом и водяным паром. Как будет вид-     штабах. С другой стороны, мы аппроксимируем
но ниже, этого уже достаточно для некоторой    действие мелкомасштабных случайных движе-
концентрации завихренности на фоне бы-         ний на рассматриваемые процессы турбулен-
строго вращения.                               тной диффузией, которая проявляется на боль-
   Физическая идея представляется достаточ-    ших пространственных масштабах. Тем самым,
но простой: поскольку разница скоростей диф-   характерные масштабы процессов, связанных
фузии «легкой» компоненты (тепла, водяного     с вращением и диффузией приближаются друг
пара) и примеси может приводить к возникно-    к другу, поэтому не исключается, что эти про-
вению конвекции, плотностных течений [8], то   цессы, в принципе, могут эффективно взаимо-
возникающие во вращающейся среде сходящи-      действовать.
еся течения, в принципе, должны приводить         Соображения о возможной существенной
и к концентрации завихренности.                роли отрицательной плавучести гидрометео-
   В качестве возможного геофизического        ров в динамике смерчей, приведены, например,
приложения можно предположить следующее.       в [9]. Неожиданная иллюстрация процесса кон-
Известно, что при возникновении смерчей        векции, вызываемой тяжелой примесью, содер-
сначала нередко наблюдается относительно       жится в работе [10], где авторы сообщают о на-
темный «рукав», спускающийся из «материн-      блюдении весьма интенсивной «торнадоподоб-
ского облака» («воронкообразное облако» —      ной структуры» в морской воде под айсбергом;
«funnel cloud»). В этом движении важную роль   они связывают нисходящие движения с нали-
играет отрицательная плавучесть, связанная     чием во льду значительного количества твердых
с наличием тяжелой примеси — гидрометео-       включений горных пород, создающих эффекты
ров. Сходящиеся движения в верхней части       отрицательной плавучести.
«рукава», вероятно, концентрируют «фоно-          Используем простую модель, аналогич-
вую» завихренность, существующую в «мате-      ную [8], но с дополнительным учетом фонового
ринском облаке», интенсифицируя вращение.      вращения среды.
В то же время, в плавучесть оседающих объе-
                                                  Ориентируемся здесь на исследование про-
мов воздуха могут вносить вклад отклонения
                                               цессов вдали от подстилающей поверхности
температуры и концентрации водяного пара.
                                               (сюда относится, например, начальная стадия
Например, оседание на фоне устойчивой тем-
                                               развития упомянутого воронкообразного об-
пературной стратификации должно приводить
                                               лака). Это позволяет абстрагироваться пока от
к адиабатическому повышению температуры,
                                               краевых эффектов и рассматривать проявления
компенсации (частичной или полной) отрица-
                                               двойной диффузии в безграничной среде.
тельного отклонения плавучести, что препят-
ствует нисходящему движению и концентра-          Плотность среды в обычно используемом
ции завихренности. Эта схема, конечно, очень   приближении линейно зависит от температу-
упрощена — важную роль могут играть и фазо-    ры T и концентрации тяжелой примеси S:
вые переходы в опускающихся объемах возду-
ха. Ниже будет представлена простая модель,
                                                                                     
                                                           *    * 1   T  S .   (1)

которая показывает, что даже при полной на-      Здесь r — плотность, r* — значение r при
чальной компенсации веса тяжелой примеси       постоянных средних значениях температуры T*

  Известия ран. Физика атмосферы и океана       том 55   №3     2019
38                                                      Ингель

и концентрации примеси S*; T, S — соответст-                                        
                                                                           w  W t cos(kx x )cos(kz z ),
                                                                                                                                                      (6)
вующие отклонения от средних, a — коэффици-                                v  V t  sin(k x )sin(k z ) è ò. ä.
ент термического расширения, b — соответству-                                                       x            z

ющий коэффициент для примеси; возмущение                         Здесь kx, kz — волновые числа. Для амплитуд
                     
плотности   *   T  S .                               W(t), V(t) и т.д. получается линейная система
                                                              в обыкновенных производных. Аналитическое
   В общем случае предполагается, что заданы                  решение в общем случае довольно громоздко.
постоянные фоновые стратификации темпера-                     Для краткости остановимся на простейшем слу-
туры и примеси:                                               чае отсутствия фоновой стратификации обеих
                             
          B z   1   T   S z  ,                компонент. Решение для возникающего возму-
                                                              щения вихревой составляющей скорости, с уче-
      T  dTB / dz  const,  S  dS B / dz  const,         том начальных условий, имеет вид:
где индексом B обозначены фоновые значения
величин (для отличия от рассматриваемых ниже
возмущений).
                                                                       k 
                                                                                                         
                                                                 V    x  Ds exp  k 2t  D exp  k 2t 
                                                                       k
                                                                                                                                        
   Линеаризованная система уравнений гидро-                                        D       D            
динамики, переноса тепла и примеси в прибли-                     
                                                                
                                                                            
                                                                D  Ds cos t   1//2  1/s2  sin t  exp  k 2t .
                                                                                    T     Ts            
                                                                                                                                                      
жении Буссинеска во вращающейся системе ко-                                                                                                       (7)
ординат без учета перекрестных кинетических
                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                  1/ 2
                                                                                                                                     2        2
эффектов (термодиффузии и диффузионной                            Здесь введены обозначения, k  k  k         ,                     x        z
теплопроводности) для двумерных возмущений                                
                                                                kz / k f , масштаб скорости   g  0 / k ,
                                                                                                             2

имеет вид [1, 2, 4, 8]                                        θ 0 — начальное отклонение температуры, а так-
         u    P             v                              же безразмерные параметры
                 fv  vu,      fu  v v ,        (2)                      2              2
         t    x             t                                       T             , T            ,
                                                                                                                        
                                                                                    2     s         2
                                                                                 k4           k4
    w        P                         u w
     t
         
              z
                           
                   w  g T  S ,      
                                         x z
                                                   0, (3)
                                                                         D 
                                                                                       T   
                                                                                             1/ 2

                                                                                                        , Ds 
                                                                                                                              Ts1/ 2
                                                                                                                                         .
                                                                                   1  T                            1  Ts
          T                   S
                 T w  T ,      S w  S .      (4)
           t                  t                                 Параметры Tθ, s , с точностью до безразмер-
   Здесь u, v, w — составляющие скорости вдоль                ных множителей, зависящих от коэффициентов
горизонтальных осей x, y и вертикальной оси z                 обмена и геометрического фактора kz / k, явля-
соответственно; t — время, P  p / * , p — воз-              ются аналогами числа Тейлора. Интересно от-
мущение давления; g — ускорение свободно-                     метить немонотонную зависимость амплитуды
го падения; ν, k, c — коэффициенты обмена;                    возникающего вихревого движения V (величин
                                                              Dθ, s ) от этих параметров (т.е. от фоновой скоро-
   2 / x 2   2 / z 2 — двумерный оператор
                                                              сти вращения среды w, f).
Лапласа; f — удвоенная угловая скорость фоно-
вого вращения (при этом не обязательно имеет-                     Пусть, например, коэффициенты турбу-
ся в виду планетарное вращение).                              лентного обмена в атмосфере     5 ì 2 / c,
                                                              k  102 ì 1 (что соответствует длине полувол-
   В начальный момент времени заданы откло-
                                                              ны около 300 м) k=        k= k / 2,   3 103 K 1,
нения температуры и концентрации примеси,                                            x   z

которые компенсируют друг друга в поле плот-                   f  3 103 c-1 (т.е. угловая скорость фоново-
ности; среда находится в состоянии покоя и ме-                го вращения в материнском облаке на полто-
ханического равновесия:                                       ра порядка выше, чем скорость планетарного
                                                              вращения; приняты значения коэффициентов
         u  v  w  0,             
                          T x, z  S x, z ,               переноса, характерные для турбулентного обме-
                                                        (5)   на в атмосфере); начальная амплитуда  0  1 К.
                      p  0 ïðè t  0.
                                                              При этом масштаб скорости   60 м/с,
  Ограничимся здесь простейшей задачей                          2 103 с–1. На рис. 1 представлена зависи-
об эволюции двумерных возмущений, гармо-                      мость возникающей вихревой скорости V от вре-
нически зависящих от горизонтальной и вер-                    мени для случаев, когда коэффициент переноса
тикальной координат x, z (подобно, напри-                     примеси c немного отличается от коэффициен-
мер, [2]):                                                    та температуропроводности k (по вертикальной

                                        Известия ран. Физика атмосферы и океана                                том 55          №3            2019
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ                                                  39

                           V
                   0.012

                   0.010

                   0.008

                   0.006

                   0.004

                   0.002

                                                                                        t, с
                                   2000        4000         6000           8000

Рис. 1. Примеры временнόй зависимости амплитудной функции V(t) (нормирована на Ykx / k ) при отсутствии фо-
новой стратификации. Штриховая и сплошная линии отвечают случаям, когда коэффициент переноса c примеси на
10% и 20% меньше k соответственно.

оси отложены значения выражения, содержаще-                         СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
гося в фигурных скобках в (7)). Видно, что уже
при различии значений коэффициентов пере-             1. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.:
носа в 20% скорость возникающего вихревого                Мир, 1977. 431 с.
течения, согласно полученному решению, мо-            2. Walin G. Note on the stability of water stratified by both
жет приближаться по порядку величины к 1 м/с              salt and heat // Tellus 1964. V. 16. № 3. P. 389–393.
(но такие скорости, строго говоря, выходят за         3. Radko T. Double-Diffusive Convection. Cambridge:
рамки линейного приближения).                             Cambridge University Press. 2013. 342 p.
                                                      4. Ингель Л.Х., Калашник М.В. Нетривиальные осо-
   Представленная выше простая модель де-                 бенности гидротермодинамики морской воды
монстрирует не рассматривавшийся, видимо,                 и других стратифицированных растворов //
ранее эффект интенсификации вращения при                  Успехи физических наук. 2012. Т. 182. № 4.
действии дифференциальной диффузии во вра-                С. 379–406.
щающейся среде. Интенсивность возникаю-               5. Pearlsteain J. Effect of rotation on the stability of a
щих вихревых течений, вероятно, может быть                doubly diffusive fluid layer // J. Fluid Mech. 1981.
значительно выше, чем в приведенном при-                  V. 103. P. 389–412.
мере — масштаб скорости Y быстро возрастает           6. Kerr O.S. The effect of rotation on double-diffusive
с ростом пространственных масштабов возму-                convection in a laterally heated vertical slot // J. Fluid
щений (с уменьшением k). Выше приведены                   Mech. 1995. V. 301. P. 345–370.
соображения относительно возможного влия-             7. Ингель Л.Х. Конвективно-радиационная не-
ния этого механизма на зарождение смерчей.                устойчивость влажного воздуха // Изв. РАН.
Важнейшее условие эффективности действия                  Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39. № 5.
рассматриваемого механизма — различие ско-                С. 726–728.
ростей турбулентной диффузии тепла и при-             8. Ингель Л.Х. Плотностные течения, обуслов-
меси (в рассмотренном примере — гидромете-                ленные «двойной диффузией» // Изв. РАН.
                                                          Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46. № 1.
оров). Показано, что для заметных эффектов,
                                                          С. 48–52.
в принципе, может быть достаточно очень не-
                                                      9. Кушин В.В. Смерч. М.: Энергоатомиздат, 1993.
большого различия значений коэффициентов
                                                          127 с.
переноса.
                                                      10. Писаревская Л.Г., Волков В.А. Торнадоподобная
   Финансирование. Работа выполнена при под-              структура под айсбергом в Баренцевом море //
держке Программы № 56 фундаментальных ис-                 Проблемы Арктики и Антарктики. 2007. № 77.
следований Президиума РАН.                                С. 56–67.

  Известия ран. Физика атмосферы и океана               том 55     №3     2019
40                                                     Ингель

                            Vortex Motion Due to Differential Diffusion
                                                     L. Kh. Ingel
                                    Research and Production Association “Typhoon”
                                        ul. Pobedy, 4, Obninsk, 249038 Russia
                                    Obukhov Institute of Atmospheric Physics, RAS
                                       Pyzhevsky per., 3, Moscow, 119017 Russia
                                             *e-mail: lev.ingel@gmail.com
                                                Received: 06.03.2018
                                                Accepted: 30.05.2018

     Convection caused by the double (differential) diffusion in a rotating medium can lead to a transfer of vor-
     ticity, and in particular, to its concentration. In geophysical applications, it is not considered usually, be-
     cause the spatial and temporal scales of such convection and rotation effects differ greatly – the period of
     planetary rotation is many orders of magnitude greater than the characteristic time of existence of the cor-
     responding convective structures in sea water. The paper draws attention to the fact that in the atmosphere
     there are possible the processes, in which a noticeable transfer of vorticity, caused by the difference in the
     effective exchange coefficients for various substances, seems to be more real. Effects of the type of double
     diffusion in the air are possible in principle, in connection with some difference in the rates of heat, water
     vapor and (or) heavy admixture transfer. The simplest linear model of convection due to double diffusion
     in a rotating medium is considered. The possibility of the contribution of such effects to the concentration
     of vorticity during the tornado formation is discussed.

     Keywords: double (differential) diffusion, convection, rotation, heavy admixture, turbulent transfer, linear
     model, tornado.

                                  Известия ран. Физика атмосферы и океана                       том 55     №3      2019
Вы также можете почитать
СЛЕДУЮЩИЕ СЛАЙДЫ ... Отмена