Лабораторная работа 4. Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы.
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики
Кафедра теоретической и прикладной механики
В.Г. Мельников, С.Е. Иванов, Г.И. Мельников
Лабораторная работа №4.
Вынужденные колебания линейной системы с одной
степенью свободы.
Санкт-Петербург
2008ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
Виртуальная лабораторная установка (механическая система)
представляет собой механизм с пятью подвижными звеньями: Т-образной
подпружиненной платформы с тремя колесами и с маятником регулируемой
длинны. Электродвигатель обеспечивает через пружину “подкачку” энергии
в систему, а линейный вязкий демпфер осуществляет диссипацию (тепловое
рассеивание энергии).
Виртуальная лабораторная установка предназначена для изучения
динамики стационарных и нестационарных механических систем с одной и
двумя степенями свободы.
Для её работы необходимо, чтобы на компьютере был установлен
Internet Explorer 6.0 и установлена Java Runtime Environment 5.0, последнюю
версию которой можно бесплатно загрузить с сайта Sun Microsystems
www.java.com/en/download/.
Виртуальная лабораторная установка разработана на языке
программирования Java.
Рис.1 Лабораторная установка
Пользовательский интерфейс виртуальной лабораторной установки
показан на Рис.1. Он состоит из главного окна анимации и двух областей
задания параметров и управления анимацией, расположенных внизу и справа
от окна анимации.
2В нижней области задаются параметры механической системы, а также –
её начальные условия ν (0) , ω (0) , x (0) , ϕ (0) . Совокупность четырех
параметров V = [ν , ω , x,ϕ ] называют фазовым вектором или вектором
состояния системы в момент времени, а каждый из четырёх элементов
называются фазовой координатой. Вывод расчетных формул всегда
происходит на основании рисунка, на котором показано “положительное”
состояние объекта с положительными фазовыми координатами.
Справа от окна анимации расположено поле ввода параметра n , кнопка
запуска и остановки анимации, кнопка настройки анимации «Настройка»,
кнопка вывода числовых результатов анимации «Результат».
Параметры и начальные условия моделируемой модели механической
системы задаются в соответствующих полях ввода.
К изменяемым параметрам лабораторной установки относятся:
m11 , m12 , m21 , m22 − массы соответствующих звеньев,
k1 , k 2 − коэффициенты жесткости пружин,
k3 − коэффициент вязкого трения в демпфере,
k4 − коэффициент вязкого трения в подшипниках трех колес,
k5 − коэффициент вязкого трения в подшипниках маятника,
i2 − радиус инерции диска маятника,
r3 − радиус эксцентрика электродвигателя,
r − расстояние от оси подвеса маятника до центра диска массой
В левом нижнем углу окна анимации отображены неизменяемые параметры
лабораторной установки:
r1 = 0.6 , i1 = 0.424 - радиус и радиус инерции колес платформы,
l = 6.48 - длина однородного тонкого стержня маятника.
Параметр моделирования n - “шаг дискретизации”, влияет на скорость и
погрешность моделирования механической системы.
В окне настройки анимации (рис.2) пользователь может выбрать
степени свободы лабораторной установки: вращательная, поступательная,
стационарная выбрав соответствующую кнопку.
В окне настройки возможно отключить анимацию, которая по умолчанию
включена.
Пользователь может установить время проведения эксперимента и масштаб
получаемых в результате графиков.
Для того чтобы измененные параметры были применены, необходимо
сохранить настройки, нажав соответствующую кнопку “Сохранить”
3Рис.2 Окно настройки анимации. Рис.3 Окно результатов эксперимента.
По окончании времени эксперимента пользователь при нажатии кнопки
результат (рис.3) получает таблицу с исследуемыми параметрами с заданным
шагом по времени.
Для получения необходимых графиков эксперимента x(t ) , ϕ (t ) , ν (t ) ,
ω (t ) , F (t ) (рис.4) пользователь может выбрать соответствующие кнопки или
выбрать все графики отметив кнопку “Показать графики”.
Рис.4 Графики результатов эксперимента
4ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
В работе исследуются вынужденные колебания системы с одной степенью
свободы.
Цели работы
1. Экспериментальное определение частоты собственных
демпфированных колебаний механической системы на вынужденных
колебаниях в условиях резонанса.
2. Экспериментальное определение амплитудно-частотной
характеристики механической системы
Описание установки
На Рис. 12 приведена схема установки в которой платформа совершает
поступательное движение, горизонтальные колебания, а три колеса – плоское
движение. Она состоит из пружины жесткостью k1 , двигателя с
эксцентриком радиусом r3 , приводящим в движение платформу посредствам
пружины жесткостью k2 . Платформа состоит из груза массой m12 , который
вместе с неподвижно зафиксированным на нем двухэлементным маятником
массой m21 + m22 совершает возвратно-поступательные движение по
направляющей на трех роликах общей массой 3m11 . Все три ролика
платформы идентичны. Коэффициент вязкого трения в подшипнике, радиус
инерции и радиус каждого из роликов платформы обозначены
соответственно символами k5 , i1 , r1 . Масса пружины жесткостью k2
считается пренебрежимо малой. Угловую скорость p = β& вращения
эксцентрика можно назначать.
Математическая модель
В качестве обобщенной координаты и обобщенной скорости
механической системы выберем координату x и скорость v = x& платформы.
Считаем, что обе пружины имеют нулевую деформацию при x = 0, β = 0
Кинетическая энергия системы:
1 i112
T = a11ω , a11 = 3m11 2 + 1 + m12 + m22 + m21
2
(0.1)
2 11
r
В случае постоянной угловой скорости эксцентрика, угол его поворота
равен β = pt .
Пренебрегая малым отклонением второй пружины от горизонтального
положения, будем считать, что возмущающая сила изменяется по закону
5F (t ) = F0 sin pt , F0 = k2 r3 (0.2)
Обобщенная сила системы сил, приложенных к механизму, находится из
мощности P системы сил
Q = P / v = − ( k1 + k2 ) x − k2 r3 sin pt − k5 x& (0.3)
Дифференциальное уравнение движения в случае постоянной
приведенной массы a11 имеет вид && x = Q / a11 . Отсюда
x + b11k5 x& + b11 (k1 + k2 ) x + b11k2 r3 sin pt = 0 при b11 = 1/ a11
&& (0.4)
Рис.12. Система с одной степенью свободы
Окончательный вид динамического уравнения
x + 2nx& + k02 x + h sin pt = 0
&& (0.5)
при обозначениях констант
k k +k F kr
n = 5 , k0 = 1 2 , h = 0 = 2 3 ,
2a11 2a11 a11 a11 (0.6)
Здесь n - коэффициент демпфирования, k0 - собственная частота
незатухающих колебаний.
Уравнение (0.5) относится к классу линейных неоднородных
дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами. Предполагается, что вязкое трение мало, т.е. коэффициент
n малый. Тогда характеристическое уравнение, составленное для
6дифференциального уравнения (0.5), имеет пару комплексно-сопряженных
корней с малой вещественной частью.
С течением времени устанавливается режим вынужденных колебаний,
определяемый как частное решение уравнения (0.5) в виде
x = H sin( pt − γ ) (0.7)
где
h 2np
H= , γ = arctg 2 , k = k02 − n 2 (0.8)
k 2 + 4n 2 p 2 k0 − p 2
Параметр k в выражениях (0.8) есть собственная частота свободных
демпфированных колебаний.
Резонансная амплитуда вынужденных колебаний находится как
максимум функции H ( p )
h
H max = , (0.9)
2nk
Она соответствует резонансной частоте p1 , равной
p1 = k02 − 2n 2 (0.10)
По экспериментально найденному оценочному значению H max *
, можно
получить оценки n* и k5* значений неизвестных параметров механизма k5 и
n :
h k2 r3
n* = *
, k *
5 = *
(0.11)
2 H max k H max k
При малом затухании n резонансную частоту p1 , считают приближенно
равной собственной частоте системы k .
Порядок проведения эксперимента
1. Рассмотреть предварительный этап: свободные затухающие колебания
механической системы при выключенном двигателе. Задать p = 0 ,
β = 0 , x0 и по графику колебаний x(t ) определить собственную
частоту свободных затухающих колебаний k.
2. Вынужденные колебания механической системы. Определение
резонансной частоты устройства. Изменяя частоту возмущающего
воздействия p в окрестности значения p=k, найти положение, при
котором амплитуда установившихся вынужденных колебаний
максимальна. Построить амплитудно-частотную характеристику
системы в окрестности частоты резонанса. Выписать найденное
значение частоты pmax и амплитуды H max .
3. По формуле (0.11) получить оценки параметров n* и k5* . По исходным
данным вычислить значение параметра n (0.11) и получить
относительную погрешность определения параметра δ n = (n − n* ) / n .
7ЛИТЕРАТУРА
1. Г.И. Мельников Учебное пособие по теоретической механике для
слушателей ФПК и студентов. Л.: ЛИТМО, 1984.
2. В.Г. Мельников, С.Е. Иванов, Г.И. Мельников Компьютерные
технологии в механике приборных систем. Учебное пособие / Под
редакцией В.Г. Мельникова. СПб: СПб ГУ ИТМО, 2006. – 127 с.
3. А.Г.Кривошеев, Г.И.Мельников, А.А.Тихонов Под. ред. Г.И.
Мельникова. Статика на компьютере. СПб., ГИТМО(ТУ) 2000.
4. Курс теоретической механики. / В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М.
Ильин и др. Под ред. К.С. Колесникова. - М.: МГТУ им Н.Э. Баумана,
2005.
5. С.М. Тарг Краткий курс теоретической механики. М.: Наука, 1998.
6. В.А. Диевский Теоретическая механика. –СПб.: изд. Лань, 2005.-320 с.
7. А.А. Яблонский, В.Я.Никифорова Курс теоретической механики.
М.:Наука, 2001
8. П.Н. Поляхов, С.А. Зегжда, М.П. Юшков Теоретическая механика. –М.:
Высшая школа, 2000. – 592 с.
9. А.П. Маркеев Теоретическая механика. М.:Наука, 2001.
10. В.Ф.Журавлев Основы теоретической механики. М.: Наука, 2001.
11. С.П.Тимошенко Колебания в инженерном деле. -М.:Наука, 1967.-444 с.
12. Вибрации в технике: Справочник. Т1 Колебания линейных систем. Под
ред. В.В. Болотина, 1999, 504 с.
8Вы также можете почитать
