ФОРМИРОВАНИЕ ВРЕМЯ-ЧАСТОТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ДИНАМИЧЕСКОГО СПЕКТРА) НЕСТАЦИОНАРНОГО СИГНАЛА НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ИЗВЕСТНОГО ТИПА
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
ISSN 0868–5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 1, c. 87–93
ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
УДК 621.391.266.037.372
А. В. Меркушева
ФОРМИРОВАНИЕ ВРЕМЯ-ЧАСТОТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
(ДИНАМИЧЕСКОГО СПЕКТРА) НЕСТАЦИОНАРНОГО СИГНАЛА
НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ИЗВЕСТНОГО ТИПА
Используемые при анализе нестационарного сигнала информационно-измерительными системами двухпа-
раметрические представления отображают сигнал во время-частотную область и обеспечивают получение
динамического спектра. По способу формирования этих представлений они относятся к одному из двух
классов: классу Коэна или аффинному классу вейвлетов. Эти классы созданы на основе двух различных
принципов (удобной для приложений) модификации представления при преобразованиях сигнала, связан-
ных со сдвигом времени и частоты (или времени и масштаба — у аффинного класса). Два класса отличают-
ся именно формой модификации время-частотного представления сигнала при преобразовании этого сигна-
ла. Само правило модификации называют ковариантностью. Ковариантность имеет две формы: для смеще-
ния времени и частоты и для смещения времени и изменения (временнóго) масштаба сигнала. В настоящее
время решен вопрос о мере полноты числа классов для многообразия видов время-частотных представлений
(ВЧП) сигнала. В статье рассмотрена общая методология создания классов ВЧП на основе принципа уни-
тарной эквивалентности. Показывается, что любой возможный класс ВЧП может быть получен с использо-
ванием этого принципа.
ВВЕДЕНИЕ ложений по обработке нестационарных сигналов.
Хотя следует сказать, что от времени появления
двух традиционных классов ВЧП (класса Коэна
Нестационарность сигнала в информационно- и аффинного класса вейвлетов) до применения их
измерительных системах (ИИС) проявляется из- в исследованиях и технических разработках про-
менением во времени частотной структуры его шло по меньшей мере 4–6 лет.
спектра. Целью обработки и анализа таких сигна- Ниже рассматриваются общие аспекты форми-
лов является интерпретация динамического спек- рования классов ВЧП и принципы, используемые
тра, который, по сути, является время-частотным для расширения классов таких представлений сиг-
представлением сигнала. Представление (по мето- нала. Метод получения ВЧП имеет общий харак-
ду и теоретической базе) относится к одному из тер, поэтому там, где это допустимо, термин ВЧП
двух классов: время-частотному классу Коэна или сохраним для обоих классов. Это возможно, по-
к аффинному время-масштабному классу вейвле- скольку параметр a масштаба вейвлетов пропор-
тов [1–3]. До последнего времени методология ционален обратной частоте a = f0 / f и может рас-
формирования время-частотных представлений сматриваться как гиперболическая частотная шка-
(ВЧП) этих двух классов считалась достаточно ла представления динамического спектра.
полной и законченной. Однако в последние годы Метод формирования многообразия ВЧП дает
предложены средства создания новых групп ВЧП прямую характеристику всех квадратичных время-
на основе преобразования существующих типов частотных представлений нестационарного сигна-
двумерных представлений сигнала. Папандреу и ла на основе концепции ковариантности ВЧП
Хлавачем (Papandreou, Hlawatsch [4, 5]) построена к некоторому общему классу преобразований сиг-
группа ВЧП с использованием ковариационного нала (называемых унитарными). Общность рас-
принципа, ориентированного на гиперболическое сматриваемых преобразований состоит в том, что
или степеннóе преобразования временнóй пере- они имеют два непрерывных параметра и являют-
менной сигнала. Затем проведена разработка, свя- ся отражением лежащей в их основе группы. При
занная с обобщением форм и способов порожде- этом оказывается возможным описать все ВЧП
ния новых видов ВЧП и использованием элемен- сигнала с помощью унитарных преобразований,
тов функционального анализа [6, 7]. К сожалению, применяемых к элементам хорошо известных
группы новых ВЧП, образующие подобие классов, классов: класса ВЧП Коэна и класса аффинных
пока не нашли собственной ниши в области при- вейвлет-представлений сигнала.
8788 А. В. МЕРКУШЕВА
О ТЕРМИНАХ, ПОНЯТИЯХ у сигнала s(t) — Tn s (t ) ≡ s (t − n) , а операция
И ОБОЗНАЧЕНИЯХ
Fm — это операция сдвига частоты у того же сиг-
Для описания метода формирования отдельных нала (в частотной форме1)) — Fm sˆ( f ) ≡ e 2πjmf sˆ( f ) ,
видов ВЧП на основе представления известного то представление С класса Коэна для сигнала при
типа удобно использовать некоторые термины одновременном сдвиге у него времени и частоты
и обозначения, нетрадиционные для приложений (согласно свойству, называемому ковариантно-
по обработке сигналов ИИС. В теории таких при- стью) определяется соотношением
ложений применяются обозначения: L(R) — мно-
гообразие интегрируемых сигналов или функций; ( C ⋅ {Fm ⋅ Tn ⋅ s} )(t , f ) =
L2(R) — интегрируемые с квадратом функции = (C ⋅ s )(t − n, f − m) при m, n ∈ R . (1)
(включая все сигналы с конечной энергией); R —
все вещественные числа; L2(R2) — интегрируемые Выражение (1) справедливо для ВЧП класса Ко-
с квадратом двумерные представления сигнала; эна. В представлениях аффинного класса ковари-
Z — совокупность всех целых чисел (0). антность относится к операциям сдвига времени и
Пределы ± ∞ у интеграла могут не указываться. изменения масштабирующего параметра a. Это —
Понятие группы G включает совокупность эле- операция Tn с прежним значением и операция Dd:
−1 / 2
ментов, связанных рефлексивностью (a ~ a), сим- Dd s(t) ≡| d | ⋅s (t / d ) . В представлении Q аф-
метричностью (a ~ b ⇒ b ~ a), транзитивностью финного класса для сигнала с одновременным
(a ~ b и b ~ c ⇒ a ~ c), наличием единичного (ней- сдвигом времени и изменением масштабирующего
трального) элемента e и обратных элементов параметра свойство ковариантности выражается
(ae = a; a–1: aa–1 = e). Операцию в группе обозна- соотношением
чают определенным символом, например " • ".
Термин унитарность относится к преобразова- t −n
( Q ⋅ {Tn ⋅ D d s} )( t , f ) = ( Q ⋅ s ) , d ⋅ f . (2)
нию функций (например, Ua : s(t) → s(at) ), обла- d
дающему следующим свойством. Для унитарного Отметим, что логика свойства ковариантности
преобразования (УП) U его сопряженное U* сов- связана с необходимостью минимальной коррек-
падает с обратным (U*=U–1), где сопряженность ции представления сигнала при изменении поло-
понимается как эквивалентность перестановки жения исследуемого сегмента сигнала, при смене
оператора U (с заменой на сопряженный U*) на необходимого частотного диапазона анализа или
другой множитель скалярного произведения (ин- при изменении скорости регистрации сигнала. При
теграла произведения) двух функций: этом у двух классов представлений свойство кова-
Us1(t), s2(t)) = (s1(t), U*s2(t)), или рантности относительно преобразования аргумен-
тов отличается в связи с тем, что эти преобразова-
∫ [Us (t ) ⋅ s ∫ [ s (t ) ⋅ U s
*
2 (t )] dt =
1 1 2 (t )]dt .
ния отражают операции, свойственные двум раз-
личным группам 2). Это группа Вейля—Гейзенбер-
Аналогом унитарности является привычное га (у ВЧП класса Коэна) и собственно аффинная
требование выполнения для матриц свойства группа (у класса аффинных представлений вейв-
транспонированной перестановочности и ортого- летами).
нальности, которые для матрицы А имеют вид:
AAT = ATA = I; AT = A–1 (AT — транспонированная ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЧП: ДВА КЛАССА
матрица, AT = [aij], aij = aji , ∀ i,j; A–1 — обратная ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОГО
матрица, I — единичная матрица). СИГНАЛА
Далее, поскольку метод основан на преобразо-
ваниях, то термин ВЧП интерпретируется как Квадратичные время-частотные представления
время-частотное представление (а не преобразо- сигнала нашли широкое применение в приклад-
вание), что соответствует двумерному представле- ных исследованиях и технических разработках,
нию сигнала (а точнее его спектра) в плоскости требующих контроля зависящего от времени (ди-
время—частота. В логике построения ВЧП зало- намического) спектра [11–13]. В то же время дву-
жено прагматичное требование, чтобы при смеще-
нии их аргументов (времени и частоты) само зна- 1)
Частотная форма ŝ (f) сигнала s(t) является его преоб-
чение ВЧП менялось по определенному и просто-
му правилу, так чтобы результат такого смещения разованием Фурье: sˆ( f ) = ∫−∞∞ e 2πjft s (t )dt .
было легко оценивать. Правило, по которому 2)
Имеется в виду математическое понятие групп Ли,
в этом случае изменяется значение ВЧП, называ- важнейшими представителями которых являются груп-
ется ковариационным свойством. Так, если Tn — па Вейля—Гейзенберга (аддитивная) и аффинная (ад-
операция (далее "оператор") сдвига времени дитивно-мультипликативная) [8–10].
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 1ФОРМИРОВАНИЕ ВРЕМЯ-ЧАСТОТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ... 89
мерное распределение энергии сигнала по времени ванным ядром, ковариантны к оператору сдвига
и частоте (динамический спектр мощности) имеет времени (Tn s )(t ) ≡ s (t − n) и оператору сдвига час-
не единственную процедуру получения, т. к. су-
ществует много различных ВЧП и способов фор- тоты (Fm sˆ)( f ) ≡ e 2πjmf sˆ( f ) .
мирования такого распределения [14]. Преобла- Для ВЧП C класса Коэна при совместном дей-
дают два класса представлений: класс Коэна, ко- ствии этих операторов на сигнал свойство кавари-
вариантный к сдвигу времени и частоты сигнала, антности выражается соотношением
и аффинный класс, ковариантный к сдвигу време- (C Fm Tn s )(t , f ) =
ни и изменению масштаба. Основную часть по-
следнего класса составляют представления сигна- = (C s )(t − n, f − m); m, n ∈ R . (5)
ла вейвлетами [15–16].
Поскольку операции сдвига времени, сдвига Справедливо и обратное положение. Все квад-
частоты и изменения масштаба не являются един- ратичные ВЧП, обладающие свойством ковари-
ственными важными преобразованиями сигнала, антности в такой форме, должны принадлежать
то недавно были предложены некоторые новые классу Коэна.
классы ВЧП. Один из классов соответствует раз- Ковариантность к переносу (смещению) време-
личным видам гиперболического преобразования, ни и частот является следствием того, что эти опе-
в котором ковариантность относится к "гипербо- раторы представляют отображение на пространст-
лическому" сдвигу времени и изменению масшта- во функций L2(R) группы Вейля—Гейзенберга,
ба [4]. Другой класс построен на основе ковари- которая характеризуется свойством [8–10]:
антности к "степеннóму" сдвигу времени [5].
Обобщенный подход в направлении формирова- (Fm1 Tn1 )(Fm2 Tn2 ) = e −2πjm2 n1 Fm1 + m2 Tn1 + n2 . (6)
ния нового класса ВЧП введен Баранюком Каждое ВЧП в аффинном классе может быть
и Джонсом (Baraniuk, Jones) [8, 17]. Для этого выражено соотношением
предложено использовать метод унитарного пре-
образования 3). Метод расширяет группу классов (Q s )(t , f ) =
ВЧП, ковариантных к разнообразию преобразова-
ний сигнала, и не слишком сложен, если не счи- θ
∫∫ (A s)(θ , τ )ψ f ; f ⋅ τ e
− 2πj (θt +τf )
= dθ dτ . (7)
тать непривычности терминологии.
При рассмотрении время-частотных представ-
лений класса Коэна и аффинного класса для сиг- где ψ(θ, τ) — функция-ядро.
нала s(t) используется операторное обозначение Аффинное ВЧП, порождаемое фиксированны-
(Ps)(t, f), где t и f — аргументы (время и частота) ми ядрами, ковариантно по отношению к операто-
двухпараметрического ВЧП сигнала; оператор P ру сдвига времени и оператору изменения мас-
реализует преобразование L2(R) Æ L2(R2), т. е. и штаба (D d s )(t ) ≡| d | −1 / 2 ⋅s (t / d ) . При одновремен-
сигнал, и ВЧП интегрируемы с квадратом (причем ном действии на сигнал операторов
ВЧП — по двумерной области своих аргументов).
Каждое квадратичное ВЧП 4) класса Коэна может (Tn s )(t ) ≡ s (t − n) и (D d s )(t ) ≡| d | −1 / 2 ⋅s (t / d )
быть выражено соотношением [15, 18] свойство ковариантности выражается соотноше-
нием
∫∫ (A s)(θ , τ)ψ(θ ,τ)e
−2πj (θt +τf )
(C s )(t , f ) = dθ dτ , (3)
t −n
где ψ(θ, τ) — функция-ядро, определяющая вид (Q Tn D d s )(t , f ) = (Q s ) , df . (8)
d
ВЧП; (A s )(θ , τ) — двойственная функция, сим-
метричное квадратичное двухпараметрическое Так же, как и для класса Коэна, форма ковари-
представление сигнала, единое для всего класса антности в виде соотношения (8) характеризует
ВЧП Коэна: принадлежность ВЧП к аффинному классу время-
масштабных представлений сигнала посредством
τ τ
∫
( A s )(θ , τ ) ≡ s t + ⋅ s * t − e 2πjθτ dt .
2 2
(4) вейвлетов. Другими словами, все время-частотные
преобразования, ковариантные таким образом,
ВЧП, порождаемые определенным фиксиро- должны принадлежать аффинному классу.
Аффинная ковариантность для этих ВЧП явля-
3) ется следствием того, что T и D составляют уни-
Метод называют также унитарной эквивалентностью; тарное отображение на L2(R) аффинной группы со
унитарное преобразование ВЧП называют процедурой
искривления (warping) координат ВЧП. свойством
4)
Метод относится только к группе квадратичных ВЧП, (Tn1 D d1 )(Tn2 D d 2 ) = Tn1 + d1n2 D d1d 2 . (9)
вне которой находятся лишь очень немногие представ-
ления сигнала и которая включает полностью ВЧП
класса Коэна.
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 190 А. В. МЕРКУШЕВА
УНИТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (оператором U) сигнала s, видоизмененного дей-
ВРЕМЯ-ЧАСТОТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ~~ ~~
ствием операторов FmTn и TnDd :
СИГНАЛА
~ ~
(CUFm Tn s )(a, b) = (CUs )(a − n, b − m) ; (11)
Для того чтобы найти подходящее преобразо-
вание сигнала, которое отличается от сдвига вре- ~ ~ a−n
мени, сдвига частоты и изменения масштаба, были (QUTn D d s )(a, b) = (QUs ) , db . (12)
разработаны два класса представлений сигнала. d
Один из них включает гиперболические ВЧП, ко- При получении выражений (11) и (12) исполь-
вариантные к изменению частоты и "гиперболи- зовано свойство коммутируемости операторов
ческому сдвигу" времени [4]. Другой класс пред- (возможности перестановки их местами), которая
ставлений включает ВЧП, условно называемые обусловлена унитарностью.
степенными и обладающие ковариантностью Представления с предварительной обработкой
к изменению масштаба и "степенному сдвигу" CU и QU (предобработанные представления) под-
времени [5]. Хотя оба класса оказалось возмож- держивают переносы и аффинную ковариант-
ным вывести с помощью использованной разно- ность, свойственную представлениям, из которых
видности ковариантности, в рамках рассматривае- они выведены. Это происходит потому, что пары
мого метода они могут быть получены путем не- ~ ~ ~ ~
операторов F m ; T n и T n ; D d остаются
посредственного преобразования ВЧП [6–10]. Ка-
ждое представление гиперболического класса мо- унитарными отражениями на L2(R) групп Вейля—
жет быть выражено в виде VCU, где C — ВЧП Гейзенберга и аффинной группы соответственно.
класса Коэна; U — унитарное преобразование Для лучшего понимания достаточно сравнить вы-
сигнала (U: L2(R) Æ L2(R) ); V — унитарное пре- ражения (11) и (5) , а также (12) и (8).
образование переменных ВЧП (V: L2(R) Æ L2(R) ) Таким образом, преобразованные класс Коэна
[4]. Аналогично каждое представление степеннóго и аффинный класс являются унитарно эквива-
класса может быть выражено в виде VQU, где Q — лентными первоначальным классам: первоначаль-
ВЧП аффинного класса; U — унитарное преобра- ному классу Коэна и первоначальному аффинно-
зование сигнала (U: L2(R) Æ L2(R) ); V — уни- му классу.
тарное преобразование переменных ВЧП (V: L2(R) В то время как координаты (a,b) преобразован-
Æ L2(R) ) [5]. Преимущество такого метода в ных распределений CU и QU не соответствуют
общности формы порождения нового класса ВЧП, времени и масштабу (фактически они соответст-
и отчетливая логика его реализации: предобработ- вуют физическим величинам, связанным с опера-
~ ~ ~ ~
ка сигнала соответствующим оператором U, полу- торами T n и F m или T n и D d ), после
чение ВЧП класса Коэна (C) или аффинного клас- преобразования оператором V время-частотное
са (Q) для преобразованного сигнала (Us) и вы- представление (постобработанное представление
полнение унитарного преобразования (V) полу- сигнала) может получить искривление своих ко-
ченного время-частотного представления. (По- ординат (a,b) в новые координаты. Тем не менее,
следнее преобразование (V) называют также ис- эти новые (искривленные, или warped) координа-
кривляющим (warping transformation) координат- ты обеспечивают достаточно точную время-
ные оси переменных ВЧП). частотную локализацию элементов динамического
Преобразование классов Коэна и аффинного не спектра. Степень этой локализации (снова из-за
ограничивается только гиперболическим и сте- унитарности преобразования) не хуже, чем у пред-
пенным классами. Согласно анализируемому здесь ставления до его модификации [8].
методу, варьирование U и V может вести к полу- Если дано фиксированное U, то процедура оп-
чению других видов классов, преобразованных из ределения соответствующего V выполняется не-
классов Коэна и аффинного. Преобразованные посредственно: мы просто искривляем оси рас-
классы являются ковариантными не к сдвигам пределений функциями A(t, f) и B(t, f), которые
времени и частоты и изменению масштаба сигна- описывают групповую задержку и мгновенную
~ ~ ~ частоту преобразованных собственных функций
ла, а к операторам Tn , Fm , D d , которые унитарно
эквивалентны традиционным операторам Tn, Fm U–1δ(x – a) и U–1e2πjbx операторов
~ ~
и Dd : F и T соответственно. Для распределений преоб-
~ ~ ~ разованного класса Коэна полагается:
Tn = U −1Tn U; Fm = U −1Fm U; D d = U −1 D d U. (10)
( VCU s )(t , f ) = (CU s )[ A(t , f ), B (t . f )] . (13)
Чтобы увидеть это, оставим на время в стороне
оператор V и рассмотрим два соотношения, опре- Рассмотрение преобразованного аффинного
деляющие действие ВЧП C класса Коэна и ВЧП Q класса производится аналогично.
аффинного класса на результат предобработки Унитарная эквивалентность двух ВЧП VCU
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 1ФОРМИРОВАНИЕ ВРЕМЯ-ЧАСТОТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ... 91
и VQU приводит к тому, что они остаются ковари- Время-частотное представление (Ps)(t, f) счита-
~ ~ ~ ~ ется ковариантным к G ( p , q ) при условии выпол-
антными к операторам F m Tn и Tn D d соответст-
венно, хотя V искривляет групповые действия (11) нения соотношения
и (12) вдоль групповой задержки и кривых мгно-
венной частоты преобразованных собственных (PG ( p, q ) s )(t , f ) = (Ps )(t , f ) D ( p, q ) , (15)
функций5). где " D " — означает отображение G ( p , q ) (резуль-
Принцип унитарной эквивалентности в опреде-
ленной степени несложен по концепции, и это де- тат преобразования сигнала) на время-частотную
лает доступным изучение свойств унитарно экви- плоскость, т. е. сопряженно-связанное G ( p , q )
валентных ВЧП, т. к. свойства преобразованного представление в этой плоскости.
класса могут быть немедленно получены из Свойство, присущее G ( p , q ) (его группе), по-
свойств класса Коэна или аффинного класса путем
простой процедуры их изменения. Мы просто вез- зволяет представить выражение (15) в разверну-
де заменяем s на Us и искривляем оси координат том виде соотношением
в результирующем ВЧП. (P G ( p1 ,q1 ) G ( p2 , q2 ) s )(t , f ) =
ЭЛЕМЕНТЫ УНИФИЦИРОВАННОЙ ТЕОРИИ
= (P s )(t , f ) D [( p1 , q1 ) • ( p 2 , q 2 ). (16)
ДЛЯ КОВАРИАНТНЫХ ВЧП Такой подход к трактовке ковариантности от-
ражен в работах Хлавача и Болькски (Hlawatsch,
Унитарная эквивалентность обеспечивает про- Bolcskei) [6, 7]. В их интерпретации G является
стое средство получения набора различных клас- оператором время-частотного смещения, причем
сов ВЧП. Однако априори не очевидно, что рас- символ " D " означает связанную с ним функцию
сматриваемый метод исчерпывает все возможные смещения.
ковариантные ВЧП. Например, унитарно эквива- В качестве примеров операторов смещения
лентные ВЧП ограничены (в пределах "искрив- и функций можно привести следующие.
ляющего" преобразования V) двумя видами кова-
риантности, связанными с группой Вейля—Гей- 1) G(m, n) = FmTn и ( C {Fm Tn s} )(t , f ) =
зенберга и аффинной группой. Причем новые ВЧП = (C s )(t − n, f − m) — для ВЧП класса Коэна 6).
наследуют виды ковариантности соответственно
из класса Коэна и аффинного класса. В [8] это ин- 2) G(m, d) = TnDd и (Q Tn D d s )(t , f ) =
терпретировалось как ограничение метода, поэто-
t −n
му полезно несколько более развернутое рассмот- = (Q s ) , df — для ВЧП аффинного класса.
рение основных элементов теории ковариантных d
ВЧП. ~~ ~
3) G(m,n) = FmTn = U−1FmTnU , а также вариант
Ковариантные время-частотные ( CFm Tn s) (t, f ) = (Cs)(t − n, f − m) с искривлением
представления координат (t, f)-представления посредством A(t, f),
Формулирование основных положений будет B(t, f) — для унитарно эквивалентных ВЧП класса
характеризовать ВЧП, ковариантные классу двух- Коэна.
параметрических унитарных преобразований сиг-
нала G(p,q). Эти положения обобщают операторы 4) G(n,d ) = U−1TnDd U а также вариант
время-частотного сдвига и время-масштабного из- t −n
менения (традиционно используемые и естествен- (Q Tn D d s )(t , f ) = (Q s ) , df с искривлением
ные для ВЧП класса Коэна и аффинного класса). d
Физическое рассмотрение (обратимости, со- координат (t, f)-представления посредством A(t, f),
вместного последовательного действия — прави- B(t, f) — для унитарно эквивалентных ВЧП аф-
ла композиции операторов и др.) показывает, что финного класса.
каждое из этих преобразований должно быть
представлением унитарной группы с законом ум- 6)
Группа Вейля—Гейзенберга на самом деле имеет 3, а
ножения (композиции) "•" [9, 10]: не 2 параметра, поэтому оператор смещения G(m, n)=
G ( p1 , q1 ) G ( p2 , q2 ) = G ( p1 ,q1 )•( p2 ,q2 ) . (14) = FmTn , строго говоря, не подчиняется (14). Однако,
поскольку желаемая группа на R2 (преобразований во
время-частотной плоскости) не имеет представления на
пространство L2(R), в приложениях по обработке сиг-
5)
Групповая задержка U–1δ(x – a) лежит вдоль кривой налов приходится применять группу Вейля—Гейзен-
a = A(t, f). Мгновенная частота для U–1e2πjbx лежит вдоль берга. Это применение оправдывается тем, что третий
кривой b = B(t, f) [8]. параметр играет роль фазы и его можно не учитывать.
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 192 А. В. МЕРКУШЕВА
Общее положение о методе унитарной эна и аффинному. Описание дополнительных
эквивалентности при создании новых классов групп ВЧП как унитарно преобразованных клас-
время-частотных представлений сигнала сов Коэна и аффинного имеет определенные пре-
имущества. В частности, множество всех операто-
Унитарная эквивалентность порождает ВЧП, ров двухпараметрических время-частотных сме-
ковариантные большому числу различных двухпа- щений, включающее ковариантные ВЧП, ограни-
раметрических операторов смещения G. Можно
показать, что, кроме этих, не существует других чено до совокупности операторов типа U−1FTU
ковариантных ВЧП. Другими словами, простая или U −1 TDU . Кроме того, каждый класс ковари-
процедура унитарной эквивалентности (описанная антных ВЧП может соответствовать только либо
выше) обеспечивает достаточное количество кова- классу Коэна, либо аффинному классу; в связи с
риантных ВЧП, чтобы характеризовать весь их этим нет необходимости осуществлять дополни-
набор. тельные исследования способов получения других
Общее положение, связанное с реализацией классов ВЧП, исходя из каких-либо новых кон-
унитарной эквивалентности, состоит в следую- цепций. Метод порождения новых классов ВЧП
щем. Для того чтобы быть унитарным представле- и его полнота базируются на работах Хлавача,
нием группы, оператор смещения G, определяю- Болькски, Папандреу, Будро-Бартлета, Баранюка
щий свойства ковариантности класса ВЧП, должен и Джонса [4–8].
подчиняться соотношению (14). Поэтому класси-
фикация всех ковариантных ВЧП равноценна
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
классификации двухпараметрических групп (без
учета фазы), которые могут действовать на про-
странстве сигналов (L2(R)). Установлено, что есть 1. Cohen L. Time-Frequency Distribution // Pro-
только два вида таких групп: группа Вейля—Гей- ceedings of IEEE. 1989. V. 77, N 7. P. 941–981.
зенберга, которая соответствует оператору сме- 2. Daubechies I. Orthogonal Basis and Wavelets //
SIAM Journal of Math. Anal. 1993. V. 24, N 2.
щения вида G = U−1FTU, и аффинная группа, кото- P. 499–512.
рая соответствует оператору смещения вида 3. Jawerth B., Sweldens W. Wavelet-Based Multi-
G = U−1TDU. Классы ВЧП, ковариантные к этим resolution Analysis // SIAM Review. 1994. V. 36,
операторам (операциям) смещения, соответствуют N 3. P. 377–412.
унитарной эквивалентности классу Коэна и аф- 4. Papandreou A., Hlawatsch F., Boudreaux-
финному классу. Это позволяет сформулировать Bartlets Hyperbolic Class of Quadratic Time-
общее положение о методе унитарной эквивалент- Frequency Representations. Part I: Constant =Q
ности следующим образом. Warping, the Hyperbolic Paradigm, Properties,
Все квадратичные время-частотные пред- and Members // IEEE Trans. Signal Processing.
ставления сигнала, которые ковариантны (в 1993. V. 41, N 12. P. 3425–3444.
смысле соотношений (14–16) и их трактовки), мо- 5. Hlawatsch F., Papandreou A., Boudreaux-
гут быть представлены в форме VCU или VQU, Bartlets Power Classes of Quadratic Time-
где C — ВЧП класса Коэна; Q — ВЧП аффинного Frequency Representations: A Generalization of
класса; U — унитарное преобразование сигнала; the Affine and Hyperbolic Classes // Proceedings
V — двумерное преобразование в области пере- of 27-th Asilomar Conf. Pacific Grove, CA.,
менных ВЧП (времени и частоты), описанное вы- 1993. P. 1265–1270.
ражениями (11–13) и пояснениями к ним. (Функ- 6. Hlawatsch F., Bolcskei H. Unified Theory of Dis-
циональный смысл преобразований U и V описан placement Covariant Time-frequency Analysis //
выражениями (11–13) и пояснениями к ним). Proceedings of IEEE Int. Symp. "Time-Frequency
and Time-Scale Analysis", October 1994. P. 524–
527.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
7. Hlawatsch F., Bolcskei H. Displacement-
Covariant Time-Frequency Distributions // Pro-
Существовавшее предположение о неполноте ceedings of Int. Conf. Acoust., Speech, Signal
концепции об объективности ограничения много- Processing. 1995. V. 2. P. 1025–1028.
образия время-частотных представлений (ВЧП) 8. Baraniuk R.G., Jones D.L. Unitary Equivalence:
сигнала только двумя традиционными классами, A New Twist on Signal Processing // IEEE Trans-
привело к появлению теоретически обоснованного actions on Signal Processing. 1995. V. 43, N 10.
метода порождения дополнительного набора клас- P. 1252–1261.
сов ВЧП. В основу этого метода положено расши- 9. Bertrand J., Bertrand P. A Class of Affine
рение понятия свойства ковариантности и введе- Wigner Functions with Extended Covariance
ние нового подхода к характеристике всех ВЧП Properties // Journ. Math. Physics. 1992. V. 33,
на основе унитарной эквивалентности классам Ко- N 7. P. 2515–2527.
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 1ФОРМИРОВАНИЕ ВРЕМЯ-ЧАСТОТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ... 93
10. Shenoy R.G., Parks T.W. Wide-band Ambiguity 15. Rioul O., Vitterly M. Wavelets and Signal Proc-
Functions and Affine Wigner Distributions // Sig- essing // IEEE Signal Processing Magazine. 1991.
nal Processing. 1995. V. 41, N 3. P. 339–363. N 1. P. 14–38.
11. Кратиров Д.В., Меркушева А.В. Алгоритм, ос- 16. Меркушева А.В. Классы преобразований не-
нованный на вейвлет-преобразовании и ней- стационарного сигнала в ИИС. III. Время-
ронной сети, для бесконтактного измерения масштабные (вейвлет-) преобразования для
параметров газожидкостного потока // Сбор- спектрально-временнóго анализа // Научное
ник докладов Международной конференции приборостроение. 2002. Том 12, № 3. С. 68–82.
"Датчики и системы". СПб.: Изд-во СПб ГТУ, 17. Baraniuk R.G. Marginals versus Covariance in
2000. Т. 3. С. 51–55. Joint Distribution Theory // Proceedings of IEEE
12. Малыхина Г.Ф., Меркушева А.В. Детектирова- Int. Conf. Acoustics., Speech and Signal Proc-
ние речевого сигнала и фильтрация с адаптив- essing. 1995. V. 2. P.1021–1024.
ным порогом // Сборник трудов Факультета 18. Меркушева А.В. Классы преобразований не-
техн. киберн. СПбГТУ: Микропроцессорные стационарного сигнала в ИИС. II. Время-
средства измерений. СПб., 2001. Вып. 2. С. 26– частотные преобразования // Научное прибо-
35. ростроение. 2002. Том 12, № 2. С. 59–70.
13. Меркушева А.В. Фильтрация нестационарного
сигнала (речи) в вейвлет-области с адаптацией
к виду и динамике шума // Научное приборо-
строение. 2003. Том 13, № 2. С. 73–87. Санкт-Петербург
14. Меркушева А.В. Классы преобразований
нестационарного сигнала в ИИС. I. Элементы Материал поступил в редакцию 11.03.2004.
теории // Научное приборостроение. 2002. Том
12, № 2. С. 50–58.
FORMING TIME-FREQUENCY REPRESENTATIONS (DYNAMIC
SPECTRA) OF A NON-STATIONARY SIGNAL BY MEANS
OF TRANSFORMING REPRESENTATIONS OF KNOWN TYPE
A. V. Merkusheva
Saint-Petersburg
Two-parameter representations used for non-stationary signal analysis in an information-measurement sys-
tem realize mapping the signal into the time-frequency domain and provide dynamic spectrum estimation. De-
pending on the way of forming these representations, they belong to one of two classes: Cohen’s class or affine
class of wavelets. These classes are designed on the basis of two different principles of modifying (conveni-
ently for applications) the time-frequency signal representation at signal transformations related to time and
frequency shifts (or time shift and scale changing — for the affine class). The two classes differ just by the form
of signal-representation modification at transformations of that signal. The modification rule itself is termed
covariance. The covariance has two forms: for time and frequency shift, and for time shift and scale change. At
the present time, the problem concerning the completeness of the class number for signal time-frequency repre-
sentations (TFR) is solved. In the paper, a general methodology for creating the TFR-classes on the basis of
unitary equivalence principle is considered. It is shown that every possible TFR class may be obtained using this
principle.
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 1Вы также можете почитать
