СПЕЦИАЛЬНЫЙ СПАЙН ЛИНЗЫ ТИПА ДЛИННАЯ ВОСЬМЕРКА И ЛИНЗА КАК ПРОСТРАНСТВО ДВУЛИСТНОГО НАКРЫТИЯ 3-СФЕРЫ РАЗВЕТВЛЕННОГО ВДОЛЬ ДВУМОСТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
СПЕЦИАЛЬНЫЙ СПАЙН ЛИНЗЫ
ТИПА ДЛИННАЯ ВОСЬМЕРКА
И ЛИНЗА КАК ПРОСТРАНСТВО
ДВУЛИСТНОГО НАКРЫТИЯ 3-СФЕРЫ
РАЗВЕТВЛЕННОГО ВДОЛЬ ДВУМОСТНОГО
ЗАЦЕПЛЕНИЯ
М.А Овчинников*
Челябинский государственный университет
Доказывается, что "осевая" симметрия спайна линзы типа длинная восьмерка
задает инволюцию линзы, являющуюся классическим представлением линзы в виде дву-
листного накрытия трехмерной сферы разветвленного вдоль двуместного зацепления
Показывается как по изображению такого спайна линзы непосредственно получается
диаграмма четырехсплетения, описываемая разложением дроби из параметров линзы
в непрерывную дробь
Ключевые слова: трехмерные многообразия, спайны,разветвленные накрытия,
зацепления, тенглы, линзовые пространства
•Л
1. Введение
Спайном замкнутого 3 многообразия называется лежащий в многообразии
полиэдр, если дополнение к нему является открытым шаром
Полиэдр называется специальным, если линк каждой его сингулярной
точки является либо окружностью с диаметром, либо окружное гъю с тре
мя радиусами, и связные компоненты множества неособых точек полиэдра
являются открытыми дисками.
Специальные спайны трехмерных многообразий применяются как спо
соб задания трехмерных многообразий, поскольку 3 многообразия по ним
восстанавливаются однозначно [1]. Систематически свойства специальных
спайнов изучались Матвеевым С.В [2 -6] В частности им замечено, что
в некоторых; случаях о свойствах многообразия можно сделать выводы по
структуре сингулярною множества специально о спайна многообразия.
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №96-01-00847)146 М.А. Овчинников
Множество сингулярных точек специального полиэдра является регу-
лярным графом степени 4. Он называется сингулярным или особым графом
спайна.
Граф, состоящий из двух петель, соединенных цепочкой скольких-то,
может быть, нуля, двойных ребер, называется длинной восьмеркой. Специ-
альный спайн, у которого сингулярное множество является графом длинная
восьмерка, называем спайно,.и типа длинная восьмерка.
Пусть Р - специальный спайн типа длинная восьмерка многообразия
М.
Очевидна инволюция (симметрия) сингулярного графа О спайна Р,
оставляющая неподвижными вершины графа, переставляющая ребра в каж-
дом двойном ребре графа и совмещающая каждое петельное ребро с собой
с обращением ориентации ребра. Эту симметрию будем называть осевой
симметрией (осевой инволюцией) графа.
Спайн Р типа длинная восьмерка называем осесимметричным, если
он имеет инволюцию, продолжающую осевую инволюцию его сингулярного
графа, и инволюцию спайна называем осевой симметрией спайна.
С.Матвеев показал в [3], что если замкнутое ориентируемое много-
образие имеет осесимметричный спайн типа длинная восьмерка, то род
многообразия не больше 1.
Далее везде в тексте многообразия рода не больше 1 называем просто
линзами.
Такие спайны линз имеют хорошо описываемую регулярную струк-
туру, что позволило выяснить точную связь между структурой спайна и
параметрами линзы [7].
Двулистные накрытия трехмерной сферы, разветвленные вдоль за-
цеплений, замечательны тем, что характеризуются только соответствую-
щим зацеплением (не требуют дополнительных алгебраических данных о
накрытии). Линзы относятся к числу многообразий, которые представля-
ются как пространство двулистного накрытия 3-сферы разветвленного не-
которого зацепления. Оказывается, такое представление линзы тесно свя-
зано с представлением линзы ее спайном типа длинная восьмерка.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть трехмерное многообразие М является линзой и ле-
жащий в нем полиэдр Р является осесимметричным спайном типа длин-
ная восьмерка.
Тогда существует двулистное разветвленное накрытие трехмер-
ной сферы
р : М -» б'3
такое, что его ограничение р\р на спайне Р является осевой симметрией
спайна, и в дополнительном шаре М-Р множество неподвижных точек
инволюции накрытия является незаузленной собственной дугой.СПЕЦИАЛЬНЫЕ СПАЙНЫ ЛИНЗ И ЧЕТЫРЕХСПЛЕТВНИЯ 147
Как следствие, по спайну можно получить зацепление, если суметь
как-то построить полиэдр - фактор спайна по симметрии, вложить полу-
ченный полиэдр в наше пространство, отследить в полиэдре неподвижные
точки симметрии и замкнуть свободные концы (должны оказаться и ровно
два), не образуя дополнительных заузливаний.
Предпочтительнее, насколько возможно, непосредственно увидеть за-
цепление, исходя из употребляемых графических способов представления
специальных спайнов.
Пусть спайн Р осесимметричный типа длинная восьмерка.
Естественен способ изображения спайна Р как "тонкой" диаграммы
Хегора. Обозначим Н крендель в многообразии М, являющийся регулярной
окрестностью сингулярного графа (7, и С\,..., Сь -зацепление в М, высечен-
ное в крае кренделя Н 2-компонентами спайна Р. По кренделю Я с кривыми
на крае многообразие восстанавливается однозначно. Полный крендель Н
с кривыми в его крае является диаграммой Хегора многообразия М, инду-
цированной спайном Р.
СЛЕДСТВИЕ 1.1. Пусть Р - осесимметричный спайн типа длинная вось-
мерка линзы М. Предположим, Н полный крендель с кривыми С\, ...,Оь и
осевой симметрией а, индуцированные спайном Р.
Тогда фактор В кренделя по симметрии а является шаром. Образ
в В кривых на кренделе и неподвижных точек кренделя является набором
кривых X = (/.•!, ...,Ьт), из которых замкнуты все, кроме одной,скажем,
1\, являющейся собственной дугой в шаре В. Шар В с выделенными кри-
выми Ь, склеенный по краю с шаром В', в котором выделена ось с конца-
ми, совпадающими с концами дуги Ь^ в В, является трехмерной сферой с
зацеплением, вдоль которого разветвленное двулистное накрытие сферы
В И В' является исходным многообразием М.
Графически диаграмма Хегора изображается проекцией кренделя с
кривыми на плоскость. Изображение представляет собой диск с несколь-
кими дырами с системой непересекающихся собственных "верхних" дуг и
системой непересекающихся собственных "нижних" дуг с концами в тех же
точках края диска с дырами, в которых кончаются верхние дуги.
Если крендель изобразить достаточно "тонким", чтобы было видно,
для какого графа он является окрестностью, то тогда кривые С*!, •••-(-А.
задают приклейку дисков к сингулярному графу спайна, и.значит, но такому
изображению диаграммы Хегора восстанавливается спайн многообразия.
"Тонкую" диаграмму Хегора, индуцированную спайном, будем называть
диаграммой спайна.
Очевидно, изображение осесимметричной диаграммы Хегора также
можно сделать симметричным относительно прямой, пересекающей все ды-
ры в диске (см. рисунок 1).148 М.А Овчинников
Рис. 1
Рис. 2
Диаграмму зацепления тогда можно получить следующим образом.
Нижние дуги изображаем "разорванными" посредством верхних дуг, как в
диаграммах узлов. Оставляем только половину диаграммы спайна, отреза-
емую осью симметрии. К дугам кривых добавляем отрезки оси симметрии,
лежащие в диске с дырами. Поправим изображение локально: каждый от-
резок оси в окрестности его середины "продавим" внутрь оставленной по-
ловины диаграммы, не меняя "высоту", т.е. оставаясь выше нижней дуги
и ниже верхней (см. рисунок 2).
Свободные концы крайних отрезков соединяем дугой, лежащей вне
''нашей половинки" диаграммы спайна. О краях диска с дырами "забыва-
ем", оставляем только кривые - зацепление нарисовано (см. рисунок 3).
Про полученную диаграмму зацепления будем говорить, что она ин-
дуцирована диаграммой спайна типа длинная восьмерка.
Хорошо известно, что линза является пространством двулистного на-
крытия трехмерной сферы разветвленного вдоль некоторого двумостного
Рис. 3СПЕЦИАЛЬНЫЕ СПАЙНЫ ЛИНЗ И ЧЕТЫРЕХСПЛБТБНИЯ 149
Рис. 4
Рис. 5
зацепления. Известным способом изображения двуместного зацепления яв-
ляется четырехсплетение. Четырехсплетением называют диаграмму, полу-
ченную замыканием косы из 4 нитей, из которых одна крайняя нить не
зацеплена с остальными нитями, кратчайшим образом: начало 1-й нити
соединено с началом 2-й нити и т.д.
Оказывается, сходство изображений спайнов типа длинная восьмерка
и четырехсплетений не случайно.
СЛЕДСТВИЕ 1.2. Диаграмма зацепления, индуцированная диаграммой спай-
на типа длинная восьмерка, является четырехсплетением.
Набор целых чисел а1,...,а^, однозначно задает четырехсплетение,
как показано на рис.5., и обозначается (а-,...,а^} [9]. В частности, четырех-
сплетение на рис.4, задается числами
(-!,-!,2,-1,1,0,-2,1,-1,1,-2,1,-2,0,1,0,-2).
Очевидно, каждое четырехсплетение задает зацепление наряду с бесконеч-
ным множеством других четырехсплетений, и каждое четырехсплетение
задается бесконечным множеством кодов, благодаря возможности нулей в
составе кода.150 М А Овчинников
Замечательно, что составляя из чисел кода непрерывную дробь, мы
найдем параметры соответствующей линзы Ьъа:
Нетрудно убедиться, что для любою осесимметричного спайна типа
длинная восьмерка диаграмму можно построить последовательным соеди-
нением графических элементов, изображенных на рис.6. Выделим в диа-
грамме сегменты подряд следующих элементов 1,2,4,1', 2', 4' - такие сет-
менты называем сегментами первого типа; 3,3' - такие сегменты называем
сегментами второго типа. Сегменты могут разделяться элементами 0 и О'.
С диаграммой сопоставляем последовательность целых чисел по следую-
щему правилу. Сегменты из элементов 1, 2, 4 и из элементов 3 сопоставля
ются с длиной сегмента. Сегменты из элементов 1',2'. 4' и из элементов 3'
сопоставляются с длиной сегмента, взятой с минусом. Последовательность
элементов 0 и 0' сопоставляется с таким же либо на 1 большим числом
нулей, чтобы выполнялось правило: если нулей четное число, то разделя-
емые нулями числа относятся к сегментам одного типа, если нечетное -
то разных типов. Полученную последовательность целых чисел называем
кодом диаграммы спайна. По своему коду диаграмма восстанавливается
однозначно. Отметим правило, необходимо учитываемое при восстановле-
нии: если последовательность нулей разделяет числа одинаковых знаков,
то количество соответствующих фрагментов 0 и 0' четное, если разных
то нечетное. Так что при совпадении четности числа нулей с требуемой
четностью числа элементов 0 и 0' берем элементов столько, сколько нулей,
при несовпадении - берем элементов 0 и 0' на 1 меньше числа нулей.
П Р И М Е Ч А Н И Е . Для нетривиальных линз (с //1 ф 7>, 0, 2?) есть спайны
типа длинная восьмерка без 1- и 2-угольников. Диаграмма такого спайна не
включает элементов 0 и О'. В этом случае зацепление имеет код из положи-
тельных чисел, который является каноническим [8] и называется символом
Конвея четырехсплетения [9].
СЛЕДСТВИЕ 1.3. Если диаграмма спайна описывается набором чисел
[а\,а,1,...,аъ\, то четырехсплетение, индуцированное данной диаграммой
спайна, и четырехсплетение, задаваемое набором чисел [а15 а2, ...,аъ\, яв-
ляются диаграммами одного и того же зацепления.
Значит, и соответствующее многообразие является линзой Ьр,д, где
параметры р иСПЕЦИАЛЬНЫЕ СПАЙНЫ ЛИНЗ И ЧЕТЫРЕХСПЛЕТЕНИЯ 151
Рис б
рывной дроби
? = ________1________
'а1 + ———————Ц—————'
Р
«2 +——————————
а3 + ...—————р
а^_: + —
•ЗА
2. Доказательство георемы .1.1
Пусть V - вершина графа, К С Р - замкнутая окрестность вершины в
спайне, инвариантная относительно осевой симметрии спайна. Граф СП V
является букетом 4 отрезков ("крестом"). Осевая симметрия действует на
"крест" перестановкой двух пар его ребер. 2-компонента в V, приклеен-
ная вдоль переставляемой пары ребер, под действием осевой симметрии
спайна отображается в себя с обращением ориентации. Следовательно, со
держащая эту 2 компоненту полиэдра V 2-компонента спайна Р под дей-
ствием осевой симметрии отображается в себя с обращением ориентации.
В окрестности каждой вершины две 2-компоненты переходят в себя при
осевой симметрии. Аналогично, в окрестности середины петельного ребра
есть 2-компонента, переходящая в себя при осевой симметрии спайна. Из152 М.А Овчинников ,
соображений симметрии следует, что каждая 2-компонента спайна содежит
две 2-компоненты из окрестностей вершин спайна и середин петельных ре-
бер, переходящие в себя при симметрии. Следовательно, все 2-компоненты
спайна при симметрии переходят в себя с обращением ориентации. Значит,
множеством неподвижных точек в 2-компоненте спайна, является собствен-
ная дуга 2-компоненты (диаметр диска). В каждой вершине спайна соеди-
няются две такие дуги (или замыкается в окружность одна дуга). Середина
петельного ребра является концом одной дуги. Первая часть утверждения
теоремы 1 доказана.
Каждую пару симметричных точек графа О соединим в спайне тре-
мя, каждую вершину с собой - двумя, середину каждого петельного с собой
- одним - отрезками в спайне, переходящими в себя при симметрии. Тем
самым представим каждую 2-компоненту спайна как объединение интерва-
лов, переходящих в себя при симметрии. Спайн расслоен на две окружнос-
ти, п экземпляров букета двух окружностей и п + 1 экземпляров произведе-
ния тэта-кривой на интервал. (Тэта-кривая это граф с двумя вершинами
и тремя простыми ребрами.) Окрестность каждой из двух окружностей в
спайне представляет собой лист Мебиуса, к которому вдоль неразбивающей
собственной дуги приклеен полукруг своим диаметром. Лист Мебиуса с по-
лукругом разбивает торическую окрестность окружности в многообразии
до шара. Дополнение в многообразии к двум полноториям с окружностями
является утолщенным тором, которое спайн Р разбивает до шара. Рассло-
ение спайна Р, очевидно, распространяется до естественного расслоения
утолщенного тора на торы. Окрестность каждой тэта-кривой (или букета
окружностей) в соответствующем торе является тором с дырой, а дополне-
ние к ней является замкнутым диском. Край диска является окружностью,
которая при осевой симметрии спайна переходит в себя без неподвижных
точек. В силу инволютивносги симметрии можно сказать, что край диска
испытывает поворот на 180 градусов. Распространим инволюцию спайна
на дополнительный шар, задав ее действие на дисках слоения как поворот
на 180 градусов вокруг центра диска. Множеством неподвижных точек в
дополнительном шаре является ось шара. Теорема доказана.
3. Доказательство следствия 1.2
По определению, спайн Р - полиэдр в многообразии М, крендель
Н также лежит в многообразии. Зафиксируем набор 2-ручек как разность
N Р - Н для достаточно малой регулярной окрестности N Р спайна в мно-
гообразии. Объединение кренделя и 2-ручек Яи(/УР — Н) является окрест-
ностью спайна и - самим многообразием, из которого удалили открытый
шар. Фактор кренделя по симметрии, продолжающей осевую симметриюСПЕЦИАЛЬНЫЕ СПАЙНЫ ЛИНЗ И ЧЕТЫРЕХСПЛЕТЕНИЯ 153
Рис 7
спайна, является шаром, который обозначим В. Фактор каждой 2-ручки
по осевой симметрии также просто шар, поскольку в 2-ручке неподвижные
точки симметрии составляют одну собственную незаузленную дугу (кото-
рую будем называть "неподвижной дугой"). Фактор каждой кривой Сг по
симметрии является дугой С( в крае шара Б, поскольку, как показано при
доказательстве теоремы, кривая С, пересекает ось кренделя только в двух
точках. Для доказательства следствия достаточно показать, что неподвиж-
ная дуга и дуга С' изотопны.
Для каждого г шар Вг - образ г~й 2-ручки - приклеен к шару В по
диску, который является окрестностью дуги С( в крае шара В.
Образ неподвижной дуги пересекает диск в точках, которые являются
концами дуги С', и незаузлен в шаре Д, так как незаузлена неподвижная
дуга в 2-ручке. Значит, эту дугу, не сдвигая ее концов, можно изотонией
совместить с дугой С(.
4. Доказательство следствия 1.3
Из диаграммы Хегора получается коса из 3 нитей, у которой с каждой
стороны из 3 концов соединены 2. Добавляемая незаузленная дуга является
4-й незацепленной нитью косы.
5. Доказательство следствия 1.4
Согласно нашей процедуре построения четырехсплетения по диа-
грамме спайна одинаковым графическим элементам диаграммы спайна со-
ответствуют одинаковые фрагменты четырехсплетения. После применения
преобразований Рейдемейстера внутри фрагментов получаются графичес-
кие элементы для построения четырехсплегений, изображенные на рисунке
7 с нумерацией, указываемой на соответствие с графическими элементами
диаграмм спайнов. Построение четырехсплетения из этих графических эле-
ментов дает тот же результат, что и построение четырехсплетения по коду
диаграммы спайна.154 М.А. Овчинников
Список литературы
1. Са81ег В.С. Ап етЪед&пд 1пеогет /ог соппесгеЛ 3-тапг/оШз шггН ЬоипЛагу //
Ргос.Атег.Зос. 1965. Уо1. 16. Р.559-566.
2. Матвеев С.В. Специальные остовы кусочно линейных многообразий // Мат.сб.
1973. Т.92, №2. С.282-293.
3. Матвеев С.В. Один способ задания 3-многообразий // Вести. МГУ. 1975, №3.
С.11-20.
4. Матвеев С.В. Универсальные 5-деформации специальны.,- полиэдров // Успехи
мат. наук. 1987. Т.42, №3. С.193-194.
5. Матвеев С.В. Преобразования специальных спайнов и гипотеза Зимина // Изв.
Акад. Наук СССР. Сер. Мат, . 1987. Т. 51, №5. С. 1104-1116.
6. Ма1уееу 8.У. Сотр1ехИу Меогу о/ 1Нгее-а'1тет1опа1 тат]оЫз // Ас(,а
АррНсапс1ае Ма1Ь. 1990. Уо1. 19. Р.101-130.
7. Овчинников М.А. Петли спайнов и вычисление параметров линзовых про-
странств II Вести. ЧелГУ. Математика, механика. 1996., йып.1. С.84-90.
8. Сопмгау Л. Оп епттега.!гоо о/ &по1з ап^ /ш/с.5 апа1 зоте о/ Легг ге!а1е(1
ргорегггез//Сотри1а1юпа1 РгоЫетв т АЬ81гас1 А1§еЬга, Ргос. Соп{. ОхГогй, 1967.
Рег§атоп Ргеаз, 1970. С.329-358.
9. Етв! С., витпегв О.\У. А са1си1ия /ог га1гопа1 1апд1е$: аррИсаЬюпз 1о ^NА
гесотЪтагюп //Ма(,Ь. Ргос. СатЬпВы также можете почитать
