Геометрия как вычисление: то, чего вы не знали - Бойко Банчев июнь 2013
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
Геометрия как вычисление:
то, чего вы не знали
Бойко Банчев
Институт математики и информатики — БАН
июнь 2013
Язык геометрии (0) Есть привычка считать геометрические рассуждения образцом логической строгости.
Язык геометрии (1) Это заблуждение!
Язык геометрии (2) Абстрактность евклидова изложения геометрии: достоинство и недостаток.
Язык геометрии (3) Школьный язык геометрии: • неточный, размытый; • часто непрямой и искусственный; • неполный; • плохо пригоден для проведения вычислений.
Размытость
Размытыми и неточными являются и понятия, и рассуждения
(постановка задач, доказательства).
Пример: что такое УГОЛ?
• Свойство: отклонение по отношению к прямой
• Отношение между пересекающимися прямыми
• Количество пространства между пересекающимися
прямыми
• Фигура, определяемая
двумя лучами или
двумя прямыми или
двумя полуплоскостьями или
...Искусственность
Пример: для проведения перпендикуляра к прямой через
точку нужно
◦ строить пересечения окружностей и
◦ рассматривать два случая — точка на прямой и не на ней.Неполнота Каким понятием выражается то, как данная прямая «повернута» на плоскости или в пространстве (совокупность двух направлений, параллельных прямой)? Каким понятием выражается то, что контур любой фигуры на плоскости можно обойти либо «по часовой стрелке», либо наоборот? (При этом понимая слова «по часовой стрелке» только «в целом», а не вдоль отдельных участков.) А каким понятием выразить то, что в пространстве такое различение невозможно?
Непригодность к вычислениям Геометрические понятия не являются вычислимыми (за небольшими исключениями). Даже когда угол считается количественным понятием, в вычислениях он участвует не непосредственно, а только косвенно — через тригонометрические функции. Центр треугольника находится как среднее арифметическое его вершин. А как выражается через вершины ортоцентр? Центры вписанной и описанной окружностей? Другие центры и пересечения?
Непригодность к вычислениям: продолжение Как по заданным точкам A, B, C вычислить коллинеарны ли они, а если нет, то какова ориентация тройки (A, B, C ), т. е. 4 ABC ? Как по заданным точкам A, B, C , D определить вид четырехугольника ABCD? (Какое выражение от A, B, C , D предъявить для различения вида?) Как определить является ли 4-угольник параллелограммом, прямоугольником, ромбом, трапецией и т. д.?
Вычисления в геометрии
Для проведения вычислений, геометрия обычно пользуется:
тригонометрией;
представлением в координатах (аналитическая геометрия).
И то, и другое имеет серьезные недостатки.Векторы для геометрии (0)
Векторы
Появились ≈170 лет назад. (Евклиду 23 века, Фалесу — 26, . . . )
Имели непростую историю (разные системы понятий, разные
обозначения, недопонимание свойств).
Их роль в математике и физике неоценима.
В школе отсутствуют вполне или почти
(и плохо интегрированы со всем остальным).Векторы для геометрии (1)
Тем не менее:
векторы — подлинно геометрические объекты;
«координатная геометрия» как алгебраический аппарат
геометрии заменяется на истинно геометрическое средство
проведения вычислений и рассуждений, где выражения и
уравнения обладают непосредственно геометрическим
смыслом;
многие задачи, такие как нахождение точек, ориентаций,
расстояний, уравнений, которые школьная геометрия плохо
или никак не решает или даже не способна формулировать,
оказываются простыми применениями векторов;
векторы уменьшают необходимость в применении
тригонометрии (которая по сути и не есть геометрия);
полноценным использованием векторов открывается
возможность формулировать и решать задачи
алгоритмического характера (естественное окно в
информатику);Векторы для геометрии (2)
усвоение работы с геометрическими векторами облегчает
понимание абстрактных векторов в линейной алгебре (на
следующей ступени обучения).Векторы для геометрии (3)
Почему эти преимущества аппарата векторов не используются?
Мое предположение: из-за ограниченного введения этого
аппарата и, как следствие, неразвитости его применений.
Ограниченность рассмотрения векторного аппарата, в свою
очередь, является следствием:
— недопонимания сущности векторной алгебры;
— консерватизма относительно содержания школьной
геометрии.Действия с векторами
Сумма, разность, умножение на число, скалярное
произведение.
Внимание: новые операции!
«Перп»: вектор u⊥, повернутый на 90◦ (в положительном
направлении) относительно данного u и той же длины.
Косое произведение u×v: площадь параллелограмма,
построенного по векторам u и v.
u
u⊥ v
v
u uАлгебраические свойства умножения на число и скал-го
k (a + b) = k a + k b
(k + k 0 ) a = k a + k 0 a
k (k 0 a) = (kk 0 ) a
a · a = |a|2
a·b = b·a
(k a + k b) · c = k (a · c) + k 0 (b · c)
0
|a · b| ≤ |a||b|
a · b = |a||b| cos(a, b)Алгебраические свойства ⊥ и ×
(a⊥)⊥ = −a
0 ⊥
(k a + k b) = k a ⊥ + k 0 b⊥
a⊥ · b = − a · b⊥
a ⊥ · b⊥ = a · b
a × b = −(b × a)
(k a + k b) × c = k (a × c) + k 0 (b × c)
0
a × b = a⊥ · b
a⊥ × b = −(a × b⊥) = −(a · b)
a ⊥ × b⊥ = a × b
|a × b| ≤ |a||b|
a × b = |a||b| sin(a, b)
(в последнем тождестве угол берем именно от a к b)Геометрический смысл «перпа» и произведений
перп обеспечивает
перпендикуляр той же длины
вместе с данным вектором — координатную систему
положительной ориентации
косое произведение
коллинеарность (=0) или
знак указывает на
предшествование первого (>0) или второго (0), тупой (Разложение вектора
Любой вектор p можно представить
через два других u и v, таких что
u × v 6= 0.
p
Исходя из p = α u + β v, которое v
умножаем на ×v и u×, находим соот-
ветственно α и β, тем самым получая: u
1
p= ((p × v) u + (u × p) v) (1)
u×v
В частности, для v = u⊥:
1
p= ((u · p) u + (u × p) u⊥) (2)
u2
Правило. Если p — искомое и произведения во внутренних
скобках (1) или (2) можно найти косвенно, например по их
геометрическому смыслу, то для нахождения p можно
использовать соответствующее уравнение.Векторные тождества
(u · v)2 + (u × v)2 = u2 v2
– векторный аналог тождества cos2 x + sin2 x = 1.
Обобщая (1), для любых p, q и r выполнено:
(p × q) r + (q × r) p + (r × p) q = 0.
Умножив это скалярно на q и затем замещая p на −p⊥,
получаем соответственно
(p · q) (q × r) + (p × q) (q · r) = (p × r) q2
и
(p · q) (q · r) − (p × q) (q × r) = (p · r) q2 ,
что является векторным аналогом тригонометрических формул
синуса и косинуса суммы углов.Поворот точки/вектора
Иногда совсем без тригонометрии не обойтись, но даже в таких
случаях её применение можно свести к минимуму.
Так, для выражения вращения нужно явным образом
ссылаться на соответствующий угол. Но результат поворота u0
вектора u около его начальной точки выражается, согласно (2),
через u и u⊥. Ввиду равенств
u · u0 = |u||u0 | cos(u, u0 ) = u2 cos(u, u0 )
u × u0 = |u||u0 | sin(u, u0 ) = u2 sin(u, u0 )
u⊥
в этом случае (2) переходит в
u0
0 ⊥
u = cos ϕ u + sin ϕ u .
ϕ uКоординатное представление векторов и действий
Координатное представление делает возможным проводить
вычисления над конкретными числовыми данными
(координатами точек и векторов).
Если u(x, y ) (у вектора u координаты (x, y )), то u = x + y, где
x(x, 0) и y(0, y ). Из этого и свойств действий над векторами
следует, что сумма, обращение знака, разница и умножение на
число вектора (-ов) выражаются теми же действиями над
числами — координатами векторов. Кроме того, если v(x 0 , y 0 ),
то: p
|u| = x2 + y2
u · v = xx 0 + yy 0
u⊥ = (−y , x)
u × v = xy 0 − x 0 yЗАДАЧИ
Площадь треугольника
Найти площадь 4 ABC по заданным его вершинам.
Решение. Из определения косого произведения следует, что
площадь 4 ABC равна например
1 −−→ −−→
2 (AB × AC ) — площадь между векторами с общим началом
или
1 −−→ −−→
2 (AB × BC ) — площадь между последовательными векторами.
−−→
Здесь как бы вектор-сторона AB взята в качестве
«основания», но подобные выражения для той же площади
−−→ −−→
можно получить и для BC или CA .Площадь треугольника: продолжение
−−→ −−→ −−→ −−→
Каждое из произведений AB × AC и AB × BC подобно
знакомой формуле ah (произведение основания на высоту).
−−→ −−→
Заметим однако, что на месте AC (BC ) можно поставить
фактически любой вектор с началом на прямой AB и концом
на прямой через C , параллельной AB — например u, v или w
на рисунке. Таким образом, применение высоты для
вычисления площади существенно обобщается.
C
v u w
A B
Площадь 4 ABC можно выразить и симметрично относительно
вершин: (A × B + B × C + C × A)/2.Площадь треугольника: продолжение 2 Отметим, что в обычной школьной геометрии вычисление площади по заданным вершинам непосредственно недоступно. В лучшем случае будет нужно найти длины стороны и высоты, или всех сторон треугольника, чтобы перемножить или применить формулу Герона. Но это, во-первых, практически неприменимо вручную (из-за необходимости вычисления корней), а во-вторых, даже когда вершины расположены в целочисленных узлах координатной системы, вынуждает делать вычисления над числами действительными — таков будет и результат! Нахождениe же площади как произведение векторов свободно от этих недугов. Вычисление требует применения только нескольких сложений и умножений (не считая конечное деление на 2). Если вершины расположены в точках с рациональными координатами, то рациональной величиной является и получаемая площадь. Если, в частности, координаты целые, то площадь треугольника либо целая, либо содержит 1/2.
Определение вида четырехугольника
Определить какой из трех случаев имеет место для
четырехугольника ABCD, заданного своими вершинами:
самопересекающийся; вогнутый; выпуклый.
Решение. Данные три случая имеют место, когда число
внутренних диагоналей соответственно 0, 1 или 2. Диагональ
внутренняя, когда оставшиеся две вершины находятся по
разные стороны от содержащей диагональ прямой. Так, AC
внутренняя, если у 4 ACB и 4 ACD разные знаки площадей, т. е.
−−→ −−→ −−→ −−→
если sign (AC × AB ) 6= sign (AC × AD ); аналогично для BD.
Заметим, что по существу это алгоритм для нахождения
пересекаются ли два отрезка.Площадь четырехугольника
Найти площадь простого четырехугольника по его вершинам.
Решение. Так как ABCD простой,
по крайней мере одна из его диа-
D
гоналей внутренняя. Площади об-
разованных ею двух треугольников
находим как косые произведения и C
суммируем.
−−→ −−→
Ответ: 21 (AC × BD ) .
B
Значение положительно, когда
A, B, C , D, в этом порядке, распо- A
ложены против часовой стрелки.
В ряде респектабельных источников полученную формулу
можно найти в виде 12 d1 d2 sin ϕ, в котором ориентация фигуры
неразличима. Кроме того, ошибочно утверждается, будто
формула верна только для выпуклого четырехугольника!Площадь прямоугольника заданного пятью точками
Точки B1 и B2 лежат на одной стороне прямоугольника, точки
S1 и S2 — на прилежащих к ней сторонах, а точка T — на
противолежащей стороне. Найти площадь прямоугольника.
Решение. Используя скалярное и косое произведения, находим
длины сторон прямоугольника и перемножаем их.
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→
|B1 B2 · S1 S2 | (B1 B2 × B1 T )
Ответ: .
B1 B22
Значение положительно в точности тогда, когда T лежит слева
−−−→
от оси B1 B2 .
T
S1 S2
B1 B2Площадь многоугольника
Доказать, что площадь простого многоугольника с вершинами
P1 , P2 , . . . , Pn равна 12 (P1 × P2 + P2 × P3 + · · · + Pn × P1 ) .
Решение. Докажем формулу индуктивно. Для n = 3
(треугольник) её справедливость установлена выше. Если
n > 3, выберем «ухо» многоугольника и пусть оно — Pn . Тогда
площадь P1 P2 . . . Pn является суммой площадей P1 P2 . . . Pn−1 и
Pn−1 Pn P1 . Остается использовать тождество
(P1 × P2 + P2 × P3 + · · · + Pn−1 × P1 )
+ (P1 × Pn−1 + Pn−1 × Pn + Pn × P1 )
= P1 × P2 + P2 × P3 + · · · + Pn × P1 ,
и индуктивное предположение для P1 P2 . . . Pn−1 .
Площадь многоугольника положительна в точности тогда,
когда P1 , P2 , . . . , Pn перечислены против часовой стрелки.Уравнение прямой
По заданным точкам B1 и B2 найти уравнение проходящей
через них прямой.
Решение. Точки P на прямой и только они коллинеарны с B1 и
B2 , т. е. для них имеет место
−−→ −−−→
PB1 × B1 B2 = 0,
которое и есть искомое уравнение. Его можно переписать еще
в виде
−−−→
(P − B1 ) × B1 B2 = 0
или
−−−→
P × B1 B2 = c,
где
−−−→
c = B1 × B 1 B 2 = B1 × B2 .Уравнение прямой: продолжение
Полагая, что B1 (x1 , y1 ) и B2 (x2 , y2 ), сравним с уравнением той
же прямой в координатах:
(y1 − y2 ) x + (x2 − x1 ) y + (x1 y2 − x2 y1 ) = 0.
Какое из двух уравнений проще составить? Какое из них
непосредственно отражает суть геометрической зависимости?
Несколько проще составить верхнее уравнение в виде
x − x1 y − y1
= ,
x2 − x1 y2 − y1
но тогда, помимо прочего, представлены будут не все прямые.
Заметим также, что по общему уравнению прямой в координатах
ax +by +c = 0
непросто определить какой именно прямой оно соответствует:
коэффициенты, особенно c, не имеют непосредственного
геометрического смысла.Параметрическое уравнение прямой
По теми же данными, параметрическое уравнение прямой
имеет вид:
−−−→
P = B1 + s B1 B2 ,
где каждому вещественному значению s соответствует точка P
и, наоборот, каждой точке P соответствует некоторое s.
Это векторное уравнение, так же как и предыдущее, «говорит»
на геометрическом языке: его легко составить, а по данному
уравнению такого вида сразу понятно какой прямой оно
соответствует.«Точное» уравнение прямой
Для любой прямой можно выбрать параллельный ей вектор
единичной длины û так чтобы для радиус-векторов p точек на
прямой имело место û × p ≥ 0. Тогда уравнением прямой будет
û × p = d ,
где d ≥ 0 есть расстояние между началом координат и прямой.
Любая пара из единичного вектора û и d ≥0 задает, в смысле
этого уравнения, прямую на плоскости. И наоборот, любой
прямой соответствует пара û, d ≥0, которая однозначно
определена, за исключением прямых, проходящих через начало
координат, где d =0 и можно выбрать как û, так и −û.
p
û
d
OСерединный перпендикуляр
Уравнение серединного перпендикуляра точек A и B можно
записать как частный случай общего векторного:
−−→
(P − (A + B)/2) · AB = 0
или параметрического уравнения прямой:
−−→
P = (A + B)/2 + s AB ⊥.
B
−−→⊥
AB
AРасстояние от точки до прямой
Найти расстояние от точки P до прямой, проходящей через
точки A и B.
−−→
Решение. Искомое расстояние — проекция на AB ⊥ вектора
−−→
AP . Эта проекция находится непосредственно по разложению
−−→ −−→ −−→
AP на AB и AB ⊥ согласно (2).
−−→ −−→
Ответ: (AB × AP )/AB.
Расстояние ориентировано: оно положительно тогда и только
−−→
тогда, когда P находится слева от оси AB и отрицательно,
если P справа.
P
−−→⊥
A AB
BТочка пересечения прямых
Решение. Пусть каждая прямая задана параллельным ей
вектором ui и точкой Pi на ней (i = 1, 2), а X — искомая точка.
Разложив, согласно (1), X на u1 и u2 , получим
((X × u2 ) u1 + (u1 × X) u2 )/(u1 × u2 ).
Чтобы освободиться от X, выражения во внутренних скобках
можно заменить согласно ui × X = ui × Pi (из уравнений
прямых).
Ответ: ((P2 × u2 ) u1 + (u1 × P1 ) u2 )/(u1 × u2 ). (3)
u2
X
u1Пересечение: продолжение
Решая совместно параметрические уравнения прямых, получим
следующие, эквивалентные (3), выражения для X:
−−−→
P1 + ((P1 P2 × u2 ) u1 )/(u1 × u2 ) ,
−−−→
P2 + ((P1 P2 × u1 ) u2 )/(u1 × u2 ) . (4)Условие сообщности трех прямых Сообщными назовем прямые, у которых общая точка или которые параллельны одна другой. Решение. Пусть каждая прямая задана параллельным ей вектором ui и точкой Pi на ней (i = 1, 2, 3) и пусть u1 × u2 6= 0. Тогда у прямых 1 и 2 есть точка пересечения X , для которой выполнено X = ((P2 × u2 ) u1 + (u1 × P1 ) u2 )/(u1 × u2 ). Если, кроме того, X лежит на прямой 3, из уравнения этой прямой имеет место u3 × X = u3 × P3 . Умножая на u3 × первое из этих равенств и используя второе, получаем (u1 × u2 )(u3 × P3 ) + (u2 × u3 )(u1 × P1 ) + (u3 × u1 )(u2 × P2 ) = 0. Это равенство верно и для параллельных (ui × uj = 0) прямых. Также, если полученное равенство имеет место, то прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.
Образ точки при косой симметрии
Прямая задана точкой M на ней и параллельным ей вектором
u. Найти образ P 0 точки P при переносе, параллельном
данному вектору v (k/ u) и симметричном относительно прямой.
Решение. В силу симметрии
−−−→ −−→
(MP 0 + MP ) × u = 0
−−−→ −−→ −−→
(MP 0 − MP ) × v = PP 0 × v = 0,
откуда −−−→ −−→
u × MP 0 = MP × u
−−−→ −−→
MP 0 × v = MP × v
−−−→
и можно воспользоваться разложением (1) для MP 0 по u и v.
−−→ −−→
Ответ: P0 = M + ((MP × v) u + (MP × u) v)/(u × v).
P0 v
u
M PЦентр описанной около треугольника окружности
Решение. Центр O можно найти как точку пересечения
серединных перпендикуляров сторон.
Ответ. Соотвественно применению (3) и (4):
C
(B2 −C2 ) A + (C2 −A2 ) B + (A2 −B2 ) C
O = −−→ −−→
2 (AB × AC )
−−→ −−→ −−→ O
C2 AB + A2 BC + B2 CA A B
= −−→ −−→ и
2 (AB × AC )
−−→ −−→
1 1 CA · CB −−→
O = (A + B) + −−→ −−→ AB ⊥.
2 2 CA × CB
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
Отметим, что AB × AC = CA × CB = 2 SABC , − CA · CB = ctgC
−→ −−→
CA × CB
и мы фактически определили расстояние от O до середины AB.Центр вписанной в треугольник окружности
Решение. Пусть I — искомый центр. Используя (1), можно
−→ −−→ −−→
выразить AI через AB и AC , а в полученном заменить
−−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→
AB × AI , AI × AC и AB × AC выражениями для удвоенных
площадей 4 ABI , 4 AIC и 4 ABC через AB, AC , полупериметр и
радиус вписанной окружности. Радиус в конечном выражении
не участвует, т. к. сокращается.
Ответ: A + 2p 1 (AC · − −→ −−→
AB + AB · AC ), где p — полупериметр.
−−→ −−→
Подставив AB = B − A и AC = C − A, получаем
симметричное относительно вершин выражение:
1
(BC · A + CA · B + AB · C).
2p
C
A BОртоцентр треугольника
Находим ортоцентр H как точку пересече- C
ния перпендикуляров, скажем, через C к
AB и через A к BC . Применение формулы H
(3) дает:
A B
−−→ −−→⊥ −−→ −−→⊥
(A · BC ) AB − (C · AB ) BC
H = −−→ −−→
AB × BC
−−→ −−→ −−→
((A · CB ) A + (B · AC ) B + (C · BA ) C)⊥
= −−→ −−→
AB × BC
Применение же формулы (4) приводит к:
−−→ −−→
CA · CB −−→ −−→
H = C − −−→ −−→ AB ⊥ = C − ctgC AB ⊥.
CA × CB
−−→ −−→
Заметим, что фактически мы определили, что HC = ctgC AB ⊥
и, в частности, что HC = | ctgC | AB.Ортоцентр — продолжение
Сравнение формул для центра O описанной окружности и
ортоцентра H показывает, что 2 O + H = A + B + C = 3 G, где
G — центр 4 ABC . Это означает, что O, G и H лежат на одной
прямой (прямая Эйлера) и что OG : GH = 1 : 2 (теорема
Эйлера).
Вычитая 3 O из обеих сторон равенства 2 O + H = A + B + C,
получаем еще:
−−→ −−→ −−→ −−→
OH = OA + OB + OCТочки касания к окружности
Найти точки касания прямых через точку P к окружности
k(C , r ).
−−→
Решение. Пусть d = CP . Если R и L — точки касания к k
−−→
справа и слева, используя (2) выражаем CR через d и d⊥,
−−→ −−→ √
учитывая при этом, что d · CR = r 2 и d × CR = r d2 − r 2 .
√
Ответ: C + r2 (r d + s d2 − r 2 d⊥) .
d
Для получения R выбирается s = 1, а для L — s = −1.
R
C P
LТочки касания к двум окружностям
Найти точки касания общих касательных к окружностям
k1 (C1 , r1 ) и k2 (C2 , r2 ).
Решение. Задача решается подобно предыдущей, выражая
−−−→
векторы от C1,2 к искомым точкам через d = C1 C2
и d⊥, но приходится рассмотреть большее число случаев —
касательных здесь четыре, а точек касания восемь.
√
Ответ: Ti = Ci + (−1)[i+s1 =3] ri2 (r d + s2 d2 − r 2 d⊥)
d
где r = r1 +s1 r2 , i=1, 2 определяет точку соответственно на k1 и
k2 , а параметры s1,2 имеют следующий смысл:
s1 = 1 для внутренних касательных, s1 = −1 — для внешних;
s2 = 1 для касательных справа к k1 , s2 = −1 — для левых.
C2
C1Задача E2124 из журнала Amer. Math. Monthly
Доказать, что если к сторонам треугольника внешне построить
квадраты и по их вершинам — два параллелограмма, как
показано на рисунке, то получающийся треугольник 4 AB 0 C 0
равнобедренный и прямоугольный.
−−→ −−→
Решение. Нужно доказать, что AC 0 = AB 0 ⊥. Для этого через
−−→ −−→
AB и AC (и их перпы) выражаются вектор-стороны
−−→ −−→ −−→ −−→
квадратов, через них — BB 0 и CC 0 и наконец — AB 0 и AC 0 .
C0
C
B B0
AТеорема Наполеона
Доказать, что если к сторонам треугольника внешне построить
равносторонние треугольники, то треугольник, образованный
их центрами, тоже равносторонен.
Решение. Достаточно показать, что в 4 A0 B 0 C 0 любая медиана
параллельна перпу соответствующей стороне. Это можно
−−−→ −−−→ −−−→ −−→ −−→
сделать, выражая A0 B 0 , B 0 C 0 и C 0 A0 через AB и AC .
A0 B
C
C0
B0
AНАБЛЮДЕНИЯ, ЗАМЕЧАНИЯ
Алгебраический подход в геометрии на основе векторного исчисления чрезвычайно эффективен. Он дополняет традиционное содержание геометрии, не вытесняя его. С его помощью развивается более полное представление о геометрических зависимостях, включая в рассмотрение понятие ориентации и родственные с ним. И процесс составления уравнений в векторах, и сами уравнения, по сравнению с координатными, более непосредственно выражают суть геометрических зависимостей. Существенно снижается потребность в тригонометрии, так как манипулирование углами часто происходит неявным образом, через действия с векторами.
С применением векторного аппарата получение результатов
становится более планомерным делом. В доказательствах и
построениях на место изобретательства и озарений
(дополнительные построения, косвенные пути к цели) приходят
вычисления.
Рассуждения и построения вычислением:
строги;
состоят из немногих, четко определенных элементов;
поддаются механичекому выполнению;
проверяемы — рассуждение правильно, если вычисление
является таким;
поддаются целесообразному планированию — легче
сообразить какое нужно сделать вычисление, чем нужно
ли, что и где достроить на чертеже;
легко реализуются программированием.Если задача не вполне определена, построение вычислением поможет выявить и параметризовать семейства решений. В частности, в явном виде и точно можно выразить выбор: который из двух концов отрезка, которое из двух противоположных направлений, по которую сторону от луча или оси, вне, внутри или на контуре фигуры, которая из двух или более точек пересечения. Алгебраический подход помогает выявить и оценить качественно и количественно свойства, отношения и особенности, которые без него могут остаться незамеченными: числовый вид (целый, рациональный, вещественный, со знаком или без) и свойства величины, степень определенности существования объектов (точек пересечения, касания и др.).
Дальше
?Спасибо за внимание!
Вы также можете почитать
