АНАНИЧЕВ ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ - УРФУ
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
Ананичев Дмитрий Сергеевич
Доцент кафедры алгебры и фундаментальной информатики ИЕНиМ УрФУ
• Председатель жюри регионального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике (3 года)
• Председатель жюри г.Екатеринбурга международной олимпиады
школьников по математике "Турнир городов" (22 года)
• Председатель жюри ежегодного открытого математического
турнира СУНЦ УрФУ (3 года)
Член жюри многих других математических олимпиад школьников и студентовРассуждение — основное оцениваемое действие участника математической олимпиады. Задача обучения рассуждению для большинства школьников и школ всегда была сложной. Регулярного универсального эффективного Способа по-видимому пока нет. Наиболее эффективной оказывается тренировка на примерах.
В настоящее время базы олимпиадных задач
в печатной литературе и интернете
весьма обширны
Книги:
"Ленинградские математические кружки", ...
Сайты:
olympiads.mccme.ru/vmo/ (всероссийская)
www.turgor.ru (турнир городов)
lyceum.urfu.ru/contest/?id=2 (турнир СУНЦ)
...….
(Всё легко находится поисковиками)В целом нестандартные олимпиадные задачи
позволяют выделить довольно небольшое число
стандартных идей, позволяющих упростить рассуждения
или хотя бы приступить к ним.
На матмехе традиционно (более 40 лет)
проводятся занятия Школы Юных Математиков.
В настоящее время директором ШЮМ является
аспирант кафедры алгебры и фундаментальной информатики
Насыров Илья Александрович.
Сайт ШЮМ (и ШОП) https://symsop.ruПрограмма ШЮМ 1. Принцип Дирихле. 2. Принцип крайнего. 3. Неравенства. 4. Поиск инварианта. 5. Раскраски. 6. Игры. 7. Делимость. 8. Комбинаторика. 9. Графы. 10. Индукция.
Для победителей и призеров регионального этапа
всероссийской олимпиады школьников по математике
на матмехе ежегодно проводятся занятия школы подготовки
к заключительному этапу всероссийской олимпиады
школьников по математике.
Содержание программы подготовки в значительной части
сходно с программой ШЮМ.I. Применение упорядочения (3 час.) Принцип крайнего элемента как основа для начала эффективного математического рассуждения. Упорядочение как обобщение принципа крайнего элемента. II. Базовые неравенства и их применение (3 час.) Оценка выделением полного квадрата. Неравенства между средним арифметическим, средним геометрическим и средним квадратичным. Методы их поиска в олимпиадных задачах на доказательство неравенств и получение оценок. III. Геометрические задачи на доказательство (3 час.) Метод обозначения и подсчета углов. Соотношения между углами в курсе школьной математики. Методы, использующие поиск соотношений между длинами отрезков. Использование площадей фигур. Симметрия, поворот и гомотетия.
IV. Неравенства в геометрии (3 час.) Поиск возможностей применения неравенства треугольника и его следствий. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике. Симметрия и поворот при доказательстве геометрических неравенств. V. Делимость целых чисел (3 час.) Метод подсчета остатков. Использование простоты числа. Доказательства и использование взаимной простоты чисел. Выбор модуля. Решение линейных сравнений и систем линейных сравнений. Делимость степеней. Малая теорема Ферма. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Диофантовы уравнения с несколькими неизвестными. VI. Многочлены (3 час.) Делимость. Корни и Теорема Безу. Поиск и представление наибольшего общего делителя. Экстремумы и оценки. VII. Метод поиска инварианта (3 час.) Инварианты суммы и других целочисленных линейных комбинаций. Инварианты знака. Инварианты делимости. Раскраски.
VIII. Игры (3 час.)
Подсчет и перебор выигрышных позиций.
Стратегии на основе симметрии и равенства.
Стратегии на основе инвариантов.
IX. Графы (3 час.)
Поиск удобных графов в задачах.
Основные факты из теории графов, используемые в олимпиадных задачах:
лемма о рукопожатиях, маршруты и расстояния, планарность, деревья.
Рассуждения на основе локальных и глобальных характеристик графа.
X. Экстремальные задачи (3 час.)
Оценка и пример: движение к цели с двух сторон.
Построение примера на основе оценки.
Доказательство экстремальности построенного примера.
Рассмотрим примеры задач
из наиболее важных тем.Экстремальные задачи 1. На какое минимальное число кусков нужно разрезать торт, чтобы затем его можно было делить поровну как на 5 так и на 7 человек? 2. Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки шахматной доски 3×3?
1. Плоскость произвольным образом раскрашена в два цвета. Доказать, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр друг от друга.
Принцип Дирихле 2. Доказать, что среди 82 кружочков конфетти, каждый из которых выкрашен в определенный цвет, всегда можно выбрать 10 кружочков таких, что либо все они выкрашены в разные цвета, либо все одного цвета.
3. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.
4. В квадрате со стороной 1 отмечено 500 различных точек. Доказать, что среди отмеченных точек можно выбрать 12 точек A1, A2, A3, ..., A12 так, что длина ломаной A1A2A3...A12 меньше 1.
5. Доказать, что для каждого натурального числа К существует число вида 111...1000..0, делящееся на К. 6. Пять квадратов со взаимно паралельными сторонами имеют общую точку. Доказать, что один из них содержит центр другого.
7. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Доказать, что по крайне мере три из этих прямых проходят через одну точку.
Принцип крайнего 1. На плоскости дано 1997 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что найдется треугольник с вершинами в этих точках, не содержащий ни одной из оставшихся точек.
Принцип крайнего 2. Решить систему уравнений:
Принцип крайнего 3. Дан выпуклый многоугольник площади S. Доказать, что его можно поместить в прямоугольник площади 2S.
Принцип крайнего 4. Существует ли такой многоугольник, в котором проекция любой вершины на любую сторону, не проходящую через эту вершину, лежит на ее продолжении? 5. Семь друзей собрали вместе 100 грибов, причем никакие двое из них не собрали одинакового количества грибов. Доказать, что трое из них собрали не менее половины всех грибов.
Принцип крайнего 6. Двое играют в такую игру. Первый загадывает 5 чисел и сообщает второму их попарные суммы (их 10 штук), а второй по этим 10 числам должен определить какие числа задумал первый. Может ли он это сделать? 7. (Для 4 класса) Существует ли "клеточная" фигура, которую можно разрезать как на квадратики 2× 2. так и на 4-клеточные "крылечки".
Инвариант 1. На чудо-яблоне садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он срывает два плода и на их месте тут же вырастает новый, причем, если он срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если он срывает два разных плода, то вырастает банан. Каким может оказаться последний фрукт на этом дереве? 2. Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?
Инвариант 3. На доске написаны числа 1,2,3,...,19,20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a+a+b. Какие числа можно получить на доске после 19 таких операций? 4. В таблице 7×7 одна из клеток закрашена черным цветом, все остальные белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиваниями строки или столбца подразумевается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
Инвариант 5. У шахматной доски 8×8 вырезаны левая верхняя и правая нижняя угловые клетки. Можно ли ее замостить косточками домино, покрывающими ровно две клетки доски, так, чтобы без наложений друг на друга всю такую доску. 6. Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1× 4 и 2× 2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2× 2 потерялась. Ее заменили на пилтку 1×4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.
Экстремальные задачи 1. В мешке лежат шарики разных цветов: черного, белого и синего. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка в слепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета? 2. Какое наибольшее число королей можно расставить на обычной шахматной доске 8×8 так, чтобы они не били друг друга?
Экстремальные задачи 3. Король обошел шахматную доску 8×8, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернулся последним ходом на исходное поле (король ходит по обычным правилам). Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину она может иметь, если сторона клетки равна 1? 4. В квадратной таблице 2005×2005 клеток некоторые клетки закрашены. Каждая закрашенная клетка расположена либо в столбце, в котором закрашено не более 40% клеток, либо в строке, в которой закрашено не более 40% клеток. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?
Вы также можете почитать
