ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ НА ОСНОВЕ КОГНИТИВНО-ВИЗУАЛЬНОЙ ТЕХНОЛОГИИ
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
22 PEDAGOGICAL SCIENCES
УДК 372.851
ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ НА ОСНОВЕ
КОГНИТИВНО-ВИЗУАЛЬНОЙ ТЕХНОЛОГИИ
Далингер В.А.
ФГБОУ ВО «Омский государственный педагогический университет», Омск,
e-mail: dalinger@omgpu.ru
В статье проводится анализ школьной практики обучения математике, на основе его результатов дела-
ется вывод о том, что в процессе обучения математике имеет место «левополушарный крен», то есть учителя
делают значительный упор на работу левого полушария головного мозга обучающегося. Акцентируется вни-
мание на следующий факт: процесс восприятия учебного материала зависит от ведущей сенсорной систе-
мы, в связи с этим выделяют «правополушарных» учащихся (визуалов, кинестетиков) и «левополушарных»
учащихся (аудиалов). В статье рассматривается проблема повышения эффективности обучения математике
за счет рационального сочетания работы левого и правого полушарий человеческого мозга. Это сочетание
возможно за счет использования когнитивно-визуальной технологии, основное положение которой состоит
в широком и целенаправленном использовании познавательной функции наглядности; обращается внимание
на особенности явного и неявного использования наглядных образов математических объектов. В статье
отмечаются средства, которые позволяют сделать доминирующей познавательную функцию наглядности,
а не ее иллюстративную функцию; указываются группы визуализированных задач и перечисляются дидак-
тические функции каждой из групп; приводятся разнообразные примеры из различных разделов математики
(алгебры, геометрии, алгебры и начала анализа, теории вероятностей и математической статистики); по-
казаны приоритетные виды деятельностей для «левополушарных» и для «правополушарных» школьников.
Ключевые слова: математика, когнитивно-визуальная технология, визуализированные задачи, явное
использование наглядности, неявное использование наглядности
TEACHING MATHEMATICS BASED ON COGNITIVE-VISUAL TECHNOLOGY
Dalinger V.A.
Omsk State Pedagogical University, Omsk, e-mail: dalinger@omgpu.ru
The article analyzes the school practice of teaching mathematics and based on the results of this analysis, it
is concluded that in the process of teaching mathematics there is a «left-hemisphere roll», that is, teachers place a
significant emphasis on the work of the left hemisphere of the student’s brain. Attention is focused on the following
fact: the process of perception of educational material depends on the leading sensory system and in this regard,
right-hemisphere students (visual, kinesthetic) and left-hemisphere students (auditory) are distinguished. The article
deals with the problem of improving the efficiency of teaching mathematics through a rational combination of
the functions of the left and right hemispheres of the human brain. This combination is possible due to the use of
cognitive-visual technology, the main position of which is a broad and purposeful use of the cognitive function of
visualization. attention is drawn to the features of explicit and implicit use of visual images of mathematical objects.
The article highlights the tools that make it possible to make the cognitive function of visibility dominant, rather than
its illustrative function; specifies the groups of visualized problems and lists the didactic functions of each group;
provides various examples from different sections of mathematics (algebra, geometry, algebra and the beginning of
analysis, probability theory and mathematical statistics); shows priority activities for left-hemisphere students and
right-hemisphere students.
Keywords: mathematics, cognitive-visual technology, visualized problems, explicit use of visibility, implicit use of visibility
Современное состояние математиче- Причинами столь низкого качества ма-
ского образования в школе показывает, что тематических знаний, умений и навыков
из разряда лучшего оно перешло на более можно назвать слабую мотивированность
низкие ступени. Большинство учащихся обучающихся к познанию, нерегулярное
не усваивают многие вопросы из школьной выполнение домашних заданий, слабое вла-
программы. Явно западают навыки по ре- дение теоретическим материалом и т.д.
шению текстовых сюжетных задач, по ре- Не менее важной причиной такого низ-
шению уравнений и неравенств с модуля- кого качества математических знаний, уме-
ми, по решению уравнений и неравенств ний и навыков является и используемая
с параметрами, по решению нестандарт- учителем технология обучения (арсенал ре-
ных задач, которые отражены в ОГЭ и ЕГЭ продуктивных, активных и интерактивных
по математике. Слабыми остаются умения методов обучения, процедура диагности-
и навыки учащихся по владению школьным ки и оценивания достигнутых результатов
курсом геометрии (отмечаются несформи- учебной деятельности и т.д.).
рованность пространственных представле- Цель исследования: ответить на вопрос:
ний, низкая логическая культура, неумение «Как следует строить процесс обучения ма-
доказывать теоремы, неспособность пере- тематике, чтобы он задействовал функции
носить известные факты в измененные си- как левого, так и правого полушарий голов-
туации и т.д.). ного мозга, иными словами – как создать
SCIENTIFIC REVIEW № 1, 2020 ПЕдагогические НАУКИ 23
разумное сочетание логического и нагляд- ординат О поместим в центр куба, поло-
но-образного мышления?» жительные полуоси Ox, Оу, Oz направим
В психолого-педагогической литературе проходящими соответственно через грани
авторы различают стили учебно-познава- AA1D1D, DD1B1C, A1B1C1D1 перпендикуляр-
тельной деятельности учащихся и обучаю- но им. Тогда имеем А = (1; –1; –1), В1 = (–1;
щей деятельности учителя. –1; 1), С = (–1; 1; –1). Проходящая через эти
Опыт учителей, в том числе и наш опыт, точки окружность является сечением сферы
показывает, что уровень обученности уче- х2 + у2 + z2 = 3 плоскостью х + у + z + 1 = 0.
ника в учебном процессе напрямую связан Берутся точки
как со стилем его учебной деятельности,
так и со стилем обучения учителя. Наибо- N = (x; y; z)∈S2,
лее высокий уровень обученности достига-
ется, когда эти стили совпадают. М = (cos t; sin t; –l)∈S1 (0 ≤ t ≤ 2p) (1)
Бетти Лу Ливер отмечает, что обучение и минимизируется расстояние между ними
слабо ориентируется на ученика [1]. d = ( x − cos t ) 2 + ( y − sin t ) 2 + ( z + 1) 2 . Беря
А.Г. Мордкович провозглашает два ло- подкоренное выражение в качестве целевой
зунга, относящихся к обучению школьной функции и применяя метод Лагранжа при
математике: меньше схоластики и форма- условиях x + y + z + +1 = 0, x2 + y2 + z2 –
лизма; больше геометрических иллюстра-
ций и наглядности [2]. 3 = 0, получаем d min = 3 − 2.
А.Л. Сиротюк отмечает, что школьные В предлагаемой статье в решении зада-
методики в основном развивают левое по- чи 1 вместо минимизации функции от че-
лушарие головного мозга. тырех аргументов при двух связях она ре-
При использовании когнитивно-визуаль- шается как оптимизационная двумерная
ной технологии обучения математике реа- задача с параметром t при одном уравнении
лизация принципа наглядности в обучении связи, при этом целевая функция линейная
получает новое решение: язык наглядных об- по основным переменным. По ходу реше-
разов математических объектов становится ния попутно выявляется и величина dmax без
и предметом познания, и средством обучения. обращения к чертежу. Проведенные рассуж-
Известный математик Д. Гильберт от- дения почти дословно переносятся на реше-
мечал, что приоритетными должны быть ние следующей родственной задачи 2.
тенденция к наглядности, стремление к жи- Задача 2. В том же кубе на лучах А1А,
вому пониманию объектов и их внутрен- А1В1, A1D1 взяты соответственно точки
них отношений. E,F,G так, что А1Е = A1F = A1G = b. Пусть
Центральным компонентом когнитив- М – точка окружности S1, вписанной в ква-
но-визуальной технологии являются визу- драт ABCD, а N – точка окружности S2, про-
ализированные задачи (подробный анализ ходящей через E,F,G. Чему равно наимень-
использования визуализированных задач шее значение длины отрезка MN?
представлен в работах [3, 4]). Решение задачи 1
Основу визуального поиска предостав-
ляет чертеж, который должен быть верным, Используя уравнения сферы и плоско-
наглядным, легко выполнимым. сти, пересечением которых является S2,
В когнитивно-визуальной технологии представим целевую функцию (квадрат рас-
наглядность может использоваться как стояния между N, М) в виде:
явно, так и неявно. u = 3 – 2(l + cos t)x – 2(l + sin t)y,
Покажем на двух задачах явное и неяв-
ное использование наглядности. 0 < t < 2p. (2)
Задача 1. Длина ребра куба ABCD-
A1B1C1D1 равна 2 см. Пусть М – точ- Будем исследовать ее на экстремум при
ка окружности S1 , вписанной в квадрат связи
ABCD, а N – точка окружности, проходя-
щей через вершины А, В1 , С. Найдите наи- g(x, y) = x2 + у2 + (х + у + 1)2 – 3 = 0. (3)
меньшее расстояние между ними. Геометрически задача сводится к тому,
Эта задача имеет замечательно краси- чтобы при всяком фиксированном значении
вое, но трудно находимое геометрическое параметра t среди линий уровня и = const
решение. В литературе приводится анали- (прямых) выбрать те, которые касаются
тическое решение, основанное на условной графика уравнения связи g(x, y) = 0 (эл-
оптимизации. Опишем начальный шаг ав- липса), и точки касания проверить на нуж-
торского решения. ную оптимальность.
Введем пространственную систему ко- Потребуем, чтобы градиент функ-
ординат следующим образом: начало ко- ции Лагранжа L = u + λg по х, у был ну-
НАУЧНОЕ ОБОЗРЕНИЕ № 1, 2020 24 PEDAGOGICAL SCIENCES
∂L ∂L
левым. Из равенств = 0, = 0 полу- имеет единственное решение во внутренней
∂x ∂y стационарной точке отрезка p0 = 1 – 2 / 3,
чим систему:
2 при этом u min = 5 − 6 2 / 3 = ( 3 − 2) 2 .
2 x + y = λ (1 + cos t ) − 1 2. l < 0. Задача
,
x + 2 y = 2 (1 + sin t ) −1 2 5 1
u= p+4 + p − p2 +
λ 3 2 2
откуда
2 1 + 2cos t − sin t 1
x= − ,
+
13
3
(
→ max p ∈ − 2, 2 )
3 λ 2 имеет решение на границе: umax = u 2 = ( )
2 1 + 2sin t − cos t 1 =7+2 2.
y= − . (4) Осталось указать точки окружностей,
3 λ 2 между которыми расстояния экстремаль-
При таких х, у из уравнения связи (3) ные. Для этого подберем какой-нибудь угол
получим: t так, что cos t + sin t = 1 − 2 / 3. Рассмотрим
точки в R3
2 + cos t + sin t − cos t sin t
− 1 = 0. M = ( cos t ;sin t ; −1) ,
λ2
Заметим, что здесь числитель дроби 3 3 3
N = ⋅ cos t ; ⋅ sin t ; − .
не меньше 3 / 2 − 2 > 0 , так что: 2 2 2
λ = ± 2 + cos t + sin t − cos t sin t . Они лежат соответственно на окружно-
При указанных выше х, у как функций стях S1, S2, и расстояние между ними равно
параметра получим следующее выражение 3 − 2.
через него целевой функции: Наибольшее расстояние между точ-
2 13 ками окружностей достигается при
u (t ) = (cos t + sin t − 4λ (t )) + . M = (1 / 2;1 / 2; −1), N = (–1; –1; 1) и рав-
3 3
Заметим, что второй дифференциал но 7 + 2 ≈ 3,135032.
функции Лагранжа d2L = 2l(dх2 + + dxdy + Заметим, что в решении задачи 1 на-
+ dy2) является знакоопределенной квадра- глядность использовалась неявно.
тичной формой. Она положительно опреде-
ленная, если множитель Лагранжа положи- Решение задачи 2
тельный, поэтому указанное выше значение Предполагаем, что b > 0. При указанном
целевой функции минимальное; при смене выше выборе системы координат имеем
знака имеем максимум. На этом применение E = (1; –1; 1– b), F = (1 – b; –1; 1), G = (1;
метода Лагранжа и закончилось. Остается –1 + b; 1). На этот раз окружность S2 являет-
исследовать функцию u(t) отрезке [0; 2p] ся пересечением поверхностей х2 + у2 + z2 –
на минимум при l > 0 и на максимум при – 2 – (b – – 1)2 = 0, x – y + z + b – 3 = 0. Бе-
l < 0. Анализ этой функции на экстремум рем точки согласно (1) и будем находить
технически затруднителен, поэтому введем не только наименьшее, но и наибольшее
еще параметр р = cos t + sin t. Имеем: t∈[0, расстояние между ними. Целевая функ-
2p] ⇒ р∈ − 2, 2 . Тогда ция строится аналогично и имеет вид:
u ( x, y ) = 10 − 2 (1 + cos t ) x +
2 5 1 13
u= p4 + p − p2 + . +2 (1 − sin t ) y + (b − 1) 2 − 2b,
3 2 2 3
уравнением связи будет g(x, y) = х2 +
Рассмотрим случаи знаков множите- + у2 + (–х + у + 3 – b)2 – 2 – (b – 1)2 = 0. Ана-
ля Лагранжа. логами равенств (4) станут:
1. l > 0. Оптимизационная задача
1 2cos t + sin t + 1
2 5 1 x= + 3 − b ,
u= p−4 + p − p2 + 3 λ
3 2 2
+
13
3
(
→ min p ∈ − 2, 2 ) 1 2sin t + cos t − 1
y=
3 λ
+ b − 3 ,
(4а)
SCIENTIFIC REVIEW № 1, 2020 ПЕдагогические НАУКИ 25
множителями Лагранжа будут l = ±(2 + что при b < b0 стационарная точка покидает
+ cos t sin t – sin t + cos t)1/2 / b. При этом зна- отрезок, иначе остается на нем. Этой ситу-
чение целевой функции в точке (4а): ации соответствует левый чертеж на пред-
лагаемом ниже рисунке. Следовательно,
4 3 − b 8
u= (sin t − cos t ) − λb2 + b2 − b + 7,
3 2 3
(6)
а второй дифференциал функции Лагранжа
имеет вид d2L = 4l(dх2 – dxdy + + dy2). Вве-
дем параметр р = sin t – cos t и будем иссле- 2. l < 0. На этот раз имеем значения
довать функции: на границе
( )
2 2
43−b 5 1 2 2 − 1 5 2 − 1
u ( p) =
3 2
pb − p − p +
2 2
( )
u − 2 = b +
2
+
3
,
3
8
+b 2 − b + 7 (5)
( )
2 2
3 2 + 1 5 2 + 1
соответственно на минимум и на максимум
u ( )
2 = b −
2
+
3
, (7)
3
на отрезке − 2; 2 . Согласно знакам
в (5) стационарная точка как функция пара- при этом:
метра b имеет вид:
2
p (b ) = −1 ± (b − 3) 2
,
b − 2b + 3
соответствующие графики представ- Непосредственно проверяет-
лены ниже. Несложные
дают значение целевой функции в ней:
выкладки
( )
ся, что u ( p (b )) ≥ u 2 , причем знак
равенства имеет место лишь при
u ( p (b )) = [ (b − 1) + 2 2]2 . Снова рас-
2
сматриваем случаи знаков множителя 3( 2 − 1)
b = b1 = ≈ 0,325; аналогично
Лагранжа. 2 2 +1
1. l > 0, т.е. в (5) берем знак «минус».
Из двух значений целевой функции на кон- ( )
u ( p (b )) ≥ u − 2 , и равенство возможно
цах отрезка − 2; 2 наименьшим яв- 3( 2 + 1)
только при b = b2 = ≈ 3,961. Эти
( )
ляется u − 2 = (b − 2) 2 + ( 2 − 1) 2 . Не- 2 2 −1
трудно проверить, что u ( p (b )) ≤ u − 2 , ( ) значения также критические: при b < b1 или
b > b2 стационарная точка p(b) покидает от-
причем знак равенства имеет место лишь резок (см. правый чертеж на рис. (зона «по-
при b = b0 = 2 + 1. Такое значение параме- кидания», как и на левом чертеже, помече-
тра является критическим в том смысле, на штриховкой)).
К задаче 2
НАУЧНОЕ ОБОЗРЕНИЕ № 1, 2020 26 PEDAGOGICAL SCIENCES
Следовательно,
d max = AA12 + AN 22 = 4 + ( 2 + 1) 2 .
Но точно такие же расстояния получа-
(8) ются и по формулам (6), (8).
Заметим, что в решении задачи 2 на-
глядность использовалась явно.
Читателю, проявившему интерес к рас-
сматриваемой проблеме, небезынтересным
где u (± 2) находятся согласно форму- будет знакомство с содержанием статей [5–
лам (7). Здесь верхнее выражение со- 7] и книги [8].
гласуется с тем, что расстояние между
точками двух концентрических сфер не Список литературы
более суммы их радиусов, причем равен- 1. Бетти Лу Ливер. Обучение всего класса. М.: Новая
ство достижимо. Например, при b = 2 школа, 1995. 48 с.
найдем какое-нибудь решение уравнения 2. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения
sin t − cos t = p (2) = −1 + 2 / 3 и положим: элементов математического анализа в общеобразовательной
школе // Математика в школе. 2002. № 9. С. 2–12.
M = (cos t ;sin t , −1), 3. Далингер В.А., Симонженков С.Д. Методика обуче-
ния математике. Когнитивно-визуальный подход: учебное
пособие для академического бакалавриата. 2-е изд., перераб.
3 3 3 и доп. М.: Изд-во Юрайт, 2017. 340 с.
N =− ⋅ cos t ; − ⋅ sin t ; .
2 2 2 4. Далингер В.А. Наглядные образы как предмет изуче-
ния и средство обучения математике // Математика в школе.
2017. № 5. С. 40–47.
Расстояние между этими точками равно
5. Смирнов В.А., Смирнова И.М. Визуализация задач
3 + 2 ≈ 3,146. на нахождение расстояния между скрещивающимися пря-
Заметим, что равенства (6), (8) верны мыми // Математика в школе. 2019. № 6. С. 10–16.
и при b = 0. В этом случае (сделаем чертеж!) 6. Смирнов В.А., Смирнова И.М. Как сделать изуче-
окружность S2 вырождается в точку А1, наи- ние теорем геометрии более эффективным? // Математика
менее удаленная от нее точка N1 окружно- в школе. 2017. № 3. С. 34–39.
сти S1 лежит на диагонали АС на расстоянии 7. Крачковский С.М. Многовариантное визуально-гра-
фическое представление математических задач // Математи-
2 −1 от А, наиболее удаленная N2 – на рас- ка в школе. 2013. № 1. С. 51–63.
стоянии 2 + 1. По теореме Пифагора: 8. Хэтти Джон А.С. Видимое обучение. Синтез резуль-
татов более 50000 исследований с охватом более 80 мил-
лионов школьников. М.: Национальное образование, 2017.
d min = AA12 + AN12 = 4 + ( 2 − 1) 2 , 457 с.
SCIENTIFIC REVIEW № 1, 2020 Вы также можете почитать
