КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКАЯ БАРОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ АТМОСФЕРЫ

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
 ИНСТИТУТ ЭКОЛОГИИ И ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ

Кафедра метеорологии, климатологии и экологии атмосферы

 В.В. ГУРЬЯНОВ, К.М. ШАНТАЛИНСКИЙ

КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКАЯ БАРОТРОПНАЯ
 МОДЕЛЬ АТМОСФЕРЫ

Методические указания к практическим занятиям по курсу
 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗА ПОГОДЫ

 КАЗАНЬ – 2021
 1

УДК 551. 509.2
ББК 26.236

 Принято на заседании кафедры метеорологии, климатологии и экологии атмосферы
 Протокол № 7 от 11 марта 2021 года

 Рецензенты:
 кандидат географических наук,
 доцент кафедры метеорологии, климатологии и экологии атмосферы КФУ
 А.А. Николаев;
 кандидат географических наук,
 доцент кафедры метеорологии, климатологии и экологии атмосферы КФУ
 Т.Р. Аухадеев.

 Гурьянов В.В., Шанталинский К.М.
 Квазигеострофическая баротропная модель атмосферы. Методические указания
 к практическим занятиям по курсу Численные методы прогноза погоды /
 В.В. Гурьянов, К.М. Шанталинский. – Казань: Казан. ун-т, 2021. – 40 с.

 Логически последовательно сформулирована задача квазигеострофического
баротропного прогноза в виде заданий – алгоритмов. В результате их численной
реализации на компьютере студенты получат целостное представление обо всех
этапах прогноза поля геопотенциала на среднем уровне. Приводятся одни из наиболее
употребительных методов численного анализа метеорологической информации –
методы полиномиальной и оптимальной интерполяции.
 Методические указания адресованы, в первую очередь, студентам четвертого
курса бакалавриата, обучающимся по профилю «Метеорология» направления
«Гидрометеорология», а также обучающимся в магистратуре по указанным
направлениям и читателям, интересующихся вопросами численного прогноза погоды.

 © Гурьянов В.В., Шанталинский К.М., 2021
 © Казанский университет, 2021

 2

СОДЕРЖАНИЕ
1. Теория изменения давления в баротропной атмосфере в
квазигеострофическом приближении …………………………………...….. 4
2. Квазигеострофическая одноуровневая прогностическая модель ……… 10
3. Алгоритм геострофического баротропного прогноза.……..….………… 19
 3.1. Подготовка исходных данных…………………………………. 19
 3.2. Подготовка обобщенного уравнения вихря для численного
 интегрирования………………………………………………………. 21
 3.3. Расчет функции sin в узлах сетки…………………………… 21
 3.4. Расчет лапласиана ∆ в узлах сетки…………………………... 22
 3.5. Расчет первого аргумента оператора якобиана ( , ) в
 узлах сетки…………………………………………………………… 22
 3.6. Расчет поля адвекции вихря в узлах сетки…………………. 23
 3.7. Решение конечно-разностного баротропного уравнения
 вихря………………………………………………………………….. 23
 3.8. Геострофический баротропный прогноз………………………. 25
 3.9. Оценка оправдываемости прогноза……………………………. 27
4. Интерполяция метеорологических полей………………………………… 30
 4.1. Метод полиномиальной интерполяции………………………... 30
 4.2. Метод оптимальной интерполяции……………………………. 32
Список литературы ...……………………………………………..…………... 40

 3

1. ТЕОРИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ В БАРОТРОПНОЙ
 АТМОСФЕРЕ В КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

 Баротропной называется среда, в которой плотность является функцией
одного давления или одной температуры. В баротропной среде изобары и
изотермы или изостеры параллельны. В этом случае задача прогноза
существенно упрощается, и полная система уравнений гидродинамики для
баротропной атмосферы имеет вид:

 + + = − + ,
 
 + + = − − , (1)
 
 + + = − ( + ).
 
 Это замкнутая система из трех уравнений с тремя неизвестными. Она
может быть применена к любому уровню. Практика показала, что наилучшие
результаты она дает применительно к средней части тропосферы
(изобарическая поверхность 500 гПа).
 Однако даже в таком упрощенном виде решение системы двухмерных
уравнений (1) связано с чрезвычайными трудностями [2, 4]. Эти трудности
обусловлены, в первую очередь, нелинейностью уравнений. Существенные
трудности связаны также с тем, что рассматриваемая система уравнений
описывает не только медленные крупномасштабные процессы, но и быстрые
волны, имеющие скорость, соизмеримую со скоростью звука.
 Поэтому в первых методах прогноза первоначальные или исходные
уравнения гидротермодинамики были подвергнуты еще более сильным
преобразованиям на основе гипотезы квазигеострофичности.

 4

Гипотеза квазигеострофичности заключается в том, что движение
считается близким к геострофическому, таким, что горизонтальные
компоненты ветра выражаются в виде

 = + ′ , = + ′ ,
где
 
 = − и =
 
– компоненты геострофического ветра, ′ и ′ – малые отклонения от них.
 Установлено, что действительный ветер в свободной атмосфере в
среднем близок к геострофическому. При нарушении геострофических
соотношений наступает процесс адаптации полей давления и ветра, в
результате чего происходит восстановление геострофичности. Однако под
действием ряда физических факторов нарушение геострофического равновесия
происходит все вновь и вновь. Близость действительного ветра к
геострофическому и обусловлена этими двумя противоположными процессами.
Возникающие при этом движения называют квазигеострофическими.
 В предположении квазигеострофичности система (1) сводится к одному
уравнению для давления или высоты изобарической поверхности. Это
уравнение может быть получено различными способами.
 Наиболее простой путь сводится к следующему. Первые два уравнения
системы (1) позволяют получить баротропное уравнение вихря скорости:

 Ω (Ω + ) (Ω + ) 
 + + = − ( + ). (2)
 
 В предположении существования бездивергентного уровня, т.е. такого
уровня, на котором горизонтальная дивергенция

 5

 
 + =0 (3)
 
уравнение вихря скорости приобретает вид:

 Ω (Ω + ) (Ω + )
 + + = 0. (4)
 
 Далее, полагая приближенно выполняющимся условие геострофичности
движения, т.е. ′ = ′ = 0, имеем:

 = = − ; = = ; Ω = Ω = △ , (5)
 
где △= 2 ⁄ 2 + 2 ⁄ 2 – оператор Лапласа, Ω – геострофическое значение
Ω.
 Подставляя эти соотношения в уравнение (4), получим

 △ + ( , △ + ) = 0, (6)
 
где оператор

 ( , ) = − ,
 
называется якобианом.
 Введем обозначение
 (Ωg + ) (Ωg + ) 
 Ω = − [ + ] = − ( , △ + ). (7)
 
 Функция Ω пропорциональна геострофической адвекции вихря
скорости. При адвекции положительного (циклонического) вихря она
 6

положительна, при адвекции отрицательного (антициклонического) вихря –
отрицательна.
 Запишем теперь уравнение (6) короче, в виде

 △ = Ω . (8)
 
 Мы получили уравнение вихря скорости (6) и (8) в геострофическом
приближении. Оно называется необобщенным уравнением вихря и с
математической точки зрения является уравнением Пуассона. При выводе этого
уравнения использовалось условие о равенстве нулю горизонтальной
дивергенции. Поэтому уровни, для которых справедливо полученное уравнение
вихря в форме (6) и (8), а также сами уравнения называют бездивергентными.
 В действительности уровней, где предположение о бездивергентности
выполнялось бы во всех точках, не существует. Однако обработка данных о
фактическом ветре показала, что в среднем величина дивергенции от земли до
некоторой высоты убывает, я затем возрастает. Высота с минимальной
дивергенцией колеблется от 2 до 8 км. Наиболее часто она составляет 3-5 км.
 Уровень с минимальной дивергенцией называют средним уровнем, а
соответствующие прогностические модели – моделями среднего уровня.
 Уравнение, аналогичное (8), можно получить другим путем, не делая
предположения и наличии бездивергентного уровня, а исходя непосредственно
из системы уравнений баротропной атмосферы (1). Первые два уравнения этой
системы, как мы видели, позволяют получить уравнение вихря скорости (2), из
которого с помощью последнего уравнения системы уравнений (1) исключаем
горизонтальную дивергенцию и получаем

 Ω (Ω + ) (Ω + ) 
 + + = ( + + ), (9)
 
 7

или с учетом геострофических соотношений,

 △ − 2 = Ω , (10)
 
 2
где 2 = – известный параметр, – среднее значение [2-4].
 
 Это уравнение получено без предположения об отсутствии дивергенции.
Поэтому в отличие от уравнения (8) оно называется дивергентным или
обобщенным уравнением вихря и с математической точки зрения является
уравнением Гельмгольца.
 Поскольку одним из условий, при которых было получено уравнение
(10), является условие баротропности, то его, а также и прогностические
уравнения, основанные на этом и подобных ему уравнениях, называют
баротропными.
 Итак, мы получили баротропное уравнение вихря скорости в двух видах
(8) и (10). Оба уравнения содержат одну искомую функцию – высоту
изобарической поверхности, отождествляемой со «средним» уровнем или
уровнем, свойства которого эквивалентны свойствам атмосферы в целом в
баротропном приближении. Уравнение в любой из полученных форм может
быть использовано как прогностическое для определения будущих значений 
по их начальным значениям. Уравнение это является нелинейным и имеет
пространственные производные третьего порядка. Получить точное решение
этого уравнения в аналитической форме относительно как функции
координат и времени оказывается невозможным. Поэтому для их решения
применяются приближенные или численные методы, к рассмотрению которых
мы и переходим.

 8

2. КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКАЯ ОДНОУРОВНЕВАЯ
 ПРОГНОСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

 Решения уравнений (8) и (10) будем искать в некоторой ограниченной
области. Все данные, необходимые для расчетов, должны быть заданы в узлах
правильной регулярной сетки точек. Расчет производных ⁄ и искомых
функций делается в этих же самых узлах. Чаще всего сетку точек получают
на основе прямоугольной декартовой системы координат. Для этого вводятся
безразмерные координаты по соотношениям
 
 = , ( = 1, … , ),
 
 = , ( = 1, … , ),
 
где , – декартовы координаты переменной точки с номерами и , – шаг
сетки, или расстояние между соседними точками. Если область расчета
представляет собой прямоугольник со сторонами, равными ( − 1) и ( −
1) , то в ней окажется × узлов (рис.1). Размер шага сетки выбирается
таким образом, чтобы данные в узлах сетки достаточно хорошо (с необходимой
детальностью) представляли исходные поля. Если сеть точек будет слишком
редка, то можно будет "пропустить" небольшие циклоны, ложбины и гребни,
что, несомненно, будет сказываться на качестве прогнозов.
 Известно, что барические образования имеют горизонтальные размеры
порядка 1000-3000 км, а самые небольшие из них – 500-600 км. Исходя из
этого, можно считать, что максимально допустимый шаг по координатам не
должен превышать 250-300 км. Шаг по координатам, равный 300 км, принят в
большинстве прогностических схем данного уровня, хотя в зависимости от
поставленной задачи он варьировался от 150 до 500 км. В нашей схеме примем
 = 300 км.
 При реализации схемы численного прогноза по большой территории,
достигающей до 3000 км по меридиану, нельзя пренебречь изменениями
масштаба карты, возникающими при изображении поверхности Земли на
 9

плоскости географической карты [2, 4]. Один из простейших способов учета
указанного эффекта состоит во введении так называемого масштабного
множителя в полученные уравнения.
 Для карты полярной стереографической проекции с главным масштабом
на широте 60° зависимость масштабного множителя от широты выражается
формулой [3]:

 1 + sin 60° 1
 = = . (11)
 1 + sin 1 + sin 

 Кроме того, при выборе конкретной области для прогноза, необходимо
сориентировать сеточную область на карте. Сделаем это следующим образом. В
нашем случае прямоугольная прогностическая область с шагом содержит 
строк и столбцов точек. При этом индексом будем обозначать номер строки,
а номер столбца – индексом и условимся, что строки нумеруются сверху вниз,
а столбцы слева направо.

 Рис.1. Ориентация прямоугольной сеточной области на карте полушария.
 10

Выберем направления декартовых координатных осей , 
параллельными сторонам области и положим начало координат 0 в точке,
находящейся на один шаг левее и выше узла = 1, = 1 (рис.1). Тогда
целочисленные значения индексов , в каждом узле совпадают с декартовыми
координатами узла, выраженными в шагах сетки. Применительно к карте
полярной стереографической проекции для ориентации области достаточно
задать направления осей , и координаты полюса 0 , 0 . Последние в отличие
от , не обязательно должны иметь целочисленные значения.
 Тогда для любого узла , значение (sin ) легко определить по
формуле
 2
 1−( )
 (sin ) = . (12)
 2
 1+( )
 
Здесь – расстояние на карте от полюса до узла, = 1,8659 0 – расстояние
на карте от полюса до экватора ( 0 – радиус Земли).
 Описанный способ ориентации области позволяет выразить через
координаты узла следующим образом:

 = 2 [( − 0 )2 + ( − 0 )2 ]. (13)
Очевидно, значения , , могут быть выражены в произвольных, но
одинаковых единицах. В дальнейшем в качестве такой единицы всюду
используется 100 км.
 Мы рассмотрели пространственное расположение сеточной области и
разбиение ее на квадратную сетку с шагом . Период прогноза также делится
на определенные интервалы ∆ , называемые шагами по времени [2, 4]. Если –
время, то номер шага по времени равен отношению ⁄∆ . Между шагами по
времени и координатами должно выполняться следующее неравенство:
 
 ∆ < , (14)
 √2 

 11

где – максимальная скорость ветра. При выполнении этого неравенства
воздушные частицы за один шаг по времени переместятся на расстояние, не
большее, чем расстояние между соседними точками принятой сетки. В случае
несоблюдения указанного условия прогноз оказывается невозможным, так как
возникает явление так называемой вычислительной неустойчивости [2, 4],
приводящее к резкому, нереальному возрастанию рассчитываемых величин.
Если = 300 км, а = 50 м/с, то ∆ < 4250 с (71 мин). При краткосрочном
прогнозе по квазигеострофическим схемам ∆ принимают обычно равным 1
или 1,5 ч.
 Чтобы произвести численное интегрирование уравнений задачи и
получить значения ⁄ и прогностические значения в узлах сетки,
необходимо иметь величины в начальный (исходный) момент времени во
всех × узлах.
 Рабочие формулы для расчета Ω по значениям в узлах сетки
получаются по правилам численного дифференцирования функций [1, 4]. В
простейшем случае их можно записать, основываясь на обозначениях рис. 2
(формулы (15.1)-(15.9)).
 Первые производные по координатам с использованием центральных
разностей:
 , +1 − , −1
 ( ) = , (15.1)
 2 
 −1, − +1, 
 ( ) = . (15.2)
 2 

 Вторые производные по координатам:
 2 , +1 + , −1 − 2 , 
 ( 2) = , (15.3)
 2

 2 −1, + +1, − 2 , 
 ( 2) = . (15.4)
 2

 Оператор якобиан:

 12

 
 ( , ) = ( ) ( ) −( ) ( )
 
 1
 =− [( , +1 − , −1 )( −1, − +1, )
 4 2
 − ( −1, − +1, )( , +1 − , −1 )] . (15.5)
 Лапласиан рассчитывается по формуле («косой крест»):
 −1, +1 + −1, −1 + +1, −1 + +1, +1 − 4 
 (∆ ) = , (15.6)
 2 2
или по формуле («прямой крест»):
 , −1 + , +1 + −1, + +1, − 4 
 (∆ ) = . (15.7)
 2
 Геострофическая адвекция вихря в узлах сетки запишется так:
 
 ( Ω ) = − ( , △ + ) , (15.8)
 
где второй аргумент оператора якобиана при использовании формулы (15.4)
имеет вид:
 −1, +1 + −1, −1 + +1, −1 + +1, +1 − 4 
( △ + ) = + . (15.5)
 2 2
 С помощью этих формул по значениям рассчитывают правую часть
уравнения вихря – величины Ω в узлах сетки. Если значения геопотенциала 
заданы во всех узлах прямоугольной области I (рис.3), то значения △ могут
быть рассчитаны лишь в области II. После этого поле правой части уравнения
вихря ≡ ( , ) определяется во внутренней области III, т.е. лишь в ( − 4) ×
( − 4) внутренних узлах.
 Следующий этап прогноза на среднем уровне заключается в расчете
 ⁄ по найденным значениям правой части уравнения, т.е. Ω . Для этого
запишем дифференциальное уравнение для ⁄ в конечно-разностной
форме.
 С этой целью умножим уравнение (10) на 2 и для краткости примем, что
 
 = ,
 
 13

 Ω 2 = . (16)

 Рис. 2. Индексы узлов сетки.

 Тогда, записывая оператор Лапласа для точки по пятиточечной схеме в
виде
 1
 (∆ ) = ( + , +1 + −1, + +1, − 4 ) , (17)
 2 , −1
получим следующее конечно-разностное уравнение для определения :
 , −1 + , +1 + −1, + +1, − 4 − 2 2 = . (18)

 14

Рис. 3. Сеточные области.
 Введем обозначение
 2
 =1+ 2 . (19)
 4 0
Здесь 20 = −2 – квадрат горизонтального масштаба. Тогда уравнение (18)
запишется в виде:
 , −1 + , +1 + −1, + +1, − 4 = , (20)
которое при = 1 оказывается уравнением Пуассона (8).
 Если исходные значения заданы в × точках, то уравнение (20)
решается для точек области III (рис. 3). В качестве граничных условий на
контурах областей I и II принимается = 0.
 Выписанное уравнение и граничные условия можно записать в виде
системы ( − 4) × ( − 4) линейных алгебраических уравнений, где в качестве
неизвестных будут величины в ( − 4) × ( − 4) узлах. Системы уравнений
с большим числом неизвестных решаются итерационными (приближенными)
способами, например, экстраполированным методом Либмана [2, 4, 5].
 После расчета ⁄ необходимо получить значение в следующий
момент времени. Для этого используются конечно-разностные выражения для
производных, с помощью которых мы получаем
 +∆ = + ∆ (21)
- метод Эйлера или
 3 1
 +∆ = + ( − −∆ ) ∆ (22)
 2 2
- метод Адамса.
 Формулы (21) и (22) используются для предвычисления значений в
момент времени + ∆ по найденным значениям ⁄ . Чтобы получить
прогноз на более длительный срок, все операции повторяют несколько раз. А
именно, после нахождения значений +∆ снова рассчитывают величины Ω ,
относящиеся к моменту + ∆ , и делается еще один шаг по времени. В
результате получаем величины +2∆ . Чтобы получить значения через 
 15

часов, очевидно, необходимо сделать ⁄∆ шагов по времени. Например, если
 = 24 часа, ∆ = 1 час, то для получения прогноза на сутки надо сделать 24
шага по времени.
 При выполнении одного шага прогностические значения получаются не
во всех × точках, в которых заданы значения в начальный момент
времени, а лишь в ( − 4) × ( − 4) точках. После выполнения второго шага
по времени прогностические значения будут получены только в ( − 8) ×
( − 8) узлах. Таким образом, область прогноза при каждом шаге очень быстро
сокращается. Если, например, исходные значения заданы в 22 × 26 узлах, то
уже после 6 шагов область прогноза оказалась бы сведенной к нулю.
 Чтобы избежать этого, приходится полагать, что в крайних двух рядах и
столбцах величины известны в течение всего срока прогноза. Тогда расчет
 Ω и ⁄ , а, следовательно, и +∆ на каждом шаге можно производить для
всех внутренних точек без сокращения области прогноза. В действительности,
конечно, значения на краях сетки неизвестны. Поэтому приходится делать
предположение о том, что в течение всего срока прогноза величины на краях
не изменяются, т.е. что там ⁄ = 0. Несомненно, что такое искусственное
условие на краях сетки сказывается на качестве прогнозов. Особенно сильно
это отражается на прогнозе в точках, близких к краям сетки. В центральных же
точках сетки, удаленных от крайних рядов на 1000-1500 км, это влияние
невелико.
 При прогнозе на длительные сроки (порядка суток) в некоторых случаях
возникает влияние вычислительной неустойчивости, которое искажает
прогностические поля. Это явление можно «погасить», применяя специальную
операцию, называемую сглаживанием. В простейшем случае сглаживание
 ̃ в каждом узле сетки по прогностическим
сводится к расчету значений 
значениям пр в ближайших точках, по формулам вида
 ̃ = 0 + 1 ( , −1 + , +1 + −1, + +1, )
 
 + 2 ( −1, +1 + −1, −1 + +1, −1 + +1, +1 ) , (23)

 16

и замене рассчитанных значений сглаженными. Здесь 0 , 1 , 2 –
коэффициенты, подбираемые эмпирическим путем. В [5] 0 = 0,904; 1 =
0,016; 2 = 0,008.
 Таким образом, алгоритм геострофического баротропного прогноза
сводится к последовательности следующих действий:
 - подготовка исходного поля геопотенциала ;
 - на каждом временном шаге по полю геопотенциала рассчитывается
поле правой части уравнения = Ω 2 ;
 - после этого определяется поле тенденции ;
 - с помощью метода Эйлера или Адамса осуществляется переход к
следующему шагу по времени;
 - периодически через заданное число шагов прогностическое поле
геопотенциала сглаживается;
 - с помощью некоторых количественных критериев производится оценка
оправдываемости прогноза.
 Перейдем к более детальному рассмотрению каждого из этих этапов.

 17

3. АЛГОРИТМ ГЕОСТРОФИЧЕСКОГО БАРОТРОПНОГО
 ПРОГНОЗА
 3.1. Подготовка исходных данных
 В качестве исходного поля геопотенциала берутся значения высоты
изобарической поверхности 500 гПа, которые снимаются с карты АТ 500 с
точностью до 1 дам в узлах прямоугольной сеточной области размером 22 × 26
( = 22, = 26) с шагом = 300 км за конкретно выбранный день. В
качестве примера в табл. 1 приведены данные за 3 марта 1988 года. Область
располагается между Атлантическим океаном и Уральскими горами и
ориентируется так, чтобы столбец сетки с номером 15 проходил через меридиан
30° в.д., а координаты полюса имели значения: 0 = 0, 0 = 15.
 Для оценки качества прогноза необходимо снять с карты АТ500 в узлах
точно такой же сетки значения геопотенциала за следующий день (табл. 2).
 Данные можно подготовить самостоятельно, для чего можно
использовать данные объективного анализа (например, Гидрометцентра РФ)
или какого-либо реанализа (Гидрометцентра РФ, NCEP/NCAR, ERA5 и др.).
После чего необходимо составить программу интерполяции из
соответствующей сетки в узлы регулярной сетки изображенной на рис. 1.
 Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.
 1. Присвоить отдельному листу Excel имя « ». Заполнить лист « »
данными из табл. 1. Или другими данными построенными по тому же
алгоритму, что и табл. 1 (если данные будут подготовлены самостоятельно).
 2. Во избежание случайной потери данных продублировать данные табл.
1 на другой лист и присвоить ему имя « исх». Исходные данные нам также
понадобятся для оценки качества прогноза.
 3. Присвоить отдельному листу Excel имя « факт». Заполнить лист
« факт» данными из табл. 2. Или другими данными построенными по тому же
алгоритму, что и табл. 2 (если данные будут подготовлены самостоятельно).
 4. Создать модуль (макрос) с именем Прогноз.

 18

Таблица 1
 Данные о геопотенциальной высоте (дам) изобарической поверхности 500 гПа за 03.03.1988 в узлах сетки
 22 × 26 (22 строки и 26 столбцов) (исходное поле для прогноза)

523 523 517 514 512 512 512 517 510 511 512 504 500 500 500 502 503 504 512 516 520 524 528 529 529 528
539 528 521 518 516 518 520 522 516 520 524 504 500 500 500 504 504 512 520 525 528 532 536 537 583 536
545 537 528 526 533 528 528 529 529 524 504 504 500 500 503 504 512 520 527 532 536 540 544 548 549 546
560 550 544 540 544 544 537 544 533 528 516 506 503 503 504 512 520 528 532 536 543 548 552 552 552 550
564 560 551 550 547 546 544 539 536 526 514 506 505 508 512 520 528 533 536 540 548 554 559 560 559 554
568 564 561 558 554 552 547 543 536 524 512 509 510 512 520 526 530 536 539 544 551 558 560 560 560 560
570 567 564 561 556 554 549 543 536 521 513 512 513 520 524 528 532 536 539 544 551 559 561 561 561 560
571 567 565 562 559 554 549 540 534 520 514 514 518 522 526 530 534 534 536 540 548 555 560 561 561 560
567 564 562 560 548 553 547 540 529 519 515 516 520 524 528 531 534 532 534 536 544 554 560 562 562 560
564 562 560 558 554 552 544 536 527 519 516 518 522 528 529 532 530 530 534 534 544 554 560 563 563 558
560 558 556 554 551 544 536 530 524 519 518 520 528 530 530 533 532 532 534 534 544 554 559 564 564 560
558 557 555 553 548 540 533 528 524 523 526 528 530 532 531 534 553 534 535 534 548 554 557 564 565 563
556 556 553 552 542 536 533 528 528 528 532 533 534 534 532 532 532 534 536 538 548 552 555 558 565 564
555 554 552 546 541 536 534 532 534 536 537 538 540 538 536 534 534 535 536 540 544 549 553 557 560 565
555 554 552 546 542 536 536 536 538 540 543 544 544 543 538 535 534 535 536 538 543 548 553 555 560 566
555 553 553 548 546 544 542 542 544 545 547 548 548 547 544 536 536 536 537 541 543 545 552 558 564 567
557 555 554 552 552 549 548 549 550 549 550 551 551 550 548 544 539 540 538 542 546 549 552 560 564 570
560 559 557 556 556 553 553 552 553 553 555 557 555 554 550 550 544 542 542 543 544 552 554 564 568 572
566 562 561 561 560 560 560 560 560 559 559 560 560 558 555 552 550 546 547 550 552 558 556 567 571 575
568 567 565 564 563 563 564 564 565 566 566 566 564 562 560 556 556 554 553 555 560 564 568 574 576 578
573 570 569 568 568 568 568 567 566 566 566 567 568 566 564 562 560 560 562 562 565 567 574 577 580 580
575 574 573 573 572 572 572 573 574 573 573 573 571 570 568 567 567 568 568 569 570 575 576 578 582 584

 19

Таблица 2
 Данные о геопотенциальной высоте (дам) изобарической поверхности 500 гПа за 04.03.1988 в узлах сетки
 22 × 26 (22 строки и 26 столбцов) (фактическое поле для оценки качества прогноза ф )

521 520 520 520 520 521 522 522 519 516 514 511 509 508 506 506 514 517 520 524 527 527 524 518 516 512
535 528 528 530 532 532 532 530 524 518 514 511 510 506 506 510 514 518 522 529 532 532 530 528 520 519
544 544 544 544 544 544 544 536 528 518 516 512 510 508 508 511 514 519 528 535 542 543 540 536 532 528
554 553 553 553 552 552 550 545 532 519 516 509 508 507 507 510 516 524 535 544 550 552 552 548 543 537
562 562 562 562 561 559 554 548 536 520 515 510 505 505 507 512 520 532 540 548 554 559 559 556 552 545
569 568 566 564 562 561 555 548 536 520 516 510 505 505 506 512 520 530 540 548 554 560 560 554 552 545
572 570 569 568 564 561 552 544 532 523 516 510 509 514 520 527 532 536 543 551 559 562 564 564 562 557
573 572 570 567 562 555 546 536 528 520 516 514 518 521 526 530 535 537 543 550 556 560 564 564 562 558
573 570 568 562 553 548 538 530 521 518 516 518 524 529 530 533 535 539 543 547 552 557 562 561 562 560
568 564 560 552 548 543 532 526 520 518 518 514 520 522 522 524 532 537 542 544 548 553 558 559 560 558
561 559 552 548 544 537 527 524 522 520 520 524 529 530 532 530 532 536 538 540 545 552 554 556 558 560
558 554 548 546 543 536 532 528 528 528 528 528 529 530 530 530 532 534 534 536 543 552 556 558 561 563
556 554 550 548 545 543 538 536 536 535 534 532 532 530 528 527 528 528 528 532 536 550 556 561 563 565
553 554 552 550 548 548 546 545 544 540 538 536 534 530 526 520 520 524 526 530 536 549 555 560 564 566
552 552 552 552 552 553 552 551 551 545 542 539 535 530 526 520 521 525 528 534 542 550 555 560 567 570
552 552 552 556 552 552 552 553 553 548 540 540 536 532 528 527 527 529 532 540 548 553 558 564 568 571
556 556 556 558 552 552 552 556 555 552 547 544 538 533 530 529 531 535 540 546 553 558 562 566 569 573
561 560 560 560 556 556 558 558 557 553 551 545 542 536 534 534 536 540 546 550 556 561 566 568 572 575
568 568 567 566 564 562 560 560 559 556 554 550 545 540 536 536 542 544 550 555 561 566 568 570 574 575
572 571 571 570 570 569 568 566 564 560 558 553 550 548 544 545 548 552 560 563 567 569 572 574 576 577
576 576 575 574 574 572 572 571 569 568 561 560 560 558 556 556 560 563 567 569 572 574 575 577 578 578
582 582 581 581 579 577 576 576 575 574 573 570 569 568 568 568 569 570 574 575 576 578 578 579 578 579

 20

5. Определить массив с именем Н:
 Dim H(1 to 22, 1 to 26) As Single
 6. Присвоить в отдельном блоке (двойной цикл) массиву Н значения
геопотенциала, используя данные листа «Н».

 3.2. Подготовка обобщенного уравнения вихря для численного
 интегрирования
 Запишем обобщенное уравнение вихря (10) в виде, удобном для
численного интегрирования:
 (1 + sin )2 0.843
 ∆ − = ( ∆ + 0.525 sin , ) . (24)
 3.48 20 (1 + sin )2 sin 
 Введем обозначение для правой части уравнения (24):
 0.843
 ≡( ∆ + 0.525 sin , ) .
 (1 + sin )2 sin 
 При выводе уравнения (24) использовались следующие единицы
измерения: геопотенциал – в геопотенциальных декаметрах, шаг сетки и
параметр 0 – в сотнях километров, время в часах. Учет масштабного
множителя в виде (11) был достигнут путем умножения на 2 лапласианов и
якобиана, встречающихся в уравнении вихря.
 Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.
 1. Получить самостоятельно обобщенное уравнение вихря в виде
уравнения (24).

 3.3. Расчет функции в узлах сетки
 Для расчета правой части уравнения вихря (24) нам понадобится иметь
значения в узлах сетки в области II. Однако для простоты вычислений
рассчитаем значения в узлах сеточной области I (крайние столбцы и
строки в расчетах использоваться не будут). Для расчета функции синуса в
узлах сетки (sin ) воспользуемся формулами (12) и (13).
 Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.

 21

1. Рассчитать значения (sin ) в узлах сеточной области I по формуле
(12) с учетом формулы (13). Для этого в модуль Прогноз добавить
соответствующий блок. Для удобства выполнения дальнейших расчетов
создать массив sinf:
 Dim sinf(1 to 22, 1 to 26) As Single
 2. Результаты расчетов вывести на отдельный лист с именем «sin»,
предварительно его создав.

 3.4. Расчет лапласиана ∆ в узлах сетки
 Для расчета правой части уравнения вихря (24) нам понадобится иметь
значения лапласиана ∆ в узлах сетки в области II. Для расчета лапласиана в
узлах сетки (∆ ) воспользуемся формулой (15.6).
 Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.
 1. Рассчитать значения (∆ ) в узлах сеточной области II по формуле
(15.6). Для этого в модуль Прогноз добавить соответствующий блок (двойной
цикл). Для выполнения расчетов создать массив dH:
 Dim dH(2 to 21, 2 to 25) As Single
 2. Результаты расчетов вывести на отдельный лист с именем «dH»,
предварительно его создав.

 3.5. Расчет первого аргумента оператора якобиана ( , ) в узлах
 сетки
 Для удобства отладки и структуризации алгоритма рассчитаем отдельно
первый аргумент якобиана из уравнения (24) и поместим результаты
расчетов на отдельный лист.
 Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.
 1. Рассчитать первый аргумент якобиана в сеточной области III по
формуле:
 0.843
 = ( ∆ + 0.525 sin )
 (1 + sin )2 sin 

 22

Для этого в модуль Прогноз добавить соответствующий блок (двойной
цикл).
 2. Для выполнения расчетов создать массив :
 Dim (3 to 20, 3 to 24) As Single
 3. Результаты расчетов вывести на отдельный лист с именем « »,
предварительно его создав.

 3.6. Расчет поля адвекции вихря в узлах сетки
 Составить программу расчета поля адвекции вихря (правой части
уравнения вихря)
 0.843
 ≡ 2 = 2 ( ∆ + 0.525 sin , ) (25)
 (1 + sin )2 sin 
по значениям геопотенциала в узлах прямоугольной сеточной области III.
 С учетом предыдущих шагов уравнение (25) можно представить в
следующем виде:
 = 2 ( , ) . (25.1)
 Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.
 1. Рассчитать поле адвекции вихря в сеточной области III по формуле
(25.1).
 Для этого в модуль Прогноз добавить соответствующий блок (двойной
цикл).
 2. Для выполнения расчетов создать массив :
 Dim (3 to 20, 3 to 24) As Single
 3. Результаты расчетов вывести на отдельный лист с именем « »,
предварительно его создав.

 3.7. Решение конечно-разностного баротропного уравнения вихря
 Для численного интегрирования баротропного уравнения вихря в виде
(20) будем использовать итерационный метод, который носит название метода
верхней релаксации. В отличие от точных методов, метод верхней релаксации

 23

является приближенным решением уравнения вихря, и позволяет получить
конечный результат с некоторой заданной точностью.
 Прежде, чем изложить суть метода, условимся о порядке счета в
прямоугольной сеточной области для разных узлов сетки в пределах одной
итерации. Пусть счет начинается с узла = 1, = 1, а затем последовательно
выполняется для всех узлов строки = 1 в порядке возрастания . После этого
выполняется счет для узлов строки = 2 в том же порядке, затем для строки
 = 3 и т.д. Тогда метод верхней релаксации можно записать в виде
совокупности формул:
 ( , +1) ( ) ( +1) ( +1) ( ) ( )
 = , +1 + −1, + , −1 + +1, − 4 − , (26.1)
 ( +1) ( ) ( , +1)
 = + , (26.2)
где – номер итерации, – коэффициент релаксации, – невязка уравнения.
Оптимальное значение связано с числом узлов сетки соотношением:
 1
 опт = . (27)
 √ 2
 2 + 4 − (cos + cos
 −1 − 1)
 Невязка уравнения (20) на очередной -ой итерации в узле , определяется
по формуле (26.1). Следующая итерация + 1 в том же узле находится по
формуле (26.2). Итерационный процесс прекращается при выполнении условия
 | | ≤ .
Здесь | | – наибольшая по абсолютной величине невязка среди всех узлов
сеточной области, – некоторое заданное число.
 Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.
 1. Составить программу вычисления поля тенденции геопотенциала по
полю адвекции вихря путем интегрирования уравнения Гельмгольца
 1
 ∆ − = 
 20
методом верхней релаксации. Предусмотреть возможность использования
программы для интегрирования уравнения Пуассона
 ∆ = .
 24

Расчеты поля тенденции геопотенциала выполнить в сеточной области
III. Для этого в модуль Прогноз добавить соответствующий блок (двойной
цикл).
 2. Начальное приближение поля задать в области II (рис. 3) в виде
 (0)
 = 0, = 2,3, … , − 1; = 2,3, … , − 1 .
 3. Граничное условие на контуре областей I и II задать в виде:
 1, = , = 0, = 1,2, … , ,
 ,1 = , = 0, = 1,2, … , .
 2, = −1, = 0, = 2,3, … , − 1 ,
 ,2 = , −1 = 0, = 2,3, … , − 1 .
 4. Принять = 22, = 26, = 1.0036 (соответствует значениям
 0 = 2500 км, = 300 км), = 0,4, = 0,03.
 5. Для выполнения расчетов создать массив :
 Dim (1 to 22, 1 to 26) As Single
 6. Результаты расчетов вывести на отдельный лист с именем « »,
предварительно его создав.

 3.8. Геострофический баротропный прогноз
 Составить программу геострофического баротропного прогноза для
прямоугольной области.
 Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.
 1. Начальное поле геопотенциала задать в области I, прогностическое
поле пр рассчитывать для области III и вывести его на отдельный лист с
именем « пр». Контуры полей расчетных функций указаны на рис. 4.
 2. Постоянные во времени граничные значения на контурах областей I и
II задать в виде:
 1, = , = 0, = 1,2, … , ,
 ,1 = , = 0, = 1,2, … , .
 2, = −1, = 0, = 2,3, … , − 1 ,

 25

 ,2 = , −1 = 0, = 2,3, … , − 1 .

 Рис. 4. Контуры полей расчетных функций.

 3. Для итерационного определения поля на каждом временном шаге,
кроме первого, в качестве начального приближения использовать поле ,
рассчитанное на предыдущем шаге. На первом шаге с этой целью задать
«нулевое» поле = 0 во всех узлах сеточной области.
 4. Для экстраполяции (прогноза) поля шагами по времени использовать
на первом шаге метод Эйлера (21), на всех последующих шагах – метод Адамса
(22). Расчеты прогностического поля геопотенциала выполнить в сеточной
области III. Для этого в модуль Прогноз добавить соответствующий блок
(двойной цикл).
 5. Для прогностического поля не обязательно создавать новый массив
 пр , а для хранения прогнозов на каждом временном шаге можно использовать
один и тот же массив . При этом результаты расчетов каждый раз выводить на
отдельный лист с именем « пр », предварительно его создав. Копия исходных
данных, которая понадобится для оценки прогноза, будет храниться на листе
« исх».
 6. Для сглаживания поля пр в пределах области IV и получения
 ̃ использовать формулу (23). Процедуру сглаживания
сглаженных значений 
поля пр проводить через каждые 3 шага по времени.

 26

7. Для реализации геострофического баротропного прогноза на сутки
выполнить 24 шага по времени с длительностью каждого шага 1 час. Для этого
необходимо разделы 3.4-3.7 и п.4 раздела 3.8 повторить 24 раза в цикле по
времени. На каждом временном шаге на лист « » выводить конечное число
итераций , достигнутых на этом шаге. После выполнения прогноза оценить
среднее число итераций, которое будет показателем качества численной схемы
верхней релаксации.

 3.9. Оценка оправдываемости прогноза
 Пусть прогноз метеорологического элемента представляет собой
совокупность скалярных величин, т.е. чисел, каждое из которых относится к
одной точке в пространстве или во времени ( = 1,2, … , ). Введем
обозначения и , п , ф соответственно для исходных, прогностических и
фактических точечных значений элемента и обозначение
 
 1
 ̅ = ∑ 
 
 =1

для операции осреднения в статистическом смысле. Тогда разности
 = п − ф , = ф − и , = п − и
характеризуют ошибку прогноза и фактическое и прогностическое изменения
элемента в некоторой точке.
 Достаточно полное представление об успешности прогноза в всех 
точках дает следующая совокупность оценок [3]:
 1) средняя ошибка прогноза
 = ̅ = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
 п − ф ;
 2) средняя квадратическая ошибка прогноза

 = √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
 ( − ̅)2 ;

 3) средняя квадратическая фактическая изменчивость

 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2
 ф = √( − ̅) ;

 27

4) средняя квадратическая прогностическая изменчивость

 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
 п = √( − ̅)2 ;

 5) средняя квадратическая относительная ошибка прогноза
 
 = ;
 ф
 6) отношение средней квадратической прогностической изменчивости к
 средней квадратической фактической изменчивости
 п
 = ;
 ф
 7) коэффициент корреляции между прогностическими и фактическими
 изменениями
 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
 ( − ̅)( − ̅)
 ( , ) = ;
 п ф
 8) коэффициент корреляции между прогностическими и фактическими
 значениями элемента 
 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
 ( п − ̅п )( ф − ̅ф )
 ( п , ф ) = ,
 п ф
 где
 
 1
 ̅п = ∑ п ,
 
 =1
 
 1
 ̅ф = ∑ ф ,
 
 =1

 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2
 п = √( п − ̅п ) ,

 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2
 ф √( ф − ̅ф ) .

 Надежность указанных оценок определяется, в первую очередь, длиной
ряда испытываемых переменных, т.е. значением .

 28

Рекомендации для выполнения задания в среде Excel.
 1. Составить отдельную процедуру (макрос) расчета характеристик
успешности прогноза, воспользовавшись оценками 1)-8). Применить эту
процедуру для оценки качества прогноза поля геопотенциала, полученного при
геострофическом баротропном прогнозе. Составленной процедуре присвоить
имя Оценка.
 2. В качестве исходных, прогностических и фактических полей данных
использовать данные с листов « исх», « пр» и « факт» в сеточной области
III.
 3. Для выполнения расчетов создать массивы Hи, Нп, Нф:
 Dim Hи(3 to 20, 3 to 24) As Single
 Dim Hп(3 to 20, 3 to 24) As Single
 Dim Hф(3 to 20, 3 to 24) As Single
 Созданным массивам присвоить значения с соответствующих листов.
 6. Результаты расчетов вывести на лист с именем « пр» в виде таблицы
значений, рассчитанных по формулам 1)-8).

 29

4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

 4.1. Метод полиномиальной интерполяции
 Метод основан на описании участка поля какой-либо
гидрометеорологической величины в окрестности точки регулярной сетки
полиномом (многочленом). Эти полиномы могут быть алгебраическими
различного порядка, тригонометрическими, сферическими и т. д. и могут иметь
разные порядки. Например, в случае плоскости (один уровень) алгебраические
полиномы первого, второго и третьего порядка имеют соответственно вид:
 1 ( , ) = 0 + 1 + 2 ,
 2 ( , ) = 1 ( , ) + 3 + 4 2 + 5 2 ,
 3 ( , ) = 2 ( , ) + 6 2 + 7 2 + 8 3 + 9 3 ,
где , – координаты, ( = 1,2, … ,9) – коэффициенты. Указанные полиномы
можно записать в более компактном виде:
 + ≤3

 ( , ) = ∑ .
 , =0

 Основы метода рассмотрим на примере поля геопотенциала одного
уровня при использовании полинома первого порядка [1]:
 ( , ) = 0 + 1 + 2 . (4.1.1)
 Определяем коэффициенты 0 , 1 , 2 методом наименьших квадратов по
значениям в нескольких пунктах (станциях), расположенных в окрестности
узла (влияющие точки).
 
 Φ( , ) = ∑[ ( , ) − ]2 = ∑[ 0 + 1 + 2 − ]2 = min . (4.1.2)
 =1 =1

 Число пунктов может быть невелико, однако в любом случае оно
должно быть равно или превышать число членов взятого полинома.
 Дифференцируя последнее выражение последовательно по 0 , 1 , 2 ,
имеем систему алгебраических уравнений:

 30

 Фx, y  n
  a  2  a 0  a1x i  a 2 y i  H i   0,
  0 i 1
  Фx, y  n
   2 a 0  a1x i  a 2 y i  H i x i  0,
  a 1 i 1
  Фx, y  n
  a  2 a o  a1x i  a 2 y i  H i y i  0.
  2 i 1

 Или после тождественных преобразований имеем:
  n n n
  na 0  a1  x i  a 2  y i   H i ,
  n i 1 i 1 i 1
  n n n
  0 i  1 i  2 i i   Hi x i ,
 2
 a x a x a x y
  i 1 i  1 i  1 i 1
  n n n n
  0 i  1 i i  2 i   H i yi .
 2
 a y a x y a y
  i 1 i 1 i 1 i 1

 Решив полученную систему уравнений, найдем искомые коэффициенты
 0 , 1 , 2 в (4.1.1). Если мы поместим начало координат в рассматриваемый
узел сетки или интересуемую точку, то = = 0 и (0,0) = 0 . Это значение
можно принять в качестве искомого значения геопотенциала в узле или точке
сетки. Проделав такую операцию для всех точек регулярной сетки или
интересующих каких-то точек (влияющие станции для каждой точки будут
разными), мы получим в них значения геопотенциала, которые далее можно
использовать для численного прогноза либо автоматического расчерчивания
диагностических полей.
 Изложенная схема интерполяции дает хорошие результаты в случае
одинаковой достоверности данных во всех учитываемых пунктах. Реальная же
гидрометеорологическая информация имеет различную достоверность в разных
пунктах, что может быть связано с использованием приборов различных
конструкций, ошибками измерений, различными расстояниями станций
влияния и пр. В этом случае интерполяция по приведенной схеме может дать
неудовлетворительные результаты. Поэтому необходимо будет учитывать
различия в достоверности данных путем введения в систему (4.1.2)
дополнительных весов :

 31

n 2 n 2
 Фx, y    pi Hx i , yi   Hi    pi a 0  a1x i  a 2 yi  Hi   min .
 i 1 i 1

 Существенно заметить, что какой-либо универсальной методики для
выбора весов не существует, поэтому подбор их осуществляется, как правило,
на основе эмпирических данных и численных экспериментов (например,
пропорционально средней квадратической ошибке данных, пропорционально
расстоянию влияющих станций и пр.).
 Надо отметить, что аналогичным образом может быть получена система
для других видов интерполяционных полиномов.
 Как частный случай полиномиальную интерполяцию можно использовать
для определения некоторых гидрометеорологических характеристик методом
аналогий, когда данные наблюдений по интересующему нас объекту
отсутствуют.

 4.2. Метод оптимальной интерполяции
 Рассмотрим метод линейной оптимальной интерполяции случайной
функции W(t), заданной дискретно для 1 , 2 , … , на конечном интервале,
причем 1 < 2 < ⋯ < . Считая, что эти значения являются результатами
измерений и содержат ошибки, можно записать
 ( ) = ( ) + ( ) , = 1,2, … , , (4.2.1)
где ( ) – истинное значение реализации в момент , а ( ) – ошибка
измерения [1].
 Случайные процессы ( ) и ( ) будем считать стационарными и
стационарно связными, а их характеристики – математическое ожидание,
корреляционные функции и корреляционные функции связи – известными. Без
нарушения общности выводов будем считать, что математическое ожидание
равно нулю, т. е. мы рассматриваем соответствующие центрированные
случайные функции. В противном случае (если математическое ожидание не
равно нулю), нам необходимо случайные функции центрировать.

 32

Искомое значение ( 0 ), являющееся результатом применения линейного
оператора ко всем значениям ( ), можно записать в виде линейной
комбинации
 
 ( 0 ) = ∑ ( ) , (4.2.2)
 =1

где – постоянные коэффициенты, которые надо определить.
 Задача сводится, таким образом, к отысканию таких значений
коэффициентов 1 , 2 , … , , при которых величина
 2

 ( 2 ) = 2 ( 1 , 2 , … , ) = {[ ( 0 ) − ∑ ( )] } (4.2.3)
 =1

обращается в минимум.
 Заметим, что в настоящее время практически приемлемое решение
поставленной задачи получено при предположениях о линейности и
стационарности оператора , а также и стационарной связности случайных
процессов U(t) и V(t).
 Известно, что необходимым условием минимума функции n переменных
является равенство нулю всех ее частных производных по каждой переменной,
т. е. 1 , 2 , … , должны быть решениями системы уравнений:
 σ 2n a1,a 2,...,a n 
  0, i  1,2,...,n.
 a i
 Преобразуем выражение (4.2.3).
  n  
 2
 a1, a 2 ,..., a n   M U t 0   2Ut 0  a i Wt i     a i Wt i  
  2 n
 2n
 
  i 1 i 1  .
 В последнее выражение подставим (4.2.1)
  2 n
 n  
 2
 σ 2n a1,a 2,...,a n   MU t 0   2Ut 0  a i Ut i   Vt i    a i Ut i   Vt i  .
  i 1 i 1  

 33

Воспользовавшись свойствами математического ожидания, преобразуем
полученное выражение, особо обратив внимание на правильность операции
возведения в степень последнего слагаемого.

 a1, a 2 ,..., a n   MU t 0  2  a i MUt 0 Ut i   MUt 0 Vt i 
 n
  2n 2

 i 1

   a ia j MUt i Ut j  MUt i Vt j  MVt i Ut j  MVt i Vt j 
 n n

 + i 1 j1
 n
  K u 0  2  a i K u t 0  t i   K uv t 0  t i  
 i 1

 
    a i a j K u t j  t i   K uv t j  t i   K vu t j  t i   K v t j  t i  
 n n

 i 1 j1
 . (4.2.4)

 Продифференцируем по всем a i :
 2n a1, a 2 ,..., a n 
  2K u t 0  t i   K uv t 0  t i  
 a i

 
  a j K u t j  t i   K uv t j  t i   K vu t j  t i   K v t j  t i  
 n

 j1 , i = 1, 2, …, n.
 Воспользовавшись необходимым условием минимума функции n
переменных, приравняем производные нулю. Получим

  
 K u t 0  t i   K uv t 0  t i    a j K u t j  t i   K uv t j  t i   K vu t j  t i   K v t j  t i 
 n

 j1 . (4.2.5)
 Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений
относительно 1 , 2 , … , , можно убедиться непосредственно, что выполнено и
достаточное условие, т. е. выражение (4.2.3) обращается в минимум (вспомним
одно из правил, известных из математического анализа, например, смена знака
первой производной в окрестности искомой точки).
 Коэффициенты 1 , 2 , … , называют интерполяционными «весами», с
которыми учитываются значения ( ) в сумме (4.2.2), причем

 34

 

 ∑ = 1 .
 =1

 Заметим, что на практике последнее равенство выполняется приближенно
из-за ошибок округления, неизбежно возникающих при расчетах.
 Как нам уже известно, с принципиальной точки зрения вывод формул для
оптимальной экстраполяции и оптимального сглаживания не отличается от
вывода формулы оптимальной интерполяции.
 Рассмотрим частные случаи (4.2.5).
 1. Ошибки измерения отсутствуют, т. е. имеем случай чистой
интерполяции или экстраполяции. В этом случае в формуле (4.2.1) ( ) = 0, а
 ( ) = ( ). Следовательно, ковариационная функция ( ) = 0, ( ) = 0,
 ( ) = 0. Тогда формула (4.2.5) принимает вид:
 
 ( 0 − ) = ∑ ( − ) = 1,2, … , . (4.2.6)
 =1

 Так как корреляционная функция положительно определена, то
определитель линейной системы (4.2.6) отличен от нуля и, следовательно,
система имеет единственное решение. При этом коэффициенты 1 , 2 , … , 
зависят от степени связанности сечений ( ) как между собой, так и с
аппроксимируемым сечением ( 0 ).
 Если сечения ( ) не связаны между собой, но связаны с
аппроксимируемым ( 0 ), то все ( − ) = 0 при ≠ . Поэтому имеем:
 ( 0 − ) = (0)
или
 ( 0 − )
 = = ( 0 − ) ,
 (0)
т. е. коэффициенты определяются через коэффициенты корреляции между
сечениями случайной функции ( 0 ) и ( ), = 1,2, … , .

 35

Если сечение ( 0 ) практически не связано с сечениями ( ), что будет
иметь место при экстраполяции, когда величина упреждения Т будет выбрана
очень большой, то в равенстве (4.2.6) ( 0 − ) = 0 и
 
 ∑ ( − ) = 1,2, … , .
 =1

 Определитель этой системы алгебраических уравнений не равен нулю
(корреляционная функция положительно определена), а потому выполнение
последнего равенства возможно только тогда, когда все коэффициенты 1 =
 2 = ⋯ = = 0. Согласно равенству (4.2.2) в этом случае метод оптимальной
экстраполяции дает аппроксимируемое значение, равное математическому
ожиданию случайной функции.
 2. Ошибки измерений существуют, но они не коррелируют между собой в
различных сечениях и не коррелируют с истинными значениями случайной
функции, т. е.
 ( ) = 0 при = 0 и ( ) = 0, ( ) = 0. (4.2.7)
 Тогда формула (4.2.5) принимает вид:
 
 ( 0 − ) = ∑ [ ( − ) + ( − )] .
 =1

 Так как ( − ) ≠ 0 только при = , то
 
 ( 0 − ) = ∑ ( − ) + (0) , (4.2.8)
 =1

где = 1,2, … , .
 Оценим ошибку оптимальной интерполяции со сглаживанием. В нашем
случае равенство (4.2.4) с учетом (4.2.7) принимает вид:
 
 2 ( 1 , 2 , … , ) = (0) − 2 ∑ ( 0 − ) + ∑ ∑ ( − )
 =1 =1 =1
 
 + ∑ 2 (0) . (4.2.9)
 =1

 36

Умножив каждое из равенств (4.2.8) на соответствующее и сложив
результаты, получим:
 
 ∑ ( 0 − ) = ∑ ∑ ( − ) + (0) ∑ 2 .
 =1 =1 =1 =1

 Подставим полученное выражение в (4.2.9).
 
 2 ( 1 , 2 , … , ) = (0) − ∑ ( 0 − ) + ∑ ∑ ( − ) −
 =1 =1 =1
 
 − (0) ∑ 2 + ∑ ∑ ( − ) + ∑ 2 (0) .
 =1 =1 =1 =1

 Приводя подобные члены, имеем:
 
 2 ( 1 , 2 , … , ) = (0) − ∑ ( 0 − ) .
 =1

 В этом выражении последняя сумма неотрицательна (корреляционная
функция положительно определена) и (0) = = . Поэтому ошибка
оптимальной интерполяции (экстраполяции) не превосходит дисперсии
случайной функции:
 2
 2 ( 1 , 2 , … , )
 ≤ или = ≤1,
 
т. е. относительная ошибка не превосходит единицы. Окончательно имеем:
 
 = 1 − ∑ ( 0 − ) , (4.2.10)
 =1

где
 ( 0 − ) 2
 ( 0 − ) = , = .
 
 Вернемся к равенству (4.2.8), обе части которого разделим на дисперсию
случайной функции (напомним, что в силу стационарности дисперсия для всех
сечений случайного процесса постоянна).
 
 ( 0 − ) ( − ) (0)
 = ∑ + , = 1,2, … , (4.2.11)
 
 =1
 37

 (0)
где (0) – дисперсия ошибки, – дисперсия истинной реализации, –
 
относительная ошибка измерения.
 Через нормированные корреляционные функции равенство (4.2.11)
запишется:
 
 ( 0 − ) = ∑ ( − ) + , = 1,2, … , 
 =1

 Для краткости дальнейших записей обозначим:
 ( 0 − ) = 0 , ( − ) = .
 Итак, окончательно система уравнений оптимальной интерполяции
(экстраполяции) со сглаживанием имеет вид:
 
 0 = ∑ + , = 1,2, … , .
 =1

 Запишем эту систему в развернутом виде.
 a1 R11    a 2 R12  a 3R13  ...  a n R1n  R 01,
  aR  a 2 R 22    a 3R 23  ...  a n R 2n  R 02 ,
  1 21
  a1R 31  a 2 R 32  a 3 R 33     ...  a n R 3n  R 03 ,
  ... ... ... ... ... ...
 
  a1R n1  a 2R n2  a 3R n 3  ...  a n R nn    R 0n .
 Систему линейных алгебраических уравнений можно переписать и для
случая измерений без ошибок, когда = 0.
 Найденные значения ( = 1,2, … , ) подставим в формулу (4.2.2),
записанную для центрированных величин (напомним, что, не нарушая
общности рассуждений, мы положили математическое ожидание равным
нулю). Переходя к нецентрированным величинам, получим истинное значение
случайной функции при заданном значении аргумента.
 Очевидно, что методика, изложенная применительно к стационарным
процессам одной переменной , полностью применима и для пространственной
интерполяции (экстраполяции) изотропных и однородных полей.

 38

Соответствующие формулы легко получаются заменой скалярного аргумента 
векторным аргументом .
 Метод оптимальной интерполяции, основанный на вероятностной модели
согласования гидрометеорологических наблюдений, как показал опыт,
обеспечивает по сравнению с другими методами картирования максимальную
точность восстановления полей в узлах регулярной сетки.
 В случае расчета карты одного крупномасштабного поля (по измерениям
этого же поля) для оптимальной интерполяции, как мы уже убедились,
необходима предварительная оценка корреляционной функции поля. Эта
функция служит естественной характеристикой его пространственной
изменчивости. Однако при практической оценке корреляционной функции
приходится накладывать статистические ограничения на изменчивость поля,
вводя предположения об однородности и изотропности его по отношению к
корреляционной функции и о постоянстве его среднего значения. В этом случае
корреляционная функция зависит не от координат точек, а только от скалярного
расстояния между этими точками.
 В метеорологии для крупномасштабной структуры, характеризующейся
горизонтальными расстояниями порядка сотен километров, можно говорить об
однородности и изотропности только в горизонтальном направлении или вдоль
изобарической поверхности. С этой точки зрения при анализе
крупномасштабной структуры целесообразно рассматривать значения какой-
либо одной метеорологической величины на двух уровнях (или на двух
изобарических поверхностях) как бы в качестве двух различных
метеорологических переменных.
 Свойства изотропности и однородности выполняются приближенно, и
при расстояниях, сравнимых с радиусом Земли, они, по-видимому,
нарушаются. Практически, как показывают многочисленные расчеты,
корреляционные функции высот изобарических поверхностей можно считать
функциями только расстояния до тех пор, пока это расстояние не превышает
примерно 3 000 км.
 39

Хотя гипотезы однородности и изотропности не являются столь уж
принципиальными для ряда применений корреляционных функций, в том числе
и для оптимальной интерполяции, однако принятие этих гипотез позволяет
значительно облегчить использование корреляционных функций. Определение
макромасштабных корреляционных функций производится путем обработки
массового материала обычных аэрологических наблюдений. При выборе
исходного материала необходимо соблюдать ряд требований, направленных на
обеспечение однородности и репрезентативности данных: данные следует
брать в пределах одного сезона или его части; не следует использовать данные

за соседние сроки наблюдений из-за их связности (достаточно брать данные,
отстоящие друг от друга на двое-трое суток); в качестве норм следует
принимать средние значения по тому же материалу, который используется для
определения корреляционных функций (то же относится и к дисперсиям).

 Список литературы

 1. Аргучинцева А.В. Методы статистической обработки и анализа
 гидрометеорологических наблюдений: учеб. пособие / А.В. Аргучинцева.
 – Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 2007. – 105 с.
 2. Белов П.Н. Численные методы прогноза погоды. – Л.: Гидрометеоиздат,
 1975. –392 с.
 3. Белов П.Н. Сборник упражнений по численным методам прогноза
 погоды. – Л.: Гидрометеоиздат, 1980. –136 с.
 4. Белов П.Н., Переведенцев Ю.П., Гурьянов В.В. Численные методы
 анализа и прогноза погоды.– Казань, Изд-во Казан. ун-та, 1991.–84 с.
 5. Практикум по численным методам прогноза погоды. Под ред.
 Л.С.Гандина. – Л.: Гидрометеоиздат, 1978. –216 с.

 40