НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ - vm.msun.ru в Интернете
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
лекции, домашние задания (данные, образцы)
Электронные ресурсы
в Интернете:
vm.msun.ru
в Интранете:
vm
1Болотов В.П. Начертательная геометрия: Краткий конспект лекций,
домашние задания (данные, образцы). МГУ, Владивосток. 2012, 36 с.
Лекция 6 по многогранникам прорабатывается по Интернету само-
стоятельно.
Тестирование по НГ и ИГ, образцы выполнения многих упражнений и
эпюров по вариантам даны в Интернете
http://vm.msun.ru
2Лекция 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
Начертательная геометрия занимается изучением способов изобра-
жения предметов на плоскость и решением геометрических задач по за-
данным изображениям.
В основе построения изображений лежит метод проекций: отображение
геометрической фигуры на плоскость путем проецирования ее точек.
1.1. Центральное и параллельное проецирование
Проецированием называется процесс построения изображений с по-
мощью проецирующих прямых. Проекцией т. А называют т. А′ пересече-
ния проецирующей прямой с плоскостью изображения (рис. 1.1 а).
Если все проецирующие прямые проходят через одну т. S (центр
проекций) пространства (рис. 1.1 б), то проецирование называется цен-
тральным; если проецирующие прямые параллельны (рис. 1.1 в), то про-
ецирование называется параллельным.
В зависимости от направления проецирующих прямых по отноше-
нию к плоскости проекций, параллельные проекции делятся на пря-
моугольные — проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проек-
ций (рис. 1.2 а) — и косоугольные — проецирующие лучи наклонны к
плоскости проекций (рис. 1.2 б).
Ри
с. 1.1
Рис. 1.2
1.2. Основные свойства параллельного проецирования
Геометрические фигуры проецируются на плоскость в общем случае
3с искажением. Однако некоторые свойства оригинала сохраняются и на его
проекции. Такие свойства называются инвариантными (независимыми) и
приведены в табл. 1.1.
Для ортогонального проецирования добавляются некоторые новые
свойства, например, теорема о проецировании прямого угла:
Прямой угол проецируется
в натуральную величину, если
одна из сторон параллельна
плоскости проекций, а вторая не
перпендикулярна к этой плоско-
сти (рис. 1.3)
Рассмотренные способы
проецирования и их свойства ре-
Рис. 1.3
шают задачу определения проек-
ции оригинала, но не дают
возможности воспроизвести его по одной проекции. Для того чтобы полу-
чить чертеж, обладающий свойствами обратимости, необходимо иметь, по
крайней мере две связанные между собой проекции.
Обратимостью обладает ортогональный чертеж: геометрическая фи-
гура, отображенная прямоугольным ортогональным проецированием на
взаимно-перпендикулярные плоскости и совмещенная затем с плоскостью
чертежа. Такие проекции называются ортогональными, а метод их получе-
ния — методом ортогональных проекций (рис. 1.4).
1.3. Пространственная модель (макет) трехмерного пространства
Для фиксирования положения геометрической фигуры в прост-
ранстве и выявления ее формы по ортогональным проекциям используется
прямоугольная (декартова) система координат, состоящая из трех взаимно-
перпендикулярных плоскостей (рис. 1.5).
Координатные плоскости делят пространство на восемь частей —
октантов. Плоскости Н, V, W называются горизонтальной, фронтальной и
профильной плоскостями проекций. Ось x — ось абсцисс, y — ось ординат,
z — ось аппликат, т.O — начало координат.
Положение т. А определяется тремя координатами: x, y, z (ширина,
глубина и высота).
Точки А′, А′′, А′′′ — горизонтальная, фронтальная, профильная — ор-
тогональные проекции точки. Прямые АА′, АА′′, АА′′′— проецирующие
прямые (лучи), они ⊥ соответственно плоскостям проекций.
4Таблица 1.1
Основные свойства параллельного проецирования
Назв. и определение Графич. изображение Алгоритм
1. Свойство одно-
значности. Проекция A Ρsα Aα
точки — есть точка
2. Свойство прямоли-
нейности. Проекция (∨l) (l || S) [l Ρsα lα ]
прямой на плоскость
есть прямая
3. Свойство принад-
лежности. Если точка
принадлежит прямой,
то проекция этой точ- [∨A, m][A∈m→Aα∈mα]
ки принадлежит про-
екции прямой
4. Свойство парал-
лельности. Проекции
взаимно-параллель- l1 || l2 ⇒ l1α || l2α
ных прямых также
параллельны
AB Aα Bα
5. Свойство пропор- [ AB] || [CD ] ⇒ = ;
циональности. Отно- CD C α Dα
шение отрезков одной NK m
прямой или располо- K ∈ [ NM ] ∧ = ⇒
KM n
женных на прямых α α
равно отношению их N K m
⇒ =
проекций Kα M α n
6. Свойство конгру-
энтности. Плоская
фигура, параллельная
плоскости проекций, Φ || α ⇒ Φα ≅ Φ
проецируется на эту
плоскость в конгру-
энтную фигуру
7. Свойство переноса.
Параллельный пере-
нос оригинала на (Φ → Φ1) ∧ (Φ1 || Φ) ⇒
плоскости проекций
не изменяет вида и ⇒ Φα ≅ Φ1α
размеров проекций
оригинала
51.4. Плоскостная модель. Комплексный чертеж (эпюр) точки
Плоскостная модель получается путем совмещения плоскостей Н и
W с фронтальной плоскостью проекций.
Изображение точки на плоскостной модели называют комплексным
чертежом (эпюром) точки. Каждая проекция точки определяется двумя ко-
ординатами A′(x, y); А′′(x, z); А′′′(y, z). Две проекции точки определяют три
координаты точки (рис. 1.6).
Отсюда: 1) положение точки в пространстве вполне определяется
двумя проекциями; 2) по двум любым проекциям точки можно построить
третью.
Точка может занимать различные положения — лежать в любом ок-
танте, в любой координатной плоскости. Проекционная связь позволяет
графически находить третью проекцию точки по двум заданным При этом
необходимо помнить, что A′(x, y); А′′(x, z); А′′′(y, z).
Рис. 1.5 Рис. 1.6
1.5. Наглядный (аксонометрический) чертеж
Изображение, полученное параллельным проецированием фигуры
вместе с осями на некоторую плоскость К так, чтобы ни одна из осей не
совпадала с направлением проецирования, называется аксонометрией.
Выбор плоскости и на-
правления проецирования S
может быть произвольным —
можно получить сколько
угодно видов аксонометрий.
При этом аксонометрические
проекции делятся на прямо-
угольные (S ⊥ K) и косоуголь-
ные (S ⊥ K).
6Лекция 2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ,
МНОГОГРАННИКОВ
2.1. Ортогональные проекции прямой
а) Прямая линия определя-
Прямая восходящая
z z ется двумя точками, а ее про-
l ′′ l ′′ l ′′′ екции — проекциями этих то-
l l ′′′ чек. Прямая, не параллельная
x x
l′
ни одной из плоскостей проек-
l′ y ций, называется прямой обще-
y
го положения.
б) Признаком восходящей
Прямая нисходящая
z z прямой является одинаковое
l ′′ l ′′ l ′′′
направление проекций прямой
l
l ′′′ относительно оси х, а нисходя-
x x щей — разное (рис. 2.1).
l′ Прямая, параллельная
y l′ y
или перпендикулярная плоско-
Рис. 2.1 стям проекций, называется
прямой частного положения.
Прямая, параллельная плоскости проекций, называется линией уров-
ня (рис. 2.2).
Прямая, перпендикулярная к плоскости проекций, называется про-
ецирующей (рис. 2.3).
Примечание: Частные положения прямых имеют важное значение
для решения позиционных и метрических задач, например, отрезок, ||
плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в н.в.
Горизонталь (h||H) Фронталь (v ||V) Профильная (w||W)
z z z
h′′ h′′′ v ′′ w ′′ w ′′′
v ′′′
x y x y x y
v′ w′
h′ y
y y
Горизонтально- Фронтально- Профильно-
проецирующая проецирующая проецирующая
z z z
b ′′ b ′′′
a ′′ a ′′′ c′′ c′′′
x y x y x y
c′
a′ b′
y y y
Рис. 2.2-2.3
72.2. Ортогональные проекции плоскости
Задание плоскости
Плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной пря-
мой. На ортогональном чертеже плоскость может быть задана тремя точ-
ками, двумя ∩ прямыми, двумя || прямыми, прямой и точкой, плоской фи-
гурой.
Задание плоскости прямыми, по которым эта плоскость пересекает
плоскости проекций, называется заданием плоскости следами (рис. 2.5).
Точки пересечения следов по осям x, y, z называются точками схода
следов плоскости. Расстояния от точек схода следов до начала координат
называются параметрами плоскости. Каждый след плоскости определяется
двумя параметрами и, следовательно, два следа плоскости определяют три
ее параметра, т.е. положение в пространстве.
Плоскость, заданная тремя параметрами (тремя числами), имеет ана-
литическое задание. Так, например, плоскость Q(20,14,16) определяется
x y z
уравнением + + = 1, называемым уравнением в отрезках. Умение
20 14 16
связать задание плоскости графически и аналитически имеет важное зна-
чение в задачах автоматизации проектирования, в частности, в автомати-
зации чертежно-графических работ.
Поэтому нужно уметь задавать ту или иную информацию как графи-
чески, так и аналитически; (если это возможно), так как аналитическое за-
дание это самый простой алгоритм ввода информации в ПК. Если анали-
тически информацию задать невозможно (или она имеет сложные форму-
лы), используют логические операции и возможности средств компьютера
для задания графической информации и работы с ней.
Плоскости общего положения. Плоскость, не ⊥ и не || ни одной из
плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.
Различают восходящие и нисходящие плоскости общего положения.
При обходе проекций вершин в одном и том же направлении у восходящей
плоскости вершины располагаются на обеих проекциях одинаково, а у нис-
ходящей — различно. При этом восходящую плоскость иногда называют
односторонне видимой (на той и другой плоскости проекций видим одну
сторону плоскости), нисходящую плоскость — двухсторонне видимой.
Плоскость Q общего положения, заданная следами, имеет три следа
(рис. 2.5). Все следы плоскости общего положения наклонены к осям про-
екций.
8Тремя Двумя ∩-ми Двумя ||-ми Прямой Плоской
точками прямыми прямыми и точкой фигурой
B ′′ a ′′ α ′′
C′′ a ′′ a ′′
A ′′ b ′′ b ′′
x b ′′
x x x x
a′ a′ a′ α′
A′ b′
b′ b′
C′
B′
Рис. 2.4
Задание плоскости общего положения следами
z z
Qz Qz
QV QV QW
QW
Qx Qx Qy
x x y
QH Qy QH
y Qy
y
Рис. 2.5
Плоскости частного положения
Плоскость, || или ⊥ к плоскости проекций, называется плоскостью
частного положения.
Плоскости, ⊥ плоскости проекций, называются проецирующими
(рис. 2.6).
Проекции всех точек проецирующей плоскости и всех линий фигур,
лежащих в ней, принадлежат вырожденной проекции (следу) плоскости, к
которой она ⊥. Это является важным свойством при решении многих задач
в н.г.
Плоскости, || плоскостям проекции, называются плоскостями уровня
(рис. 2.7). Плоскости уровня одновременно ⊥ к двум плоскостям проекций
и поэтому обладают свойствами проецирующих плоскостей.
В табл. 2.1 приведена классификация плоскостей, заданных плоской
фигурой на всех трех координатных плоскостях.
Горизонтально- Фронтально- Профильно-
проецирующая проецирующая проецирующая
Q′′ z
R′′′
x x x
Σ′
y
Рис. 2.6
9Горизонтальная (Σ||H) Фронтальная (Q||V) Профильная (R||W)
z
Σ ′′
R′
x x x
Q′
R′′
y
Рис. 2.7
Классификация расположения плоскостей
ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ
Горизонтально- Фронтально- Профильно-
проецирующая проецирующая проецирующая
z z z
B′′ B′′′
A′′ A ′′′
A′′ B ′′ A′′′=B′′′
B ′′ B ′′′
A ′′
A′′′ C ′′
C′′ C′′′ C′′′ C′′ C′′′
x y x y x y
A′ A′ C′
B′
C′
C′ A′ B′
y y y
B′
ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ
Горизонтальная Фронтальная Профильная
z z z
B′′ A ′′
B ′′′ A ′′′
C′′ C′′′
A ′′ B′′ C′′ A ′′′ C ′′′ B ′′′
B ′′
A′′ A ′′′
C ′′ B ′′′
C ′′′
x y x y x y
A′ B′
A′
C′ A ′ B′ C′
B′ y y y
C′
Рис. 2.8. Плоскости уровня
2.3. Изображение многогранников
Многогранник — пространственная фигура (трехмерное тело), огра-
ниченное конечным числом плоских многоугольников (граней).
Наиболее простыми трехмерными телами являются многогранники.
К ним относятся пирамида, призма, куб и т.д.
Построение проекция геометрического тела сводится к построению
проекций точек и линий этого тела.
10Лекция 3.
ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА
ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ
Задачи, в которых определяется взаимное положение фигур относи-
тельно друг друга, называются позиционными.
К ним относятся задачи на взаимопринадлежность (взять точку на
линии или плоскости, провести прямую в плоскости) и задачи на пересе-
чение (найти точку пересечения прямой с плоскостью, линию пересечения
двух плоскостей).
3.1. Взаимное положение двух точек
Две точки пространства могут совпадать или не совпадать.
Если точки совпадают, то совпадают и их проекции. Если же точки
не совпадают, то их проекции различны или, по крайней мере, не должна
совпадать одна пара их проекций (рис. 3.1).
Конкурирующими называются точки, расположенные на одной проеци-
рующей прямой. Признак: проекции этих точек совпадают в одну точку на той
плоскости, к которой их носитель (проецирующая прямая ⊥). Рис. 3.2.
При определении видимости используют критерий видимости кон-
курирующих точек: из двух горизонтально-конкурирующих точек видна
та, которая выше, из двух фронтально-конкурирующих точек видна та, ко-
торая ближе, и из двух профильно-конкурирующих точек видна та точка,
которая расположена левее.
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК
Точки совпадают Точки общего положения Профильные точки
A ′′=B ′′ A′′ A′′
B′′ B′′
x x x
B′
B ′
A′=B′
A′ A′
Рис. 3.1
КОНКУРИРУЮЩИЕ ТОЧКИ
Горизонтально- Фронтально- Профильно-
конкурирующие конкурирующие конкурирующие
z
A ′′ A ′′ B ′′ A ′′′=B ′′′
A ′′=B ′′
x B ′′ x x y
A′
A ′=B ′ B′ y
A′ B′
Рис. 3.2
113.2. Взаимное положение точек и прямой
Взаимное положение точек и прямой На рис. 3.3 т. А лежит на прямой,
D′′ т.к. соблюдается свойство принадлеж-
B ′′ m′′
C′′ ности, т.е. А′ ∈ m′ и А′′ ∈ m′′, свойство
A ′′
x
существования — обе проекции А′ и А′′
находятся на одной линии связи.
A′ D′ m′ Точки В, С и D на прямой не ле-
B′
C′
жат. Т. В находится над прямой m, т. С
Рис. 3.3 под прямой, т. D над и перед прямой m.
3.3. Взаимное положение двух прямых
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Прямые могут пересекаться,
Прямые пересекаются
быть параллельными, скрещиваться
a ′′
K′′ и совпадать (рис. 3.4).
b′′ 1. Прямые пересекаются
x У них одноименный проекции
b′
a′
попарно пересекаются К′= a′∩b′; K′′=
K′ a′′∩b′′ а точки пересечения K′ и K′′
лежат на одной линии связи.
Прямые параллельны 2. Прямые параллельны, если
a ′′
a ′′
b′′ они не имеют общей точки. При-
b′′
знак: их проекции попарно парал-
x x
лельны a′ || b′ и a′′ || b′′ по свойству ||-
a′=b′ ти.
b′
a′ 3. Прямые скрещиваются, ес-
ли они не || и не ∩. На чертеже точ-
Прямые скрещиваются a ′′ ки пересечения проекций не лежат
b′′ на одной линии связи. В частности,
b′′
a ′′ на одной плоскости проекций про-
x x
a′ b′ екции скрещивающихся прямых мо-
b′ гут быть ||.
a′
4. Прямые совпадают, если
Прямые совпадают
совпадают попарно их проекции на
a ′′=b ′′ каждой плоскости проекций.
Примечание: Для определения вза-
x имного положения профильных
a′=b′
прямых следует построить про-
фильные проекции данных прямых.
Рис. 3.4
123.4. Взаимное положение точки и плоскости
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит одной из пря-
мых этой плоскости (рис. 3.5 а).
Для определения взаимного положения точки и плоскости общего
положения следует провести на данной плоскости какую-нибудь вспомо-
гательную прямую, конкурирующую с данной точкой, и определить вза-
имное положение точки и вспомогательной прямой (рис. 3.5 б).
Если точка будет принадлежать вспомогательной прямой, то она
принадлежит и плоскости.
Если точка окажется вне прямой, то она находится и вне данной
плоскости. На рис. 3.5 б т. М принадлежит плоскости α(АВС): т. L нахо-
дится перед плоскостью, ибо т. L по сравнению с конкурирующей т. 3
(прямой 1-С) плоскости лежит ближе и над плоскостью, ибо т. L лежит
выше по сравнению с конкурирующей точкой 4 (прямой 5-С) плоскости
α(АВС).
Если точка находится в проецирующей плоскости, то ее проекция
принадлежит вырожденной проекции плоскости (т. N ∈ Z).
Определение видимости точки по отношению к плоскости на коор-
динатных плоскостях определяется по конкурирующим точкам плоскости.
Так, точка L, конкурирующая на фронтальную плоскость V в т. 3, на фрон-
тальной плоскости будет видима, так как лежит ближе. Точка L на гори-
зонтальной плоскости также видима, так как она лежит выше конкури-
рующей точки 4 плоскости α(АВС).
a) б) B ′′ в)
a ′′ N′′
1′′ M′′ Σ ′′
b′′ 1′′ α ′′=3 ′′
2′′ 2′′
5′′ 4 ′′
N′′
C ′′
x A ′′
x
B′
1′
N′ 5′ 3′
2′
α ′=4 ′ 2 ′ N′
1′ A′
M′
C′
b′
a′
Рис. 3.5
3.5. Взаимное положение прямой и плоскости
Прямая может занимать относительно плоскости следующие поло-
жения: лежать в плоскости, быть || плоскости, пересекать плоскость, быть
⊥ плоскости.
Прямая в плоскости
Прямая лежит в плоскости, если две точки этой прямой принадлежат
13плоскости (Рис. 3.6).
Прямая а принадлежит плоскости Прямая b принадлежит
общего положения α (АВС) проецирующей плоскости Q (Q ′′)
B′′
2′′ a ′′
1′′ Q′′=b′′
C′′
A′′ a ∈ α (АВС);
x (1∈l) ∈ α ∧; x
A ′ ( 2∈l) ∈ α.
b′
1′ 2′ a′
C′
B′
Рис. 3.6
Главные линии плоскости
1. Горизонталь плоскости — прямая, лежащая в плоскости и || гори-
зонтальной плоскости проекций (рис. 3.7 а).
2. Фронталь плоскости — прямая, лежащая в плоскости и || фрон-
тальной плоскости проекций (рис. 3.7 б).
3. Профильная прямая плоскости — прямая, лежащая в плоскости и ||
профильной плоскости проекций (рис. 3.7 в).
При построении главных линий плоскости используют особенности
расположения проекций этих линий относительно осей проекций. При по-
строении, например, горизонтали сначала проводят фронтальную проек-
цию h′′ || оси Qx.
Примечание: В любой плоскости частного положения также можно
провести главные линии плоскости, при этом линии будут занимать част-
ное положение.
а) б) в)
B′′
A ′′ B′′
1′′
1′′ 2′′
1′′ h′′
A′′ P′′
f ′′
A′′ 2′′
C′′ B ′′ C′′ C′′
x x x
B′ B′ 1 ′
h′ C′
A′
1′ C′ f′ C′
1′ 2′
2′
A′
A′ B′
Рис. 3.7
14Лекция 4. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПЕРЕСЕЧЕНИЕ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
4.1. Прямая параллельна плоскости, если она || какой-либо пря-
мой, лежащей в плоскости. На рис. 4.1 а прямая l || прямой СВ, и на рис. 4.1
б прямая l || 1-2 (1-2 ⊂ АВС).
a) B ′′ б) B ′′
l ′′ l ′′
C′′ A′′ 1 ′′ 2 ′′
A′′
x x C′′
C′ B ′′
A′ A′
l′ 1′ 2′
l′
B′ C′′
Рис. 4.1
4.2. Частные случаи пересечения прямой с плоскостью
Точка ∩ проецирующей а) б)
l ′′ B ′′
прямой l с пл. α(АВС) общего по- l ′′
ложения (рис. 4.2 а) определяется K′′ K ′′
A ′′ 1′′
Σ ′′
из условий ∈ т. К пл. α. C′′
x x
Точка ∩ прямой l с проецирую- B′ K′
K′ l ′ l′
A′ 1′
щей плоскостью Σ (рис. 4.2 б) оп-
ределяется в ∩ вырожденной C′
проекции Σ′′ с проекцией l′′. Рис. 4.2
4.3. Частные случаи пересечения плоскостей
Обе задачи решаются на основе вырожденных свойств проецирую-
щих плоскостей. Рис. 4.3.
а) б)
C′′ 2 ′′
1′′
A ′′ 2′′
Σ ′′
1 ′′
x B′′ x
A′ 1′ Q′
C′
2′ 1′=2′ Σ′
B′
Рис. 4.3
154.4. Пересечение прямой и плоскости общего положения
Для определения точки пересечения прямой с плоскостью следует:
1. Провести через данную прямую вспомогательную плоскость.
2. Построить линию пересечения заданной и вспомогательной плос-
костей (рис. 4.5).
3. Отметить точку пересечения заданной прямой с построенной ли-
нией пересечения плоскостей. Эта точка и будет искомой.
4. Определить видимость.
На рис. 4.5 дана плоскости АВС общего положения и прямая l, пере-
секающая эту плоскость. Задача решена поэтапно:
1 этап. Через прямую l проведена вспомогательная фронтально-
проецирующая плоскость Σ′′.
2 этап. Определена прямая (1-2) пересечения проецирующей плоско-
сти Σ с заданной плоскостью α(АВС).
3 этап. Определена т. К пересечения прямой 1-2 с заданной прямой.
Т. К является искомой точкой.
4 этап. Определена видимость прямой l относительно плоскости по
конкурирующим точкам 3-4 и 5-6.
1 этап 2 этап
B′′ B′′ B′′
1′′
A ′′ A ′′ A ′′ 2′′
l ′′ l ′′=Σ ′′ Σ ′′
C′′ C′′ C′′
x x x
A′ l′ A′ l′ A′ 1′ l′
B′ B′ B′
2′
C′ C′ C′
3 этап 4 этап
B′′ 6′ B′′ B ′′
1 ′′ 3′′=4′′
K ′′ ′′ ′′ K ′′
A ′′ 2 A A ′′
5′
Σ ′′ l′′ l′′
x C ′′ x C′′ x C ′′
A′ 1′ l′ A′ 3′ l′ A′ l′
5 ′=6 ′
K′ K′
B′ 4′ B′ B′
2′
C′ C′ C′
Рис. 4.5
164.5. Пересечение прямой с координатными плоскостями (следы прямой)
Следом прямой называет точку пересечения прямой с плоскостью
проекций. Прямая общего положения имеет три следа: горизонтальный,
фронтальный и профильный.
Прямые частного положения имеют один или два следа: проеци-
рующие прямые имеют один след, прямые уровня — два следа. Так как
любая координатная плоскость проекций является проецирующей на дру-
гие координатные плоскости, то задача построения следа прямой сводится
к задаче нахождения точки пересечения прямой с проецирующей плоско-
стью. Так, например, построение горизонтального следа l′Н прямой l(АВ)
(рис. 4.6 а, б) определяется в пересечении фронтальной проекции l′′ с осью
Qx.
а) б)
V lV ′′ lV ′′
B′′ B ′′
l ′′
A′′ l A′′
x lH ′′ x
′ lH ′′ lV ′
B ′ lV
A′ l′
B′
lH ′ H
A′
lH ′
Рис. 4.6
4.6. Взаимно параллельные плоскости
Две плоскости и ||, если две ∩ прямые одной плоскости || двум ∩
прямым другой плоскости (рис. 4.7 а). У || проецирующих плоскостей вы-
рожденные проекции (Σ′ и ∆′) параллельны (рис. 4.7 б), у || плоскостей их
одноименные следы также взаимно параллельны (рис. 4.7 в).
а) б) в)
Σ ′′
B ′′
∆ ′′ PV
QV
A ′′
t ′′
C′′ l ′′
Px Qx
x x x
C′ l′ Σ′
A′
∆′
t′
QH
B′ PH
Рис. 4.7
174.7. Прямая линия пересечения двух плоскостей общего положения
Прямая линия общего положения определяется поиском двух точек,
одновременно принадлежащих обеим плоскостям.
Задача может быть решена двумя способами:
1) способом ввода двух вспомогательных секущих плоскостей част-
ного положения (рис. 4.8 а);
2) способом двойного нахождения точек пересечения двух прямых
одной плоскости с другой плоскостью (рис. 4.8 б).
На рис. 4.8 а продемонстрировано решение задачи на ∩ двух плоско-
стей способом секущих плоскостей в следующей последовательности:
1) заданные плоскости a(АВС) и β(a||b) рассекли двумя вспомога-
тельными секущими плоскостями Σ1 и Σ2;
2) определили прямые 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, по которым вспомога-
тельные плоскости пересекают каждую из плоскостей;
3) определили точку пересечения К1 линий пересечения 1-2 и 3-4 и
точку пересечения К2 линий пересечении 5-6, 7-8;
4) прямая К1-К2 будет искомой линией пересечения двух плоскостей.
На рис. 4.8 б показано решение задачи на ∩ двух плоскостей спосо-
бом двойного решения задачи на пересечение прямой с плоскостью:
1. Определена т. К1 и пересечения прямой DE с плоскостью АВС.
2. Определена т. К2 пересечения прямой EF с плоскостью АВС.
3. Прямая К1-К2 — искомая линия.
4. Видимость определена способом конкурирующих точек.
Во втором способе также, в принципе, используется способ секущих
плоскостей (он заложен в алгоритм нахождения точки пересечения прямой
с плоскостью), но секущие плоскости проходят не произвольно, а через
прямые DE и EF.
а) б)
a ′′
1′′ 2′′ Σ ′′
c ′′
K1 ′′ d′′ E ′′ ′′ C′′
3 ′′ 2 ′′ 3
5′′ 4 ′′ K2 ′′
K2 ′′ Σ1 ′′ A′′
K1′′ 4′′ Q′′
6′′
b′′ 1′′ F ′′
Σ2 ′′ D ′′
X x
a′ E′ B′
4′
1′ 4′
2′ 6′ 1′ C′
3′ 3′
b′ A′ 2′
5′ F′
D′
K1 ′ K2 ′
Рис.4.8
18Лекция 6. МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ПРОЕКЦИЙ
Задачи, в которых определяются натуральные величины (н.в.) отрез-
ков прямых, плоских фигур, углов и т.д., называются метрическими зада-
чами.
В основе решения любой метрической задачи лежат свойства кон-
груэнтности и теорема о проецировании прямого угла (см. Лекцию 1).
Геометрические фигуры проецируются на плоскость в общем случае
с искажением. Однако некоторые свойства оригинала сохраняются и на его
проекции. Такие свойства называются инвариантными (независимыми) и
приведены в табл. 1.1.
C Для ортогонального про-
S
ецирования теорема о проециро-
A B
вании прямого угла:
Прямой угол проецирует-
90° 90° Aα Bα ся в натуральную величину, ес-
ли одна из сторон параллельна
Cα
плоскости проекций, а вторая не
Рис. 6.0
перпендикулярна к этой плоско-
сти (рис. 6.0).
6.1. Определение н.в. отрезка прямой общего положения методом пря-
моугольного треугольника
Графически н.в. отрезка прямой общего положения равна гипотенузе
прямоугольного треугольника, у которого одним катетом будет любая из
проекций отрезка, вторым катетом — высота или глубина одного из кон-
цов отрезка относительно другого (рис. 6.1).
Аналитически длина отрезка вычисляется по формуле:
AB = (x B − x A )2 + ( y B − y A )2 + (z B − z A )2 = A′B ′ + ( A′1′′)2 .
2
′′ ′′
′′ ′′
′′
′
′
′
′
Рис. 6.1
При определении н.в. отрезка попутно решается задача определения
19угла наклона прямой и плоскости проекции: α — угол наклона прямой l к
Н, β — угол наклона прямой l к V.
6.2. Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум
пересекающимся прямым этой плоскости.
Если в плоскости взять пересекающиеся горизонталь и фронталь, то
можно воспользоваться свойствами проекций прямого угла.
Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необхо-
димо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпен-
дикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция
— фронтальной проекции фронтали (рис 6.2 а, б).
Если плоскость задана следами, то прямая, ⊥-ная к ней, будет изо-
бражена проекциями прямой, ⊥-я к одноименным следам плоскости (здесь
имеем горизонтальный след — горизонталь плоскости, фронтальный след
— фронталь плоскости) (рис. 6.2 в).
Если прямая ⊥-я к проецирующей плоскости, то прямая должна
быть, в свою очередь, линией уровня (рис. 6.2 г). AK || H, AK || Σ.
′′
′′
′′
′′
′′
′ ′
′ ′
′′ ′′
′′
′′ ′′ ′′
′′
′′ ′′
′′
′′
′ ′
′
′ ′ ′
′ ′ ′
′ Σ′
′
Рис. 6.2
206.3. Перпендикулярность двух плоскостей
Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит
через перпендикуляр к другой плоскости.
Таким образом, чтобы построить плоскость, перпендикулярную за-
данной плоскости, необходимо сначала построить прямую, перпендику-
лярную данной плоскости, и через эту прямую провести искомую плос-
кость.
На рис. 6.3 а показано построение плоскости β(n ∩ m), проходящей
через точку К, перпендикулярной плоскости треугольника АВС и парал-
лельной заданной прямой l, (последнее условие определяет единственное
решение задачи).
Решение: вначале, опускаем из точки К перпендикуляр h на плос-
кость треугольника АВС, для чего проводим горизонталь h и фронталь V
плоскости треугольника, и затем строим n′⊥ h′ и n′′⊥V, и через точку К
проводим прямую m,параллельную прямой l.
Две пересекающиеся прямые m и n определяют искомую плоскость,
перпендикулярную заданной плоскости.
Аналогично решатся и задачи о построении перпендикулярной плос-
кости к плоскости, заданной следами. На рис. 6.3 б решена такая задача.
Кроме того, плоскость Р проведена и перпендикулярно плоскости Н.
′′
′′ ′′
′′ l ′′
′′ ′′
′′ ′′
′′
′ ′
′ l′
′
′
′ ′=P H
′
′
Рис. 6.3
6.4. Линия ската и углы наклона плоскости к плоскостям проекций
Линией наибольшего ската (ЛНС) называется прямая плоскости, пер-
пендикулярная к горизонтальному следу или горизонталям этой плоскости
(рис. 6.4 а, б).
При помощи линии ската определяется угол наклона данной плоско-
сти к плоскости Н.
Натуральная величина наклона плоскости (в частности, линии ската)
21может быть на ортогональном чертеже определена с помощью прямо-
угольного треугольника.
Аналогично могут быть определены углы наклона плоскости и к
плоскостям проекций V и W. Для этого используются прямые наибольшего
уклона данной плоскости к соответствующим плоскостям проекций.
Прямые наибольшего уклона, перпендикулярные фронталям плоско-
сти, образуют наибольший угол с фронтальной плоскостью. Прямые наи-
большего уклона, перпендикулярные профильным прямым плоскости, об-
разуют наибольший угол с профильной плоскостью проекций.
Угол, образованной между прямой наибольшего уклона и ее проек-
цией на выбранную плоскость проекций, определяет угол наклона плоско-
сти общего положения к плоскости проекций.
На эпюре данный угол т н.в. соответствующих отрезков могут быть
определен методом прямоугольного треугольника.
′′ ′′
′′ ′′
′′ ′′
′′ ′
′
′
′
′
′
′
Рис. 6.4
22Лекция 7. METOД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОЕКЦИЙ
Позиционные и метрические задачи решаются проще, если геомет-
рические фигуры занимают по отношению к плоскостям проекций частные
положения (перпендикулярные или параллельные).
Такие положения можно достичь способами вращения фигур или
способами изменения плоскостей проекций.
Способ вращения состоит в том, что объект вращают в пространстве
вокруг выбранной оси до требуемого положения относительно плоскости
проекций. Точки вращаемого объекта описывают дуги окружностей, ле-
жащих в плоскостях, ⊥-х к оси вращения, а центры этих окружностей рас-
полагаются на оси вращения, в пересечении плоскостей вращения с осью
вращения. Поэтому при вращении важно определить: ось вращения, плос-
кость вращения, центр вращения, радиус и угол вращения.
7.1. Вращение точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости про-
екции
Точка А (А′, А′′) при вращении перемещается в плоскости, парал-
лельной плоскости Н, по дуге окружности, радиус R которой также парал-
лелен плоскости Н и проецируется на плоскость, Н без искажения.
Таким образом, при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной
к одной из плоскостей проекций, проекция точки на эту плоскость пере-
мещается по дуге окружности радиуса вращения; проекция же точки на
другую плоскость перемещается по прямой, параллельной оси проекции
(рис. 7.1).
i′
′′ ′′ ′′ ′′ ′′
′
i ′=0′
′ i ′=0′
′
′ ′
Рис. 7.1
7.2. Вращение прямой
Вращение прямой вокруг оси, ⊥ плоскости проекция, осуществляет-
ся поворотом в общем случае двух точек на один и тот же угол. Однако,
задача может быть решена вращением перпендикуляра 01 к отрезку АВ,
как показано на рис. 7.2 а.
Вращение прямой упрощается, если ось вращения проходит через
23прямую — поворачивается лишь одна точка.
На рис. 7.2 б прямая вращением одной т. А приведена в положение, ||
пл. V.
′′ B1 ′′
′′
′′
′′
′′
B1 ′ ′
′ i ′=0′ ′
′
′
′ ′
Рис. 7.2
7.3. Вращение плоскости вокруг проецирующей оси
Н.в. плоской фигуры общего положения определяется последова-
тельным вращением вокруг осей, ⊥-х к плоскостям проекций.
На рис. 7.3 а первым вращением вокруг оси i1⊥Н плоскость преоб-
разована во фронтально-проецирующую. Для этого горизонталь С-1 при-
ведена в положение ⊥V. Вторым вращением вокруг i2 ⊥V плоскость АВС
приведена в положение, || пл. Н.
Проекция А2′В2′С2′ — н.в. ∆АВС.
На рис. 7.3 б плоскость, заданная следами, приведена во фронтально
проецирующее положение.
7.4. Вращение вокруг линии уровня
Точка при вращении вокруг линии уровня, например, вокруг гори-
зонтали, вращается по окружности, причем в плоскости, ⊥-й оси вращения
h. Центр вращения О находится на оси вращения, а величина радиуса вра-
щения равна расстоянию от точки А до оси вращения.
Окружность — траектория движения т. А на пл. Н проецируется в
отрезок прямой, ⊥-й h′. На пл. V окружность проецируется в эллипс, по-
строение которого не делают. Рис. 7.4.
Чтобы определить н.в. радиуса вращения, можно воспользоваться
способом прямоугольного треугольника (см. рис. 6.1).
Определение н.в. плоской фигуры вращением вокруг линии уровня
осуществляется поворотом одной или двух точек плоскости до плоскости
уровня.
Точки А, 1 плоскости, принадлежащие горизонтали (рис. 7.5), оста-
ются неизменными, ибо h ⊂ АВС — по условию алгоритма вращения. Поэто-
24му достаточно повернуть т. В до положения уровня (см. выше). Новое поло-
жение т. С можно определить как т. В, однако, зная, что вращение т. С осуще-
ствляется ⊥ оси h, находим пересечение прямой В1′1′ с ⊥-м С1′С′.
′′ ′′=i2′′ ′′ A2 ′′
i1 ′′
′′ ′′
′′ i ′′
′′
′ ′
′=i′ ′
′
′
′
′=B 2′
′ i2 ′
′ ′
Рис. 7.3
′′
α′′
′′ ′′
′′
′ ′
α′
′
′
′ ′ ′
′
′
Рис. 7.4
25′′
′′
′′
′′ ′′ ′′ ′′
′′ ′′ ′′ ′′ ′′
′
′ ′
′
′ ′ ′
′ ′ ′
′ ′ ′
′
′ ′
′
Рис. 7.5
7.5. Способ совмещения
Совмещение является частным случаем вращения вокруг линии ну-
левого уровня (следов плоскости). За ось вращения выбирается горизон-
тальный или фронтальный след (нулевые горизонталь или фронталь).
На рис. 7.6 показан алгоритм совмещения плоскости Q с плоскостью
Н. Вращение т. Н полностью соответствует алгоритму вращения т. вокруг
линии уровня.
′′ На рис. 7.7 определена н.в. се-
′′
чения призмы плоскостью общего
положения вращением вокруг гори-
′′
′ зонтального следа (нулевой гори-
′
зонтали).
′
Рис. 7.7
На рис. 7.8. и рис. 7.9 определена н.в. фигуры (треугольника), на-
ходящейся в проецирующей плоскости. Здесь совмещение является част-
ным случаем вращения плоскости вокруг проецирующей оси: на рис.
7.7 — вращение вокруг горизонтально проецирующей оси; на рис.7.9 —
вращение вокруг фронтально проецирующей оси.
Рис. 7.9
26Лекция 8. СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
Способ замены плоскостей проекций позволяет приводить гео-
метрические фигуры в частное положение заменой «старых» коорди-
натных плоскостей «новыми».
При этом изменение должно быть таким, чтобы геометрические объ-
екты всегда проецировались на две взаимно перпендикулярные плоскости.
8.1. Способ замены плоскостей проекций на примере с точкой
V
Пусть в системе плоскостей x дана точка А (А′, А′′). Заменим
H
плоскость V на V (V1 ⊥ Н).
V V
x → x1 1 . (8.1)
H H
Из 8.1 видно, что плоскость меняется на V1, пл. Н остается неизмен-
ной.
Плоскость V1 пересекается с пл. Н по прямой х1, которая определя-
ет новую ось Ох1. Для определения проекций А1′′ по новой плоскости V1,
достаточно спроецировать ее ортогонально.
Из рис. 8.1 видно, что Ax A1′′ = Ax A′′ (высоты равны).
Эпюр (плоский чертеж) получается совмещением плоскости V1
⊂ Н, при этом Ax′-A1′′⊥ x1, Ax1A1′′ = Ax A′′.
Аналогично можно провести замену горизонтальной плоскости Н на
V V
новую плоскость Н1 по схеме x → x1 .
H H1
′′
′′
′′
′′
′
′
Рис. 8.1
При решении задач встречается необходимость делать замену после-
довательно два, три и более раз. Каждый переход осуществляется на осно-
ве изложенной закономерности — построения третьей проекции по двум
заданным. Так, например, построение новых проекций т. А на новых плос-
костях V1 и Н1 Поможет быть осуществлено по схеме
V V V
x → x1 1 → x2 1 .
H H H1
278.2. Решение метрических задач способом замены плоскостей про-
екций
Пример 1. Отрезок прямой про- A ′′
ецируется в н.в., если он расположен || B ′′
пл. проекций. x
V
На рис. 8.2 заменяем пл. V пл. H
B′
V 1 , || АВ.
Для этого проводим ось х1 || А′В′ и A′
находим т. А1′′, В1′ в пл. V1. x1
H
. B1 ′′
Проекция А1′′В1′′ определяет н.в. отрез- V1 н.в
ка АВ, угол αH — угол наклона прямой A1 ′′
АВ к Н.
Рис. 8.2
Пример 2. Определение н.в. плоской фигуры (АВС) производится
выбором новой плоскости, || пл. ∆ АВС.
V
Плоскость АВС (рис. 8.3) в является плоскостью общего положе-
H
ния. Сразу выбрать новую плоскость, || к заданной и ⊥ той или иной коор-
динатной плоскости невозможно. Поэтому делаем двойную замену по схе-
ме:
V V V
x → x1 1 → x2 1 .
H H1 H1
Первую плоскость V1 выбираем ⊥ к плоскости АВС. Для этого ось х1,
проводим ⊥ горизонтали А-1 ∈ пл. Вторую новую плоскость Н1 выбираем
|| ∆ АВС, что будет соответствовать выбору новой оси x2||A1′′B1′′C1′′.
Пример 3. Определить расстояние между || прямыми (рис. 8.4)
Расстояние между || прямыми измеряется отрезком перпендикуляра к
этим прямым. На рис. задача решена способом замены плоскостей проек-
ций: двойной заменой прямые приведены в положение, ⊥-е к пл. Н1.
Искомое расстояние равно отрезку К1′N1′. Проекция K1′′N1′′ на пл.
V1 взята произвольно, но || оси x2 (по условию, что К1′N1′— н.в.).
′′ B ′′ D′′
′′
′′ A ′′
′′ ′′ C′′
xV
′′ H B′
D′
′
′′ A′ C′
′ ′
C1 ′′ K ′′
H
1 D1 ′′ C1 ′=D1 ′=K1 ′
′ ′′ ′′ ′′ x1 V1 A1 ′′ н.в.
′′ N1 ′′ B1 ′′
A1 ′=B1 ′=N1 ′
V1 H1
x2
Рис. 8.3 Рис. 8.4
28Пример 4. Определить рас-
C′′ стояние между 2-мя скрещиваю-
B′′ щимися прямыми АВ и СD.
A′′
D′′
Искомое расстояние — отре-
xV зок ⊥-pa к обеим прямым. Если
H D′
одна из прямых, || пл. проекций, то
искомый отрезок будет располо-
C′ B′ жен || пл. проекций и проецируется
A′
H
A1 ′=B1 ′=K1 ′ на нее без искажения. Таким обра-
x1
V1 K1 ′′ D1 ′′ D1 ′ зом, необходимо выбрать новую
A1 ′′ B1 ′′ н.в.
пл. проекций, ⊥ к из прямых. Так
N1 ′
N1 ′′ как каждая из прямых общего по-
C1 ′′ V1 H1 C1 ′
x2 ложения, то задача решается двой-
ной заменой плоскостей проекций.
Рис. 8.5 K1′N1′ — искомый отрезок. K1′′N1′′
на пл. V1 располагается || Ох1. Рис.
8.5.
′′
′′ Пример 5. Определить рас-
′′
стояние от т. М до плоскости АВС.
′′
′′
Задача решается проще, если
′′ плоскость занимает проецирующее
′′ ′ положение. На рис. 8.6 пл. AВС при-
′
′
ведена в проецирующее положение
′ ′ ′′ на пл. V1
′
′′
На пл. V1 преобразована и т. М.
′ ′′ Перпендикуляр из т. М1′′ на
′′ А1′′В1′′С1′′ определяет наикратчайшее
′′ (н.в.) расстояние от т. М до пл.
АВС.
Рис. 8.6 При построении проекции М′N′ надо
помнить, что ⊥ к проецирующей
плоскости является линией уровня,
т.е. на пл. Н. M′N′ || x1.
Пример 6. Определить величину двугранного угла при ребре АВ
Двугранный угол (угол между двумя пересекающимися плоскостя-
ми) измеряется линейным углом, образованным: плоскостью сечения, ⊥ к
ребру. Этот угол, проецируется в н.в. на плоскость, ⊥-ую к ребру, Нa рис.
8.7 последовательной заменой добиваемся ⊥-го расположения пл. H1 к
ребру АВ. Угол α — искомая величина.
29′′
′′
′′
′
′′
′′
′
′ ′
′′
′ ′
′′
′′
′
′′
Рис. 8.7
8.3. Определение н.в. плоского сечения многогранников
Пример 1. На рис. 8.8 н.в. сечения 1-2, 3 определена способом заме-
ны плоскостей проекций по схеме x(V/H)→x1(V/H1).
′
′ ′
′ ′
′
′ ′′′ ′′
′′ ′′′ ′′′
′′
′′ ′′′ ′′ ′′′
′′
′′′
′′ ′′′ i′′
′
′ ′ ′
′ ′
′ ′
′
′
′ i′
Рис. 8.8, 8.9
Пример 2. Т. 1′′, 2′′, 3′′, 4′′ являются (фронтальными проекциями
точек 1, 2, 3, 4 пересечения ребер пирамиды фронтально-проецирующей
плоскостью Р (рис. 8.9). Горизонтальные проекции 1′ 2′ 3′ 4′ этих точек
определяются из условия их принадлежности ребрам пирамиды. Н.в. фигуры
сечения на рис. определена двумя способами — способами замены и совме-
щения (это является и вращением вокруг горизонтали РН и вращением вокруг
фронтально проецирующей оси, если РН взять за такую ось).
30Задание 1. Построение пирамиды
Даны: координаты (по вариантам) точек основания (треугольника и построенно-
му по нему параллелограмма) и высота (расстояния от центра основания до вершины)
Построить:
1.1. Комплексный чертеж пирамиды в 3х проекциях.
1.2. Аксонометрический чертеж (со вторичной проекцией).
1.3. Сечение пирамиды проецирующей плоскостью и его натуральную величину
(методом вращения или ЗПП).
1.4. Построить график ЦФ: F=x+y+z для области ограничений – пирамиды.
Методические рекомендации и указания
На листе формата А3 (горизонтальная ориентация) намечаются: рамка (5 мм свер-
ху, снизу, справа и 20 мм слева), основная надпись (габариты 185х55), оси координат и
для ортогонального и аксонометрического чертежей. Данные выбираются согласно
своему варианту. Заданы три точки А, В и С плоскости основания и высота пирамиды.
По координатам точек строятся комплексный и аксонометрический чертежи. Сначала
построить комплексный чертеж, а затем по полученным точкам построить аксономет-
рический.
1. Параллелограмм строится параллельным переносом одной из сторон треуголь-
ника из начала отрезка (стороны треугольника) в конец отрезка. При этом надо выбрать
такую сторону для переноса, чтобы поместился в координатных плоскостях первого
октанта.
2. Из пересечения диагоналей параллелограмма восстановить перпендикуляр за-
данной длины. Для этого в плоскости АВСD необходимо провести горизонталь и фрон-
таль. Можно в любом месте, главное, чтобы они принадлежали плоскости АВСD. Пря-
мая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости. На рис. гори-
зонталь сначала проведена на фронтальной плоскости, привязана к ней двумя точками,
по которым определяется горизонтальная проекция горизонтали. Фронталь сначала
проведена на горизонтальной плоскости и затем построена на фронтальной плоскости.
Чтобы из точки пересечения диагоналей провести перпендикуляр, надо воспользовать-
ся теоремами:
1) О перпендикулярности прямой к плоскости: прямая перпендикулярна плоско-
сти, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
2) О проецировании прямого угла: Прямой угол проецируется в истинную вели-
чину, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Вторая сторона угла
может занимать любой положение, кроме перпендикулярного – в этом случае две пря-
мые угла вырождаются в одну прямую.
3) О построении перпендикуляра к плоскости: Прямая а перпендикулярна к плос-
кости ОП в том случае, если ее проекции на горизонтальной плоскости перпендикуляр-
на к горизонтали плоскости, а на фронтальной плоскости к фронтали плоскости. Если
плоскость занимает частное проецирующее положение, то перпендикуляр проводится
непосредственно к вырожденной проекции плоскости.
4) О построении перпендикуляра заданной длины
Метод прямоугольного треугольника: сначала решить задачу для произвольной
длины (точку K – взять произвольно), а потом, когда будет определена н.в. выбранного
отрезка по его направлению построить гипотенузу требуемой длины.
3. По методу конкурирующих точек определить видимость ребер и граней
Из двух конкурирующих точек на фронтальной плоскости видна та точка (соот-
ветственно ребро, грань), которая распложена ближе (смотрим на Н – координата y –
больше). Из двух конкурирующих точек на горизонтальной плоскости видна та точка
(соответственно ребро, грань), которая расположена выше (смотрим на V – по коорди-
нате z).
3121’’ S’’ 2’’ z S’’’ 2’’’
31’’ 3’’ B’’ f’’ 3’’’ B’’’
K’’ 2f’’
= C’’
НВ C’’’ 1’’’
11’’ 1’’ h’’
1h’’
41’’ 4’’
4’’’ A’’’
A’’
D’’ D’’’ z
x O S
Сдв
ину
ть
ь
т S’ h’
рну
4’ D’
ве
По K’ C
3’ 1h’
= 2’
1’ C’ B
32
41’ 31’ 21’ 11’ f’
НВ x
85
2f’ D
A’ S’ A
y
B’ D’ C’
y
A(60;50;20), B(40;60;50), 150 B A’
C(20;30;40), D(40;20;10), B’
140
S(65;15;55)
130 A S
s1= 60+50+20 = 130 - ЦФ в т. А 120
s2= 40+60+50 = 150 - ЦФ в т. В
s3=20+30+40 = 90 - ЦФ в т. С 110
s4=40+20+10 = 70 - ЦФ в т. D 100 ЭМФ 312 гр.
s5=65+15+55 = 135 - ? ? ? ? . S Изм. Лист № докум. Подпись Дата
C D
Разраб. Мышкин Литера Лист Листов
0 1 2 3 4 5 6 Пров.
Максимум ЦФ в точке Проекционное
В (40;60;50) = 150 Н. контр.
черчение
Утв.Второй вариант образца «Построение пирами»
33Табл. 1. Варианты координат точек к заданию 1.
Даны A,B,C - точки основания пирамиды, D - точка основания параллелограмма и вер-
шина т. S - пирамиды строятся.
Номер в кл.
A B C h* D** S**
журн.
Ax = 55 Bx = 0 Cx = 120 Dx=65 Sx=74
1-5* Ay = 25 By = 85 Cy = 90 -125* Dy=150 Sy=156
Az = 100 Bz = 60 Cz = 40 Dz=8 Sz=153
Ax = 0 Bx = 50 Cx = 115 Dx=165 Sx=119
6-10 Ay = 50 By = 80 Cy = 10 -140 Dy=40 Sy=151
Az = 85 Bz = 25 Cz = 85 Dz=25 Sz=138
Ax = 20 Bx = 85 Cx = 136 Dx=200 Sx=87
11-15 Ay = 12 By = 80 Cy = 50 -135 Dy=118 Sy=167
Az = 100 Bz = 35 Cz = 85 Dz=20 Sz=144
Ax = 18 Bx = 83 Cx = 136 Dx=201 Sx=122
16-20 Ay = 40 By = 117 Cy = 47 -120 Dy=124 Sy=118
Az = 35 Bz = 6 Cz = 20 Dz= -9 Sz=127
Ax = 0 Bx = 50 Cx = 122 Dx=172 Sx=68
21-25 Ay = 50 By = 110 Cy = 40 -70 Dy=100 Sy=99
Az = 15 Bz = 8 Cz = 85 Dz=38 Sz=100
Ax=18 Bx = 83 Cx = 135 Dx=200 Sx=96
26-33 Ay = 40 By = 111 Cy = 47 -80 Dy=118 Sy=57
Az = 9 Bz = 40 Cz = 30 Dz=61 Sz=111
h* - Направление перпендикуляра в скрипте задаем с учетом знака
** Координаты точек D и S - даны для справок
Табл. 2. Варианты заданий координат точек к заданию 2.
Найти линию пересечение двух плоскостей, определить натураль-
ную величину одной из них.
Номер в журнале A B C D E F
Ax = 115 Bx = 52 Cx = 0 Dx=65 Ex=130 Fx=12
1-5* Ay = 90 By = 25 Cy = 80 Dy=105 Ey=18 Fy=50
Bz = 10 Bz = 80 Cz = 45 Dz=80 Ez=35 Fz=0
Ax = 117 Bx = 52 Cx = 0 Dx=65 Ex=135 Fx=14
6-10 Ay = 9 By = 79 Cy = 48 Dy=86 Ey=36 Fy=0
Az = 90 Bz = 25 Cz = 83 Dz=110 Ez=19 Fz=52
Ax = 116 Bx = 50 Cx = 0 Dx=70 Ex=135 Fx=15
11-15 Ay = 8 By = 78 Cy = 46 Dy=85 Ey=36 Fy=0
Az = 88 Bz = 25 Cz = 80 Dz=108 Ez=20 Fz=52
Ax = 18 Bx = 83 Cx = 135 Dx=67 Ex=0 Fx=121
16-20 Ay = 10 By = 79 Cy = 48 Dy=85 Ey=36 Fy=0
Az = 90 Bz = 25 Cz = 83 Dz=110 Ez=19 Fz=52
Ax = 18 Bx = 83 Cx = 135 Dx=67 Ex=0 Fx=121
21-25 Ay = 90 By = 25 Cy = 83 Dy=110 Ey=19 Fy=52
Az = 10 Bz = 79 Cz = 48 Dz=85 Ez=36 Fz=0
Ax=120 Bx = 48 Cx = 10 Dx=65 Ex=130 Fx=15
26-33 Ay = 10 By = 82 Cy = 52 Dy=80 Ey=38 Fy=0
Az = 90 Bz = 20 Cz = 82 Dz=110 Ez=20 Fz=52
3435
БОЛОТОВ Валерий Павлович
Методические указания по курсу
Начертательная геометрия
Электронные ресурсы
в Интернете:
vm.msun.ru
в Интранете:
vm
Владивосток 2012
36Вы также можете почитать
