Math-Net.Ru All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal

V. P. Myasnikov, A. B. Roshchin, L. M. Truskinovskii,
The structure of an isothermic jump in a weakly
nonlocal relaxing compressible medium, Dokl. Akad.
Nauk SSSR, 1990, Volume 311, Number 6, 1347–1351

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you
have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement

Download details:
IP: 193.54.89.93
June 22, 2021, 14:06:50

Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к СССР
                                1990. Том 311, №6

УДК 532.6                               МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

                 ©    Член-корреспондент АН СССР В.П. МЯСНИКОВ,
                        А.Б. РОЩИН, Л.М. ТРУСКИНОВСКИЙ

               СТРУКТУРА ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО СКАЧКА
      В СЛАБО НЕЛОКАЛЬНОЙ РЕЛАКСИРУЮЩЕЙ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ

       Структура ударных волн в релаксирующих средах зависит от амплитуды
волны [1, 2]. В слабых ударных волнах она определяется кинетикой релаксации;
в сильных ударных волнах за узким фронтом, контролируемым сдвиговой вязко­
стью и теплопроводностью, располагается более широкая область, в которой явле­
ния релаксации преобладают [1,2].
        Ниже рассматриваются особенности структуры ударных волн сжатия в
нелокальной релаксирующей среде. С целью упрощения задачи коэффициент тепло­
проводности предполагается бесконечно большим, вследствие чего среду можно
считать изотермической.
        1. Функция свободной энергии единицы массы задается в виде
 (1) / = /о (T0,v,^ + eu(V£)2/2,
где Т = Т0 - температура среды, v - удельный объем, % — безразмерный скаляр­
ный параметр (внутренняя степень свободы), е — положительная константа, ха­
рактеризующая масштаб нелокальности среды (см. [3]). Система уравнений, опи­
сывающая движение изотропно-вязкой жидкости с удельной энергией (1), в евкли­
довой эйлеровой системе координат х', / = 1,, 2, 3, представляется следующим об­
разом (см. [3] ) :
 (2) dp/dt + рЧ,и' = 0,
(3)    pdu'ldt = -V'p - бV'(V£)2 + psàu' + (pv + ps/3)V%u/,
(4)    dÇ/dt= -r 0 — кинетический скалярный па­
раметр, ßS, pv — коэффициенты сдвиговой и объемнойивязкости ,среды (Г, ps,
pv предполагаются постоянными). В случае е = 0.система (1) —(5) .представляет
собой уравнения вязкого двукомпонентного газа с обратимой химической реак­
цией, при этом £ играет )роль массовой доли одного из компонентов в смеси [1],
       В работе рассматриваются одномерные ограниченные автомодельные решения
системы уравнений (1) - (5), удовлетворяющие граничным условиям
(6) > и = Ui, v = vi, % = | j при х ->• °°.
Состояние v = v\, % = % i предполагается равновесным.
       Наложим следующие ограничения на функцию / 0 (Т0, v, %): >
(7)    /0ЯК > 0, / ^ < 0, Cv > 0 для любого %, /О'о -> - ~ при v - 0.
(8)     С

Соотношения (7) представляют собой условия нормального газа [4, 5] для изо­
термической среды. Без ограничения общности можно считать, что выполняется
неравенство (8) (Зр/Э £ > 0) : случай Эр/Э £ < 0 рассматривается аналогично.
      Произведя замену переменных z = х1 — Dt, х2 ,х3 = const, D = const в урав­
нениях (1) —(6) и интегрируя их один раз, приходим к системе, описывающей струк­
туру плоских волн со стационарным профилем в среде с энергией (1) :
(9)    d%\dz = q,
(10)   dvfdz = (-/„'„(и, » + i\v        -vt)   -   Pl   + eq212)1 (iß),
(11)   dvldz = / 0 ' t (w, »/eu + /«/(Te),
 где ß = ßv + ßs • 4/3, / = pi («i — D) — массовый расход в системе координат г;
/ = const в силу уравнения (2).
       В случае невязкой среды (р = 0) уравнение (10) приобретает вид
(12)   F(v, £,

Рис. 1, Тип особой точки (16) при разных значениях параметров 1/Re, M, A; В = 0,5. В названии
типа особой точки в скобках указано число собственных значений с положительной и отрица­
тельной действительной частью. Кривая Мкр 04) определена в (18)

масштабы: времени т = ( Г ( / " ) 0 "' (характерное время релаксации), скоро­
сти Cod = (—v2 (Эр/Эи)!) 1 / 2 (замороженная скорость звука до ударной волны),
Cooi>c*! [6], длины/ = с„ IT, удельного объема vц. Находим

(17)   (dkldz, dv/dz, dqjdz) = Щ - 1, v - 1, q),

где элементы qtj,- i, j - 1, 2, 3, матрицы Q имеют вид

Рис. 2. Схематическое изображение фазового портрета системы (9), (14) в случае М к р  1. Штриховыми и сплошными линиями обозначены фазовые кривые соответственно пер­
вого и второго листов фазового портрета

       3. В случае невязкой среды структура ударных волн описывается системой
(9), (14), решения которой могут быть проанализированы с помощью стандарт­
ных методов качественного исследования уравнений первого порядка на плоско­
сти [5; 7 ] . Если M < 1, то i>i < и п р ( 0 ) . В этом случае оказываются справедливы­
ми следующие утверждения: при M < f i 1 ' 2 не существует ограниченных по z решений
 (9), (14), удовлетворяющих условиям (6), кроме % = %х, q = 0; при 5 1 / 2 < М < 1
существует единственное непрерывно дифференцируемое решение (9), (14), такое
что \ (z) -*• %i при z -*• —°°, £ (z) -*• %2 при z ->+ О, R = ( 0 ^ ) 1 ( A i - clО/Сб»!(cli      - vif2))   -   P2f12.

Амплитуда С не превосходит t K p ( 0 ) — fi > 0. В пределе M -* 1 период колеба­
ний, равный 2тгJR, вместе с амплитудой С стремится к нулю. В случае, когда нело­
кальностью среды можно пренебречь (А -*• 0), М к р -»• 1, ударные волны с немоно­
тонной структурой не возникают [1].
         Если M > 1, то фазовый портрет системы (9), (14) становится двулистным.
Первый лист содержит точку (16); в уравнении (14) на месте К(£, q) фигуриру­
ет Vi (£, q). Второй лист содержит особую точку % = %2, q = 0 к отвечает второй
ветви V2 (£, q) функции V(£, q) в уравнении (14). Справедливо утверждение: для
любого числа M > 1 система (9), (14) имеет единственное непрерывное кусочно-
дифференцируемое решение, удовлетворяющее условиям % -*• % i, q -*• 0 при z -»• —°°
ъ k ~* %г, Q ~*Q при z -»+оо (см. рис. 3). Производная dqjdz терпит разрыв перво­
го рода в точке £ = £ 0 , q = q0 (%2 < £о < % и Чо < 0 при А Ф 0), определяемой един­
ственным образом. Удельный объем (v (z) = Vi (if ( z ) > 4(z)) П Р И So < I ü ( z ) =
= y 2 ( ? ( z ) .

< 1 (М к р определено в (18)). В сильных ударных волнах (М > 1) перед фронтом,
контролируемым вязкостью и теплопроводностью, возникает зона непрерывной
релаксации с шириной порядка масштаба нелокальности среды (eu i / (Э 2 / 0 /Э \2)i)1^2,
при этом уменьшается величина "вязкого" скачка удельного объема, а распреде­
ление £ (z) становится непрерывно дифференцируемым.
Геологический институт                                                         Поступило
Академии наук СССР                                                             13 IV 1989
Москва
                                       ЛИТЕРАТУРА
         1. Зельдович Я.Б. - ЖЭТФ, 1946, т. 16, № 4, с. 365. 2. Кларк Дж., Макчесни М. Дина­
мика реальных газов. М.: Мир, 1967, с. 289.      Ъ.Рощин А.Б., Трускиновский Л.М. - ПММ,
1989, т. 53. 4. Weyl H. - Comm. Pure AppL Mathv 1949, vol. 2, № 2/3, p. 103. 5. Рождествен­
ский Б.Л., Яненко H.H. Система квазилинейных уравнений и их приложения к газовой дина­
мике. М.: Наука, 1978. 688 с. 6. Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. - ЖЭТФ, 1937, т. 7, № 3,
с. 438.     7. Андронов А.А и др. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.:
Наука, 1967. 488 с.

УДК 518.538.13                               МАТЕМАТИЧЕСКАЯ                  ФИЗИКА

                            ©    С.Г. ОСИПОВ, М.М.ХАПАЕВ
              О НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ
                  (Представлено академиком В.П. Масловым 14IV1989)

       1. В последние годы исследования нелинейных динамических процессов в
магнитных материалах вызывают большой интерес как физиков, так и математи­
ков [ 1 - 3 ] . Подобные исследования в значительной степени стимулируются много­
численными применениями ферромагнитных пленок в запоминающих устройствах,
носителями информации в которых являются либо сами магнитные домены, либо
структурные особенности доменных границ.
       В настоящее время пока не удалось добиться полного понимания динамики
доменных границ, что обусловлено, с одной стороны, сложностью строгой матема­
тической постановки задачи; с другой — противоречивостью, ограниченным харак­
тером и неоднозначностью итерпретации экспериментальных данных.
       Наиболее общим уравнением, описывающим динамику доменной границы,
является уравнение Ландау—Лифшица — уравнение движения вектора намагничен­
ности M под действием полного эффективного поля Н:
       dM                     / а \
(1)          = | 7 I • H X M + ( —— ) (M X M X H),
        dt                    \M} /
где 7 — гиромагнитное отношение, а — параметр затухания, М$ — намагниченность
насыщения;
                                  2К          2А
(2)   H = H a + H « + H d + Ho= - — / ( М ) + —т-  ДМ + Hrf + Ho,
                                  М%          Mls
Н(, - поле анизотропии, Нех — обменное поле, H d (M) — размагничивающее поле,

                                                                                     1351