ШКОЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 2013-2014 УЧЕБНЫЙ ГОД - Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы "Городской центр обеспечения качества ...
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»
ШКОЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА
ПО МАТЕМАТИКЕ
2013-2014 УЧЕБНЫЙ ГОД
Кострома
2013I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Составители:
Борткевич Л. К. методист МБУ ГЦОКО г. Костромы
Бывших Т. А. учитель лицея № 34, Заслуженный учитель России
Горохова О. В. учитель лицея № 17
Григорьева И. В. учитель лицея № 17
Дурилова Н. Л учитель школы № 21
Коваль Л. Н. учитель лицея № 17
Курочкина С. В. учитель лицея № 34
Медведева М. В. учитель лицея № 34
Соколова М. С. учитель лицея № 32
Труфанова Е. А. учитель лицея № 34
Брошюра содержит материалы для проведения школьной олимпиады
2013-2014 учебного года в городе Костроме, решения всех заданий,
методические рекомендации по проведению олимпиады.
© МБУ ГЦОКО, 2013
© Борткевич Л.К.,2013
2
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Порядок проведения олимпиады в школе
Школьная олимпиада по математике проходит одновременно во
всех школах города Костромы 19 октября 2013 года. Сведения по
итогам школьной олимпиады включаются в общий отчёт
общеобразовательного учреждения «Итоги I (школьного) этапа
олимпиады».
Рекомендуемое время проведения олимпиады 2 часа.
Рекомендации по проведению школьной олимпиады
В первом этапе Всероссийской олимпиады имеет право
участвовать каждый школьник, поэтому не должно быть никаких
ограничений при допуске к участию.
Во время решения жюри олимпиады должно отвечать на
вопросы школьников только по условиям предложенных задач и не
имеет право комментировать решения участников. Если вопрос,
заданный школьником, существенно влияет на понимание задачи, то
ответ на него необходимо дать всем участникам.
В соответствии с регламентом проведения математических
олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.
Соответствие правильности решения и выставляемых баллов
приведено в таблице.
Баллы Правильность (ошибочность) решения
7 Полное верное решение
6-7 Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в
целом не влияющие на решение.
5-6 Решение в целом верное. Однако решение содержит
существенные ошибки либо пропущены случаи, не
влияющие на логику рассуждений.
4 Верно рассмотрен один из двух (более сложный)
существенных случаев, или в задаче типа «оценка +
пример» верно получена оценка.
2-3 Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие
в решении задачи.
0-1 Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии
решения (или при ошибочном решении).
3
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
0 Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0 Решение отсутствует.
Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7
баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком
длинное, или за то, что решение школьника отличается от
приведенного в методических разработках или от других решений,
известных жюри.
В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не
содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
Технические ошибки, если они не влияют на ход решения,
следует относить к недочетам. Не следует снимать баллы за
нерациональность решения, нетиповые рассуждения, неряшливое
оформление, исправления, грязь.
После проведения олимпиады и проверки работ рекомендуется
проведение разбора задач, на котором школьники должны узнать, за
какие решения (факты в решениях) сколько баллов начисляло жюри.
После разбора проводится просмотр работ, во время которого
каждый из участников олимпиады имеет право узнать претензии к
своим решениям и увидеть распределение баллов в своей работе.
Если школьник не согласен с оценкой его работы в рамках
оглашенных на разборе задач норм оценок, то жюри должно
рассмотреть его претензии на апелляции. Во время апелляции
недопустимо изменение общих норм оценок и рассмотрение
дополнительных фактов, приводимых школьником, но
отсутствующих в работе. После всех апелляций жюри уже не имеет
право изменять оценки работ.
Участники школьного этапа олимпиады, набравшие наибольшее
количество баллов, признаются победителями школьного этапа
олимпиады при условии, что количество набранных ими баллов
превышает половину максимально возможных баллов.
В случае, когда победители не определены, в школьном этапе
олимпиады определяются только призеры.
Призерами школьного этапа олимпиады в пределах
установленной квоты признаются все участники школьного этапа
олимпиады, следующие в итоговой таблице за победителями.
В случае, когда у участника, определяемого в пределах
установленной квоты в качестве призера, оказывается количество
4
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
баллов такое же, как и у следующих за ним в итоговой таблице,
решение по данному участнику и всем участникам, имеющим равное
с ним количество баллов, определяется следующим образом:
1. все участники признаются призерами, если набранные ими
баллы больше половины максимально возможных;
2. все участники не признаются призерами, если набранные ими
баллы не превышают половины максимально возможных.
Задания носят рекомендательный характер. При замене заданий
руководитель МО должен предоставить в Муниципальное бюджетное
учреждение города Костромы «Городской центр обеспечения
качества образования» тексты заданий, предложенных
образовательным учреждением, в электронном и печатном виде.
5
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
5 класс
1. Поставьте скобки в выражении так, чтобы получилось
верное равенство: 38∙29+33119:17=2013.
2. 3 утенка и 4 гусенка весят 2 кг 500 г, а 4 утенка и 3 гусенка
весят 2 кг 400 г. Сколько весит 1 утенок и 1 гусенок?
3. Как с помощью семилитрового ведра и трехлитровой банки
налить в кастрюлю ровно 5 литров воды?
4. Можно ли прямоугольник 3 6 разрезать так, чтобы
получилось два равных шестиугольника?
5. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором
были перемешаны горох и фасоль, и велела перебрать их.
Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в
одном – горох, в другом – фасоль, а в третьем – еще не
разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к
каждому из них приклеила таблички: «Горох», «Фасоль»,
«Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно
поменяла местами таблички так, чтобы на каждом мешке
оказалась неправильная надпись. Ученик Феи успел
предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на
мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка
достала только одно – единственное зернышко из одного
мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что
лежит. Как она это сделала?
6
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
6 класс
1. Наташа у разных продавцов купила 5,6 кг груш и 7,2 кг
яблок. Купленные груши стоили на 30р. 40к. дороже, чем
яблоки. Продавец груш, получив от Наташи 200р., дал
4р. сдачи. Определите стоимость 1кг груш и 1кг яблок.
2. ((1 : (1– 0,99) – 99) : (1– 0,999) – 999) : (1 – 0,9999) – 9999.
3. Определить ребро куба, объём которого в м3 и площадь
поверхности в м3 выражается одним числом.
4. Вера забыла пин-код своего мобильного телефона но
помнит, что он состоит из цифр 2, 4, 6 и 0, и ещё она
помнит, что он не начинается с цифры 0. Сколько
вариантов пин-кода можно составить в этой ситуации?
5. Артем, Борис, Ваня и Глеб на перемене ели конфеты.
Каждую минуту каждый из них съедал по одной конфете.
В начале перемены у Артема и Бориса вместе было
столько же конфет, сколько у Вани и Глеба. Могло ли в
конце перемены у всех вместе остаться 15 конфет?
Объясните свой ответ.
7
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
7 класс
2
1. Когда Карлсон пролетел 3 пути, у него сломался
пропеллер. На остальной путь пешком он затратил
вдвое больше времени, чем на полёт. Во сколько раз
Карлсон быстрее летел, чем шел?
2. Решить ребус AC ∙ CC ∙ K = 2002 (разным цифрам
соответствуют разные буквы и наоборот).
3. Карлсону подарили пакет с конфетами: шоколадными
и карамельками. За первые 10 минут Карлсон
съел 20% всех конфет, причем 25% из них составляли
карамельки. После этого Карлсон съел
еще 3 шоколадные конфеты, и доля карамелек среди
съеденных Карлсоном конфет понизилась до 20% .
Сколько конфет было в подаренном Карлсону пакете?
4. Есть три треугольника: остроугольный,
прямоугольный и тупоугольный. Малыш взял себе
один треугольник, а Карлсон — два оставшихся.
Оказалось, что Карлсон может приложить (без
наложения) один из своих треугольников к другому, и
получить треугольник, равный треугольнику Малыша.
Какой из этих треугольников взял Малыш?
5. У Малыша 43 ириски и 15 карамелек. Каждый день он
дарит какие-то две конфеты Карлсону. Если Малыш
дарит ему две разные конфеты, то Карлсон дарит
Малышу одну ириску, а если две одинаковые, то
Карлсон дарит ему одну карамельку. В итоге у
Малыша останется всего одна конфета. А какая?
8
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
8 класс
1. Найдите а, b, c,
если (х2 + ах + 2)(х + 3)=(х + b)(х2 + сх + 6).
2. Известно, что (а – b + 2013), (b – с + 2013) и (с – а + 2013)
– три последовательных целых числа. Найдите эти числа.
3. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла
равна одному из двух отрезков, на которые она разделила
противолежащую сторону. Докажите, что она вдвое
длиннее второго из этих отрезков.
4. Джон и Мэри живут в небоскребе, на каждом этаже
которого 10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру
квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В
какой квартире живет Джон?
5. Сто сумасшедших последовательно красят доску
100×100, используя сто цветов. Они соблюдают
единственное правило: в одной строке и в одном столбце
не может оказаться двух клеток, раскрашенных
одинаково. Смогут ли 99 сумасшедших правильно
докрасить доску, если первый сумасшедший уже
раскрасил «свои» сто клеток?
9
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
9 класс
( x y )( x 4 y 4 ) 2 xy ( x 3 y 3 )
1. Вычислите 2 при x 1, 2
...
22 ,
(x 2 y 2 ) x xy y 2 46
y 2, 7
...78
45
2. Расстояние между пунктами А и В – 60 км. Из А в В
выходит автомобиль, а из В в том же направлении
одновременно с первым автомобилем выходит второй.
Если скорость первого автомобиля увеличить на 10км/ч,
а второго на 8км/ч, то первый автомобиль догонит
второй в том же месте, но на час раньше. Какова
скорость каждого автомобиля?
3. Определите а так, чтобы сумма квадратов корней
уравнения х 2 (2 а ) х а 3 0 была наименьшей.
4. Хулиганы Вася и Петя порвали школьную стенгазету, в
которой была заметка об их плохой учёбе. Причём
вначале Петя порвал стенгазету на 5 частей, а в
дальнейшем ему помогал Вася, и они рвали обрывки
газеты соответственно Петя на 5, а Вася – на 9 кусков.
Заместитель директора школы, заметив такое безобразие,
потребовала собрать обрывки стенгазеты. Ребята нашли
2007 обрывков. Все ли обрывки были найдены?
5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВD и на неё
опущен перпендикуляр АК. Прямая, проходящая через
точку К и параллельная стороне ВС, пересекает стороны
АВ и АС соответственно в точках M и N. Докажите, что
MN – средняя линия треугольника АВС.
10
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
10 класс
1. При каких значениях параметра а уравнения
x 2 ax 3 0 и x 2 3 x a 0 имеют общий корень?
2. В шахматном турнире каждый шахматист сыграл с
каждым по одному разу и каждый шахматист все
партии, кроме одной, завершил вничью. Сколько
шахматистов участвовало в турнире, если всего
было зафиксировано 264 ничьи?
3. Диагонали равнобедренной трапеции
перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если
её площадь равна 25 см.
4. Решите в целых числах уравнение:
х 2 6 xy 5 y 2 5 .
5. Десять машин выпускают одинаковые резиновые
мячи массой по 10 г каждый. Одна из машин
испортилась и стала выпускать мячи по 5г. Как
найти испортившуюся машину с помощью одного
взвешивания мячей?
11
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
11 класс
1. Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и
предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей,
либо три ручки за 20 рублей. При этом он в обоих
случаях получает одинаковую прибыль (разницу
между покупкой товара и его продажей). Какова
оптовая цена ручки?
2. Известно, что график функции y = x3 + mx2 + n
касается оси абсцисс в точке B(2; 0). Найти значения
коэффициентов m и n.
4 3 5 7
3. Вычислить без таблиц sin sin 4 sin 4 sin 4 .
16 16 16 16
4. Внутри треугольника АВС, в котором С = 70°,
В = 80° взята точка М так, что ∆ СМВ –
равносторонний. Найдите МАВ и МАС.
5. В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая
цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры
образуют двузначное число, которое делится на 17 или
на 23. Определите, какая цифра может стоять на
последнем месте? Ответ обосновать.
12
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Решение
5 класс
1. Поставьте скобки в выражении так, чтобы получилось
верное равенство: 38∙29+33119:17=2013.
Ответ: (38∙29+33119):17=2013.
2. 3 утенка и 4 гусенка весят 2 кг 500 г, а 4 утенка и 3
гусенка весят 2 кг 400 г. Сколько весит 1 утенок и 1
гусенок?
Ответ: масса гусенка 400 г, а утенка – 300 г.
Решение. 7 утят и 7 гусят вместе весят 4 кг 900 г, значит
1 утенок и 1 гусенок вместе весят 700 г, а 3 утенка и
3 гусенка вместе весят 2 кг 100 г. Тогда 1 гусенок весит
2 кг 500 г – 2 кг 100 г = 400 г,
а утенок 700 г – 400 г = 300 г.
3. Как с помощью семилитрового ведра и трехлитровой
банки налить в кастрюлю ровно 5 литров воды?
Одно из возможных решений: с помощью трехлитровой
банки нальем 6 литров воды в ведро. Еще раз нальем 3 л
воды в банку и наполним семилитровое ведро доверху.
Тогда в банке останется 2 л воды, которую выльем в
кастрюлю. Добавим к ним 3 л воды с помощью банки,
получим всего 5 л воды.
4. Можно ли прямоугольник 3 6 разрезать так, чтобы
получилось два равных шестиугольника?
Ответ: Можно (см.рисунок).
13
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
5. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором
были перемешаны горох и фасоль, и велела перебрать их.
Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка:
в одном – горох, в другом – фасоль, а в третьем – еще не
разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка
к каждому из них приклеила таблички: «Горох»,
«Фасоль», «Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и
нарочно поменяла местами таблички так, чтобы на
каждом мешке оказалась неправильная надпись. Ученик
Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна
надпись на мешках не соответствует действительности.
Тогда Золушка достала только одно – единственное
зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу
догадалась, где что лежит. Как она это сделала?
Ответ: в мешке с надписью «Смесь» - фасоль, в мешке с
надписью «Фасоль» – горох, в мешке с надписью
«Горох» – смесь.
Решение: Золушка взяла зернышко из мешка с надписью
«Смесь»; т.к. ни одна табличка не соответствовала
содержимому мешка, то там быль горох или фасоль.
Если взятое Золушкой зернышко – горох, то в мешке с
надписью «Смесь» – горох. Тогда в мешке с надписью
«Горох» – фасоль, а в мешке с надписью «Фасоль» –
смесь. Аналогично, если взятое Золушкой зернышко –
фасоль, то в мешке с надписью «Смесь» – фасоль. Тогда
в мешке с надписью «Фасоль» – горох, а в мешке с
надписью «Горох» – смесь.
6 класс
1. Наташа у разных продавцов купила 5,6 кг груш и 7,2 кг
яблок. Купленные груши стоили на 30р. 40к. дороже, чем
яблоки. Продавец груш, получив от Наташи 200р., дал
4 р. сдачи. Определите стоимость 1кг груш и 1кг яблок.
14
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Ответ: 1кг яблок-23р., 1кг груш-35р.
Решение: 1) 200-4=196(р.) – стоимость груш.
2) 196:5,6=35(р.) – стоимость 1кг груш.
3) 196-30,4=165,6(р.) – стоимость яблок.
4) 165,6:7,2=23(р.) – стоимость 1кг яблок.
2. ((1 : (1– 0,99) – 99) : (1– 0,999) – 999) : (1 – 0,9999) – 9999.
Ответ: 1.
Решение. 1) 1 – 0,99 = 0,01
2) 1:0,01 = 100
3) 100 – 99 = 1
4) 1 – 0,999 = 0,001
5) 1:0,001 = 1000
6) 1000 – 999 = 1
7) 1 – 0,9999 = 0,0001
8) 1:0,0001 = 10000
9) 10000 – 9999 = 1.
3. Определить ребро куба, объём которого в м3 и площадь
поверхности в м3 выражается одним числом.
Ответ: 6 м
Решение: S = 6а2, V = а3, а = 6
4. Вера забыла пин-код своего мобильного телефона но
помнит, что он состоит из цифр 2, 4, 6 и 0, и ещё она
помнит, что он не начинается с цифры 0. Сколько
вариантов пин-кода можно составить в этой ситуации?
Ответ: 18.
Решение может быть с помощью дерева возможных
вариантов
15
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
2 4 6
4 6 0 2 6 0 2 4 0
6 0 4 0 4 6 6 0 2 0 2 6 4 0 2 0 2 4
0 6 0 4 6 4 0 6 0 2 6 2 0 4 0 2 4 2
5. Артем, Борис, Ваня и Глеб на перемене ели конфеты.
Каждую минуту каждый из них съедал по одной конфете.
В начале перемены у Артема и Бориса вместе было столько
же конфет, сколько у Вани и Глеба. Могло ли в конце
перемены у всех вместе остаться 15 конфет? Объясните
свой ответ.
Ответ: не могло
Решение. В начале перемены у ребят было четное количество
конфет, равное удвоенному количеству конфет у Артема
и Бориса. Раз в минуту они съедают 4 конфеты, то есть
четное количество. Значит, каждую минуту четность
общего количества конфет ребят не изменяется, и
поэтому в конце также должно быть четное количество
конфет, а 15 – число нечетное.
7 класс
1. Когда Карлсон пролетел 2 пути, у него сломался
3
пропеллер. На остальной путь пешком он затратил вдвое
больше времени, чем на полёт. Во сколько раз Карлсон
быстрее летел, чем шел?
Ответ: в 4 раза.
1
Решение. Карлсон прошёл пешком пути, то есть в 2 раза
3
меньше, чем пролетел. Времени же затратил вдвое
больше. Поэтому он летел в 4 раза быстрее, чем шел.
16
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
2. Решить ребус AC ∙ CC ∙ K = 2002 (разным цифрам
соответствуют разные буквы и наоборот).
Ответ: 91 × 11 × 2.
Решение. 2002 разложим на простые множители, и
перебором различных вариантов находим числа,
удовлетворяющие условию.
3. Карлсону подарили пакет с конфетами:
шоколадными и карамельками. За первые 10 минут
Карлсон съел 20% всех конфет, причем 25% из них
составляли карамельки. После этого Карлсон съел
еще 3 шоколадные конфеты, и доля карамелек среди
съеденных Карлсоном конфет понизилась до 20% .
Сколько конфет было в подаренном Карлсону пакете?
Ответ: 60 конфет.
Решение. Пусть за первые 10 минут Карлсон съел х конфет,
тогда шоколадных среди них было 0,75х . Из условия
задачи следует, что доля съеденных Карлсоном
шоколадных конфет составляет 80% , значит, 0,75х
+ 3 = 0,8(х + 3) . Отсюда х = 12 , что составляет 20% всех
конфет. Следовательно, всего в пакете было 60 конфет.
4. Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и
тупоугольный. Малыш взял себе один треугольник, а
Карлсон — два оставшихся. Оказалось, что Карлсон
может приложить (без наложения) один из своих
треугольников к другому, и получить треугольник,
равный треугольнику Малыша. Какой из этих
треугольников взял Малыш?
Ответ: Малыш мог взять прямоугольный треугольник.
Решение: "Лобовое" решение задачи состоит в том, чтобы
перебрать возможные способы приложить один
треугольник к другому так, чтобы получился
треугольник, выбрать из них подходящие под условие
задачи, и получить ответ. Однако лучше, заметив, что в
17
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
этом случае Малыш может разрезать одной прямой свой
треугольник на два, равных треугольникам Карлсона,
перебирать именно способы разрезать треугольник на
два. При этом один из концов отрезка расположен в
вершине исходного треугольника, а другой — на
противоположной стороне.
Допустим сначала, что Малыш взял остроугольный
треугольник. Посмотрим на сторону, которую пересёк
разрез. Если разрез перпендикулярен этой стороне,
получится два прямоугольных треугольника. Иначе
получится один остроугольный и один тупоугольный
треугольник. Ни один из этих вариантов не
соответствует условию задачи, поэтому Малыш не мог
взять остроугольный треугольник.
Допустим теперь, что малыш взял тупоугольный
треугольник. Посмотрим опять на сторону, которую
пересёк разрез. Если разрез перпендикулярен этой
стороне, получится два прямоугольных треугольника.
Иначе один из получившихся треугольников —
тупоугольный. В любом случае условие задачи не
выполнено, а значит, этот случай невозможен. Поэтому
Малыш мог взять прямоугольный треугольник.
Соответствующий пример приведён на рисунке.
5. У Малыша 43 ириски и 15 карамелек. Каждый день он
дарит какие-то две конфеты Карлсону. Если Малыш дарит
18
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
ему две разные конфеты, то Карлсон дарит Малышу одну
ириску, а если две одинаковые, то Карлсон дарит ему одну
карамельку. В итоге у Малыша останется всего одна
конфета. А какая?
Ответ: ириска
Решение: Если Малыш дарит Карлсону ириску и карамельку,
а Карлсон дарит ему одну ириску, то у Малыша
становится на одну карамельку меньше, а число ирисок
не изменяется. Если Малыш дарит Карлсону две ириски,
а Карлсон дарит ему одну карамельку, то у Малыша
становится на две ириски меньше и на одну карамельку
больше. Наконец, если Малыш дарит Карлсону две
карамельки, а Карлсон дарит ему одну карамельку, то у
Малыша становится на одну карамельку меньше, а
число ирисок не изменяется.
Во всех этих случаях чётность числа ирисок у Малыша
не изменяется. Изначально ирисок было 43, то есть
нечётное число, так что и в конце их останется нечётное
число. Поэтому их не могло остаться 0. Значит,
оставшаяся у Малыша одна конфета — это как раз
ириска.
8 класс
1. Найдите а, b, c,
если (х2 + ах + 2)(х + 3)=(х + b)(х2 + сх + 6).
Ответ: а = 3, b = 1, с = 5.
Решение:
Приведем к стандартному виду левую и правую части,
получим:
(х2 + ах + 2)(х + 3) = х3 + (а + 3)х2 +(3а + 2)х + 6;
(х + b)(х2 + сх + 6) = х3 + (b + с)х2 + (bс + 6)х + 6b.
Левая часть равна правой тогда и только тогда, когда
одновременно выполняются равенства:
19
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
6b = 6, bc + 6 = 3а + 2; b + c = а +3.
Решая соответствующую систему уравнений, получим,
что b = 1, а = 3, с = 5.
Т.к. по условию задачи не требуется доказывать
единственность искомого набора чисел, то возможно так
же решение методом подбора. Но надо показать, что
найденный набор удовлетворяет условию задачи.
2. Известно, что (а – b + 2013), (b – с + 2013) и (с – а + 2013) –
три последовательных целых числа. Найдите эти числа.
Ответ: 2012, 2013, 2014.
Решение. Пусть n – 1, n, n + 1 – три последовательных целых
числа, тогда их сумма равна 3n, то есть утроенному
второму числу. Так как (а – b + 2013) + (b – с + 2013) + (с –
а + 2013) = 6039, то n = 2013. Значит, n – 1 = 2012,
n + 1 = 2014.
3. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла
равна одному из двух отрезков, на которые она разделила
противолежащую сторону. Докажите, что она вдвое
длиннее второго из этих отрезков.
Доказательство.
Пусть AL биссектриса острого угла
САВ прямоугольного треугольника
АВС (CAL LAB x) и, по условию,
AL = LB. Тогда если LAB x , то
ABL x , значит, ALC 2 x как
внешний угол треугольника ABL.
Сумма острых углов прямоугольного
Δ CAL = 3x, откуда CAL 30 . Тогда
в прямоугольном Δ CAL катет,
лежащий против угла 30º, равен
половине гипотенузы, откуда CL 1 AL .
2
20
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Утверждение доказано.
4. Джон и Мэри живут в небоскребе, на каждом этаже
которого 10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру
квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В
какой квартире живет Джон?
Ответ: 217
Доказательство. Пусть х – номер квартиры Джона. Тогда,
номер его этажа равен 239 – х. Частное от деления с
остатком номера квартиры на 10 равно номеру
предыдущего этажа, поэтому: х = 10(238– х) + r, где
4r
0 ≤ r < 9, 11х = 2380 + r, х 216 11
. Поскольку х
является натуральным числом тогда и только тогда,
когда r = 7, то х = 217.
5. Сто сумасшедших последовательно красят доску
100×100, используя сто цветов. Они соблюдают
единственное правило: в одной строке и в одном столбце
не может оказаться двух клеток, раскрашенных
одинаково. Смогут ли 99 сумасшедших правильно
докрасить доску, если первый сумасшедший уже
раскрасил «свои» сто клеток?
Ответ: нет, не смогут.
Решение. Например, если первый сумасшедший покрасит в
99 различных цветов первые 99 клеток в первой строке, а
последнюю клетку второй строки – в сотый цвет.
9 класс
( x y)( x 4 y 4 ) 2 xy ( x 3 y 3 ) x 1, 2
...22 ,
1. Вычислите 2 при
(x 2 y 2 ) x xy y 2 46
y 2, 7
...78
45
Ответ: 64.
21
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Решение. х 1, 2...
22,
46
y 2, 7
...78
45
( x y)( x 4 y 4 ) 2 xy( x 3 y 3 )
2 2
2 2
( x y )( x 2 y 2 ) 2 xy( x y ) ( x y )( x y) 2
x y x xy y
( x y) 3 (1,2...22 2,7...78) 3 4 3 64
2. Расстояние между пунктами А и В – 60 км. Из А в В
выходит автомобиль, а из В в том же направлении
одновременно с первым автомобилем выходит второй.
Если скорость первого автомобиля увеличить на
10 км/ч, а второго на 8 км/ч, то первый автомобиль
догонит второй в том же месте, но на час раньше.
Какова скорость каждого автомобиля?
Ответ: 50км/ч и 40км/ч.
Решение. Приведем один из способов.
Пусть х км/ч – скорость автомобиля выехавшего из пункта А.
у км/ч – скорость автомобиля выехавшего из пункта В.
tч – время 1 встречи
(t – 1) ч – время встречи с измененными скоростями
Так как расстояние до встречи одинаково, составим систему
уравнений:
xt x 10 t 1,
yt y 8 t 1,
xt yt 60.
x = 10t –10
y = 8t – 8
t(x – y) = 60
t2 – t – 30 = 0
t1 = 6 или t2 = –5 (не удовлетворяет условию задачи)
3. Определите а так, чтобы сумма квадратов корней
уравнения х 2 (2 а) х а 3 0 была наименьшей.
22
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Ответ: а = 1.
Решение. Найдём сумму квадратов корней уравнения
х 12 х 22 (х1 х2 )2 2х1х2 (2 а)2 2(а 3) ... (а 1)2 9.
Значение данного выражения будет наименьшим при
а=1, при этом значении а дискриминант левой части
уравнения положителен, поэтому корни существуют.
4. Хулиганы Вася и Петя порвали школьную стенгазету, в
которой была заметка об их плохой учёбе. Причём
вначале Петя порвал стенгазету на 5 частей, а в
дальнейшем ему помогал Вася, и они рвали обрывки
газеты соответственно Петя на 5, а Вася – на 9 кусков.
Заместитель директора школы, заметив такое безобразие,
потребовала собрать обрывки стенгазеты. Ребята нашли
2007 обрывков. Все ли обрывки были найдены?
Ответ: ученики собрали не все обрывки стенгазеты.
Решение: Рассмотрим, какое число обрывков могло
получиться. Если Петя первоначально порвал стенгазету
на 5 кусков, а затем один из кусков снова на 5, то кусков
всего получается 9. Если Вася будет дальше рвать
некоторые куски на 9, а Петя – на 5, то количество
кусков будет таким: 5, 9, 13, 17, 21 и т.д. Таким образом,
Петя увеличивает количество кусков на 4, а Вася – на 8.
Общее количество кусков можно записать формулой
4n+1. Так как 2007=501∙4+3, то ученики собрали не все
обрывки стенгазеты.
Вывод. В этой задаче в качестве инварианта
рассматривался остаток от деления на 4.
5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВD и на неё
опущен перпендикуляр АК. Прямая, проходящая через
точку К и параллельная стороне ВС, пересекает стороны
АВ и АС соответственно в точках M и N. Докажите, что
MN – средняя линия треугольника АВС.
23
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Доказательство.
1) АВD CBD т.к. ВD –
биссектриса по условию.
CBD МКВ т.к. ВС
параллельна MN, ВК –
секущая.
Следовательно: АВD МКВ . ВМК равнобедренный
с основанием ВК ВМ = МК(1)2) ВАК 90 АВD
АКМ 90 МКВ .
Но АВD МКВ по доказанному,
следовательно: ВАК АКМ , следовательно АМК -
равнобедренный с основанием АК, следовательно,
АМ = МК(2)
Сравним(1) и (2).Получим ВМ = АМ, но МN ǁ ВС,
следовательно АN = NC, по теореме Фалеса. Из этого
следует, что MN- средняя линия треугольника АВС.
10 класс
2
1. При каких значениях параметра а уравнения x ax 3 0
2
и x 3 x a 0 имеют общий корень?
Ответ: при а = –4.
Решение: Если уравнения имеют общий корень, то имеет
x 2 ax 3 0
решение система уравнений x 2 3 x a 0 . Вычитая из
первого уравнения системы второе, получим
( a 3) x (3 a ) 0 , или ( a 3) x a 3 . Если a 3 , то
x – любое действительное число. Но при a3
уравнение x 2 3 x 3 0 не имеет действительных
решений. Следовательно, a 3 не подходит. Если a 3 ,
24
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
то x 1 . Подставляя найденное значение в любое из
уравнений, найдем a 4 .
2. В шахматном турнире каждый шахматист сыграл с
каждым по одному разу и каждый шахматист все партии,
кроме одной, завершил вничью. Сколько шахматистов
участвовало в турнире, если всего было зафиксировано
264 ничьи?
Ответ: 24
Решение. Пусть в турнире участвовало n шахматистов.
Тогда каждый из них сыграл ровно n – 1 партий.
Поскольку все партии кроме одной каждый шахматист
завершил вничью, то каждый из них сделал n – 2 ничьи.
n( n 2)
Тогда общее число ничейных партий равно 2
, так
как в каждой партии участвуют два шахматиста. С
другой стороны, общее число ничьих равно 264. Таким
n ( n 2)
образом, имеем уравнение 2
264 , или
n 2 2n 528 0 . Решая полученное квадратичное
уравнение, находим два значения: n 24, 22 .
Последнее значение не подходит, так как n -
натуральное.
3. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны.
Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см.
Ответ: 5.
25
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Решение.
ab
См. рисунок S ABCD 2
h , где
a b ab
h . Откуда получаем
2 2 2
2
a b a b a b
S ABCD 25 .
2 2 2
ab
Значит, h 2 5 .
4. Решите в целых числах уравнение
х 2 6 xy 5 y 2 5 .
Ответ: (0; 1);(6; −1);(0;−1);(−6; 1).
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения
х 2 6 ху 5 у 2 х 2 ху 5 xy 5 у 2 x x y 5 y x y x y x 5 y
x y x 5 y 5 . Так как число 5 5 1 1 5 5 1 1 5 ,
то мы получаем совокупность четырех систем:
x y 1, x y 1,
x 5 y 5; x 5 y 5;
x y 5, или x y 5,
x 5 y 1; x 5 y 1.
Решая системы, получаем,
x1 = 0, y1 = 1; x2 = 6, y2 = −1; x3 = 0, y3 = −1; x4 = − 6, y4 = 1.
5. Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи
массой по 10г каждый. Одна из машин испортилась и
стала выпускать мячи по 5г. Как найти испортившуюся
машину с помощью одного взвешивания мячей?
26
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Ответ: по массе 55 мячей можно узнать, какая машина
испортилась
Решение.
Возьмем от первой машины один мяч, от второй – два, от
третьей – три и т.д., от десятой – десять. Найдем их
общую массу. Это взвешивание будет единственным.
Если бы все мячи были массой по 10г, то весы показали
бы
10 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 550 (г).
Если первая машина допускает брак, то общая масса
станет меньше на 5г, если вторая, то на 10г, и т.д., если
десятая, на 50г. Таким образом, по массе 55 мячей можно
узнать, какая машина испортилась.
11 класс
1. Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и
предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей,
либо три ручки за 20 рублей. При этом он в обоих случаях
получает одинаковую прибыль (разницу между покупкой
товара и его продажей). Какова оптовая цена ручки?
Ответ: 5 руб.
Решение. Если х – оптовая цена ручки, то при продаже одной
за 10 руб. продавец получает прибыль (10 – х) руб.
Продавая три ручки за 20 руб., он получает прибыль
(20 – 3х) руб. По условию 10 – х = 20 – 3х, откуда х = 5.
2. Известно, что график функции y = x3 + mx2 + n касается
оси абсцисс в точке B(2; 0). Найти значения
коэффициентов m и n.
Ответ: m = −3, n = 4
Решение. Условие касания кривой y = x3 + mx2 + n и оси
абсцисс в точке B(2; 0) означает, что y(2) = 0 и y′(2) = 0. В
результате получаем систему уравнений для определения
двух неизвестных m и n: 8 + 4m + n = 0 и 12 + 4m = 0.
Решив ее, находим: m = −3, n = 4.
27
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
4 4 4 4 3 5 7
3. Вычислить без таблиц sin 16 sin 16 sin 16 sin 16 .
Ответ:1,5.
Решение. Поскольку sin cos , то
2
5 5 3
sin cos cos ,
16 2 16 16
7 7
sin cos cos , имеем
16 2 16 16
3 5 7
sin 4 sin 4 sin 4 sin 4
16 16 16 16
3 3
sin 4 cos 4 sin 4 cos 4
16 16 16 16
sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 2
16 16 16 16
3 3 2 3 3
sin 2 cos 2 2 sin cos 2
16 16 16 16
1 1 3 3
1 4 sin 2 cos 2 1 4 sin 2 cos 2
2 16 16 2 16 16
1 1 3 1 3
2 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2
2 8 2 8 2 8 8
1
2 sin 2 cos 2 2 0,5 1,5 .
2 8 8
4. Внутри треугольника АВС, в котором С = 70°, В = 80°
взята точка М так, что ∆ СМВ – равносторонний. Найдите
МАВ и МАС.
Ответ: 20° и 10°
28
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Решение. Рассмотрим
окружность с центром в
точке М и радиусом
R = MB = MC. А = 180º –
(В + С) = 30º,
ВМС = 60º.
Следовательно, точка А
лежит на окружности с
центром в точке М, т. е.
окружность является
описанной около ΔАВС,
значит АМ = ВМ = СМ,
тогда МАB = МВА = 20º,
МАС = МСА = 10º.
5. В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3,
а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное
число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая
цифра может стоять на последнем месте? Ответ
обосновать.
Ответ: 4 или 7.
Решение.
Двузначные числа, делящиеся на 17 - это 17; 34; 51; 68; 85.
Двузначные числа, делящиеся на 23 - это 23; 46; 69; 92.
По условию задачи выписываем после цифры 3 такую
цифру, чтобы образовавшееся двузначное число делилось
на 23 или на 17. Это может быть только цифра 4 (т.к. 34
делится на 17, других двузначных чисел, где цифра
десятков 3, делящихся на 17 или 23, нет). После цифры 4
может быть только 6, а после 6 может быть 9 или 8.
Рассмотрим первый случай, когда после цифры 6 запишем
цифру 9. Тогда получим последовательность
29
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
34692|34692|34692…. Замечаем, что цифры с периодом Т =
5, повторяются. Всего цифр по условию задачи 2007,
значит 2007 : 5 = 401 (остаток 2). Поэтому в этом случае на
последнем месте будет стоять вторая цифра из периода –
это цифра 4.
Рассмотрим второй случай, когда после цифры 6 запишем
цифру 8, тогда получим 3468517, а дальше ряд обрывается,
т.к. нет двузначного числа, делящегося на 17 или 23, где
цифра десятков равна 7. Но эта цепочка цифр может
заканчивать последовательность 346992|34692|…..34685|17
и тогда на последнем месте будет цифра 7.
30
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Для заметок
31
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников 19. 10. 2013
по математике
Контактная информация
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»
156007, г. Кострома, ул. Ленина, 84
Телефон: (4942) 45–67–41
Еmail: gc_oko_matem@mail.ru
http://www.koipkro.kostroma.ru/Kostroma_EDU/gcoko
32
Муниципальное бюджетное учреждение города Костромы
«Городской центр обеспечения качества образования»Вы также можете почитать
