Геометрическое распределение вероятностей
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
"Science and Education" Scientific Journal July 2021 / Volume 2 Issue 7
Геометрическое распределение вероятностей
Махсуд Тулқин ўғли Усмонов
maqsudu32@gmail.com
Ташкентский университет информационных технологий Каршинский
филиал
Аннотация: И геометрия тут ни при чём. Это один из особых видов
распределения дискретной случайной величины, которое получается в
следующей ситуации: Пусть проводится серия испытаний, в каждом из которых
случайное событие может появиться с вероятностью ; причём, испытания
заканчиваются при первом же появлении данного события. Тогда случайная
величина , характеризующая количество совершённых попыток, как раз и
имеет геометрическое распределение. Однако жизнь такова, что всё когда-то
заканчивается, и поэтому в практических задачах количество испытаний почти
всегда ограничивается. На «грубую» такое распределение тоже можно считать
геометрическим и сейчас мы разберём классический пример:
Ключевые слова: И перед нами пример дискретной случайной величины,
которая принимает бесконечное и счётное количество значений.
Геометрическое распределение вероятностей.
Geometric probability distribution
Mahsud Tulqin oglu Usmonov
maqsudu32@gmail.com
Tashkent University of Information Technologies Karshi branch
Abstract: And geometry has nothing to do with it. This is one of the special
types of distribution of a discrete random variable, which is obtained in the following
situation: Let a series of tests be carried out, in each of which a random event can
appear with probability; Moreover, the tests end at the first appearance of this event.
Then a random variable characterizing the number of attempts made has a geometric
distribution. However, life is such that everything ends at some point, and therefore
in practical problems the number of tests is almost always limited. In terms of
"rough", such a distribution can also be considered geometric, and now we will
analyze a classic example:
Keywords: And before us is an example of a discrete random variable that takes
an infinite and countable number of values. Geometric probability distribution.
www.openscience.uz 18
"Science and Education" Scientific Journal July 2021 / Volume 2 Issue 7
Рассмотрим, например, такое событие: - при подбрасывании монеты
выпадет орёл.
Начинаем подбрасывать монету. Совершенно понятно, что вероятность
появления орла в любом испытании равна , и наша задача заключается в
том, чтобы проанализировать - как скоро появится первый орёл (после чего
серия закончится). Составим закон распределения случайной величины -
количества проведённых бросков.
Если , то это означает, что орёл выпал в первой же попытке.
Вероятность этого события равна:
Если , то в первой попытке выпала решка (вероятность ), а
во второй - орёл. По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
Если , то в первых двух испытаниях появились решки, а в третьем -
орёл. По той же теореме:
Если , то первый орёл появился лишь в четвёртом испытании:
…сколько же можно подбрасывать монету? Теоретически - до
бесконечности :)
И перед нами пример дискретной случайной величины, которая принимает
бесконечное и счётное количество значений.
В общем виде её закон распределения записывается следующим образом:
Вероятности представляют собой бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию с первым членом и основанием . Отсюда и
название - геометрическое распределение вероятностей. Как известно, сумма
такой прогрессии равна:
, что полностью соответствует
вероятностному смыслу задачи.
www.openscience.uz 19"Science and Education" Scientific Journal July 2021 / Volume 2 Issue 7
Однако жизнь такова, что всё когда-то заканчивается, и поэтому в
практических задачах количество испытаний почти всегда ограничивается. На
«грубую» такое распределение тоже можно считать геометрическим и сейчас
мы разберём классический пример:
Задача
Стрелок производит несколько выстрелов в цель до первого попадания,
имея всего 4 патрона. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6.
Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание
, дисперсию , где - количество произведённых выстрелов.
Построить многоугольник и функцию распределения данной случайной
величины. Найти .
…если встретилось много непонятных слов, то начните со статьи
Случайные величины.
Решение: по условию, вероятность попадания в каждом испытании равна
. Тогда вероятность промаха: .
Составим закон распределения случайной величины :
1)
Это означает, что стрелок попал с 1-й попытки и на этом испытания
закончились:
2) - в первом испытании промах, во втором - попадание. По теореме
умножения вероятностей зависимых событий:
3) - попадание с третьей попытки:
И, наконец:
4)
Здесь стрелок может промахнуться или попасть, но испытания
заканчиваются в любом случае. Вместе с патронами.
По теоремам умножения вероятностей зависимых и сложения
несовместных событий:
Таким образом, искомый закон распределения:
Обязательно выполняем проверку:
www.openscience.uz 20"Science and Education" Scientific Journal July 2021 / Volume 2 Issue 7
, что и требовалось проверить.
Построим многоугольник распределения:
Вычислим и . Для геометрического распределения существуют
специальные формулы нахождения математического ожидания и дисперсии:
, но нам ими воспользоваться не удастся - по той причине,
что количество испытаний не бесконечно. Поэтому придётся использовать
общий алгоритм. Заполним расчётную таблицу:
Математическое ожидание лежит готовенькое: - это
среднеожидаемое количество выстрелов (при многократном повторении таких
серий из 4 выстрелов).
Дисперсию вычислим по формуле:
- это мера
рассеяния количества выстрелов относительно математического ожидания.
Очевидно, что чем ниже квалификация стрелка (значение ), тем больше
будут эти значения. И, наоборот - с увеличением матожидание приближается
к единице, а дисперсия к нулю, ибо снайпер в подавляющем большинстве
случаев выбивает цель с первой попытки да с малой погрешностью
относительно «центра мишени».
Этот факт хорошо виден из теоретических формул для бесконечного
количества выстрелов.
www.openscience.uz 21"Science and Education" Scientific Journal July 2021 / Volume 2 Issue 7
Давайте, кстати, ради интереса вычислим:
Ну что же, значения нашей «реальной» задачи весьма близки к этим
результатам.
Составим функцию распределения вероятностей:
Выполним чертёж:
Найдём - вероятность того, что значение случайной
величины отклонится от математического ожидания не более чем на .
Сначала вычислим среднее квадратическое отклонение:
затем - требуемую вероятность:
напоминаю, что на интервале концентрируются
«основные события», и поэтому такой высокий результат неудивителен.
Готово!
www.openscience.uz 22"Science and Education" Scientific Journal July 2021 / Volume 2 Issue 7
Но при всей кажущейся простоте, у этого задания существуют подводные
камни. Главное коварство состоит в том, условие может быть сформулировано
по такому же шаблону, но случайная величина быть ДРУГОЙ. Например:
- количество промахов.
В этом случае закон распределения вероятностей примет следующий вид:
Здесь - вероятность того, что будет 3
промаха (в 4-й попытке попадание); - вероятность
того, что стрелок совершит 4 промаха.
Естественно, что все числовые характеристики и содержательный выводы
будут другими, однако сам закон распределения сохранит свой
«геометрический» характер.
Вот ещё одна хитрая вариация, которая мне встречалась на практике:
- количество неизрасходованных патронов.
Закон распределения этой величины таков:
Проанализируйте данный случай самостоятельно.
Кстати, в примере, который мы прорешали, случайную величину можно
эквивалентно сформулировать, как «количество израсходованных патронов».
Но и это ещё не всё - случайная величина может вообще иметь другой вид
распределения!
Таким образом, к решению подобных задач нельзя подходить формально -
во избежание ошибок, анализируйте реалистичность полученных результатов.
И тогда математическое ожидание в разобранной задаче вас явно
насторожит.
Дополнительные примеры по теме, в том числе весьма творческие, можно
найти в решебнике по теме. Далее рекомендую изучить биномиальное,
пуассоновское и гипергеометрическое распределения вероятностей.
Использованная литература
1. Киселёв, Андрей Петрович // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.]
/ гл. ред. А. М. Прохоров. - 3-е изд. - М. : Советская энциклопедия, 1969-1978.
2. Андронов И. К., А. П. Киселев. [Некролог], «Математика в школе»,
1941, № 2
www.openscience.uz 23"Science and Education" Scientific Journal July 2021 / Volume 2 Issue 7
3. Маргулис А. Я., Андрей Петрович Киселев, «Математика в школе»,
1948, № 4
4. Депман И. Я., История арифметики, М., 1959.
5. Моргулис А. Я., Тростников В. Законодатель школьной математики //
Наука и жизнь. 1968. № 1
References
1. Kiselev, Andrey Petrovich // Great Soviet Encyclopedia: [in 30 volumes] /
Ch. ed. A.M. Prokhorov. - 3rd ed. - M.: Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
2. Andronov I.K., A.P. Kiselev. [Obituary], "Mathematics in School", 1941, no.
2
3. Margulis A. Ya., Andrey Petrovich Kiselev, "Mathematics at school", 1948,
no. 4
4. Depman I. Ya., History of arithmetic, M., 1959.
5. Morgulis A. Ya., Trostnikov V. Legislator of school mathematics // Science
and life. 1968. No. 1
www.openscience.uz 24Вы также можете почитать
