КУРС ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ - для студентов строительных специальностей
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
МОСКОВСКИЙ
АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
О.А.ОГАНЕСОВ, В.А.КАЙЛЬ,
И.М.РЯБИКОВА, Н.Н.КУЗЕНЕВА
КУРС ЛЕКЦИЙ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
для студентов строительных
специальностей
Часть 1
Учебное пособие
Утверждено
в качестве учебного пособия
редсоветом МАДИ(ГТУ)
МОСКВА 2009УДК 514.18
ББК 22.151.3
Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н.
Курс лекций по начертательной геометрии: Учебное пособие для
студентов строительных специальностей: Часть1. - 2-е изд., перераб.
и доп. / МАДИ(ГТУ). -М., 2009. -98с.
Рецензенты: канд. техн. наук, проф. О.В. Георгиевский (МГСУ),
канд. техн. наук, доц. Г.Г.Наумов (МАДИ(ГТУ)).
Вашему вниманию предлагается второе, исправленное и
дополненное издание курса лекций по начертательной геометрии.
Этот курс предназначен для студентов строительных специальнос-
тей Московского автомобильно-дорожного института (государствен-
ного технического университета) и полностью соответствует
содержанию программы по начертательной геометрии государ-
ственных образовательных стандартов для указанного контингента
обучаемых.
Курс лекций приводится в двух частях учебного пособия и
состоит из трех разделов. Раздел “Комплексный чертеж в
ортогональных проекциях” излагается в данной первой части
пособия, а разделы “Проекции с числовыми отметками” и
“Перспективные проекции” - во второй его части. Первая часть
пособия рекомендуется также студентам факультета управления
МАДИ(ГТУ), изучающим начертательную геометрию.
Под редакцией канд. техн. наук, доц. Оганесова О.А.
© Московский автомобильно-дорожный институт (государственный
технический университет), 20093
ПРИНЯТАЯ СИСТЕМА СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ.
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТИПЫ ЛИНИЙ
I. Сокращения
ГА - графический алгоритм;
ГО - геометрический образ;
ГПЗ - главная позиционная задача;
1ГПЗ, 2ГПЗ - 1-я ГПЗ, 2-я ГПЗ;
1ГПЗ-1, 1ГПЗ-2, 1ГПЗ-3 - 1-я ГПЗ соответственно 1-й случай,
2-й случай, 3-й случай расположения пересекающихся ГО;
2ГПЗ-1, 2ГПЗ-2, 2ГПЗ-3 - 2-я ГПЗ соответственно 1-й случай,
2-й случай, 3-й случай расположения пересекающихся ГО;
КЧ - комплексный чертеж;
НГ - начертательная геометрия;
ОЗПЧ - основная задача преобразования чертежа;
1ОЗПЧ, 2ОЗПЧ, ... - соответственно 1-я ОЗПЧ, 2-я ОЗПЧ, ...;
ОМЗ - основная метрическая задача;
1ОМЗ, 2ОМЗ - соответственно 1-я ОМЗ, 2-я ОМЗ;
ОПЗ - основная позиционная задача;
ПА - пространственный алгоритм;
ПП - плоскость проекций.
II. Обозначения геометрических образов в пространстве
1. Точки
A, B, C, ... - прописные буквы латинского алфавита;
1, 2, 3, ... - арабские цифры (числа, записанные арабскими цифрами).
2. Линии
a, b, c,... - строчные буквы латинского алфавита;
h - только горизонтальная прямая (горизонталь);
f - только фронтальная прямая (фронталь);
l, t - только прямые линии;
c, m - только окружности или их дуги;
k - только кривая линия;
AB, (A,B) - прямая, определяемая точками A и B;
[A,B] - отрезок прямой, ограниченный точками A и B.
3. Поверхности
Ã, , , , Ô , ... - прописные буквы греческого алфавита;
Ï - прописная буква греческого алфавита “ПИ”, используемая для
обозначения плоскости проекций;4
Ï1 , Ï2, Ï3, ... - плоскости проекций с соответствующим порядковым
подстрочным индексом;
(A,B,D) - плоскость , заданная точками A, B, D;
(A,d) - плоскость, заданная точкой A и прямой d;
(b d) - плоскость, заданная параллельными прямыми b и d;
(a b) - плоскость, заданная пересекающимися прямыми a и b;
( ABD), (A,B,D,A) - плоскость, заданная треугольным отсеком ABD.
4. Углы
, , ,... - строчные буквы греческого алфавита;
a b - угол между прямыми a и b;
5. Натуральные величины, длины, расстояния
A,B - длина отрезка [A,B], расстояние между точками A и B;
A,d - расстояние от точки A до прямой d;
b d - расстояние между параллельными прямыми b и d;
b d - расстояние между скрещивающимися прямыми b и d;
t, Ã - расстояние между параллельными прямой t и плоскостью Ã;
à - расстояние между параллельными плоскостями à и ;
ABD - натуральный вид треугольника ABD;
b d - величина угла между прямыми b и d.
6. Однотипные геометрические элементы, образующие ряд
3 3
h 1 , h 2 , h , ... , 1 2
, , , ... - ряд однотипных элементов обозначают
надстрочными индексами из натуральных чисел.
III. Обозначения геометрических элементов чертежа
1. Проекции геометрических элементов
Проекции геометрических элементов обозначаются теми же
знаками, что и в пространстве, с добавлением подстрочного индекса,
соответствующего индексу плоскости проекций:
A 1 , A2 , A 3 , ... , 1 1 , 22 , 3 3 , ... - проекции точек;
a 1 , a 2 , a 3 , ... , h 1 , h2, ... - проекции линий;
Ã1 , Ã2, ... , 1 , 2, ... - проекции проецирующих поверхностей.
2. Оси проекций на комплексном чертеже
x1 2 - ось проекций в системе плоскостей проекций ( Ï1 , Ï2 );
xn m - ось проекций в системе плоскостей проекций ( Ï n , Ï m ) при
задании новой плоскости проекций Ï m перпендикулярно Ï n .5
3. Линии связи
(A 1 ,A 2) - линия связи в системе плоскостей ( Ï 1 , Ï 2 );
(A i , A j) - линия связи в системе плоскостей ( Ï i , Ï j ).
IV. Обозначения зависимостей и другие символы
- тождественно совпадают;
= - равны, результат действия;
- параллельность;
- перпендикулярность;
- скрещивающиеся (прямые);
- проецирование;
- пересечение;
- касание;
- проходит через, включает в себя, содержит;
- принадлежит;
- не принадлежит;
- вращение вокруг оси;
- задать, взять, построить, найти, определить, провести;
- союз “и”, ставящийся между двумя различными условиями;
- союз “или”, ставящийся между двумя условиями;
- следовательно, тогда, поэтому;
- бергштрих, указывающий направление уклона поверхности.
V. Используемые на рисунках типы линий
- сплошная основная линия для вычерчивания заданных
в условиях изображений исходных ГО и изображения или
изображений искомого ГО в положении, являющимся
результатом выполнения примера или задачи;
- менее толстая основная линия для вычерчивания
осей проекций, изображений различных ГО, появляющихся по
ходу решения, и проекций некоторых элементов определителя
поверхности на её основном чертеже;
- сплошная тонкая линия для нанесения линий связи и
линий-выносок;
- штриховая линия для вычерчивания изображений неви-
димых контуров геометрических образов;
- штрихпунктирная линия для вычерчивания осевых и
центральных линий.6
ЛЕКЦИЯ 1
КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ
1.1. Предмет и метод начертательной геометрии
Предмет изучения в начертательной геометрии (НГ) - формы
окружающего мира, их отношения и взаимосвязи. Но НГ, как
математическая наука, изучает не реальные объекты, а отделенные
от их содержания абстрактные образы объектов, задаваемые опре-
деленной совокупностью точек, линий и поверхностей. Поэтому в НГ
рассматриваются три абстрактных геометрических образа (ГО):
точка - нульмерный ГО, не имеющий измерений; линия - одно-
мерный ГО, имеющий одно измерение; поверхность - двумерный
ГО, имеющий два измерения. Договоримся в дальнейшем точки
обозначать прописными буквами латинского алфавита или арабски-
ми цифрами (числами), линии - строчными буквами латинского
алфавита, поверхности - прописными буквами греческого алфавита.
Точку, линию, поверхность и любую их совокупность в общем случае
называют геометрической фигурой.
Методом НГ является метод чертежа: формы и положения
геометрических фигур изучаются в НГ по чертежу - графической
модели фигур, полученной посредством операции проецирования и
представляющей собой некое конечное множество точек и линий,
нанесенных на какой-то поверхности, обычно плоскости.
НГ рассматривает общие принципы построения проекционных
чертежей (прямая задача НГ) и методы определения по чертежу гео-
метрических характеристик изображенных ГО (обратная задача НГ).
1.2. Прямая задача НГ. Операция проецирования
Прямая задача НГ заключается в получении изображения
(проекции) ГО и неразрывно связана с операцией проецирования.
Для реализации операции проецирования надо задать:
- объект проецирования - какую-то геометрическую фигуру;
- плоскость проекций (ПП) - плоскость, на которую проецируют
фигуру (вообще-то проецировать можно на любую поверхность);
- систему проецирующих прямых определенного направления.
Суть операции проецирования: через каждую точку фигуры прово-
дят проецирующую прямую и получают проекцию точки как точку пере-
сечения проецирующей прямой, проходящей через точку, с ПП, а проек-
цию фигуры, отличной от точки, как множество проекций всех её точек.7
По направлению проецирования (взаимному положению прое-
цирующих прямых), выделяют центральное, параллельное и
ортогональное проецирование.
Пусть объектом проецирования будут точки À и Â, а плос-
костью проекций - плоскость Ï 1 . На рис. 1.1-1.3 показано получение
проекций À 1 и Â 1 точек À и Â на ПП Ï 1 при различных направле-
ниях проецирования.
S s
s A
B B A
A
A1
B1 A1 A1
B1
Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3
При центральном проецировании (рис. 1.1) все проецирую-
щие прямые проходят через центр проецирования точку S (подроб-
нее см. раздел “Перспективные проекции”).
При параллельном проецировании все проецирующие прямые
параллельны друг другу и направлению проецирования s. Если
угол между направлением s и ПП не равен 90 (рис. 1.2), то
параллельное проецирование называют косоугольным, а при
= 90 (рис. 1.3) - ортогональным (прямоугольным). Параллельное
проецирование - частный случай центрального, когда центр проеци-
рования S удаляют в бесконечность и принимают, что параллельные
прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке.
В двух первых разделах курса будет рассматриваться ортого-
нальное проецирование. Ортогональной проекцией точки является
точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через точку
перпендикулярно ПП, с этой ПП (на рис. 1.3 точка A1 - ортогональ-
ная проекция точки A на ПП Ï 1 ). Другие свойства ортогонального
проецирования приводятся в лекционном курсе по мере
необходимости их использования.
Чертеж, полученный при однократном проецировании ГО на
ПП, называют однокартинным.8
1.3. Обратная задача НГ. Обратимость чертежа
Обратная задача НГ заключается в восстановлении формы
или (и) положения ГО по его изображению (проекции). Чертеж,
позволяющий решать обратную задачу НГ, называют обратимым.
Обратимость - необходимое требование к чертежу.
В общем случае однокартинный чертеж не обратим: одна
проекция A1 на ПП Ï1 не задает положения точки A в пространстве,
так как отсутствует информация об удалении её от ПП и точкой A
может быть любая точка проецирующей прямой s (рис. 1.4).
Наибольшее распространение получили два способа дополнения
однокартинного чертежа, делающих его обратимым: способ допол-
нения проекций точек числами, определяющими удаление этих
точек от ПП, изложенный в разделе “Проекции с числовыми
отметками”, и рассматриваемый далее способ дополнения однокар-
тинного чертежа еще одним однокартинным чертежом на ПП,
перпендикулярную Ï 1 . z z2
s
A2 A
O O1 O2 y2 z1
A1 y y1
A1
x x1 x2
Рис. 1.4 Рис. 1.5
Зададим две взаимно перпендикулярные ПП Ï1 и Ï2 и найдем
ортогональные проекции À 1 и À 2 точки À на эти ПП (рис. 1.5).
В учебном курсе используют как координированные чертежи,
связанные с декартовой системой координат Oxyz , так и
некоординированные. Для получения координированного чертежа
совместим плоскость Ï1 с координатной плоскостью xOy, плоскость
Ï 2 - с координатной плоскостью xOz, а линию пересечения ПП Ï 1 и
Ï 2 - с координатной осью x (рис. 1.5).
Система двух взаимно перпендикулярных ПП с проекциями
точек на них является обратимой: если убрать точку À, то для опре-
деления её положения в пространстве надо найти точку пересечения9
проецирующих прямых к Ï1 и Ï2, проведенных из точек À1 и À2. Таким
образом, для задания точки на чертеже достаточно задать две её
проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
Однако система ПП Ï1 и Ï2 с проекциями точки не удобна для
использования в качестве чертежа, так как является пространствен-
ной: проекции точки расположены в разных плоскостях.
1.4. Двухкартинный комплексный чертеж точки
Для перехода к плоскому изображению плоскости Ï 1 и Ï 2 по-
ворачивают вокруг линии их пересечения до образования ими
плоскости чертежа Ï (рис. 1.5). Плоскость чертежа Ï , содержащую
две проекции точки на две взаимно перпендикулярные ПП, называ-
ют двухкартинным комплексным чертежом (КЧ) точки. Эту плоскость
преподаватель совмещает с плоскостью доски, а студент - с плос-
костью листа тетради (рис. 1.6).
z2 Прямая линия на КЧ, являющаяся
отображением (проекцией) на нем линии
A2 пересечения ПП Ï 1 и Ï 2 , называется осью
проекций и обозначается x1 2 .
Плоскость Ï 1 называют горизонталь-
x1 2 z1 y2 O2 O1 ной ПП, а Ï2 - фронтальной.
Проекцию À 1 точки A на ПП Ï 1 назы-
A1 вают горизонтальной проекцией точки, а À 2
y1 на Ï2 - фронтальной. Множество проекций
Рис. 1.6
всех точек пространства на Ï 1 образуют
горизонтальное поле проекций (ему принадлежит проекция A 1 ), а на
Ï2 - фронтальное (ему принадлежит проекция A 2 ). На КЧ носителем
горизонтального и фронтального полей проекций является плоскость
чертежа Ï . Поля проекций на КЧ находятся в проекционной связи,
которую устанавливают линии связи - прямые, проходящие через пары
проекций одной и той же точки перпендикулярно оси проекций
(прямая (A1 ,A 2 ) - линия связи).
O1 , O2, y1 , y2 , z1 , z2 на рис. 1.5 и 1.6 - проекции начала отсчета
точки O, координатных осей y и z на ПП Ï 1 и Ï 2 соответственно.
Координаты X, Y, Z откладывают от проекции начала отсчета
по проекциям осей x1 2 , y1 и z2 соответственно .10
Расстояние от точ- z
ки до плоскости Ï1 опре- A 2 A2
деляется координатой Z,
а до плоскости Ï 2 - коор-
динатой Y. Проекция A 1 x O x
точки A задается её
координатами X и Y, а A1 A1
y
проекция A 2 - координа-
тами X и Z. Рис. 1.7 Рис. 1.8
Так как границы ПП на рис. 1.5 условны (плоскости бесконечны),
то проекции этих границ на КЧ не показывают (рис. 1.7). Обычно на
КЧ не указывают направления проекций осей, обозначения проекций
осей y2 и z1 , а вместо обозначений x1 2, y1 , z2 и O1 O2 на двухкартин-
ном КЧ используют упрощенные обозначения x, y, z и O (рис. 1.7).
Часто на КЧ на оси x1 2 (x) отмечается только начало отсчета, которое
может быть не обозначено (рис. 1.8). В случаях, показанных на рис.
1.7 и 1.8, координаты точек откладывают, учитывая положительное
направление проекций координатных осей, показанное на рис. 1.6.
На некоординированных КЧ либо не
A2 A2 указывается начало отсчета на оси проекций
(рис. 1.9), либо ось проекций отсутствует
(рис. 1.10), но имеется хотя бы одна линия
связи. При необходимости начало отсчета на
x оси проекций указывают произвольно,
задавая ГО с точностью до параллельного
A1 A1 переноса вдоль координатной оси x, а на бе-
зосных КЧ произвольно, но перпенди-
Рис. 1.9 Рис. 1.10 кулярно линиям связи проводят ось
проекций, задавая ГО с точностью до параллельного переноса.
Основанием для использования таких КЧ является свойство
ортогонального проецирования: проекция фигуры не меняется при
параллельном переносе плоскости проекций.
ПП Ï 1 и Ï2 разбивают пространство на четыре квадранта. Прое-
цируемый ГО, как правило, будет находиться в первом квадранте.
Применение для получения чертежа метода ортогонального
проецирования на две ПП с последующим разворотом их в плоскость
чертежа было предложено французским ученым Гаспаром Монжем
(1746-1818). Поэтому такой чертеж часто называют эпюром Монжа.11
1.5. Введение новой плоскости проекций
При решении ряда инженерно-геометрических задач удобно
использовать дополнительные изображения ГО, позволяющие
упростить решение задачи, сделать его более точным и т. д. Получе-
ние новой проекции (новых проекций) ГО по уже имеющимся
является результатом преобразования КЧ. Из множества способов
преобразования КЧ здесь рассмотрим один: способ введения
(задания) новой ПП.
Суть этого способа заключается в том, что дополнительно к
ПП Ï1 и Ï2 вводится новая ПП Ï 3 , проецируя на которую ГО по-
лучают его новую проекцию. На новую ПП накладывают только одно
ограничение: она должна быть перпендикулярна хотя бы одной из
ПП Ï 1 или Ï 2 . Новое направление проецирования параллельно Ï1,
если Ï 3 Ï1 , или Ï 2 , если Ï 3 Ï 2 .
A2
A2 A3
A
x1 2 A3
Ax
Ax A1
A1
x
x1 x1 3
Рис. 1.11 Рис. 1.12
Зададим Ï 3 Ï 1 и найдем проекции A 1 , A 2 и A 3 точки A на
ПП Ï 1 , Ï 2 и Ï 3 (рис. 1.11). В старой системе ПП ( Ï 1 , Ï 2) точка A
задавалась проекциями A 1 и A2 , а в новой системе ПП ( Ï 1 , Ï 3 ) -
проекциями A 1 и A 3 . Для перехода к плоскому изображению повер-
нем Ï 1 и Ï2 вокруг прямой x (линия пересечения Ï1 и Ï 2) до их
совпадения, а затем повернем Ï3 вокруг x1 (линия пересечения Ï1 и
Ï3 ) до совпадения с Ï1 и Ï2. В результате получим трехкартинный КЧ
точки - плоскость, содержащую проекции точки на три ПП (рис. 1.12).
Линия связи (A1 ,A2) x1 2 на КЧ образуется линиями (A1 ,Ax) x и
(A 2,Ax ) x при развороте ПП Ï1 и Ï2 в плоскость чертежа. Анало-
гично новая линия связи (A1 ,A3) x1 3 образуется линиями (A1,Ax1) x1
и (A 3 ,A x1 ) x1 при совмещении Ï 3 с Ï 1 и Ï 2 .12
Правило построения новой проекции À3 точки по двум задан-
ным проекциям A1 и A2 и новому направлению проецирования:
1. Перпендикулярно линии связи (À 1 , À 2 ) проводят ось проекций
õ1 2 , если она на КЧ не задана.
2. В заданном направлении проводят новую ось проекций õ 1 3 ,
являющуюся отображением линии x1 пересечения Ï 1 и Ï 3 .
3. Из A 1 (Ï 3 Ï 1 ) проводят новую линию связи (À 1 , À 3 ) x1 3 .
4. На новой линии связи (A 1 ,A 3 ) от новой оси x 1 3 откладывают
расстояние от точки A до плоскости Ï 1 , так как Ï 3 Ï 1 (см.
помеченные расстояния на рис. 1.11 и 1.12).
Аналогично можно последовательно задавать любое число
новых ПП и получать многокартинный КЧ, лишь бы вновь вводимая
ПП была перпендикулярна хотя бы одной из имеющихся ПП. В
общем случае расстояние новой проекции точки от новой оси равно
расстоянию заменяемой проекции от предыдущей оси. На рис. 1.13
приведен семикартинный КЧ точки A, полученный при введении
новых ПП в такой последовательности: Ï3 Ï2 , Ï4 Ï3 , Ï5 Ï1 , Ï6 Ï5 ,
Ï7 Ï6 (все оси проекций задавались произвольно, а откладываемые
расстояния отмечены).
x2 3
A2
A3 A7
x5 6
A5
x1 2
x3 4 x6 7
A6
A1 x1 5
A4 Рис. 1.13
Новую ПП задают с точностью до параллельного переноса: уже
отмечалось, что при таком переносе проекция фигуры не меняется.
Решение любой задачи с применением преобразования черте-
жа в конечном счете сводится к решению четырех задач, называе-
мых основными задачами преобразования чертежа (ОЗПЧ).
Наиболее часто используется профильная ПП Ï 3 - новая ПП,
перпендикулярная и ПП Ï 1 , и ПП Ï 2 . Три взаимно перпендикуляр-
ные ПП обычно рассматривают как координатные (рис. 1.14).
При переходе к плоскому изображению будем считать, что
система ПП мысленно разрезана по оси y, а ПП Ï3 жестко связана13
осью z с ПП Ï 2. Повернем Ï 1 и Ï2 вокруг оси x до их совпадения, а
затем вокруг оси z развернем Ï3 до совпадения с Ï1 и Ï2 и получим
трехкартинный КЧ (рис.1.15). Новая линия связи проводилась из
точки À2 перпендикулярно оси z2 3 (проекция оси z на ПП Ï2 и Ï 3 ),
после чего на ней откладывали координату Y точки A (y 1 и y 3 -
проекции оси y на плоскости Ï1 и Ï 3 ). Вместо обозначений z2 3 , y1 и
y3 применяют упрощенные обозначения z и y.
z z2 3
A2 Ï2
A2
A3
A3
x y3
x1 2
A1
A1
y y1
Рис. 1.14 Рис. 1.15
В заключении лекции отметим, что используемые в курсе
понятия “комплексный чертеж” и “чертеж” - синонимы.
ЛЕКЦИЯ 2
ЛИНИЯ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
2.1. Общие вопросы задания линии на чертеже
Линия - это одномерный ГО, имеющий одно измерение (длину)
и рассматриваемый как траектория точки, перемещающейся в
пространстве по определенному закону.
Линии делятся на кривые, ломаные и прямые. Кривые и лома-
ные линии бывают плоские, если все их точки лежат в одной плос-
кости, и пространственные. Из плоских кривых выделяют кривые
второго порядка - эллипс, его частный случай окружность, параболу
и гиперболу, а из пространственных - винтовую линию, широко
используемую в технике.
При задании линии используют критерий её заданности - линия
задана на чертеже, если относительно любой точки пространства
можно однозначно ответить на вопрос, принадлежит точка линии или
нет, и следующие свойства ортогонального проецирования:14
1. В общем случае проекцией кривой линии является кривая
линия, ломаной - ломаная, прямой - прямая.
2. Если точка принадлежит линии, то соответствующая проекция
точки принадлежит соответствующей проекции линии.
3. Если точка делит отрезок прямой в каком-то отношении, то
проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении.
4. Длина проекции отрезка прямой равна длине отрезка, умно-
женной на косинус угла его наклона к плоскости проекций.
5. Прямая, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется
на эту ПП в точку.
6. Если прямые параллельны, то параллельны их проекции.
В общем случае (свойство 1) линия E1 k2
k на КЧ задается непосредственно M2
своими проекциями (проекциями всех N2
своих точек) на Ï 1 и Ï 2 (рис. 2.1). Воз-
можность определить по чертежу, что x
точка M принадлежит линии k (M k), N1
так как M 1 k 1 и M 2 k2 , а точки E и N M1
нет (E k, N k) (свойство 2), подтверж-
E2 k1
дает: линия k своими проекциями k 1 Рис. 2.1
k2
и k 2 задана.
A2
Иногда для установления одно-
значного проекционного соответствия
точек линии помимо её проекций на КЧ
необходимо задавать ещё проекции x
какой-то точки (каких-то точек) линии
A1
(рис. 2.2). k1
Рис. 2.2
2.2. Задание прямой линии
2.2.1. Прямая общего положения
Прямая общего положения - это прямая, не параллельная
и, следовательно, не перпендикулярная ни одной из ПП (прямая a
на рис. 2.3). Прямая общего положения задается на КЧ своими
проекциями на Ï1 и Ï 2 - прямыми, не параллельными и не перпен-
дикулярными оси проекций (a 1 и a 2 на рис. 2.4) или проекциями двух
своих точек (A и B на рис. 2.5), определяющими положение проек-
ций прямой. На рис. 2.3 - угол наклона прямой a к Ï 1 , - к Ï 2 .15
z
a2
Ï2 B2 B2
C2 a
a2 B x C2
A2 C a1 A2
x Рис. 2.4
A B1 a1 x
C1
A1 C1 B1
y A1
Рис. 2.3 Рис. 2.5
Длина отрезка прямой общего положения всегда больше дли-
ны его проекции: A,B A1 ,B 1 A,B A2 ,B2 (свойство 4 и рис. 2.3).
На КЧ (рис. 2.5) величины длин отрезков прямой общего положения,
углов и наклона её к Ï1 и Ï2 не заданы и при необходимости
ищутся путем построений на КЧ.
Для трех точек A, B, C прямой (рис. 2.3, 2.5) справедливы отно-
шения (свойство 3): A,C C,B = A1 ,C1 C1 ,B1 = A2 ,C 2 C2 ,B 2 .
2.2.2. Прямые частного положения
К прямым частного пложения относятся прямые уровня и
проецирующие прямые.
Прямая уровня - это прямая, параллельная какой-либо
плоскости проекций. Прямую, параллельную Ï 1 , называют горизон-
тальной прямой или горизонталью; параллельную Ï2 - фронтальной
прямой или фронталью; параллельную профильной ПП - профиль-
ной прямой. Обычно горизонталь обозначают h, фронталь - f,
профильную прямую - p.
Так как h Ï 1 , то (рис. 2.6) h2 x ( все точки горизонтали уда-
лены от Ï 1 на одинаковое расстояние и на координированном КЧ
имеют одинаковые координаты Z), отрезок горизонтали проецирует-
ся на Ï 1 в натуральную величину: A,B = A1 ,B1 и - угол наклона
горизонтали к плоскости Ï 2 , определяемый углом между
горизонталью h и её проекцией h 2 на Ï 2 (угол наклона горизон-
О
тали к Ï1 равен 0 ).16
p2 E2
A2 B2 f2 M,N
h2 M2 K2
N2
F2
x F1 p1
B1 f1
M1 N1 K1
h1 A,B
A1 E1
Рис. 2.6
Аналогично для фронтали (рис. 2.6) f1 x, M,N = M 2 ,N2 и -
угол наклона фронтали к плоскости Ï1 .
Для профильной прямой p помимо проекций p1 и p2 надо
ещё задавать проекции двух её точек (точки E и F на рис. 2.6). Если
точка K задана на прямой p одной проекцией, например, K1 , то
проекция K 2 ищется с использованием профильной ПП или, как по-
казано на рис. 2.6, с использованием условия:
F1,K 1 F 2 ,K 2
= .
K1,E 1 K 2 ,E 2
Проецирующая прямая - это прямая, перпендикулярная какой-
либо ПП. Прямую, перпендикулярную Ï 1 , называют горизонтально
проецирующей прямой, а перпендикулярную Ï 2 - фронтально
проецирующей. Прямые a Ï 1 и b Ï 2 показаны на рис. 2.7.
a2
L, K
A2 L2 l2
A, B b2 F2 E2
Ê2
B2
x F1
b1 E, F Ê1 l1
a1 A1 B1
E1 L1
L,K
Рис. 2.7
Проецирующая прямая проецируется на ПП, к которой она
перпендикулярна, в точку (a 1 и b 2 ), называемую основной проек-
цией прямой, а на вторую ПП - в прямую, перпендикулярную оси
проекций (a 2 и b 1 ).17
d Чтобы задать проецирующую прямую,
достаточно однокартинного чертежа (рис. 2.8):
основная проекция проецирующей прямой
d1 однозначно задает её положение в прост-
ранстве - d d1 и d Ï 1 . Поэтому проекции a 2 и
Рис. 2.8 b1 на КЧ (рис. 2.7) давать не обязательно.
Основная проекция обладает собирательным свойством: все
точки проецирующей прямой проецируются на ПП, перпендикуляр-
ную к ней, в её основную проекцию (A 1 B1 a 1 и E 2 F2 b 2 ).
Горизонтально проецирующая прямая является фронталью:
a Ï1 a Ï 2 A,B = A 2 ,B2 , а фронтально проецирующая прямая -
горизонталью: b Ï2 b Ï1 A,B = A1 ,B 1 .
На рис. 2.7 задана также профильно проецирующая прямая l,
которая одновременно параллельна Ï1 и Ï 2 .
Все точки проецирующей прямой являются конкурирующими в
их видимости относительно той ПП, к которой прямая перпендику-
лярна и на которую все точки проецируются в основную проекцию.
На рис. 2.7 точки прямой a конкурируют относительно Ï1, прямой b -
относительно Ï 2 . Конкурирующие точки используют для опреде-
ления видимости ГО и их
эл е м е н т ов . Ре ш а я в о п р о с
видимости, надо учитывать
направление взгляда (проеци-
B Âçãëÿä рования) и то, что проецируе-
A íà Ï 2 мый ГО всегда расположен
B2 A2 (ñïåðåäè) между ПП и наблюдателем
Ñ (рис. 2.9). Поэтому видимой из
Ñ2 конкурирующих точек является
B1 Ñ1 точка, находящаяся дальше от
A1
ПП и ближе к наблюдателю. Так,
на рис. 2.9 из двух конкурирую-
Рис. 2.9 щих относительно Ï 1 точек B и
C видна точка B (B выше C), а конкурирующих относительно Ï2 точек
A и B - более удаленная от Ï2 точка A. Аналогично на рис. 2.7
относительно Ï1 из двух точек A и B прямой a видна точка A (A
выше B, см. на проекции A2 и B 2 ), относительно Ï 2 из двух точек F
и E прямой b видна точка E (E дальше от Ï 2 , см. на проекции E1
и F 1 ).18
2.3. Решение 1-й и 2-й основных задач преобразования
чертежа способом задания новой ПП
Условие 1ОЗПЧ: преобразовать КЧ так, чтобы прямая a
общего положения стала прямой уровня.
Для решения 1ОЗПЧ новую ПП Ï3 задают параллельно прямой
a и перпендикулярно Ï 1 или Ï2 (Ï 3 a Ï 3 Ï 1 Ï 3 Ï 2). При Ï 3 Ï 1
новая ось проекций x1 3 a 1 , а при Ï3 Ï 2 новая ось x2 3 a 2.
На рис. 2.10,а прямая a, заданная проекциями a 1 и a 2 ,
переведена в положение прямой уровня с использованием Ï3 Ï1 .
Для этого нанесли новую ось x1 3 a 1 , на прямой a взяли две
произвольные точки A(A1 ,A2 ) и B(B1 ,B2 ), нашли их проекции A 3 и B 3
(используемые для этого расстояния помечены), через которые и
провели проекцию a 3 прямой a . На рис 2.10,б та же задача решена
с применением Ï3 Ï 2 . Заметим, что на рис. 2.10 найдены длина
отрезка [A,B] ( A,B = A3 ,B 3 ) и углы и наклона a к Ï 1 и Ï 2 со-
ответственно.
à) á) A,B
B2 a3 B3
A2 x2 3
a2 A3
a2
x1 2 B2
B1 x1 3
A2
a1 A1 x1 2
a3 B1
B3
A3 a1
A,B A1
Рис. 2.10
Условие 2ОЗПЧ : прямую уровня A3 f3
перевести в положение проецирующей
прямой.
f2
A2
Новую ПП задают перпендикулярно
x2 3
прямой уровня. Горизонталь h станет прое-
цирующей при Ï 3 h Ï 3 Ï 1 (новая ось x
1 2
x1 3 h1), а фронталь f - при Ï 3 f Ï3 Ï 2 A1 f1
(новая ось x2 3 f2 ). На рис. 2.11 фронталь
f, заданная проекциями f1 и f2, переведена в Рис. 2.1119
проецирующее положение ( Ï 3 f ). Для построения f3 прове-
ли x2 3 f2 , на фронтали взяли точку A(A1 ,A2) и нашли её проекцию
A 3 f3.
Для перевода прямой a общего положения в проецирующее
положение последовательно вводят две новые ПП (сразу задать
новую ПП перпендикулярно a нельзя: такая ПП не перпендикулярна
ни Ï1, ни Ï 2):
1. Задают Ï 3 a Ï 3 Ï 1 (новая ось проекций x1 3 a 1 ) Ï3 Ï 2
(новая ось проекций x2 3 a 2 ) - решают 1ОЗПЧ.
2. Задают Ï4 a Ï4 Ï3 (новая ось проекций x3 4 a 3) - решают
2ОЗПЧ.
На рис. 2.12 (были заданы a 1 , a 2 , A2
x1 2) для перевода прямой a в B2 a
2
проецирующее положение на 1-м эта-
пе использовали Ï3 Ï1. Проекции a 3 и
a 4 строили с помощью произвольных x1 2
точек A,B a (откладываемые рас- A1 B1
стояния на рис. 2.12 обозначены). a1
x3 4
a4 A4 B4 a3 A3 x1 3
B3
Рис. 2.12
2.4. Задание пар прямых
Прямые могут пересекаться, быть параллельными, скрещиваться.
Если прямые пересекаются, то точки пересечения их однои-
менных проекций находятся на одной линии связи. На рис. 2.13
заданы пары пересекающихся прямых a b, d g, l t.
a2 g2 d2 t2 a2 d2 g2 t2 l2
b2 l2 b2
x a1 x
b1 d1
b1 a1 t1
t1 g1 l1
d1 g 1 l1
Рис. 2.13 Рис. 2.1420
Если прямые параллельны, то параллельны их соответствую-
щие проекции (свойство 6). На рис. 2.14 a b (a 1 b1 ; a 2 b 2), d g, l t.
Скрещивающиеся прямые - прямые, не лежащие в одной плос-
кости. На рис. 2.15 приведены пары скрещивающихся прямых a b,
d g, l t.
C 2 D2 l2 t2 G2
a2 b2
A2
g2
E2 F2 Q2 d2
B2
x D1 E1 g1
a1 d1
l1 t1
A1 B1 C1 b1 F1 G 1 Q1
Рис. 2.15
Скрещивающиеся прямые всегда имеют одну или две пары то-
чек, конкурирующих относительно Ï1 и Ï2 . У прямых a и b точки A a
и B b конкурируют относительно Ï1 (видна точка A), а точки C b и
D a - относительно Ï 2 (видна точка C); у прямых l и t точки E l и
F t конкурируют относительно Ï2 (видна точка F), у прямых g и d
точки G g и Q d конкурируют относительно Ï1 (видна точка G).
Введем понятие угла между скрещивающимися прямыми.
b2 Величина угла между скрещи-
a2 вающимися прямыми (a и b на
t2 рис. 2.16) равна величине угла
l2 между пересекающимися пря-
x мыми (t и l на рис. 2.16), соот-
ветственно параллельными
b1 a1 l t1 д а н н ы м с к р е щ и в а ю щ и м с я
1
Рис. 2.16 прямым (t a, l b).
2.5. Теорема о проецировании прямого угла
В общем случае прямой угол между пересекающимися или
скрещивающимися прямыми проецируется на ПП с искажением.
Теорема о проецировании прямого угла выделяет частный, но
важный для практики случай, когда прямой угол проецируется на ПП
без искажения. Так как теорема о проецировании прямого угла
связывает три ГО (рис. 2.17) - прямой угол, некую плоскость21
проекций (Ï n ) и проекцию прямого угла на эту ПП, то можно
сформулировать три теоремы:
1. Если хотя бы одна из сторон
A a прямого угла (a b) параллельна ПП
(a Ï n ( ) b Ïn), то прямой угол проеци-
руется на эту ПП в прямой угол (a n b n).
b An a n 2. Если хотя бы одна из прямых
параллельна ПП (a Ïn ( ) b Ïn), а их
bn проекции на эту ПП перпендикулярны
(a n b n ), то данные прямые перпен-
Рис. 2.17 дикулярны (a b).
3. Если прямые перпендикулярны (a b) и перпендикулярны их
проекции (a n bn) на ПП ( Ï n ), то хотя бы одна из данных прямых
параллельна этой ПП (a Ï n ( ) b Ï n).
Через точку, не лежащую на прямой, можно провести
бесконечное множество прямых перпендикулярно данной прямой,
но только одна из этих прямых пересекает данную, а остальные
скрещиваются с ней.
ПРИМЕР 2.1. Заданы прямая a (a 1 ,a 2 ) и точка M (M 1 ,M 2 ).
Через точку M провести прямую перпендикулярно прямой a (рис. 2.18).
a2
t2 K2 h2
h2 M2
M2
a1 h1
M1 t1
h1 K1 M1
Рис. 2.18 Рис. 2.19
Если дана прямая общего положения, то без дополнительных
построений, используя только теорему о проецировании прямого
угла, через точку можно провести лишь две прямые перпендику-
лярно данной прямой, причем в общем случае обе они будут
скрещиваться с ней. Одна из этих двух прямых - горизонталь h на
рис. 2.18 (h Ï1 h a h1 a 1), а второй прямой могла бы быть
фронталь f a (f2 a 2 ).22
ПРИМЕР 2.2. Даны точка M (M 1 ,M 2) и горизонталь h (h 1 ,h 2 ).
Построить прямую t, проходящую через точку M и пересекающую h
под прямым углом (рис. 2.19).
Порядок построения на рис. 2.19 был следующим:
1. t1 M 1 t1 h1 . 3. K2 h2 .
2. K1 = t1 h 1 . 4. t2 M 2 , K2 .
В примере через точку M без дополнительных построений
можно было провести любую из бесконечного множества прямых,
перпендикулярных горизонтали, причем горизонтальные проекции
всех перпендикуляров совпадали бы с t1 .
ПРИМЕР 2.3. Даны прямая a (a 1 ,a 2 ) и точка M (M 1 ,M 2 ).
Через точку M провести прямую l, пересекающую a под прямым
углом (рис. 2.20).
Последовательность выполнения примера:
1. Задали новую ПП Ï 3 a Ï3 Ï 1 и перевели прямую a в
положение прямой уровня. Для построения проекции a 3 на прямой a
взяли произвольные точки A(A1 ,A2 ) и
l2 B(B 1 ,B 2), нанесли старую ось проекций
A2 B2 x1 2 (M1,M2) и новую ось проекций x1 3 a1
Ê2 M 2 (можно было задать x1 3 a1), нашли проек-
a2
ции точек A3, B3, M3 и через A3 и B3 прове-
x1 2
l1 ли прямую a 3 .
B1
2. В поле Ï 3 применили теорему о
A1 Ê1 M1 x1 3 проецировании прямого угла: через точку
a1 M3 M3 провели l3 a 3 и нашли точку K3 =l3 a3
Ê3 (K=l a - точка пересечения прямых l и a).
A3 B3 Проекции l1 и l2 определялись точками M 1 ,
a3 l3 K 1 и M2, K2 соответственно.
Рис. 2.20
ЛЕКЦИЯ 3
ПЛОСКОСТЬ
3.1. Задание плоскости общего положения
Плоскость относят к линейчатым поверхностям, которые могут
образовываться при перемещении в пространстве прямой линии.
Подробнее вопросы образования и задания поверхностей рассмотрены23
в лекции 6. Здесь отметим только, что в общем случае плоскость и
другие поверхности не задаются на чертеже, как точки и линии,
своими проекциями (проекциями всех своих точек), представляю-
щими собой в общем случае бесконечное множество точек.
Плоскость общего положения - это плоскость, не перпендику-
лярная и, следовательно, не параллельная ни одной из ПП. Из элемен-
тарной геометрии известно, что плоскость определяют не лежащие на
одной прямой три точки - (A,B,D); две пересекающиеся прямые -
(a b); две параллельные прямые - (a b); прямая и не лежащая
на ней точка - (a,A); треугольник - (A,B,D,A) или ( ABD), реже
другая плоская фигура (в скобках после обозначающей плоскость
буквы условно указан способ задания плоскости).
Если плоскость задана не удобно для решения задачи, то надо
перейти к другому способу её задания. При этом от способа задания
плоскости тремя точками всегда переходят к какому-нибудь другому
способу, чаще всего треугольником.
3.2. Построение прямой линии в плоскости общего положения
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две
точки плоскости или если она проходит через точку плоскости
параллельно одной из прямых плоскости.
На рис. 3.1 в плоскости (a b) построена произвольная прямая l,
12 2 12 2
22
d
A2 12 a2 d
a2 l2 t2
l2 a2
x
a1 a1 d 1
l1 t1 11
A1
11 21 11 l1
1
d a1
Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3
проходящая через точку 1 прямой a и точку 2 прямой b: 1 a 1 ;
2 b 2 ; l 1 l 2 l . Обычно одну из проекций l1 или l2
проводят произвольно, а вторую строят, используя проекции точек
1=l a и 2=l b. Если плоскость задана прямой и точкой (плоскость
(a,A) на рис. 3.2), то прямую l целесообразно проводить через
данную точку (A). На рис. 3.3 в плоскости (a b) построена прямая
t: 1 a 1 ; t 1 t b t .24
Главные линии плоскости - это горизонталь плоскости, фрон-
таль плоскости и линии наклона плоскости к плоскостям проекций.
Горизонталь плоскости - прямая, параллельная Ï 1 и принадлежащая
плоскости. Фронталь плоскости - прямая, параллельная Ï 2 и при-
надлежащая плоскости. Линии наклона плоскости - прямые
плоскости, перпендикулярные к линиям уровня плоскости. Линию
наклона плоскости к плоскости Ï 1 , перпендикулярную горизонтали
плоскости, называют также линией ската. Линия наклона плоскости
образует с соответствующей плоскостью проекций угол, по величине
равный углу наклона плоскости к этой ПП.
Горизонталь h плоскости начинают строить с проекции h2 x, а
фронталь f плоскости - с проекции f1 x (h Ï 1 , f Ï 2 ). Проекции h 1
и f2 строят по точкам, используя проекции h 2 и f1 и условие при-
надлежности h и f плоскости. На рис. 3.4 в плоскости (A,B,D,A)
построены горизонталь h и линия ската t, проходящие через
вершины A и B соответственно:
1. h2 A 2 h 2 x - через A2 параллельно оси x провели h 2 .
2. 12 =h2 [B2 ,D2 ] - нашли точку 1 2 пересечения h2 и [B 2 ,D 2 ].
3. 1 1 [B1 ,D1 ] - нашли 1 1 из условия её принадлежности [B1,D1].
4. h1 A1 ,1 1 - провели h 1 через точки A 1 и 1 1 .
5. t1 B1 t1 h1 - через B1 перпендикулярно h1 провели t1 .
6. 21 =t1 [A 1 ,D 1 ]. 7. 22 [A 2 ,D2 ]. 8. t2 B2 ,22 .
t2 f2
B2 12 b2
A2 12 h2 22
a2
22 D2
x x
A1 21
D1 f1
h1 11 21
11 a1
t1 b1
Рис. 3.4 Рис. 3.5
На рис. 3.5 в плоскости (a b) построена произвольная фрон-
таль f: f1 x, а f 2 1 2,2 2 , где 1=f a, 2=f b.
Все горизонтали плоскости параллельны друг другу. Это же от-
носится к фронталям плоскости и линиям наклона плоскости к ПП.25
3.3. Принадлежность точки плоскости общего положения
Задача на принадлежность точки поверхности называется
основной позиционной задачей (ОПЗ). ОПЗ является одной из
ключевых задач НГ: возможность решения ОПЗ на чертеже под-
тверждает то, что поверхность на этом чертеже задана (лекция 6).
Существуют три формулировки ОПЗ:
1. На чертеже задана поверхность. Построить проекции произ-
вольной точки, принадлежащей поверхности.
2. На чертеже заданы поверхность и одна проекция точки, при-
надлежащей поверхности. Построить вторую проекцию точки.
3. На чертеже заданы поверхность и точка. Определить, принад-
лежит точка поверхности или нет.
Для решения ОПЗ используется условие принадлежности
точки поверхности: точка принадлежит поверхности, если она
принадлежит линии этой поверхности. Поэтому ОПЗ выполняется в
соответствии с таким пространственным алгоритмом (ПА):
. a Ô - на поверхности Ô строится некая линия a.
. M a - на линии a задается (ищется, берется) точка M.
В общем случае ПА решения задачи - последовательность
геометрических построений в пространстве, приводящих к решению
задачи. Для пояснения порядка выполнения многих задач на черте-
же условными знаками будет записываться графический алгоритм
(ГА) их решения - последовательность графических построений на
чертеже, приводящих к решению задачи. При этом одна и та же
задача обычно имеет несколько ГА её выполнения.
В плоскости точки строят с помощью прямых линий, и для
плоскости ПА решения ОПЗ имеет вид: . l . . M l.
В дальнейшем буквами l и t будут обозначаться только
прямые линии.
ПРИМЕР 3.1. Задана плоскость (a b). Построить проекции M1
и M2 произвольной точки M, принадлежащей этой плоскости (рис. 3.6).
Условимся, что точка считается произвольной, если она не
принадлежит ГО, задающему поверхность (здесь M a M b). Точка
M строилась с помощью произвольной прямой l согласно ГА:
1. l1 a 1 l 1 b1 . 4. 21 =l1 b1 . 7. M 2 l 2.
2. 11 =l1 a 1 . 5. 22 b 2. 8. M 1 l1 .
3. 12 a 2. 6. l2 12 ,22 .26
a2 M2 a2
B2 M2 l l
22 12 2 12 M 2 2
12 A2
D2
l2 b2 A2
x x x
B1 M1 l1 M1
l1 b1
11 21 11 11 l1
A1
a1 M1 D1 a1
A1
Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8
ПРИМЕР 3.2. Заданы плоскость (A,B,D) и проекция M 2 точки
M, принадлежащей плоскости (рис. 3.7). Построить M 1 .
Сначала, соединив три точки A, B и D, переходят к способу
задания плоскости треугольником. Далее задача решается с
использованием прямой l : 1. l2 M2,A2 . 2. 12 =l2 [B2,D2].
3. 11 [B1 ,D1 ]. 4. l1 A1 ,1 1 . 5. M 1 l1 .
ПРИМЕР 3.3. Заданы плоскость (A,a) и точка M (рис. 3.8).
Определить, принадлежит точка M плоскости или нет.
При ответе на вопрос о принадлежности точки M плоскости
делается попытка построить в плоскости прямую, проходящую
через точку M: 1. l2 A2,M 2 . 2. 12 =l2 a2 . 3. 11 a1 .
4. l1 A 1 ,1 1 . Оказалось, что M 1 l1 M l M .
3.4. Плоскости частного положения
К плоскостям частного положения относят проецирующие
плоскости и плоскости уровня.
Проецирующая плоскость - это плоскость, перпендикулярная
какой-либо ПП. Плоскость, перпендикулярную Ï 1 , называют гори-
зонтально проецирующей, а перпендикулярную Ï 2 - фронтально
проецирующей.
Проецирующая плоскость проецируется на ПП, к которой она
перпендикулярна, в прямую линию, называемую её основной проек-
цией. Чтобы задать проецирующую плоскость, достаточно задать
основную проекцию этой плоскости. На рис. 3.9 основной проекци-
ей 1 задана плоскость Ï1 , а проекцией 2 - плоскость Ï2 .27
2 1
2 2 2 2
2 2 1
2
2 l2
x x
1 l1 1 1
1 1 1 1
1
1 1
1
Основная проекция обладает собирательным свойством: на
ней расположены проекции всех точек и линий проецирующей
плоскости. Поэтому фигура принадлежит проецирующей плоскости,
если её соответствующая проекция принадлежит основной
проекции этой плоскости. На рис. 3.10 в плоскости Ï 1 заданы
точка M, прямая l, горизонталь h и фронталь f: M1 1 , l 1 h1 1,
f1 1 . При этом фронталь горизонтально проецирующей плоскости
f Ï 1 . На рис. 3.10 в плоскости Ï2 заданы точка N, прямая t,
горизонталь h1 (h1 Ï 2) и фронталь f 1 .
Плоскость уровня - это плоскость, параллельная какой-либо
ПП. Плоскость, параллельную Ï 1 , называют горизонтальной, а
параллельную Ï 2 - фронтальной. Плоскость уровня - частный слу-
чай проецирующей плоскости: если Ï 1, то Ï 2, а если Ã Ï 2,
то Ã Ï 1 . Поэтому плоскости уровня задаются своими основными
проекциями, параллельными оси проекций: на рис. 3.11 проекци-
ей 1 x задана плоскость Ï 2 , а на рис. 3.12 проекцией Ã2 x -
плоскость Ã Ï1 . На рис. 3.11 также заданы прямые l, t и b плоскос-
ти . Так как Ï 2 , то все эти прямые фронтали, а прямая b еще и
горизонталь (b Ï1 b Ï 2 ).
Ã2 A2 B2 D2
b2
l2 t2 x
D1
x A1
1 l1 t1 b1
B1
Расположенная в плоскости уровня фигура проецируется на
ПП, которой эта плоскость параллельна, в натуральную величину.28
Так, ABD, расположенный в плоскости Ã , проецируется на Ï 1 без
искажения: ABD = A 1 B 1 D1 (рис. 3.12).
3.5. Параллельность прямой и плоскости,
параллельность плоскостей
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-
либо прямой этой плоскости. На рис. 3.13 прямая g параллельна
плоскости (a b), поскольку g a.
a2 a2 22 l2 2 d2
M2
12 2
b2 g2 2
b2
x x b1 x
b1 g1 d1
1
a1 a1 11 l1 M1 1
21
Рис. 3.13 Рис. 3.14 Рис. 3.15
ПРИМЕР 3.4. Заданы плоскость (a b), точка M (M ) и
проекция t1 прямой t, t M, t (рис. 3.14). Построить t2 .
Для решения задачи в плоскости строилась некая прямая l t:
1. l1 t1 l1 a 1 , b 1 . 3. 1 2 a 2 , 22 b2 .
2. 11 =l1 a 1 , 21 =l1 b 1 . 4. l2 12 ,22 . 5. t2 M2 t2 l2 .
Проецирующая прямая параллельна проецирующей плоскости,
если прямая и плоскость перпендикулярны одной ПП. Непроецирую-
щая прямая параллельна проецирующей плоскости, если
соответствующая проекция прямой параллельна основной проекции
плоскости. На рис. 3.15 e Ï 2 Ï2 e и d2 2 d .
Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересе-
кающимся прямым другой. На рис. 3.16 заданы параллельные
плоскости (a b) и Ã(l t), у которых l a и t b.
a2 t2 d2 b2 Å2
b2 l2 a2 t2 l2
x x d1
l1 a1 l1
a1 b1 b1 Å1 t1
t1
Рис. 3.16 Рис. 3.1729
На рис. 3.17 через точку E проведена плоскость Ã, параллель-
ная плоскости (a b). Для этого в плоскости построили произ-
вольную прямую d и задали плоскость Ã прямыми l и t (l d, t a).
3.6. Решение 3-ей и 4-ой основных задач преобразования
чертежа способом задания новой ПП
Условие 3ОЗПЧ: преобразовать КЧ так, чтобы плоскость
общего положения стала проецирующей плоскостью.
Чтобы плоскость общего положения стала проецирующей,
новую ПП Ï 3 задают перпендикулярно горизонтали h плоскости и Ï 1
(новая ось проекций x1 3 h 1 ) или перпендикулярно фронтали f
плоскости и Ï2 (новая ось проекций x2 3 f 2 ).
В примере на рис. 3.18 в 32 b2
плоскости (a b) проведена 12 h2
произвольная горизонталь h и 22
задана новая ПП Ï3 h. Основ- a 2 13 23 h3
ную проекцию плоскости 3 x1 2 33
строили с использованием оси a1 h1
3
x1 3 h1 и точек 1 и 3 (3 - произ- 11
вольная точка плоскости). Угол 21
b1 x1 3
определяет величину угла 31
наклона плоскости к Ï1 . Рис. 3.18
Условие 4ОЗПЧ: преобразовать КЧ так, чтобы проецирующая
плоскость стала плоскостью уровня.
Для решения 4ОЗПЧ новую B2
ПП задают параллельно данной
плоскости и перпендикулярно той
A2
ПП, на которую данная плоскость D2
является проецирующей (новую x1 2
ось проекций проводят параллель- Ã1
но основной проекции плоскости). D 1
B1
На рис. 3.19 плоскость Ã Ï 1 A1
заданием Ï3 Ã Ï3 Ï 1 переведена D3
в положение плоскости уровня. x1 3
При этом любая фигура, лежащая A3 ABD
в плоскости Ã, например, ABD
проецируется на ПП Ï3 в натураль-
B3
ную величину: A3 B3 D3 ABD . Рис. 3.1930
ЛЕКЦИЯ 4
ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ГЛАВНЫЕ
ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
4.1. Основные метрические задачи
Всякая задача, в условии или в процессе решения которой
встречается численная характеристика, называется метрической
задачей. К метрическим задачам относят задачи на определение
расстояний, углов, натурального вида фигур и т. д.
Из множества метрических задач выделяют две, лежащие в
основе решения других метрических задач и называемые поэтому
основными метрическими задачами (ОМЗ).
1ОМЗ - задача на перпендикулярность прямой и плоскости.
2ОМЗ - задача на определение длины отрезка или расстояния
между двумя точками.
4.2. Решение 1ОМЗ
1ОМЗ имеет две возможные формулировки:
- через точку провести прямую перпендикулярно данной плос-
кости (точка может принадлежать плоскости или нет);
- через точку провести плоскость перпендикулярно данной
прямой (точка может принадлежать прямой или нет).
Решение 1ОМЗ базируется на признаке перпендикулярности
прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости (всем пря-
мым плоскости), если она перпендикулярна двум пересекающимся
прямым этой плоскости, и теореме о проецировании прямого угла.
Эта теорема позволяет использовать при построении взаимно
перпендикулярных прямой и плоскости на чертеже прямых уровня,
существенно облегчая решение 1ОМЗ. Сформулируем с учетом
теоремы признак перпендикулярности прямой и плоскости для
чертежа:
- первая формулировка: чтобы построить прямую l, перпенди-
кулярную плоскости Ã, в Ã строят горизонталь h и фронталь f
(если они не заданы) и проводят l 1 h 1 l 2 f2 ;
- вторая формулировка: плоскость Ã, перпендикулярную прямой
l, задают горизонталью h и фронталью f, проводя h1 l1 f2 l2 .
На рис. 4.1 через точку M перпендикулярно прямой a
проведена плоскость Ã, заданная горизонталью h a (h1 a 1 ) и фрон-
талью f a (f 2 a 2 ). На рис. 4.2 через точку M проходит прямая l,31
f2 f2 l2
M2
M2 h2 h2
M2 h2
a2
1
h1
a1
M1 M1
f1 f1 l1 h1
M1
h1
Рис. 4.1 Рис. 4.2 Рис. 4.3
перпендикулярная плоскости (a b), для чего в последней были по-
строены горизонталь h и фронталь f, а затем проведены l1 h 1 l2 f2.
Перпендикуляр к проецирующей плоскости является прямой
уровня. Если плоскость перпендикулярна Ï1, то перпендикуляр к ней
является горизонталью h (на рис. 4.3 плоскость Ï1 h1 1 ), а если
плоскость перпендикулярна Ï 2, то фронталью f.
При решении задачи на перпендикулярность двух плоскостей
дополнительно используют признак их перпендикулярности: две
плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит
через прямую, перпендикулярную второй плоскости.
На рис. 4.4 через прямую a проходит плоскость Ã, перпендику-
лярная плоскости (h f) и заданная прямыми a и l, где l - перпен-
дикуляр к плоскости (l1 h1 l2 f2), проходящий через произволь-
ную точку M a. 1
2 a2 l2 A2 2
2 l2
2 12 2 2
2
2
1
1 1
1 11
l1 a1 1 l1
1
A1 1
Рис. 4.4 1
Рис. 4.5
На рис. 4.5 через точку M проходит плоскость Ã, одновременно
перпендикулярная плоскостям (A,f) и Ï2 . Плоскость Ã задана
1
фронталью f - перпендикуляром к плоскости (f 21 2) и прямой
l - перпендикуляром к плоскости (построена горизонталь h и
проведены l 1 h 1 l 2 f2 ).32
4.3. Решение 2ОМЗ
Пусть заданы некая ПП Ïn , отрезок [A,B] и его проекция [A n,B n ]
на Ïn (рис. 4.6). Проведем [A,D] [A n ,Bn]и получим прямоугольный тре-
угольник ABD, в котором отрезок [A,B] является гипотенузой. Сформу-
лируем правило прямоугольного треугольника для решения 2ОМЗ:
длина отрезка прямой общего положения равна длине гипотенузы
A,B прямоугольного треугольника, один из катетов которого есть
проекция отрезка на плоскость проекций ( A,D = A n ,B n ), а второй -
разность расстояний концов отрезка до этой ПП ( B,D = B,B n - A,A n );
угол между отрезком (прямой) и ПП измеряется углом между
отрезком и его (прямой и её) проекцией на эту ПП.
B B2
A2 Z
A D N
A1
Z
Bn B1
An M
A,B
Рис. 4.6 Рис. 4.7
На рис. 4.7 для определения длины отрезка A,B в поле Ï1 по двум
катетам [A 1 ,B1] и [A 1 ,M] построен прямоугольный треугольник B1 A 1 M.
Длина катета A1,M определялась графически как разность Z коор-
динат Z точек A и B: провели (A 2 ,N) (B 1 ,B2) и приняли B 2,N =
Z = A 1 ,M . Длина отрезка A,B равна длине гипотенузы B 1 ,M , а
угол определяет угол между отрезком [A,B] и Ï 1 . Прямой угол
треугольника может быть и при вершине B 1 вместо A 1 . Аналогично
на рис. 4.8 для определения длины отрез-
A,B F Y
ка A,B и угла наклона его к Ï 2 в поле
B2 Ï 2 по катетам [A 2 ,B 2 ] и [B 2 ,F] построен
прямоугольный треугольник A2 B 2F , где
A2 B 2 ,F = A1 ,K = Y ( Y - разность коор-
динат Y точек A и B).
K B1
Прямоугольные треугольники, по-
Y строенные в одном поле проекций для
A1 Рис. 4.8 определения длин отрезков данной33
прямой, подобны. Это обстоятель- N2 K2
ство используют для откладывания
на прямой отрезков заданной дли-
M2
ны. Пусть от точки M a на a2
прямой a надо отложить отрезок E a1
F
длиной M,N (рис. 4.9). Для этого M1
на прямой a берут произвольную K1 M,N
точку K и ищут, например, в по- N1
ле Ï1 длину отрезка M,K , равную Рис. 4.9
M1,E , а затем сравнивают эту длину с заданной длиной M,N . Если
M,K = M,N , то N K. Если M,K M,N (как в примере), то на
продолжении отрезка [M 1,E] от точки M 1 откладывают отрезок [M 1 ,F],
длина которого равна M,N и, строя треугольник M1 N1 F, подобный
треугольнику M 1 K 1 E, определяют точку N 1 . Если M,K M,N , то
точка N находится между точками M и K и для её определения от
точки M 1 по [M 1 ,E] откладывают отрезок длиной M,N и строят
треугольник, подобный треугольнику M 1 K 1 E.
ПРИМЕР 4.1. Заданы проекция [A1,B 1 ] отрезка [A,B], точка A 2
и угол наклона отрезка [A,B] к Ï1 . Найти B 2 (рис. 4.10).
В поле Ï1 по катету [A 1 ,B1] и углу строят прямоугольный тре-
угольник A1 B 1 E: из точки B1 проводят луч перпендикулярно [A 1 ,B 1 ],
из точки A 1 - луч, составляющий с [A 1 ,B 1 ] угол , получая в точке
пересечения лучей вершину E. Длина катета B1 ,E равна разности
Z координат Z точек A и B. Откладывая Z от точки N по линии
связи (B 1 ,B 2 ), находят точку B 2 (дано одно решение).
N A2 A2 A,B
Z F
B2 Y
A1 B2
B11
B1 Y
A1 K
Z A,B
E A,B Y
Рис. 4.10 Рис. 4.11 B134
ПРИМЕР 4.2. Заданы проекция [A 2 ,B2 ] отрезка [A,B], длина
A,B этого отрезка и точка A1 . Найти B 1 (рис. 4.11).
В поле Ï2 по катету [A 2,B 2] и гипотенузе [A 2,F], длина которой
равна A,B , строится прямоугольный треугольник A 2 B 2 F, катет [B2,F]
которого есть разность Y координат Y точек A и B. Откладывая Y
1
от точки K по линии связи (B2 ,B1), получают два решения B 1 и B 1 .
4.4. Главные позиционные задачи для прямой и плоскости
4.4.1. Общие замечания
К позиционным задачам относятся задачи на принадлежность
(принадлежность одних ГО другим - принадлежность точки линии,
точки и линии поверхности и т. д.), на взаимное пересечение (пере-
сечение линии и линии, линии и поверхности, поверхности и
поверхности) и на взаимный порядок (на размещение ГО в
пространстве и расположение одних ГО относительно других).
Главное содержание раздела позиционных задач составляют
задачи на взаимное пересечение, называемые поэтому главными
позиционными задачами (ГПЗ). Различают 1ГПЗ - задачу на
пересечение линии и поверхности и 2ГПЗ - задачу на пересечение
поверхностей (задача на пересечение линии и линии имеет очевид-
ное решение, опирающееся на свойство операции проецирования).
Решение ГПЗ осуществляется согласно трем алгоритмам, со-
ответствующим трем возможным случаям расположения пересекаю-
щихся ГО относительно плоскостей проекций. Но во всех случаях в
основе решения ГПЗ - задача на принадлежность точек поверхности
(ОПЗ) и условие: точка пересечения и линия пересечения
одновременно принадлежат каждому из пересекающихся ГО.
4.4.2. Первый случай ГПЗ (ГПЗ-1)
В первом случае ГПЗ пересекаются два проецирующих ГО.
Алгоритм решения ГПЗ-1:
1. Обе проекции точки или линии пересечения заданы на КЧ.
2. Они принадлежат основным проекциям пересекающихся ГО.
3. Решение сводится к простановке обозначений.
ПРИМЕР 4.3. Дано a Ï2 , Ï1 (рис. 4.12). K=a - найти
точку K пересечения прямой a и плоскости .
K a K2 a 2 K K1 1 : решение опирается на35
собирательное свойство основной проекции проецирующих ГО и
действительно сводится к простановке обозначений.
2 l2 l2
a 2 Ê2
x x x Ã1
1
Ê1
1 Ã1 l 1
l1
a1
Рис. 4.12 Рис. 4.13 Рис. 4.14
ПРИМЕР 4.4. Дано: Ã Ï1 , Ï2 (рис. 4.13). l (найти l) = Ã .
Пояснения к решению: l à l l 1 Ã1 l2 2.
ПРИМЕР 4.5. Дано: Ã Ï1 , Ï1 (рис. 4.14). l= Ã .
Пояснения к решению: l l à l1 1 Ã1 l Ï1 l2 x .
4.4.3. Второй случай ГПЗ (ГПЗ-2)
Во втором случае ГПЗ один пересекающийся ГО проецирую-
щий, а второй непроецирующий. Алгоритм решения ГПЗ-2:
1. Одна проекция точки или линии пересечения задана на КЧ.
2. Она принадлежит основной проекции проецирующего ГО и
её надо только обозначить.
3. Неизвестная проекция точки или линии пересечения ищется
из условия принадлежности точки или линии непроецирующему ГО.
Во втором случае ГПЗ необходимо определять видимость
пересекающихся ГО относительно одной из ПП.
ПРИМЕР 4.6. Дано: a, Ï2 (рис. 4.15). K = a .
K K2 a 2 2 - обозначается известная проекция K2 . Неиз-
вестная проекция K1 ищется из условия K a: K1 =(K2 ,K1 ) a . Точка
K делит прямую a на две части, одна из которых видна отно-
сительно Ï1 , а вторая нет. Для определения видимости прямой
проекциями 1 1 2 1 задаются две конкурирующие относительно Ï1
точки 1 и 2 a. Так как точка 2 выше точки 1 (см. на 22 и 1 2 ), то
точка 2 и вся часть прямой, на которой она находится, видна
относительно Ï1 .36
22 a2 a2 32
2 b2 a2 2 l2
Ê2 t2 12 22
12 22 b2
12 Ê2 42
d2
x d1 l1
a1 a1 21
t1
Ê1 a1 Ê1 11 b1 11 b1
11 2 1 21 31 41
Рис. 4.15 Рис. 4.16 Рис. 4.17
ПРИМЕР 4.7. Дано: a Ï1 , (d b) (рис. 4.16). K= a .
K a K1 a 1 . Проекция K2 ищется из условия K с помощью
прямой t t K (решается ОПЗ). Для определения видимости
прямой a использовали конкурирующие относительно Ï2 точки 1 a
и2 d 2 , задаваемые проекциями 1 2 2 2 . Точка 2 плоскости
дальше от Ï2, чем точка 1 прямой, поэтому точка 1 и часть прямой a,
на которой она находится, относительно Ï2 не видны.
ПРИМЕР 4.8. Дано: Ï2 , Ã(a b) (рис. 4.17). l = Ã.
l l 2 2. l à , поэтому l 1 ищут с помощью точек 1 = l a
и 2=l b. Для определения взаимной видимости плоскостей и Ã
относительно Ï1 (границей видимости является прямая l) исполь-
зовали конкурирующие точки 3 Ã и 4 . Точка 3 выше точки 4,
поэтому относительно Ï1 видны точка 3 и часть плоскости Ã до
границы l, на которой находится точка 3.
4.4.4. Третий случай 1ГПЗ(1ГПЗ-3)
для прямой и плоскости
В этом случае пересекаются не-
l проецирующие прямая и плоскость и
обе проекции точки их пересечения
K t неизвестны. Рассмотрим ход решения
задачи, используя наглядное изобра-
жение на рис. 4.18. Заданы прямая l и
плоскость общего положения. Надо
построить точку K=l K l K .
K1 Заключим прямую l в проецирую-
щую плоскость : l Ï1 Ï2
1 l1 t1
Рис. 4.1837
(пусть для определенности Ï1 ). Так как K l , а l , то K . Но
раз K K , то точка K должна находиться на прямой t= -
линии пересечения плоскостей и , для построения которой надо
решить 2ГПЗ-2. И, наконец, поскольку K t K l, то K есть точка
пересечения прямых l и t: K=t l. Сформулируем теперь общий ал-
горитм решения 1ГПЗ-3 для прямой и плоскости:
1. Прямая заключается во вспомогательную проецирующую
плоскость.
2. Строится линия пересечения заданной плоскости и вспомо-
гательной проецирующей (2ГПЗ-2).
3. Искомая точка - точка пересечения данной прямой и по-
строенной.
1
ПРИМЕР 4.9. Дано: d , (h h ) (рис. 4.19). K= d .
Точка K=d
ищется согласно алгоритму:
ПА ГА
. d Ï2 . .1. 2 d 2. .1. t2 2. . 1. K1 = t1 d 1 .
2. 1 2 = t2 h 2 . 2. K2 d 2 .
. t= .
3. 1 1 h1 .
. K = t d. 4. 22 = t2 h 21 .
5. 21 h11 .
6. t1 1 1 ,2 1 .
22
12 52 42 h2 A2 h2
K2 d2 K2
d2 t2 32
2 h12 h12
22 B2 12
x1 2 x1 2
h1 11 x1 3
11 31 41
t1 B1 13
A1 d3
51 h1 K1
K1 d1
d1 21 h11
A3 h 3
3
21 h 11 1
K3
h3 B 3
23
Рис. 4.19 Рис. 4.2038
Для определения видимости прямой относительно Ï1 исполь-
зовали конкурирующие точки 3 и 4 d, а относительно Ï2 - конку-
рирующие точки 1 и 5 d.
На рис. 4.20 этот же пример выполнен с применением новой
ПП. Задав Ï3 Ï3 Ï1 (новая ось x1 3 h1), плоскость перевели
в проецирующее положение. В результате вместо 1ГПЗ-3 в системе
ПП ( Ï1 , Ï3) решалась 1ГПЗ-2. Проекция 3 плоскости построена с
помощью точек A и B, а проекция d 3 прямой - c помощью точек 1 и 2.
4.4.5. Третий случай 2ГПЗ(2ГПЗ-3) для плоскостей
В этом случае пересекаются непроецирующие плоскости и обе
проекции линии их пересечения неизвестны. 2ГПЗ для плоскостей
общего положения решается методом вспомогательных проецирую-
щих плоскостей, основанным на том, что линии пересечения данных
плоскостей со вспомогательной пересекаются в точке, лежащей на
линии пересечения данных плоскостей. Поэтому алгоритм решения
2ГПЗ-3 для плоскостей формулируется так:
1. Задается вспомогательная проецирующая плоскость, пере-
секающая данные плоскости.
2. Строятся линии пересечения вспомогательной плоскости с
каждой из данных.
3. Определяется точка пересечения построенных в пункте 2
прямых.
4. Задается вторая вспомогательная плоскость и повторяются
построения по пунктам 2,3.
5. Искомая линия пересечения проходит через две построен-
ные точки.
ПРИМЕР: 4.10. Дано: Ã(A,B,D,A), ( a b) (рис. 4.21). l à .
При решении примера использовали вспомогательные
плоскости и 1 , параллельные Ï1 и пересекающие плоскости Ã и
по горизонталям. Построения выполнялись согласно ПА:
. Ï1 . . Ê hà h . . h1 1
.
. hà Ã. . 1
Ï1 . . Ê1 h1 Ã h1 .
. h . . h1 Ã 1
Ã. . l Ê, Ê 1 .
В примере не рассматривался вопрос взаимной видимости
плоскостей Ã и относительно ПП Ï1 и Ï2 .Вы также можете почитать
