ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2014, том 48, № 3, с. 198–210
УДК 550.383
ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО
© 2014 г. М. Ю. Решетняк
Институт физики Земли РАН, Москва
Поступила в редакцию 23.07.2012
Используя Лагранжев подход, автор рассмотрел временную эволюцию ансамбля взаимодействую
щих между собой магнитогидродинамических циклонов, подчиняющихся уравнениям ланжеве
новского типа, во вращающейся среде. Задача актуальна для быстровращающихся конвективных
объектов: ядер планет и ряда звезд, где числа Россби много меньше единицы, и наблюдается гео
строфический баланс сил. В работе приведены результаты моделирования как для двумерного слу
чая, когда оси циклонов могут вращаться только в вертикальной плоскости, так и для трехмерного
случая, когда оси вращаются по двум углам. Показано, что изменение теплового потока на границе
оболочки влияет на частоту инверсий среднего дипольного магнитного поля, что согласуется с ре
зультатами моделирования в трехмерных моделях планетарного динамо. Рассмотрены приложения
модели для планет гигантов и предложено объяснение некоторых эпизодов геомагнитного поля в
прошлом.
DOI: 10.7868/S0320930X14030049
ВВЕДЕНИЕ Циклоническая конвекция является источником
средней гидродинамической спиральности, име
Генерация магнитных полей является предме ющей принципиальное значение для генерации
том изучения теории динамо, суть которой состо крупномасштабных магнитных полей в планетар
ит в объяснении последовательного превращения ных ядрах. Поскольку вычисление турбулентных
тепловой и гравитационной энергии, связанной с коэффициентов переноса для высоко анизотроп
дифференциацией вещества, в энергию кинети ных сред (Hejda, Reshetnyak, 2009) является лишь
ческих движений проводящей жидкости и после предметом будущих исследований, то к анализу
дующее превращение кинетической энергии в уже имеющихся результатов численного модели
энергию магнитного поля (Rudiger, Hollerbach, рования следует подходить очень осторожно.
2004). Современные модели динамо включают в
себя уравнения в частных производных конвек Для того чтобы хоть както приблизиться к
ции и генерации магнитного поля, которые в силу требуемому режиму в жидком ядре, необходимо
ряда ограничений должны быть трехмерными. использование моделей с сетками 1283 и выше, и
Обычно точность наблюдений внутреннего маг для получения даже небольшого количества ин
нитного поля астрофизических объектов не пре версий вычисления занимают месяцы, поскольку
вышает первого десятка гармоник в разложении магнитные времена существенно больше гидро
по сферическим функциям. Так, для Земли сфе динамических и требуется длительный счет для
рические гармоники с номерами, большими 13, получения необходимой статистики инверсий.
экранируются слоем проводящей мантии. Для Пространственное же разрешение имеющихся
других объектов точность измерений еще хуже. В геомагнитных наблюдений уже на нескольких ха
то же время для выдерживания правильного балан рактерных магнитных временах в прошлое не пре
са сил в моделях необходимо разрешение малых вышает первых гармоник в разложении по сфери
масштабов, связанных как с большими числами ческим функциям, т.е. сравнение высокоточных
Рейнольдса (для Земли Re ~ 108), так и с возникно численных моделей с наблюдениями является не
вением циклонической конвекции с малыми гори однозначным.
зонтальными масштабами. Анизотропия течений в Несмотря на упомянутые технические слож
жидких ядрах вызвана быстрым планетарным вра ности, современным моделям динамо удается
щением, приводящим к появлению геострофиче воспроизводить многие черты современного и
ского баланса сил: баланса градиента давления и палеомагнитного поля, в том числе инверсии гео
силы Кориолиса (Pedlosky, 1987). Конвекция в яд магнитного поля, когда магнитный диполь меня
рах планет имеет циклонический характер. Сами ет свою полярность, см. подробнее (Jones, 2011).
циклоны и антициклоны вытянуты вдоль оси Очевидно, что при наличии сложных трехмерных
вращения, а их диаметр много меньше их длины. моделей, дающих детальную пространственно
198ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО 199
(a) (б)
z z
Ω Si – 1 Si
Si
θi Ω θi
ϕi – ϕi – 1
Рис. 1. Спины расположены на окружности и могут изменять угол относительно оси z. (а) Спины могут изменять на
правление в меридиональной плоскости, направление спина Si задано углом θi; (б) спины вращаются в пространстве,
направление спина Si задано двумя углами θi, ϕi.
временную структуру физических полей в жид ными во времени углами и возможна прецессия
ком ядре и на поверхности планет, хотелось бы диполя вокруг географической оси.
иметь в своем распоряжении и простые модели,
позволяющие воспроизводить основные черты
геомагнитного поля в прошлом на больших вре ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДОМИНО
менах. Данные модели должны основываться на
современном представлении о циклонической Рассмотрим модель домино (Nakamichi и др.,
конвекции в жидком ядре и давать сходную кар 2012), являющуюся развитием XYмоделей Изинга–
тину эволюции магнитного диполя. Для это цели Гайзенберга взаимодействующих магнитных спи
мы рассмотрим модель домино, предложенную в нов (см. подробнее классификацию и термино
(Nakamichi и др., 2012; Mori и др., 2013), являю логию в (Stanley, 1971)). Идея модели домино
щуюся развитием уже известных спиновых моде сводится к рассмотрению системы N взаимодей
лей, см. подробнее об использовании моделей до ствующих двумерных спинов Si , i = 1 …N , во вра
мино в других областях физики (Stanley, 1971). щающейся среде с угловой скоростью Ω = (0, 1).
Суть модели состоит в том, чтобы представить маг Спины расположены равномерно по единичной
нитное поле планеты в виде суперпозиции магнит окружности и могут менять во времени t угол θ от
ных полей отдельных спинов, имеющих постоян носительно оси вращения, перпендикулярной
ную амплитуду и закрепленных на окружности плоскости окружности так, что Si = (sin θ i , cos θ i )
единичного радиуса. Спины могут менять угол по (см. рис. 1а). На каждый спин Si действуют слу
отношению к оси z, проходящей через центр дан чайная сила, трение, а также сила со стороны двух
ной окружности и перпендикулярной плоскости
окружности. Далее ось z будет совпадать с осью ближайших соседей Si−1 и Si+1.
вращения всей системы в целом. Спины взаимо Прототипом спинов являются магнитные по
действуют между собой так, что минимальная ля, генерируемые циклонической конвекцией.
энергия взаимодействия соответствует сонаправ Согласно аналитическим оценкам (Busse, 1970) и
ленным спинам. Вращение системы приводит к трехмерным моделям геодинамо (Jones, 2000),
появлению предпочтительного направления спи конвективные ячейки в жидком ядре вытянуты
нов вдоль оси вращения, задаваемого введением вдоль оси вращения и вращаются вокруг своей
потенциала в систему. Ниже мы сначала рассмот собственной оси вращения, параллельной оси
рим, как система таких спинов, поворачивающих вращения всей системы, так что их спиральность
ся в вертикальной плоскости, может быть исполь оказывается разного знака в разных полушариях.
зована для объяснения существования тепловых Если конвекция достаточно интенсивна, то такая
ловушек магнитного поля, когда флуктуации теп система может генерировать магнитное поле. Воз
лового потока запирают магнитный диполь вблизи никающее магнитное поле слабо меняет форму те
полюсов (режим редких инверсий геомагнитного чений (Jones, 2000). Для наблюдателя, находяще
поля), или вблизи экватора (магнитное поле Неп гося сравнительно далеко от объема генерации (на
туна и Урана). Далее мы приведем обобщение Земле – это на расстоянии мантии), доступна
данного подхода на случай трехмерия, когда на лишь осреднeнная картина, воспринимаемая как
правление спинов определяется двумя перемен осесимметричный магнитный диполь.
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014 2*200 РЕШЕТНЯК
Для вывода динамических уравнений восполь к инверсии поля, что и определило название моде
зуемся лагранжевым подходом. Лагранжиан си ли. Все расчеты проведены для близких к предло
стемы равен сумме лагранжианов отдельных спи женным в (Nakamichi и др., 2012) значениям пара
нов. Запишем лагранжиан iго спина в виде метров γ = −1, λ = −2, κ = 0 . 1, ⑀ = 0 . 65, τ = 10 −2,
ᏸ i = K i − U i , где K i = 1 θ i2 – кинетическая энергия N = 8, со случайным χ i , распределенным по нор
2 мальному закону, с нулевым средним и единич
спина, U i = λ ⎡⎣(Si ⋅ Si +1 ) + (Si ⋅ Si −1 )⎤⎦ + γ( Ω ⋅ S i )2 – по ной дисперсией, и обновляемым на каждом вре
тенциальная энергия спина, включающая взаи менном шаге, равном τ. Исследования показыва
модействие с соседними спинами и эффект вра ют, что результаты слабо зависят от выбора
щения, сводящийся к стремлению спина распо формы случайного шума χ, и остальные парамет
ложиться вдоль оси вращения, γ, λ – константы. ры могут быть легко подобраны для достижения
Рассмотрим уравнения Лагранжа для перемен сходства с наблюдениями. Характерное поведе
ние аксиального диполя магнитного поля пред
ных (θ, θ ), добавив диссипативную функцию
ставлено на рис. 2a, где наблюдается несколько
⑀χ
Ᏺ i = κ θ i2 и источник энергии ᑬ i = θi i : нерегулярных во времени инверсий поля на ин
2 τ тервале времени ∼25 млн лет (см. оценки харак
d ∂ᏸ i − ∂ᏸ i + ∂Ᏺ i + ∂ᑬ i = 0, терных времен в (Nakamichi и др., 2012)). Процесс
(1) сопровождаеся короткими падениями амплитуды M
dt ∂θ i ∂θi ∂θ i ∂θi до нулевого уровня и последующими быстрыми
где κ, ⑀, τ – постоянные параметры, χ – случайная восстановлениями амплитуды, хорошо известны
функция. Подставляя значения ᏸ i , Ᏺ i и ᑬ i в (1), ми наблюдателям и именуемыми в геомагнетизме
получаем систему уравнений ланжевеновского экскурсами геомагнитного поля.
типа: Экскурсы иногда еще называют неудавшими
ся инверсиями поля. Детальный анализ и зависи
θ i − 2γ cos θ i sin θ i + λ[cos θ i (sin θ i −1 + sin θ i +1) − мость решения системы (2) от параметров можно
⑀χ найти в (Nakamichi и др., 2012), ограничимся
− sin θ i (cos θ i −1 + cos θ i +1)] + κθ i + i = 0, (2) лишь следующим замечанием. До настоящего
τ
времени из наблюдений нет ясного понимания,
θ 0 = θ N , θ N +1 = θ1, i = 1 … N . как происходит инверсия магнитного поля. Суще
Система нутационных уравнений (2) описывает ствует два сценария инверсий: магнитный диполь
эволюцию углов отклонения θ i спинов во време производит вращение на 180° без уменьшения ам
ни относительно оси вращения в форме второго плитуды, или сначала уменьшается по величине, а
закона Ньютона с периодическими граничными потом совершает переворот и восстанавливает
условиями. Суммарному аксиальному диполю прежнее значение амплитуды. Для проверки этих
будет соответствовать величина двух сценариев рассмотрим эволюцию отдельных
спинов во время инверсии (рис. 3). В момент ин
N
версии M = 0 наблюдается большой разброс от
M = 1
N
∑ cos θ . i (3) дельных спинов, что приводит к уменьшению M.
n =1 Отметим, что характерное время инверсии много
В работе (Nakamichi и др., 2012) для решения больше временного шага в модели. Минимальное
системы (2) использовался метод Рунге–Кутты время ∼ N τ 2 распространения возмущения от
4го порядка точности. Наши численные экспе спина Si до максимально удаленного другого спи
рименты показали, что уже использование стан на также меньше времени инверсии. Полученный
дартных явных схем второго и первого порядка результат согласуется с результатами трехмерных
для второй и первой производных по времени в вычислений, в которых наблюдается сосущество
(2) и взятой с предыдущего шага по времени не вание пятен радиального магнитного поля разной
линейной правой части, дает близкие результаты. полярности во время инверсий. Ниже мы вернем
В дальнейшем мы рассмотрим и более сложный ся к этому вопросу при рассмотрении трехмерной
численный метод. модели домино.
Интегрируя по времени (2), уже при неболь
ших N = 8 удается получить весьма разнообраз
ную динамику поведения M, близкую в ряде слу ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ
чаев к палеомагнитным наблюдениям геомагнит ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
ного диполя, включающую как периоды редких Величина теплового потока является важней
инверсий поля, так и частых (Jacobs, 2005). Рас шим параметром теории динамо. Увеличение по
смотрение поведения во времени индивидуаль тока приводит к появлению тепловой конвекции,
ных спинов в модели домино указывает на лави а при дальнейшем увеличении интесивности кон
нообразное перевертывание спинов, приводящее векции – и к генерации магнитного поля, в слу
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО 201
(a) 1
1
M
0
–1
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
cosθi
t 0
(б)
1
M
0
–1
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 –1
t –1 0 1
M
(в)
1 Рис. 3. Зависимость cosθi для i = 1…N от M для инвер
сии на рис. 1а на интервале безразмерного времени
M
0
t = (1–3) × 103. Точки на кривых соответствуют каж
–1 дому 10му значению в вычислениях.
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
t
лового потока на внешней границе жидкого ядра
(г) (Glatzmaier и др., 1999). Флуктуации теплового
M, Me
1 потока на границе, составляющие несколько де
0 сятков процентов от его среднего уровня, возника
–1
ют за счет конвекции в мантии и имеют характер
ные времена 106–107 лет, много большие характер
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
t ных времен процессов в жидком ядре 104–105 лет. В
частности, в работе показано, что увеличение ин
(д) тенсивности теплового потока от экваториальной
1 плоскости вдоль оси вращения к полюсам приво
дит к увеличению степени осевой симметрии си
M
0
стемы в целом и затруднению процесса инверсий.
–1
Последнее следует понимать следующим обра
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 зом. В интервалы времени между инверсиями маг
t нитный диполь находится вблизи географических
полюсов. Преобладание выделенного направле
Рис. 2. Эволюция во времени M для C ψ = 0 (а),
ния связано с единственной причиной – вращени
C ψ = 0.5 (б) и Cψ = –0.5 (в) с ψ = –cos2 θ, и Cψ = 10 (г) ем. Силы плавучести приводят к радиальному сфе
и Cψ = –9 (д) с ψ = –cos2 2θ. На рисунке (г) толстая рически симметричному распределению полей,
линия соответствует M, а тонкая – Me. Время безраз поскольку, вопервых, силы плавучести в жидком
мерно, интервал времени соответствует 25 млн лет. ядре сами имеют радиальное направление, а во
вторых, при обычно используемых сферически
симметричных граничных условиях на границе
чае, если среда проводящая. Известно, что для
сферических оболочек при малых числах Россби ядро–мантия и решение стремится к сферически
первой возбуждающейся магнитной модой явля симметричному. Другими словами, если эффек
ется диполь, не меняющий полярность. Дальней тивное влияние вращения увеличивается, то сле
шее увеличение сферическисимметричного теп дует ожидать уменьшение вероятности смены по
лового потока при постоянной скорости вращения лярности. Это соответствует результатам трехмер
оболочки приводит к относительному ослаблению ного моделирования при малых числах магнитного
вращения и переходу к режиму хаотичных инвер Рейнольдса Rm и Экмана E (Christensen и др.,
сий. Переход связывают с достижением критиче 2001). Назовем этот эффект тепловой ловушкой
ского числа Россби Ro ∼ 0.12 (Christensen, Aubert, для магнитного диполя. В свою очередь, ослабле
2006). ние теплового потока в высоких широтах приво
дит к хаотизации движений магнитного диполя и
Одним из важных результатов теории динамо появлению частых инверсий. Последнее связано
является зависимость числа инверсий магнитно с нарушением геострофического баланса и пре
го поля от пространственного распределения теп обладанием радиальных сил плавучести. Кажется
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014202 РЕШЕТНЯК
заманчивым воспроизвести данный эффект в вольное значение |M| ≤ 1, определяемое началь
рамках модели домино, позволяющей получить ным распределением Si, процесс сопровождается
обширную статистику инверсий и придать боль уменьшением дисперсии M. Другими словами,
шую наглядность результатам. повышенный тепловой поток приводит к фикса
По аналогии с введением вращения в систему ции некогерентных спинов. Согласно наблюде
можно ввести потенциал архимедовской силы Ψ, ниям (Shatsillo и др., 2005), имеются некоторые
с заданной пространственной зависимостью по свидетельства того, что в прошлом магнитный
∂Ψ диполь был как вблизи географических полюсов,
углу θ. Сила Fi = − i , появляющаяся с ообрат что соответствует современному состоянию, так и
∂θi мог находиться длительное время в низких широ
ным знаком в уравнении (2), в отличие от уже
имеющегося случайного и не зависящего от угла тах. Не исключено, что такая миграция могла
источника возмущений ⑀ (который можно интер быть вызвана флуктуациями теплового потока.
Далее мы рассмотрим ряд других распределений
претировать как совокупность всех сферически
теплового потока, приводящих к близким резуль
симметричных сил, включая и архимедовские),
татам.
будет приводить при соответствующем выборе
формы потенциала как к эффективному ослабле Для отрицательных Cψ , при относительном
нию вращения в системе, так и к его усилению. усилении радиальной конвекции в экваториальной
Далее мы рассмотрим влияние этой силы на пове области и снижении геострофичности течений, мы
дение M (t ). получаем обратный эффект (рис. 2в): режим частых
инверсий поля, рис. 1с в (Glatzmaier и др., 1999). В
Пусть Ψ(t , θ) = Cψψ(t, θ), где Cψ – константа, а
этом случае сила F направлена от полюсов и точ
пространственное распределение потенциала за ка равновесия на полюсах является неустойчи
дано в виде ψ = − cos 2 θ. Согласно современным вой. Появление минимума потенциальной энер
оценкам, флуктуации теплового потока на грани гии на экваторе приводит к возникновению ново
це ядро–мантия могут достигать 20% (Olson и др., го аттрактора, так что, например, для C ψ = − 5
2010), что дает характерное значения для Cψ ∼ M < 0. 4, что соответствует магнитному диполю
~ 0 . 2 ⑀ ∼ 1. Тогда Cψ > 0 соответствует устойчиво N
τ
му состоянию спинов (циклонов) в области гео M e (t ) = 1
N
∑ sin θ(t), (4)
графических полюсов θ = 0, π так, что возникаю n =1
щая сила Fi = − sin 2θi , действующая на циклон, на лежащему в экваториальной плоскости. Подобное
правлена к полюсам. Данный режим сопоставим с поведение магнитного поля наблюдается на Непту
повышением теплового потока в области полюсов, не и Уране, см. подробнее (Cupal и др., 2002).
что приводит к вытягиванию циклонов вдоль оси Рассмотрим ψ = − cos 2 2θ, для которого сила
вращения (усилению эффекта вращения, см. тео
рему Тейлора–Праудмана). На рис. 2б–2д показа Fi = − 2 sin 4θi знакопеременна в каждом полуша
рии, что в (Glatzmaier и др., 1999) соответствует
но эффективное влияние тепловой неоднородно
неоднородности, задаваемой зональной сфериче
сти на поведение M.
Увеличение теплового потока вдоль оси вра ской гармоникой четвертого порядка P40, где Pl m –
присоединенный полином Лежандра.
щения (Cψ > 0) приводит к частичному подавле
нию инверсий магнитного поля (рис. 2б). Количе Для Cψ > 0 имеем потенциальный барьер в
ство экскурсов магнитного поля также сокращает средних широтах, затрудняющий инверсии маг
ся, поскольку снижается и дисперсия M. Обратим нитного поля, что подтверждается результатами
внимание, что для выбранной нами формы потен нашего моделирования и результатами трехмер
циального барьера ψ, зависимость для F в точности ных вычислений, см. рис. 1e в (Glatzmaier и др.,
равна зависимости члена при γ в (2): увеличение 1999). Для Cψ = 2 наблюдалась только одна инвер
теплового потока на полюсах приводит к эффек сия магнитного поля. Другим важным моментом
тивному усилению геострофии, вызванной быст является существование устойчивого равновесия
рым суточным вращением, что соответствует фи на экваторе θ = π 2, где M = 0. Можно было бы
зике процесса. Полученный нами результат хоро предположить существование режимов, когда
шо согласуется с трехмерными вычислениями, см. спины имеют два аттрактора: один в высоких ши
рис. 1d в (Glatzmaier и др., 1999). Дальнейшее уве ротах вблизи одного из полюсов и один – на эква
личение амплитуды барьера при Cψ ∼ 2 приводит к торе. Такой режим действительно имеет место
полному прекращению инверсий. Увеличением (см. рис. 2г). Обратного перехода от высоких ши
амплитуды барьера до значений Cψ ∼ 10 можно до рот к экватору не наблюдалось. Интересно, что в
биться состояний, когда M, оставаясь практиче начале вычислений при малых M амплитуда эква
ски неизменным во времени, будет иметь произ ториального диполя M e велика (см. рис. 2г), что
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО 203
позволяет использовать данный сценарий также щей в горизонтальной плоскости, перпендику
для интерпретации магнитных полей на планетах лярной Ω (см. рис. 1б).
гигантах.
Рассмотрим приближение, когда членами с θ,
Ограничимся последним примером, когда
можно пренебречь. Далее мы используем тот
ϕ
Cψ < 0. Здесь, дополнительно к аттракторам, на факт, что для получения прецессионного реше
ходящимся на полюсах (связанным с вращением ния в Лагранжиан следует ввести член, пропор
системы Ω), появляются два аттрактора в средних
широтах (по одному в каждом полушарии). Для циональный ϕ cos θ, и отбросить члены, квадра
Cψ = −1 имеем режим частых инверсий поля, на тичные по скоростям θ и ϕ (Miltat и др., 2002). То
блюдаемый на рис. 1f в (Glatzmaier и др., 1999). Бо гда Лагранжиан iго спина имеет вид:
лее того, удается получить режимы (см. рис. 2д),
ᏸ i = ϕ i cos θ i − γ( Ω ⋅ S i ) − λ ⎡⎣(S i ⋅ S i +1 ) + (S i ⋅ S i −1 )⎤⎦ , (5)
m
когда магнитный полюс большую часть времени
находится в высоких широтах, но все же заметно,
что M ≠ 1 (частичная синхронизация спинов). где m – целое число. Член, учитывающий взаимо
Наблюдаются переходы в неустойчивое состоя действие между соседними спинами, после пре
ние M = 0, соответствующее магнитному диполю образований записывается в следующей форме:
в экваториальной плоскости. Обратим внимание,
что при уменьшении пространственного масшта
ба возмущения теплового потока требуемая ам Ᏽ i = λ ⎡⎣(S i ⋅ S i +1 ) + (S i ⋅ S i −1 )⎤⎦ =
плитуда возмущения для возникновения инвер = λ[sin θi (sin θi +1 cos(ϕi − ϕi +1) + (6)
сии возрастает.
+ sin θi −1 cos(ϕi − ϕi −1)) + cos θi ( cos θi +1 + cos θi −1 )].
ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ Далее мы ограничимся двумя случаями: m = 1, на
блюдающийся в ферромагнетиках, когда важно
Дальнейшим шагом в развитии модели доми направление внешнего магнитного поля, и спины
но является ее обобщение на случай трехмерного сонаправлены Ω. Случай m = 2 соответствует слу
вращения спинов в пространстве. Новая степень чаю, когда важна лишь параллельность спина оси Ω.
свободы – вращение спина в азимутальном на Данный вид предполагает симметрию потенци
правлении, позволяет воспроизводить в модели альной энергии, связанной с вращением, относи
как эффект нутации (отклонение спина от оси тельно экваториальной плоскости и использовал
вращения), так и прецессию – вращение в азиму
ся ранее в двумерном случае (2). Поскольку урав
тальном направлении. Формально это приводит к
появлению нового эволюционного уравнения нения динамо симметричны относительно знака
для азимутального угла ϕ. На начальном этапе си магнитного поля, этот случай важен для описа
ла Кориолиса приводит к формированию спина ния геомагнитного поля. Как мы увидим ниже,
(циклона). Далее ее влияние на спин как целое первые два члена в правой части (5) при m = 1
сводится к созданию предпочтительного направ приводят к уравнению Ландау–Лифшица–Гиль
ления, так же, как в случае с силой тяжести и вра берта (ЛЛГ), в котором синхронизация спинов
щающимся волчком, с той лишь разницей, что оба происходит за счет магнитного поля. Третий член
направления, Ω и −Ω, оказываются равноправны описывает локальное взаимодействие соседних
ми. Последнее соответствует двум устойчивым со спинов.
стояниям равновесия θ = 0, θ = π. Нутацию вызы
вают случайная сила, сила взаимодействия между Запишем уравнения Лагранжа для четырех не
спинами и сила вязкости. Прототипом случайной ϕ ):
зависимых переменных (θ, ϕ, θ,
силы в трехмерных моделях является сила плаву
чести, а силы взаимодействия между спинами – d ∂ᏸ − ∂ᏸ + ∂Ᏺ + ∂ i = 0,
магнитная сила. Ниже мы рассмотрим, как ввести dt ∂θ i ∂θi ∂θ i ∂θ
вращение спинов в пространстве, проводя сопо (7)
ставление полученных уравнений с известными d ∂ᏸ − ∂ᏸ + ∂Ᏺ + ∂ i = 0,
уравнениями для вращающихся тел и магнитных dt ∂ϕ i ∂ϕi ∂ϕ i ∂ϕi
спинов в ферромагнетиках.
где
В трехмерии направление спина Si =
= (sin θ i cos ϕi , sin θ i sin ϕ i , cos θi ) задано двумя уг
лами θ и ϕ в сферической системе координат. Как Ᏺ i = κ (θ i2 + sin 2 θi ϕ i2 ), i = ⑀ ( θi χ i + ϕi ψ i ) , (8)
2 τ
и прежде считаем, что центры систем координат
расположены равномерно по окружности, лежа и ψ – случайная функция.
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014204 РЕШЕТНЯК
Подставляя (5) и (8) в (7) для m = 2, получаем Для случая m = 2 имеем прецессионные урав
систему уравнений: нения вида θ = 0, ϕ = − 2γ cos θ, предсказывающие
инверсию угловой скорости вращения спинов
Ᏽ' ⑀ψ i
θ i − κ sin θi ϕ i − iϕ − = 0, при переходе через экватор. К полученной асим
sin θi sin θi τ метрии следует относиться следующим образом.
(9) Очевидно, что при наличии выделенного направ
θ Ᏽ' ⑀χi ления, связанного с вращением, система несим
ϕ i + κ i − 2γ cos θi + iθ + = 0,
sin θi sin θi sin θi τ метрична относительно инверсии координаты
z → −z, и нарушение зеркальной симметрии в
где Ᏽ i = λ ⎡⎣(Si ⋅ Si +1 ) + (Si ⋅ Si −1 )⎤⎦ . Точный вид членов случае с m = 1 сводится к предпочтительной по
с производными Ᏽ i задан соотношениями: лярности, т.е. предпочтительному значению угла θ.
Для случая же с m = 2 мы имеем равновероятное
Ᏽ'iϕ состояние для θ, но асимметрия отражается в
− = λ[sin θi +1 sin(ϕi − ϕi +1) +
sin θi смене знака ϕ· при переходе через экватор.
+ sin θi −1 sin(ϕi − ϕi −1)], Интересно провести аналогию с соотношени
(10) ем членов в уравнении Навье–Стокса с учетом
Ᏽ iθ
' вращения. Пренебрегая членами с ускорением и
= λ[ctg θi (sin θi +1 cos(ϕi − ϕi +1) +
sin θi пространственными производными, положив ра
+ sin θi −1 cos(ϕi − ϕi −1)) − (cos θi +1 + cos θi −1)]. диальную скорость V r = 0, имеем соотношения
для Vθ и Vϕкомпонент скорости:
Как и прежде в (2), используются периодические
граничные условия: −Vϕ2ctg θ = HVϕ cos θ, VθVϕctg θ = −HVθ cos θ, (13)
θ 0 = θ N , θ N +1 = θ1, ϕ0 = ϕ N , где H – амплитуда силы Кориолиса, а компонен
(11)
ϕ N +1 = ϕ1, i = 1 … N . ты тангенциальной скорости (Vθ,Vϕ) выражаются
Поскольку Лагранжиан в форме (5) не учитывает ϕ sin θ). Оба соотношения в (13)
через углы как (θ,
вторых производных и квадратичных членов θ 2, приводят к ϕ = −H , что соответствует рассмотрен
1
ϕ 2, то система (9) представляет собой баланс сил. ному выше случаю с m = 1 . Как мы видим, требо
С точки зрения динамики это выражается в более вание равновероятности прямой и обратной по
резком отклике на возмущения, вносимые слу лярности, учтенное в случае с m = 2, существенно
чайной силой, которые успевают релаксировать меняет картину.
ся в (2). Вернемся к системе (9) с m = 2. Поскольку мы
Прежде чем перейти к анализу системы (9), не учитывали квадратичные члены по скоростям,
рассмотрим случай с m = 1, для которого в (9) член данное приближение справедливо для медленно
2 γ cos θ меняется на γ. Полагая λ = 0, κ = 0, ⑀ = 0, го решения, когда спины прецессируют вокруг
получаем θ = 0 и ϕ = −γ, т.е. прецессию вокруг оси вращения и не испытывают резких переме
вертикальной оси, что соответствует решению щений, поэтому ее использование для анализа ин
хорошо известного уравнения ЛЛГ без диссипа версий не представляет интереса. Для этой цели
ции для ферромагнетиков: далее мы рассмотрим полные уравнения с учетом
квадратичных членов. А пока рассмотрим, как
S i = −γSi × Ω, (12) влияние случайной силы влияет на предсказанную
асимметрию прецессии в разных полушариях.
имеющего интеграл движения ∂ Si2 = 0, и при не Заметим, что мы уже имеем дело с двумя со
∂t пряженными уравнениями, требующими учета
зависящем от времени Ω еще один интеграл баланса “энергии” между уравнениями и исполь
∂ S ⋅ Ω = 0, откуда следует θ = 0. ϕКомпонента
( i ) зования методов, повышающих устойчивость ре
∂t шения, поскольку появились члены с sin θ в зна
уравнения (12) дает уже полученное нами ранее менателе, обращающемся в ноль на оси. Для этой
эволюционное уравнение для азимутального уг цели мы используем уравнения в “остаточной”
ла: ϕ = −γ. Как уже отмечалось ранее, существова форме (residual form) и применим метод Ньюто
ние прецессии отличает трехмерный случай от на–Рапсона для решения системы нелинейных
двумерного, где роль вращения сводится к притя уравнений, см. Приложение А.
жению спинов к полюсам (2). С формальной точ
ки зрения отличие состоит в том, что производ На рис. 4а показана фазовая диаграмма зави
симости скорости прецессии V ϕ от полярности
ная ∂ᏸ перешла из эволюционного уравнения
∂θ
для θ в уравнение для ϕ. 1 Значение V остается неопределенным.
θ
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО 205
диполя M для последовательности инверсий на (a)
рис. 4б. Очевидно, что введение случайной силы 10
устраняет асимметрию, имеющуюся при отсут
ствии диссипации и внешних сил. Как мы видим,
азимутальные скорости могут быть весьма вели 5
ки, выводя модель за пределы сделанных предпо
ложений при выводе уравнений. Однако на наш
Vϕ
взгляд рассмотренное выше прецессионное при 0
ближение весьма поучительно с точки зрения
проведения аналогии с уравнением ЛЛГ для фер
ромагнетиков, где при температурах ниже точки –5
Кюри θ мало. Аналогичное приближение исполь
зуется и в астрономии, где эффекты нутации мо –10
гут быть также весьма малы. –1.0 –0.5 0 0.5 1.0
Рассмотрим случай, когда
M
θиϕ не равны нулю.
Воспользуемся аналогией с вращающимся волч (б)
ком с единичными моментами инерции (Ландау, 1
Лифшиц, 1988), записав лагранжиан в виде:
ᏸ i = 1 (θ i2 + sin θi ϕ i +
2 2
2 (14) M 0
+ (ϕ i cos θi + ζ i ) ) − γ( Ω ⋅ S i ) − Ᏽ i ,
2 2
–1
где ζ i – угловая скорость вращения волчка. Ана 0 5 × 103 104
логия со спиновой моделью состоит в том, что ζ
t
является заданной постоянной величиной, явля Рис. 4. Для γ = –1.8, λ = –6, κ = 0.1, ⑀ = 0.17, τ = 0.01:
ющейся характеристикой объекта. Для удобства (а) зависимость безразмерной скорости прецессии Vϕ
примем ее равной единице: ζ i2 ≡ S i = 1. Тогда по
2 от полярности диполя – M; (б) эволюция диполя M во
времени. Время безразмерное.
сле упрощения имеем:
ᏸ i = 1 θ i2 + 1 ϕ i2 + ϕ i cos θi − γ cos 2 θi − Ᏽ i , (15) гично роли силы тяжести в модели быстро враща
2 2 ющегося волчка.
где отброшена постоянная, поскольку в уравне
Численный метод решения системы (16) рас
ние Лагранжа входят лишь производные от ᏸ . смотрен в Приложении В.
При отбрасывании квадратичных по скоростям
членов в (15) приходим к использованной ранее На рис. 5а представлен модельный ряд из
упрощенной форме лагранжиана (5). 30 инверсий магнитного поля. Считая характер
Подставляя (14) в (7), приходим к динамиче ное время t i между инверсиями равным 3 × 105 лет,
ским уравнениям вида: имеем длину всего интервала 9 × 106 лет и единицу
времени τ u = 3 × 105 2 × 10 4 = 4 × 500 лет. Оценка
⑀χ
θi + ϕ i sin θi − γ sin 2θi + Ᏽ'iθ + κθ i + i = 0, средней азимутальной скорости Vϕ = 0 . 2 приво
τ (16) дит по порядку величины к характерной архео
⑀ψ
− sin θi θ i + Ᏽ'iϕ + κ sin 2 θi ϕ i + i = 0.
ϕ магнитной оценке времени блуждания магнитно
τ го полюса вокруг географического полюса: τ a =
Простой проверкой убеждаемся, что, отбрасывая = π 1 τ u ∼ 3500 лет, где мы учли, что во времена
вторые производные по времени, получаем си 8 Vϕ
стему (9). Обратим внимание, что задача со спи между инверсиями полюс находится в конусе
ном и волчком отличается от гидродинамической
γ τ
задачи тем, что сила Кориолиса в (16) (член с γ) θ < π . Отношение 2 ∼ 1 соответствует балансу
присутствует лишь в одном из уравнений. Это 8 ⑀
означает, что, в отличие от гидродинамических силы Кориолиса и флуктуационного члена, соот
уравнений, где сила Кориолиса не вносит энер ветствующего, например, силе Архимеда.
гию в систему, в нашем случае работа этой силы Рассмотрим важный для геомагнетизма во
∼ −θγ sin 2θ, и вообще говоря, не равна нулю. Ко прос предсказания инверсий геомагнитного поля
нечно же, это связано с тем, что в модели домино по изменению вариаций поля перед инверсией
влияние вращения на циклон как целое анало (Jacobs, 2005). В качестве меры вариаций примем
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014206 РЕШЕТНЯК
(a) версии рассмотрим поведение средних по пяти
1 реализациям M и Vϕ (рис. 5в, 5г). Как мы видим,
смена полярности не приводит к существенному
M
0 изменению амплитуды Vϕ , что не позволяет пред
сказывать наступление инверсии по данному кри
–1 терию.
0 104 2 × 104 Существенным недостатком модели домино,
t предполагающей дальнодействие при описании
(б) спинового взаимодействия, является отсутствие
1 связи между положением спина и создаваемым им
трехмерным магнитным полем. Именно с этим
связано использование нами до последнего мо
M
0
мента времени упрощенной интегральной харак
теристики поля M. Следующим шагом является
–1 введение поля спина, посредством которого и осу
0 10 20 30 40 50
t ществляется межспиновое взаимодействие. Преж
де чем перейти к усовершенствованию модели,
(в) суммируем наши требования к ней: (i) потенци
1 альная энергия сонаправленных спинов должна
иметь минимум при их расположении вдоль оси
вращения; (ii) модель позволяла бы расчет трех
M
0
мерного магнитного поля в произвольной точке
пространства.
–1
0 10 20 30 40 50 Отождествление спинов с магнитными дипо
t лями позволило авторам (Nakamichi и др., 2012)
получить трехмерное распределение магнитного
(г) поля системы спинов, заменив спины магнитны
0.3 ми диполями с полем:
0.2
|Vϕ |
3r(d ⋅ r) − r 2d
B= , (17)
0.1 r5
0 где d – магнитный момент диполя в центре коор
–1 0 1 динат, а r – радиусвектор точки наблюдения. Од
M нако, как следует из (17), устойчивым состоянием
для двух магнитных диполей, находящихся на рас
Рис. 5. (а) Эволюция во времени M для γ = 1, λ = –4.8, стоянии R друг от друга и имеющих энергию взаи
⑀ = 0.8, κ = 0.2. Время t представлено в безразмерных модействия
единицах. Длина всего интервала ∼9 × 106 лет. (б) Ин
3(d1 ⋅ R)(d 2 ⋅ R) − (d 1 ⋅ d 2 )R
версии поля (по степени утолщения линии) для пяти 2
интервалов времени: (9640, 9690), (12000, 12050), U = , (18)
(12 260, 12 310), (17 840, 17 890), (18 670, 18 720). Для R5
3го и 5го интервалов значение M взято с обратным является квадрупольная конфигурация, когда
знаком. (в) Среднее значение M для рисунка (г).
(д) Среднее значение абсолютного значения скоро магнитные моменты d 1, d 2 направлены противо
сти прецессии V ϕ как функция M .
положно друг другу. Для объяснения же суще
ствования средних полей в феррромагнетиках,
когда магнитные моменты доменов сонаправле
амплитуду скорости прецессии магнитного дипо ны, требуется учет квантовых эффектов (энергии
обменного взаимодействия). Другими словами, в
ля V ϕ вокруг географической оси. Из последова работе (Nakamichi и др., 2012) использовалось вы
тельности инверсий (рис. 5а) выберем пять ин ражение для потенциальной энергии взаимодей
версий, совместив начала инверсий на одном гра ствия спинов, взятое из квантовой механики, а
фике (см. рис. 5б). Характерной особенностью пространственное распределение трехмерного маг
модели домино является наличие переходного ре нитного поля рассчитывалось для ансамбля маг
жима при малых значениях M . В этом состоянии нитных диполей на основе классической электро
система “не знает”, в каком направлении дви динамики. Поскольку результаты в модели доми
гаться, что выражается в большом количестве но оказываются весьма привлекательными, мы и
экскурсов магнитного поля (см. рис. 5а). Для от дальше будем придерживаться такого же сцена
вета на вопрос о возможности предсказания ин рия, не вводя дополнительных усложнений в мо
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО 207
дель. Обратим внимание, что для того чтобы по (a)
лучить используемое в (5) выражение для U, нуж 0.3
но изменить знак в (18) и отбросить первый член,
который мал в интервалах времени между инвер
0
g1
0
сиями.
Используя выражение (17) для ансамбля N ди –0.3
полей, расположенных по окружности единично 1500 2000 2500 3000
го радиуса, рассчитаем распределение трех ком t
понент магнитного поля. Прежде, чем перейти к
анализу карт поля, рассмотрим как меняются его (б)
спектральные характеристики во времени. Для 0.5
этого рассмотрим последовательность пяти ин
версий магнитного поля из расчета на рис. 4а (см.
D, Q
рис. 5а), представленных в виде эволюции акси
ального дипольного коэффициента Гаусса g10 в
0
разложении по сферическим функциям на рас 1500 2000 2500 3000
стоянии трех радиусов окружности, на которой t
расположены сами спины. В целом, данное пове 0 02 12 12
дение можно охарактеризовать равным временем Рис. 6. Эволюция (а) g1 и Ᏸ = 2 g1 + g1 + h1
вхождения и выхода из инверсии, близкими ам (сплошная линия), ᏽ = 3 g 20 2 + g 212 + h212 + g 22 2 + h22 2
плитудами полями с разными полярностями, уве (кружочки) (б). Время t представлено в безразмерных
личением g10 сразу до и после инверсии. Равен единицах (см. подпись к рис. 5а).
ство времен означает, что взаимодействие между
отдельными спинами не успевает существенно перераспределение магнитной энергии между
повлиять на поведение спинов за время инвер масштабами.
сии. Максимальное значение g10 достигается, ко Обратим внимание, что модель воспроизводит
гда все θi = 0 или π, это, в свою очередь, соответ два принципиально разных класса инверсий: при
ствует минимуму потенциальной энергии, свя
занной с взаимодействием спинов и вращением смене знака g10 интенсивность полного магнитно
го поля может как падать и становиться сравни
системы, и повышенным значениям скоростей θ i, мой с квадрупольной (t ∼ 2100 ), так и оставаться
что и является причиной последующей инверсии. на прежнем уровне (другие 4 инверсии магнитно
Поскольку амплитуда спинов не зависит от го поля). Если в первом случае происходят некор
времени, то интегральный поток магнитного по релированные в горизонтальной плоскости пере
ля по модулю по произвольной поверхности, вороты отдельных спинов, то во втором случае
окружающей нашу систему, остается постоян спины вращаются в параллельных плоскостях
ным, а следовательно, и интеграл по спектру маг так, что суммарный магнитный момент остается
нитного поля также сохраняется, например во неизменным. Для рассмотренного режима вто
время инверсии поля. Как показывают расчеты рой случай является более вероятным. Введение
(см. рис. 6б), для рассмотренной геометрии, когда азимутальных неоднородностей может привести
отношение средних по времени амплитуд ди к предпочтительности первого сценария. Эффект
является принципиально трехмерным и связан с
польной и квадрупольной компонент Ᏸ ᏽ ≈ 13 появлением азимутальной компоненты силы,
сравнимо с наблюдаемым на поверхности Земли, учитывающей взаимодействие между спинами, в
в момент инверсии t ∼ 2100 амплитуда диполя Ᏸ динамических уравнениях (16). Согласно наблю
резко падает, а интенсивность квадрупольного дениям, оба сценария инверсии имеют право на
поля ᏽ возрастает. существование.
Интересно, что в трехмерных расчетах пере На рис. 7 представлены распределения Brком
распределение магнитной энергии во время ин поненты магнитного поля во время одной из ин
версий также наблюдается. Последнее связано с версий. Как мы видим на рис. 6б, возможность
тем, что при больших магнитных числах Рей спинов вращаться по углу ϕ приводит к появле
нольдса в магнитострофических системах во вра нию предпочтительного “коридора”, по которо
щающейся системе координат магнитная энергия му происходит смена полярности. Данное явле
много больше кинетической, и уже нельзя спи ние является предметом многолетних дискуссий
сать уменьшение магнитной энергии диполя во палеомагнитологов (Jacobs, 2005), и результат за
время инверсии на увеличение кинетической частую зависит от метода обработки наблюдений
энергии течений. В этом случае возможно лишь древнего магнитного поля.
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014208 РЕШЕТНЯК
(а) ности, Zмодели геодинамо Брагинского. Как в
модели домино, так и в модели Паркера, понятию
циклонической конвекции отводится принципи
альное значение. В моделях среднего поля враще
ние является тем самым механизмом, который
приводит к нарушению зеркальной симметрии,
генерации спиральности, αэффекта и крупно
масштабных магнитных полей. Однако уже на
уровне приложений возможность удобного и про
стого использования аппарата теории теряется,
поскольку нарушается ряд требований по одно
родности и изотропии случайных физических по
лей. В результате ряд ключевых параметров, ис
пользуемых в теории, требует адаптации для усло
вий высокой анизотропии в геострофических
(б) режимах.
В то же время, при моделировании трехмер
ных задач динамо в ядрах планет отправным
пунктом является создание циклонической кон
векции. Магнитное поле в первом приближении
не меняет структуру таких течений, и, конечно же,
если “toy”модель использует такую информацию,
то наглядность предлагаемых сценариев тех или
иных физических процессов только усиливается.
Интересно, что необходимое в теории средних по
лей разделение по масштабам для пространствен
ных масштабов в модели домино выполняется ав
томатически, поскольку энергонесущий масштаб
(в) турбулентности определяется числом циклонов
N Ⰷ 1. Обратим внимание, что введение нело
кального взаимодействия спинов позволяет по
лучить протяженный спектр вариации поля (Na
kamichi и др., 2012). Читатель также должен отно
ситься с пониманием к некоторой вольности
определения понятия самого циклона: в действи
тельности, во время инверсии меняется лишь на
правление магнитного поля индивидуального
циклона, в то время, как его гидродинамика оста
ется устойчивой. Поскольку сила Лоренца квад
ратична по магнитному полю, то это не противо
речит законам электродинамики.
Рис. 7. Распределение Brкомпоненты магнитного
поля в проекции Мольвейде в моменты безразмерно ПРИЛОЖЕНИЕ А
го времени t = 2500 (а), 2600 (б), 2700 (в). Белый цвет
соответствует положительным значениям, черный – Для каждого iго спина запишем нелинейную
отрицательным значениям поля. систему (16) в следующем виде, опустив для удоб
ства индекс i для введенных коэффициентов
A, B, C, D:
ОБСУЖДЕНИЕ
θ i + Aϕ i + B = 0,
(19)
Конечно же, рассмотренную модель динамо C θ i + ϕ i sin θi + D = 0,
следует отнести к разряду игрушечных, “toy”мо
делей. Однако многие составляющие данной мо где
дели выдерживают и достаточно серьезную кри
тику. Для иллюстрации проведем аналогию с хо Ᏽ'iϕ ⑀ψ i
рошо известной моделью Паркера (Parker, 1955), A = −κ sin θi , B = − − ,
sin θi sin θi τ (20)
не требующей особой рекламы и послужившей
прототипом для создания аппарата моделей ди ⑀χ
C = κ, D = −γ sin 2θi + Ᏽ'iθ + i .
намо среднего поля (Krause, Rädler, 1980), в част τ
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМО 209
Система (19) в дискретном виде в остаточной вместо схемы Эйлера. Обратим внимание, что на
форме с использованием неявной схемы Эйлера личие сингулярности на оси, являющееся след
на nшаге по времени записывается в виде: ствием использования сферической системы ко
ординат, не приводит к неустойчивостям, как это
бывает в задачах с пространственными производ
⎛ θ n + A nϕn − θ n−1 − A nϕn−1 + B ndt ⎞
en = ⎜ n n n n −1 n n−1 n ⎟
.
(21) ными. В нашей задаче при приближении к полю
⎝ C θ + sin θ ϕ − C θ − sin θ ϕ + D dt ⎠
n n
су приращения скорости возрастают и спин “вы
Систему (21) требуется разрешить относитель давливается” из приполярной области. Ситуация
но вектора принципиально отличается от задачи в частных
производных, где приходится исключать область
⎛ n⎞
θ ⎟ вблизи оси или пользоваться несеточными мето
y n = ⎜⎜ ⎟. (22)
⎜ ϕn ⎟
⎝ ⎠
дами.
Рассмотрим итеративный процесс по методу
Ньютона–Рапсона для pитерации: ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Сведем систему (16) к системе дифференци
−1
⎛ ∂e n ⎞ альных уравнений первого порядка:
= − ⎜ np−1 ⎟ ⋅ e p−1,
n n n
yp y p−1 (23)
⎝ ∂y p−1 ⎠ Vi − θ i = 0,
Wi − ϕ i = 0,
(25)
где матрица Якоби имеет вид: V + κV + W sin θ i + A = 0,
W − sin θ iV + κ sin 2 θ iW + B = 0,
∂e p
n
= где
∂y np
⑀χ ⑀ψ
⎡ ∂A p n
n
∂B p
n
∂B p
n
⎤ A = −γ sin 2θi + Ᏽ'iθ + i , B = Ᏽ'iϕ + i , (26)
⎢ 1 + (ϕ p − ϕ
n −1
) + dt A
n
p + dt ⎥ (24) τ τ
∂θ p ∂θ p ∂ϕ p
n n n
= ⎢⎢ ⎥. относительно вектора
⎥
⎢C pn + cos θ np(ϕnp − ϕn−1) + ∂D p dt sin θ np + ∂D p dt ⎥
n n ⎛ n⎞
⎜V ⎟
⎜ ⎟
⎢⎣ ∂θ p
n
∂ϕ p ⎥⎦
n
⎜W n ⎟
y = ⎟.
n
⎜ (27)
⎜ θn ⎟
⎜ ⎟
Для каждого момента времени n и для каждого ⎜⎜ n ⎟⎟
⎝ϕ ⎠
спина i осуществлялся итеративный процесс (23)
с учетом обновленных значений других спинов. После дискретизации имеем остаточные вектора
После достижения сходимости для всех спинов для nго шага по времени:
происходит переход на новый шаг по времени en =
n + 1. На каждом шаге по времени происходит
⎛ V ndt − θ n + θ n−1 ⎞
проверка условий θi ∈ (0, 2π), ϕi ∈ (0, 2π) и при необ ⎜ ⎟ (28)
ходимости делается соответствующая поправка на ⎜ W dt − ϕ + ϕ
n n n −1
⎟
=
периодичность. Данный алгоритм оказывается весь ⎜ V n − V n−1 + κV ndt + W n sin θindt + A ndt ⎟
ма устойчив к сингулярностям на оси. Не составляет ⎜ n n −1 n ⎟
⎝W − W − sin θi V dt + κ sin θi W dt + B dt ⎠
n n 2 n n
труда переделать данный алгоритм для 2го порядка
точности, применив схему Кранка–Николсона и матрицу Якоби:
⎡ dt 0 −1 0 ⎤
⎢ 0 dt 0 −1 ⎥
⎢ ⎥
∂e n
⎢ ∂A n dt ⎥
W ncos θindt + ∂A dt
n
Jˆ = np = ⎢ 1 + κdt sin θ indt , (29)
∂y p ⎢ ∂θ ∂ϕ n ⎥
⎥
⎢− sin θ ndt 1 + κ sin 2 θ ndt J 43 ∂B n dt ⎥
⎢ i i
∂ϕ n ⎥⎦
⎣
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014210 РЕШЕТНЯК
где Jones C.A. Planetary magnetic fields and fluid dynamos //
Annu. Rev. Fluid Mech. 2011. V. 43. P. 583–614.
J 4 3 = − cos θi V dt + κ sin 2θi W dt + ∂B n dt. (30)
n
n n n n
Krause F., Rädler K.&H. Mean field magnetohydrodynam
∂θ ics and dynamo theory. Berlin: AkademieVerlag, 1980.
Далее используется итеративный алгоритм, рас 271 p.
смотренный в Приложении A. Miltat J., Albuquerque G., Thiaville A. An introduction to
micromagnetics in the dynamic regime // Topics Appl.
Phys. 2002. V. 83. P. 1–34.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Mori N., Schmitt D., Wicht J. // Domino model for geomag
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988. netic field reversals. Phys. Rev. E. 2013. V. 87.
216 с. P. 012108. arXiv:1110.5062v2.
Busse F.H. Thermal instabilities in rapidly rotating systems // Nakamichi A., Mouri H., Schmitt D. Coupled spin models
J. Fluid Mech. 1970. V. 44. P. 441–460. for magnetic variation of planets and stars // Mon.
Christensen U.R., Aubert J., Cardin P. A numerical dynamo Notic. Roy. Astron. Soc. 2012. V. 423. № 4. P. 2977–
benchmark // Phys. Earth and Planet. Inter. 2001. 2990. arXiv:1104.5093v1.
V. 128. P. 25–34. Olson P.L., Coe R.S., Driscoll P.E., Glatzmaier G.A.,
Christensen U., Aubert J. Scaling properties of convection Roberts P.H. Geodynamo reversal frequency and het
driven dynamos in rotating spherical shells and applica erogeneous core–mantle boundary heat flow // Phys.
tion to planetary magnetic fields // Geophys. J. Int. Earth and Planet. Inter. 2010. V. 180. P. 66–79.
2006. V. 166. P. 97–114.
Parker E.N. Hydromagnetic dynamo models // Astrophys. J.
Cupal I., Hejda P., Reshetnyak M. Dynamo model with ther 1955. V. 122. P. 293–314.
mal convection and with the freerotating inner core //
Planet. and Space Sci. 2002. V. 50. P. 1117–1122. Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics. N.Y.: Springer
Verlag, 1987. 720 p.
Hejda P., Reshetnyak M. Effects of anisotropy in the geo
strophic turbulence // Phys. Earth and Planet. Inter. Rudiger G., Hollerbach R. The Magnetic Universe: Geo
2009. V. 177. P. 152–160. physical and Astrophysical Dynamo Theory. Wein
Glatzmaier G.A., Coe R.S., Hongre L., Roberts P.H. The role heim: Wiley VCH, 2004. 332 p.
of the Earth’s mantle in controlling the frequency of geo Shatsillo A.V., Didenko A.N. Pavlov V.E. Two competing pa
magnetic reversals // Nature. 1999. V. 401. P. 885–890. leomagnetic directions in the late Vendian: new data for
Jacobs J.A. Reversals of the Earth’s magnetic field. Cam the SW region of the Siberian platform // Russ. J. Earth
bridge: Cambridge Univ. Press, 2005. 356 p. Sci. 2005. V. 7. № 4. P. 3–24.
Jones C.A. Convectiondriven geodynamo models // Phil. Stanley H.E. Introduction to phase transitions and critical
Trans. Roy. Soc. London. 2000. V. A358. P. 873–897. phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1971. 308 p.
АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК том 48 №3 2014Вы также можете почитать
