КУРС ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ - для студентов строительных специальностей
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
МОСКОВСКИЙ
АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(МАДИ)
О.А.ОГАНЕСОВ, В.А.КАЙЛЬ,
И.М.РЯБИКОВА, Н.Н.КУЗЕНЕВА
КУРС ЛЕКЦИЙ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
для студентов строительных
специальностей
Часть 2
Учебное пособие
Утверждено
в качестве учебного пособия
редсоветом МАДИ
МОСКВА 2010УДК 514.18
ББК 22.151.3
К 937
Курс лекций по начертательной геометрии: учебное пособие для
студентов строительных специальностей / О.А. Оганесов [и др.];
часть 2, 2-е изд., перераб. и доп. -М.: МАДИ, 2010. -99с.
Рецензенты: канд. техн. наук, проф. О.В. Георгиевский (МГСУ),
доц. Е.А.Степура (МГСУ).
Вашему вниманию предлагается второе, переработанное и
дополненное издание учебного пособия, в котором представлен
курс лекций по начертательной геометрии, полностью соответствую-
щий министерской программе для студентов всех строительных
специальностей Московского автомобильно-дорожного государст-
венного технического университета.
Первая часть пособия посвящена разделу “Комплексный
чертеж в ортогональных проекциях”. Во второй части представлены
два специальных строительных раздела “Проекции с числовыми
отметками” и “Перспективные проекции”. Лекционный курс изложен
предельно просто, в ясной и доступной форме и рассчитан на
студентов, усвоивших курс математики, в первую очередь, элемен-
тарной геометрии в объеме средней школы.
В пособие включено приложение, содержащее материалы,
которые будут полезны студентам при выполнении расчетно-
графической работы “Границы земляных работ”.
Под редакцией канд. техн. наук, доц. О.А.Оганесова
УДК 514.18
ББК 22.151.3
© МАДИ, 20103
Л Е К Ц И Я 11
ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ.
ЗАДАНИЕ ТОЧЕК И ЛИНИЙ
11.1. Метод проекций с числовыми отметками
Для изображения участков земной поверхности с инженер-
ными сооружениями на них и других предметов, горизонтальные
размеры (длина и ширина) которых существенно больше вертикаль-
ных (высот), используют специальный метод изображения - метод
проекций с числовыми отметками. Суть этого метода в том, что
геометрический образ (ГО) ортогонально проецируют на одну
горизонтальную плоскость проекций (ПП) Ï - плоскость нулевого
уровня, а фронтальную ПП, определяющую высоты точек ГО,
заменяют числовыми отметками - числами, указывающими
расстояние, обычно в метрах, от этих точек до плоскости Ï и
делающими чертеж обратимым. Такие чертежи называют планами.
Чертежи в проекциях с числовыми отметками выполняют в
масштабе уменьшения и дополняют линейным масштабом с
определенной ценой одного деления, соответствующей 1 м или
нескольким метрам.
11.2. Задание точек в чертежах с числовыми отметками
На рис. 11.1 дано наглядное изображение точек A, B, C и D, на
котором кроме самих точек показаны плоскость проекций Ï с орто-
гональными проекциями указанных точек и расстояния H от этих
точек до ПП Ï . Совместив плоскость Ï с плоскостью чертежа и
показав на нём линейный масштаб изображения, получают чертеж с
числовыми отметками точек A, B, C и D (рис. 11.2). На этом чертеже
около проекции точки пишут её буквенное обозначение со штрихом,
а справа от него - числовую отметку точки в виде подстрочного
индекса (точки A, B и C) или в круглых скобках (точка D).
A
C0
D D (2)
B-3,0
C C A4,5
D
A B
-1 0 1 2 3ì
B
Рис. 11.1 Рис. 11.24
Считают, что точка, расположенная над плоскостью Ï , имеет
положительную числовую отметку, а под Ï - отрицательную. На
чертеже перед положительной отметкой знак “+”, как правило, не
ставят (точки A и D), а перед отрицательной пишут знак “-” (точка B).
Около проекции точки, лежащей в ПП Ï и имеющей нулевую
отметку (точка C), пишут число 0 (ноль).
Если это не мешает чтению чертежа, то допускается около
проекции точки не писать её буквенное обозначение, сразу указывая
отметку точки (точки -7 на рис. 11.5 и 5 на рис. 11.6).
11.3. Задание прямой линии
Прямая общего положения в общем случае задается проек-
циями двух точек с числовыми отметками. На рис. 11.3 показано
наглядное изображение прямой (A,B), содержащее: плоскость
проекций Ï ; точки A и B с числовыми отметками 2,8 ì и 6,4 ì соот-
ветственно, определяющие прямую (A,B); ортогональные проекции
A 2,8 и B 6,4 точек A и B; проекцию (A 2,8 ,B 6,4 ) прямой. На рис. 11.4
приведен чертеж прямой (A,B) в проекциях с числовыми отметками -
её проекция (A 2,8 , B 6,4 ) и линейный масштаб чертежа.
B
A2,8
B6,4
A
-1 0 1 2 3ì
A2,8
Рис. 11.4
B6,4
Введем некоторые понятия
и определения.
Рис. 11.3
Заложение L отрезка пря-
мой - длина горизонтальной проекции отрезка в единицах масшта-
ба. Превышение H отрезка - разность числовых отметок концов
отрезка. На рис. 11.4 заложение L= A 2,8 ,B 6,4 = 5,4 ì (с учетом
масштаба), а превышение H =3,6 ì. Угол наклона прямой к
плоскости проекций - угол между прямой (отрезком) и её (его)
проекцией на плоскость Ï (рис. 11.3). Уклон i прямой - тангенс угла5
наклона прямой к плоскости Ï . Уклон прямой равен отношению
превышения H отрезка прямой к его заложению L: i = H /L. Уклон
прямой (A,B) на рис. 11.4 i=3,6/5,4=1:1,5 (уклон задают отношением
типа i=1:8; десятичной дробью i=0,125; в градусах; процентах и
тысячных - промиллях). Интервал l прямой - заложение отрезка пря-
мой, имеющего превышение, равное единице длины: H = 1ì . Поэто-
му i=1/l - уклон i прямой обратно пропорционален её интервалу l.
Направление уменьшения (убывания) отметок прямой называ-
ют направлением её спуска или уклона. При необходимости его
указывают стрелкой. Прямая (A,B) на рис. 11.4 имеет уклон
(нисходит) от точки B к точке A.
Прямая общего положения может быть задана своей проек-
цией, проекцией одной из точек с числовой отметкой, направлением
спуска и либо углом a на-
a клона прямой к плоскости Ï
5
(рис. 11.5), либо уклоном i
-7 b (рис. 11.6). Прямая в проек-
циях с числовыми отметками
-1 0 1 2 3ì -1 0 1 2 3ì может обозначаться строч-
ной буквой латинского алфа-
Рис. 11.5 Рис. 11.6 вита со штрихом.
ПРИМЕР 11.1. На рис. 11.7 проекцией a с точками A4,0 и B7,2 за-
дана прямая a. Найти длину отрезка A,B , его заложение, уклон и
интервал прямой.
Длина отрезка A,B равна
a B 7,2 длине гипотенузы прямоуголь-
A 4,0 ного треугольника, один катет
A,B H
которого - проекция отрезка
[A4,0 ,B7,2], а второй - превыше-
ние H=3,2 ì , откладываемое
-1 0 1 2 3ì в единицах масштаба.
Заложение L отрезка [A,B]
Рис. 11.7 определяют по чертежу заме-
ром длины его проекции с учетом масштаба: L= A4,0 ,B 7,2 =6,4 ì .
Угол наклона прямой a к плоскости Ï - угол a на рис. 11.7. Уклон i
прямой равен tg a: i = H/L = 3,2/6,4 = 1:2. Интервал l = 1/i =
=1/(1:2) = 2 ì .6
Знание интервала позволяет градуировать прямую - опреде-
лять проекции её точек с отметками, выраженными целыми числами,
отличающимися на 1 м. Градуирование прямой основано на способе
пропорционального деления отрезков. Проградуируем несколько
прямых, заданных двумя точками (отрезком):
. Отметки обеих точек - дробные числа одного знака
Градуирование прямой (A,B), заданной проекцией (A 5,7 ,B 1,5 ),
осуществляется в такой последовательности (рис. 11.8):
1. Строим профиль прямой. Заключаем прямую (A,B) в вер-
тикальную плоскость Ï Ï . Вращением вокруг проекции (A 5,7 ,B 1,5 )
совместим плоскость Ï и пря- B 1,5
мую с ПП Ï . Полученное на
плоскости Ï изображение (A,B) 2
3 A 5,7
прямой ( A,B ) вертикальной 4
плоскости называют профилем B 5
прямой. Изображения точек 2
вертикальной плоскости Ï, сов-
мещенные с плоскостью черте- 3
жа, будем называть профиль-
ными проекциями точек.
Для получения профиля A,B 4
(A,B) проведем из проекций A5,7
и B1,5 линии проекционной свя- 5
зи, перпендикулярные к проек-
-1 0 1 2 3ì
A
ции прямой (A 5,7 ,B 1,5 ), отложим
Рис. 11.8
на них от точек A 5,7 и B1,5 вы-
соты 5,7 ì и 1,5 ì с учетом линейного масштаба и найдем точки A и B
соответственно, через которые проходит профиль (A,B). Поло-
жительное направление отсчета высот может быть принято в любую
сторону от проекции прямой, противоположное ему будет
отрицательным (рис. 11.11).
2. На профиле прямой ищем точки с высотами, выраженными
целыми числами. С этой целью на линии связи (A5,7,A) от точки A 5,7
последовательно откладываем отрезки, равные 1 ì, получая на ли-
нии связи шкалу высот профиля с делениями, соответствующими 1 ì,
2 ì, 3 ì, 4 ì и 5 ì. Через эти деления параллельно (A5,7,B1,5) проводим
прямые, получая в точках пересечения их с профилем (A,B) точки 2,
3, 4 и 5 с высотами 2 ì , 3 ì , 4 ì и 5 ì .7
3. На горизонтальной проекции прямой строим проекции её
точек с числовыми отметками, являющимися целыми числами.
Из точек 2, 3, 4 и 5 профиля проводим линии связи перпенди-
кулярно к проекции (A 5,7 ,B1,5) и находим на ней проекции точек с
отметками 2, 3, 4 и 5 ì соответственно. Градуирование завершено.
На рис. 11.8 расстояния между найденными проекциями точек
равны интервалу прямой: 2,3 = 3,4 = 4,5 = l, длина профиля A,B
отрезка совпадает с длиной A,B самого отрезка [A,B], а угол a
равен углу наклона прямой (A,B) к плоскости проекций Ï .
Часто при построении
B профиля прямой целесообразно
отметку её проекции считать не
нулевой, а равной какому-то
A,B значению. Пусть надо проградуи-
ровать прямую, заданную точками
A с отметкой 10,4 (A 10,4 ) и B с
B отметкой 13,6 (B13,6 ) (рис. 11.9).
13 13,6
Примем отметку проекции
12 (A 10,4 ,B 13,6 ) прямой условно равной
A
11 10. Тогда для получения профиля
A10,4
(A,B) достаточно на линиях связи,
0 1 2 3 4 ì проведенных из точек A 10,4 и B 13,6 ,
отложить от этих точек значения
Рис. 11.9 0,4 ì и 3,6 ì соответственно и
провести прямую через найден-
ные точки A и B профиля. Дальнейший ход градуирования показан
на рис. 11.9 стрелками (см. также рис. 11.8).
Градуировать можно аналитически, рассчитывая величину
интервала l по формуле l=L/ H. Так, на рис. 11.9 заложение отрез-
ка [A,B] L=6,4 ì (определено замером длины проекции [A10,4 ,B13,6 ] от-
резка в плане с учетом масштаба), H=13,6-10,4=3,2 ì и l=6,4/3,2=2 ì.
Перед началом градуирования подсчитывают длину L отрезка от
точки A10,4 до точки с отметкой 11: L = lx H = 2x(11-10,4) = 1,2 ì .
Отложив от точки A10,4 отрезок L , находят точку с отметкой 11 и
осуществляют градуирование, последовательно откладывая от этой
точки на прямой (A10,4 ,B 13,6 ) интервал l=2 ì .8
. Отметка одной точки - целое число, а второй - дробное того
же знака
На рис 11.10 проградуирована прямая (A,B), заданная
проекцией (A 2 ,B 6,5 ), с использованием интервала l прямой. Для его
определения построен профиль (A,B) прямой, на нем найдена
точка 3 профиля с высотой 3 ì , а затем на проекции (A 2 ,B 6,5 ) -
проекция точки с отметкой 3. Расстояние l= A2,3 - интервал прямой,
B 6,5 который последователь-
но откладывался по
D? проекции (A 2 ,B 6,5 ) от
6
A2 5
4 точки 3 для получения
3 проекций точек с отмет-
ками 4 ì, 5 ì , 6 ì и т. д.
При необходимос-
A ти отметка HD некой точ-
3 ки D прямой (A,B) может
б ы т ь п р и бл и ж е н н о
A,B D найдена (рис. 11.10) на
шкале высот профиля
-1 0 1 2 3ì B по положению точки D
на профиле прямой:
Рис. 11.10 D (A,B), H D 4,3 ì .
. Отметки точек имеют противоположные знаки
A,B B -2,6 Строим профиль (A,B) пря-
A мой (A,B) и находим проекцию
1 0 точки с нулевой отметкой: 0=
=(A,B) (A 3,5 ,B -2,6 ) (рис. 11.11).
1 B Далее ищем проекцию точки с
отметкой 1 ì или -1 ì , опреде-
A3,5 ляем интервал l прямой (l= 0 ,1
-1 0 1 2 3ì
или l= 0 ,-1 ) и откладываем его
по проекции (A3,5 ,B -2,6 ) от точки
Рис. 11.11
0, выполняя градуирование.9
. Отметки точек являются целыми числами
В этом случае градуирование
прямой сводится к делению проек- A1
ции задающего её отрезка на рав-
ные части, число которых равно 2
3
превышению H этого отрезка. 4
Чтобы найти проекции точек с 5 B6
-1 0 1 2 3ì
отметками 2, 3, 4 и 5 метров,
проекцию [A1 ,B 6 ] отрезка [A,B] на Рис. 11.12
рис. 11.12 надо разделить на 5 равных частей ( H=5 ì ). Для этого из
точки B 6 проведем луч, на нем последовательно отложим 5 отрезков
одинаковой длины, концевую точку пятого отрезка соединим прямой
с точкой A 1 . Прямые, проведенные параллельно этой прямой из
концов отложенных отрезков, делят согласно теореме Фалеса
проекцию [A1 ,B 6 ] на равные части, градуируя её.
На рис. 11.13, а пря-
à) á)
мая a задана проекцией
A1,4 a , проекцией A 1 принад-
2 1
A1 a лежащей ей точки A, укло-
0
-1 ном i=1:1,5 и его направ-
a лением. Для градуирова-
ния прямой находят её
-1 0 1 2 3ì -1 0 1 2ì интервал l=1/i=1,5 ì и
последовательно отклады-
вают его с учетом масшта-
Рис.11.13 ба чертежа от точки A1 по
проекции прямой. Если
точка A имеет дробную отметку, например 1,4 ì (рис. 11.13, б), то
сначала определяют расстояние L от проекции A 1,4 до проекции
точки с отметкой 1: L = H l=(1,4-1) l=0,4 1,5=0,6 ì . После этого
градуирование выполняют от точки 1, как на рис. 11.13, а.
Из рассмотренных примеров видно, что градуирование
прямых в общем случае основано на пропорциональном делении
отрезков по теореме Фалеса. Если известны интервал прямой и
проекция её точки, отметка которой целое число, то градуирование
сводится к откладыванию интервала по проекции прямой.10
Горизонтальная прямая h (прямая уровня) параллельна
плоскости Ï , и все её точки имеют одинаковые отметки (рис. 11.14).
На чертежах в проекциях с числовыми отметками она задается сво-
ей проекцией с числовой отметкой и обозначается буквой h со
штрихом и отметкой или только отметкой (h 2 и 5 на рис. 11.15).
H E=HF=Hh
E a b A1 B 5
5
F
a
h
E2 h2
a
F2 h2 -1 0 1 2 3ì
Рис. 11.14 Рис. 11.15
Вертикальная прямая (прямая a на рис. 11.14) является проеци-
рующей относительно плоскости Ï и проецируется на неё в точку (a ),
называемую основной проекцией прямой. Для задания проецирую-
щей прямой на чертеже достаточно задать её основную проекцию (a
и b на рис. 11.15). Все точки проецирующей прямой проецируются на
плоскость Ï в её основную проекцию: b A 1 B 5 . Проекции точек A 1
и B 5 задают отрезок [A,B] b.
11.4. Взаимное положение прямых
Две прямые могут пересекаться, скрещиваться и быть
параллельными.
Если проекции прямых пересекаются или могут пересекаться,
то прямые пересекаются или скрещиваются. Если две прямые
пересекаются, то точка пересечения их проекций является
проекцией одной точки - точки пересечения прямых. В точку же
пересечения проекций скрещивающихся прямых проецируются две
их конкурирующие точки с разными отметками.
Установим взаимное положение прямых (A,B) и (D,E) на рис. 11.16.
Предположим, что прямые скрещиваются и точка пересечения их
проекций (A 1 ,B 2) и (D-2,E4) - проекция двух конкурирующих точек M
(A,B) и N (D,E). Найдем отметки H M и H N точек M и N соответ-
ственно и сравним их. Если HM =H N , то M N и прямые пересекаются,
если H M = H N , то прямые скрещиваются. Для решения задачи11
строят профили (A,B) и (D,E) заданных прямых, а на них - профиль-
ные проекции M и N точек M и N:
M (A,B) (M ,M) (A 1 ,B 2) M = (M ,M) (A,B);
N (D,E) (N ,N) (D-2 ,E4 ) N = (N ,N) (D,E).
E
A1
N По проекциям M и N
HN определяют отметки точек
A E4 M и N. H M = M ,M 1,7 ì ;
N M H N = N ,N 3 ì в соответ-
ствии с линейным масшта-
D -2 HM бом. H M = H N, поэтому пря-
M B2 мые скрещиваются.
B
D -1 0 1 2 3ì
Параллельные прямые
Рис. 11.16 имеют параллельные проек-
ции, одинаковое направле-
a ние уменьшения отметок и
10 один и тот же интервал
9 b (уклон).
8
7 На рис. 11.17 прямые a
17 и d параллельны (парал-
d лельны их проекции, направ-
6 ления спуска совпадают и
0 1 2 3 4 5ì la =l d =3 ì), а прямая b скре-
щивается с ними (lb =2 ì).
Рис. 11.17
11.5. Задание кривых линий
В общем случае кривые в проекциях с числовыми отметками
представляются их проекциями, являющимися кривыми линиями, и
проекциями некоторого числа точек кривой с указанными числовыми
отметками. Так, на рис. 11.18 своей проекцией k и расположенными
на ней проекциями точек с отметками 1, 2, 3, 2, 2, 3, 4, 5 пред-
ставлена кривая k. Эти точки градуируют k, деля её на дуги12
C с превышением к аждой,
M HM равным 1 м. Интервалы кри-
Q5 вой различны, различен и
B k
M уклон кривой в разных её
G 4 точках.
B2 C E2
(M ) 3 D F3 Поясним, почему мы ут-
2 верждаем, что кривая k на
A1
0 1 2 3 4ì чертеже (рис. 11.18) представ-
лена, а не задана. Для этого на
Рис. 11.18 проекции k возьмём проекцию
M произвольной точки M k и попробуем определить её отметку:
если это можно сделать однозначно, то кривая k на чертеже задана.
Однако оказывается, что по проекции точки M k нельзя точно
указать её отметку, а можно только констатировать, что на
градуированной кривой отметка HM точки M лежит в пределах от 2 м
до 3 м. Вывод: кривая на чертеже не задана, а лишь представлена
проекцией и дискретным рядом градуирующих её точек.
Для приближенного определения числовой отметки точки M
используем следующий способ. Дугу кривой с точкой M, ограничен-
ную точками B и C, аппроксимируем отрезком прямой [B,C], считая,
что M (M ) [B2 ,C 3]. Построив профиль отрезка [B,C] и определив
на нем положение точки M = (M ,M) [B,C], где (M ,M) [B 2 ,C 3 ],
найдем отметку точки M: H M 2,3 ì .
3 В частном случае, когда
плоская кривая лежит в плос-
кости уровня, параллельной
Ï , она является горизонталью
4 и как горизонтальная прямая
задается в проекциях с число-
0 1 2 3 4ì выми отметками своей проек-
цией и числовой отметкой,
соответствующей высотам
Рис. 11.19 всех точек кривой (рис. 11.19).13
Л Е К Ц И Я 12
ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
12.1. Задание плоскости
Как и на комплексном чертеже плоскость общего положения в
проекциях с числовыми отметками может быть задана тремя
точками, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися
прямыми, прямой и точкой, любым плоским отсеком. Но при
решении позиционных и метрических задач возникает необходи-
мость в градуировании плоскости и задании её масштабом уклона
или горизонталями.
ПРИМЕР 12.1. Треугольным отсеком задана плоскость
(A,B,C,A) (рис. 12.1). Проградуировать плоскость, построить масш-
таб уклона плоскости, найти её интервал, уклон и угол наклона к
плоскости проекций.
ni 1. Град у и рова н ие
7 плоскости - построение её
C7 7 горизонталей с отметками,
в ы ра же н н ы м и ц ел ы м и
числами и отличающимися
A4 6 друг от друга на единицу
длины (1 м).
5 Для граду ирован ия
плоскости градуируют сто-
4
рону треугольника, разность
3 отметок концов которой
наибольшая (сторона BC).
2 Затем через проекцию вер-
0 2 4ì B 2 2 шины треугольника, проти-
воположной градуированной
Рис. 12.1 стороне (A 4 ), и проекцию
точки на градуированной стороне с отметкой 4 проводят проекцию
h 4 горизонтали плоскости. Проекции других её горизонталей про-
ходят параллельно h 4 через соответствующие проекции точек
градуированной стороны (B 2 2, 3, 5, 6, C 7 7).
При градуировании отрезок [B2 ,C 7 ] делили на 5 равных частей
( H=5ì) по способу, приведенному на рис. 11.11 (различие - на рис.
12.1 показаны лишь две прямые, делящие [B2 ,C7 ] на равные части).14
2. Масштаб уклона (падения) плоскости - градуированная
проекция линии ската плоскости, которую изображают двумя парал-
лельными прямыми (тонкой и толстой) и обозначают n i , что означа-
ет: линия ската n плоскости определяет её уклон (напоминание:
линия ската плоскости - прямая плоскости, перпендикулярная к
горизонтали плоскости; по теореме о проецировании прямого угла
проекции линии ската и горизонталей плоскости взаимно перпенди-
кулярны, так как горизонтали параллельны плоскости проекций Ï ).
Через точку B 2 на рис. 12.1 проведена проекция линии ската
плоскости . Её горизонтали градуируют проекцию линии ската, ко-
торая поэтому является масштабом уклона плоскости n i (n i h4).
3. Угол наклона плоскости к плоскости проекций определяется
углом наклона к ней линии ската плоскости. Для нахождения угла
можно построить профиль какого-то отрезка линии ската (на рис.
12.1 построен профиль [2,7] отрезка [2,7] линии ската плоскости ).
4. Интервал плоскости - расстояние между соседними проек-
циями её горизонталей с отметками, отличающимися на единицу
длины. Поэтому интервал наклона плоскости равен интервалу её
линии ската. На рис. 12.1 обозначен интервал l плоскости .
Уклон i плоскости определяется уклоном её линии ската.
Уклон i можно подсчитать по одной из формул: i=tg или i=1/l.
Плоскость имеет спуск (уклон) в направлении линии ската
плоскости от горизонталей с большими отметками к горизонталям с
меньшими отметками.
Масштаб уклона определяет поло-
жение плоскости в пространстве.
9 Следовательно, плоскость на чертеже
10 может быть задана масштабом уклона
ni 11 (рис. 12.2). Такую плоскость обозначают
12 (n i ).
0 2 4ì Поскольку направления уклона
(спуска) плоскости и линии ската совпа-
Рис. 12.2
дают, то плоскость может быть задана
одной своей горизонталью, уклоном
Áåðãøòðèõ плоскости и его направлением, обозна-
чаемым штрихом (бергштрихом), указы-
h 12 вающим спуск плоскости. На рис. 12.3
проекцией h12 горизонтали с отметкой
0 2 4ì 12, бергштрихом и уклоном i =1:2
Рис. 12.3 задана плоскость (h, , i ).15
На рис. 12.4 плоскость Ã задана горизонталью 5, уклоном Ã
и его направлением. Для градуи- 6
рования плоскости перпендику-
лярно проекции горизонтали 5
строят проекцию линии ската,
5 Ã
5
градуируют её с интервалом l à = N
=1/i Ã=3 ì, получая масштаб укло- 4
на плоскости n Ãi . Затем через
точки, полученные при градуиро- 3 Íàïðàâëåíèå
вании линии ската, параллельно ïðîñòèðàíèÿ
проекции горизонтали 5 прово- nÃi 0 2 4ì
S
дят проекции горизонталей 6, 4, 3
плоскости. Рис. 12.4
При решении ряда инженерных задач необходимо ориентиро-
вать плоскость относительно меридиана Земли. Направлением
простирания плоскости считают левое направление её горизон-
талей при взгляде на плоскость вдоль линии ската в сторону
убывания её отметок (рис. 12.4). Угол между северной стороной
магнитной стрелки компаса и направлением простирания,
измеренный против часовой стрелки, называется углом простирания
плоскости. Угол простирания плоскости и её уклон определяют
положение плоскости относительно сторон света.
Рассмотрим задачу на принадлежность точки плоскости.
ПРИМЕР 12.2. Плоскость Ã задана масштабом уклона nÃi (рис.
12.5). Определить высоту точки A Ã и проверить, принадлежит ли
плоскости точка D, заданная своей проекцией D2,8 .
Проведем проекции
B B1
горизонталей плоскости через
точки деления масштаба уклона
D n à перпендикулярно последнему.
D2,8 i
Точка принадлежит плоскости,
A если она принадлежит прямой
A?
этой плоскости. Через точки D 2,8
C
C5 и A ? проведем проекцию прямой
(B,C) плоскости Ã, пересекающую
проекции её горизонталей с
0 1 2 3ì nÃi отметками 1 и 5 в точках B 1 и C 5
соответственно. Строим профиль
Рис. 12.5
прямой ( B,C ) и профильную16
проекцию D точки D. Так как D (B,C), то D (B,C) и D Ã.
Отметка HA 3,6 ì определена по точке A профиля (B,C).
Две плоскости параллельны, если у них одинаковые углы про-
стирания и уклоны. Другой признак параллельности плоскостей: две
плоскости параллельны, если параллельны их горизонтали,
одинаков уклон плоскостей и совпадает его направление.
12.2. Задание конической поверхности
При проектировании поверхностей искусственных земляных
сооружений часто используется коническая поверхность вращения с
вертикальной осью, называемая также прямой круговой конической
поверхностью, прямым круговым конусом или просто конусом враще-
ния. Эта поверхность может быть образована вращением прямой t
(образующей) вокруг пересекающей её оси j и описана формулой
Ô {t(t,j;t j)(t i =t j)}, где Ô - буква, обозначающая поверхность.
Точка пересечения образующей и оси конической поверхности
является её вершиной. Любое сечение этой поверхности плос-
костью, перпендикулярной оси вращения, есть окружность.
Сечения поверхности горизонтальными плоскостями называют
горизонталями поверхности. Горизонталями конической поверхности
вращения при вертикальном положении её оси являются окружности
с центрами на этой оси. На плоскость проекций они проецируются в
концентрические окружности, а ось вращения и вершина
поверхности - в одну точку, центр этих окружностей (рис. 12.6).
Построение горизонталей поверхности c отметками, выражен-
ными целыми числами, отличающимися на единицу длины, называет-
ся градуированием поверхности. Радиусы проекций соседних
горизонталей, градуирующих по-
h0 верхность конуса вращен ия,
отличаются на величину интервала
h 1 l поверхности, равного интервалу
Ô
V3 j l её образующей. Горизонтали,
градуирующие поверхность, гра-
h2 дуируют и все её образующие.
Градуированная проекция любой
образующей является масштабом
Ô
ni t уклона n Ôi , а сама образующая t -
линией ската поверхности.
0 2 4ì
Рис. 12.617
На рис 12.6 показаны проекции вершины V 3 j конической
поверхности вращения и градуирующих её горизонталей h 2 , h 1 , h 0 ,
а также проградуированная проекция t какой-то образующей
Ô
поверхности, являющейся масштабом уклона n i поверхности.
Поверхность конуса вращения с вертикальной осью может
быть задана проекцией её вершины с числовой отметкой и
масштабом уклона (рис. 12.7, а), но чаще вместо масштаба уклона
задают уклон образующих
à) á) поверхности i Ô и направле-
V6 V6
ние их спуска (рис. 12.7, б). В
этом случае для построения
масштаба уклона поверхнос-
Ô ти через проекцию вершины
ni
проводят проекцию любой
0 2 4ì 0 2 4ì образующей и градуируют её
с интервалом, соответствую-
Рис. 12.7 щим заданному уклону.
12.3. Поверхность равного уклона
Пусть по кривой a перемещается вершина прямого кругового
конуса с вертикальной осью, последовательно занимая положения
A, B, D,... (рис.12.8, а). Поверхности Ô и , огибающие образующий
конус во всех его положениях, называются поверхностями равного
уклона. Линия ската каждой из этих поверхностей, проведенная
через любую точку направляющей a, совпадает с той образующей
конуса, по которой огибающая поверхность касается конической.
à) h3 á)
a D
B h2
h1
A
h0 Ô
Рис. 12.818
Поэтому образующей поверхности равного уклона может быть
прямая линия и поверхность отнесена к линейчатым. Поверхность
равного уклона - это линейчатая поверхность, образующая которой,
перемещаясь по направляющей, имеет постоянный угол наклона к
горизонтальной плоскости и является линией ската поверхности.
Такую форму имеют, например, поверхности откосов насыпей и
выемок на подъемах и спусках криволинейных участков дорог (рис.
12.8, б). Каждая горизонталь поверхности равного уклона представ-
ляет собой огибающую окружностей - горизонталей конусов,
расположенных в одной горизонтальной плоскости.
На рис. 12.9 и 12.10 приведены чертежи поверхностей равного
уклона с различными направляющими a, уклоном i=1:2 и его направ-
лением в сторону от a.
На рис. 12.9, а направляющая поверхности равного уклона -
пространственная кривая a с точками A, B и C на ней. Перед
градуированием поверхности в эти точки помещают вершины
вспомогательных круговых конусов и сначала градуируют
конические поверхности. Для этого строят проекции их горизонта-
лей - окружности, проводимые из точек A 1 , B 2 и C 3 радиусами,
кратными интервалу l=1/i=2 ì . Линии, огибающие проекции гори-
зонталей конических поверхностей с одинаковыми отметками,
являются проекциями горизонталей поверхности равного уклона.
Также строят проекции горизонталей поверхности равного уклона в
случае, когда направляющая кривая расположена в вертикальной
плоскости.
à) á)
0 4 8ì
a C3 a9
0 6 C
1 7
2 8
2 98
1 B2 7
0 6
B
0 2 4 6ì
A1 A
Рис. 12.919
Если направляющая кривая лежит в горизонтальной плоскости,
то она сама есть одна из горизонталей поверхности равного уклона.
На рис. 12.9, б направляющей поверхности является горизонтальная
кривая a с отметкой 9. Проекции горизонталей поверхности строи-
лись как на рис. 12.9, а, только точки A, B и C, имеющие одинаковые
отметки, брались на a произвольно.
На рис. 12.9, а и 12.9, б заданы по две поверхности равного
уклона, расположенные с разных сторон от направляющей a, по
которой они пересекаются. Проекции горизонталей в обоих случаях
представляют собой эквидистантные кривые: расстояния между
проекциями смежных горизонталей в направлении общей нормали к
ним всюду одинаковы. Когда направляющая поверхности является
винтовой линией, поверхность равного уклона становится винтовой
(см. раздел 12.4). Если направляющей поверхностей равного уклона
служит прямая, то эти поверхности представляют собой две пересе-
кающиеся по направляющей прямой наклонные плоскости и Ã .
Их задают проекциями горизонталей или масштабами уклона
(рис. 12.10).
На рис. 12.10, а направляющая a (a 7 )- горизонтальная прямая,
поэтому масштабы уклона плоскостей S и Ã перпендикулярны a 7 , а
проекции их горизонталей параллельны a 7 и расположены друг от
друга на расстояниях, кратных интервалу плоскостей.
à) a7 á) ni
7
a
4 5 6 6 5 4
ni nÃi 6
5 n Ãi
0 2 4 6ì 0 1 2 3 4ì
4
Рис. 12.10
На рис. 12.10, б направляющая прямая a, проекция a которой
проградуирована, занимает общее положение. Для градуирования
плоскости в точку прямой a, например, с отметкой 7 помещали
вершину вспомогательного конуса и градуировали его поверхность,20
проводя проекции горизонталей радиусами, кратными интервалу
плоскости l=2 ì . Чтобы построить проекцию горизонтали плоскос-
ти с отметкой 6, из проекции точки направляющей a с отметкой 6
проводили касательную прямую к проекции горизонтали конуса с
той же отметкой. Проекции других горизонталей плоскости строи-
лись аналогично. Масштаб уклона плоскости n i перпендикулярен к
проекциям её горизонталей. Градуирование плоскости Ã выполня-
лось несколько иначе. Сначала были построены по одной проекции
горизонталей конической поверхности и плоскости Ã , имеющих
одинаковую отметку, например, 6. Затем перпендикулярно проекции
горизонтали плоскости строился её масштаб уклона n Ãi , через точки
деления которого проводились проекции других горизонталей
плоскости, параллельные между собой.
12.4. Винтовые поверхности
На рис. 12.11 дано наглядное изображение съезда с путе-
провода, являющегося элементом транспортной развязки на
пересечении двух автодорог, проложенных в разных уровнях. При
отсутствии поперечного уклона дорожного полотна съезд ограничен
поверхностью Ô прямого закрытого геликоида, а откосы насыпи -
поверхностью косого открытого геликоида. Эти винтовые
поверхности наиболее часто используются при проектировании
инженерных земляных сооружений.
j
k Ô
b ti
li
a Ýâîëüâåíòà
Рис. 12.1121
Косой (наклонный) открытый геликоид на рис. 12.11 яв-
ляется поверхностью равного уклона, направляющая которой
представляет собой цилиндрическую винтовую линию k с
вертикальной осью j. Формула этого геликоида имеет вид:
{l(k)(l ik)}. Согласно ей прямолинейная образующая li при обра-
зовании поверхности движется, касаясь направляющей k во всех её
точках (обкатывая её). На рис. 12.11 показаны три образующие
косого открытого геликоида, одна из которых обозначена l i . Иногда
указанный геликоид называют эвольвентным, так как он
пересекается плоскостью, перпендикулярной оси j винтовой линии,
по эвольвенте. Проекции горизонталей эвольвентного геликоида
строят, как показано на рис. 12.9, а.
Прямолинейные образующие прямого закрытого геликоида
Ô{t(k,j)(ti k; ti j; ti j)} пересекают цилиндрическую винтовую линию
k и под прямым углом её ось j. 2
0 2 4ì t5 5
Поскольку ось j у используемого в j 5
дорожном строительстве геликоида k
занимает проецирующее положение,
1 b 4 4
то его образующие являются горизон- t0 3
талями. Три образующие геликоида Ô, 0
i 1 2
одна их которых t , изображены на 3 a
рис. 12.11. Для лучшего понимания 0
образования поверхности дорожного 1 2
полотна на съезде на рис. 12.12 в
Рис. 12.12
проекциях с числовыми отметками
дан основной чертеж отсека геликоида, линиями обреза которого
являются винтовые линии b, a и образующие t 1 , t 2. Образующие
геликоида, имеющие высоту 0, 1, 2, 3, 4, 5 ì , градуируют отсек его
поверхности и дуги винтовых линий b и a.
12.5. Топографическая поверхность
Топографическая поверхность является геометрическим
образом Земли и относится к незакономерным поверхностям, не
имеющим геометрического закона образования. Поэтому топо-
графическую поверхность (рельеф местности) представляют
дискретным каркасом её горизонталей (планом местности).22
Эти горизонтали являются результатом сечения поверхности земли
горизонтальными плоскостями, взятыми по высоте через одинаковые
расстояния, называемые шагом сечения. Шаг сечения зависит от мас-
штаба чертежа и рельефа местности, в учебных работах он равен 1 м.
На рис 12.13 в проекциях с числовыми отметками показан
отсек топографической поверхности. Анализ формы горизонталей и
4 5 6 7 8 9 10 12 12
12,7 11
10
9
8
7
11,4 6,5
11 6
10 5
9
8 0 20 40 60 ì
Áåðãøòðèõ
Рис. 12.13
их числовых отметок показывает, что на чертеже изображена возвы-
шенность (неровность земли, расположенная выше окружающей
местности) с двумя вершинами, отметки которых равны 11,4 ì и 12,7ì.
Боковые поверхности возвышенности называют склонами, а
возвышенность между двумя вершинами - седловиной. Неровность
земли, расположенную ниже окружающей местности, называют
котловиной (впадиной), низшую часть котловины - дном, её боковые
поверхности - щеками. Каждую пятую горизонталь рекомендуется
обводить более толстой линией.
При необходимости на чертеже штриховой линией изображают
промежуточные горизонтали, расстояние между которыми по высоте
равно половине или четверти шага сечения. Такие горизонтали
называют соответственно полугоризонталями (полугоризонталь с
отметкой 6,5 ì на рис. 12.13) или четвертными.
Бергштрихи, указывающие направление ската поверхности,
позволяют быстрее оценить форму рельефа местности по чертежу.
Любая линия на топографической поверхности градуируется
горизонталями этой поверхности. На рис. 12.14 проекцию k линии k
градуируют точки D16, E15 и F14. Обычно дуга кривой линии топо-
графической поверхности, соединяющая точки двух смежных
горизонталей, аппроксимируется отрезком прямой. Так, проекцию k23
дуги k топографической поверхности
0 1 2ì
аппроксимируют отрезки [F 14 ,E 15 ] и
[E 15 ,D 16 ]. При этом считается, что k
уклон и интервал дуги кривой равен
D16
уклону и интервалу аппроксимирую- B
щего отрезка. 16
Отметку точки M линии k то- B15
A
пографической поверхности, проек- 15 E15 A?
ция M? которой расположена между M? C14 C
проекциями горизонталей, определя- 14
ют приближенно (см. определение F14
отметки точки M на рис. 11.18). Рис. 12.14
Пусть требуется найти отметку точки A топографической
поверхности, проекция A? которой задана. Проведем через A ? произ-
вольный отрезок [B15 ,C 14 ], концы B15 и C14 которого расположены на
проекциях ближайших горизонталей. Из положения проекции точки A?
и характера рельефа окружающей местности следует, что отметка
точки A лежит в пределах 14...15 ì. Построим профиль [B,C] отрезка [B,C]
и найдем на нем проекцию A точки A : A [B,C]. Чтобы определить, на
какую величину отметка точки A больше отметки 14 ì точки C, доста-
точно при построении профиля [B,C] отложить от точки B 15 в на-
правлении, перпендикулярном [B15,C14], превышение отрезка [B,C], рав-
ное 1ì. Измерив с учетом вертикального масштаба отрезок [A? ,A],
получаем, что его длина примерно соответствует 0,4ì и отметка точки
A равна 14,4 ì . На рис. 12.14 вертикальный масштаб равен линейному
(горизонтальному) масштабу плана.
На рис. 12.14 показано также приближенное построение
проекций промежуточных горизонталей при относительно спокой-
ном изменении рельефа. Для этого между проекциями горизон-
талей с отметками 15 ì и 16 ì проведено несколько отрезков,
разделенных на равные части (в нашем случае на 4). Соединяя
соответствующие точки деления отрезков, получают проекции
четвертных горизонталей с отметками 15,25; 15,5 и 15,75 ì .
Крутизна топографической поверхности в данной точке равна
углу наклона касательной к линии ската в этой точке. Соответствен-
но уклон линии ската в данной точке поверхности определяет уклон
поверхности в той же точке. Линия ската топографической поверх-
ности перпендикулярна её горизонталям.24
Линией равного уклона называется такая линия на топогра-
фической поверхности, интервал которой на всем её протяжении
является постоянной величиной. Существует несколько способов
приближенного построения линии ската и линии равного уклона
топографической поверхности [4], [6].
12.6. Градуирование (задание) поверхностей откосов
земляного полотна автомобильной дороги
Откосы земляного полотна автомобильной дороги ограничены
поверхностями равного уклона. Их направляющей является бровка
земляного полотна дороги. Бровка земляного полотна (дороги) -
линия пересечения земляного полотна с откосом насыпи, выемки (при
отсутствии кювета) или кювета. Поверхности откосов задаются на
чертеже проекциями их горизонталей, отметки которых для насыпи в
направлении от бровки убывают, а для выемки возрастают. На рис.
12.15 заданы поверхности откосов с уклоном i=1:1 (l=1 ì) для различ-
ных участков дорог, проходящих в выемке без кюветов.
1. Прямолинейный участок, продольный уклон i=0 (рис. 12.15, а)
В этом случае бровка a дороги - горизонтальная прямая, а
поверхность откосов - наклонная плоскость. Проекции её горизонта-
лей параллельны проекции a 5 и расположены друг от друга на рас-
стоянии, кратном интервалу плоскости.
2. Прямолинейный участок, продольный уклон i=0 (рис. 12.15, б)
Здесь бровка a - прямая общего положения, поверхность отко-
сов - наклонная плоскость, проекции горизонталей которой строятся с
помощью вспомогательных конусов (рис. 12.10, б и пояснения к нему).
3. Криволинейный участок, продольный уклон i=0
Если бровка a - дуга окружности или близкой к ней по форме
кривой, то поверхность откоса - это поверхность прямого кругового
конуса. Проекции её горизонталей являются концентрическими
окружностями с центром в проекции вершины конуса (рис. 12.15, в).
Для откосов насыпи вершина конуса направлена вверх, а для
откосов выемки - вниз.
Если бровка a - некая горизонтальная кривая (рис. 12.15, г),
то проекции горизонталей поверхности равного уклона представля-
ют собой эквидистантные кривые, которые проводят касательно к
проекциям горизонталей вспомогательных конусов (рис. 12.9, б и
пояснения к нему). Также строят проекции горизонталей откосов в
случае, когда бровка a - дуга окружности, центр которой недоступен.25
à) Îñü äîðîãè á) Îñü äîðîãè
+5,00
a5 a
5 6 7 8
6
7
8
â)
ã) +5,00 a5
D
+5,00 B C
a5 A
6
7
8
ä)
0 2 4ì
Рис. 12.15
8
4. Криволинейный участок, продольный уклон i=0 (рис. 12.15, д)
Здесь бровка a - пространственная кривая. Проекции гори-
зонталей поверхности откосов также строят с использованием вспо-
могательных конусов (рис.12.9, а и пояснения к нему). Уже отмеча-
лось, что если a - цилиндрическая винтовая линия, то поверхностью
откосов является косой (наклонный) открытый геликоид (рис. 12.11).26
Л Е К Ц И Я 13
ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
13.1. Главные позиционные задачи
В первой части пособия на многокартинном комплексном чер-
теже уже рассматривались главные позиционные задачи (ГПЗ):
1ГПЗ - задача на пересечение линии и поверхности; 2ГПЗ - задача
на пересечение поверхностей. Эти задачи решались согласно трем
алгоритмам, каждый из которых соответствует одному из трех
возможных случаев расположения пересекающихся геометрических
образов (ГО) относительно плоскости проекций: 1 случай - оба
пересекающихся ГО проецирующие; 2 случай - один пересекающий-
ся ГО проецирующий, а второй нет; 3 случай - оба пересекающихся
ГО не являются проецирующими.
Конструктивные особенности поверхностей искусственных со-
оружений, изображаемых в проекциях с числовыми отметками, предо-
пределяют в основном третий, а также второй случай расположения
пересекающихся ГО относительно горизонтальной плоскости Ï .
13.1.1. Решение 2ГПЗ (2 случай). Профиль поверхности
Во 2-ом случае 2ГПЗ пересекаются две поверхности, одна из
которых занимает проецирующее положение. Алгоритм решения:
1. Проекция линии пересечения на чертеже задана и её только
обозначают: она принадлежит основной проекции проецирующей
поверхности в силу собирательного свойства этой проекции.
2. Из условия принадлежности линии пересечения непроеци-
рующей поверхности на проекции этой линии находят и обозначают
проекции точек с числовыми отметками, необходимые для задания
или представления линии пересечения на чертеже. Указанные
проекции точек - точки пересечения проекций горизонталей
непроецирующей поверхности с проекцией линии пересечения.
Согласно алгоритму при пересечении проецирующей и
непроецирующей поверхностей последнюю удобно задавать
(представлять) её горизонталями.
ПРИМЕР 13.1. Построить линию пересечения плоскости общего
положения Ã ( ABD) и проецирующей плоскости ( ) (рис. 13.1).
Пусть плоскости пересекаются по прямой a: a= Ã. Проекция
a уже известна: a Ï a . Для задания прямой a на её27
проекции a находят проекции B 7 0 2 4ì
точек E, F и их числовые от- 6
à à a
метки: E 4=h 4 a , F 2 =h 2 a ,
5
где h 4Ã, h 2Ã - проекции горизон- D4 Ã
талей плоскости Ã . С градуи- 4 E 4 h4
рования стороны [A , B] и 3
à Ã
построения проекций h 4 и h 2 F2
рекомендуется начать реше- h 2Ã
ние примера. A2 Рис. 13.1
Фигура сечения поверхности вертикальной проецирующей
(профильной) плоскостью называется профилем. Профиль уточняет
форму участка поверхности, попавшего в секущую плоскость. При
построении профиля поверхности поверхность удобно задавать
горизонталями. Задача на пересечение проецирующей плоскости с
непроецирующей поверхностью является составной частью задачи
на построение профиля этой поверхности.
ПРИМЕР 13.2. Построить профиль p топографической поверх-
ности , соответствующий профильной плоскости Ï (рис. 13.2).
Сначала строится линия пересечения p= . Проекция p на
чертеже задана: p Ï p . Одновременно p , поэтому
линию p пересекают горизонтали топографической поверхности,
проекции которых градуируют проекцию p . Таким образом, линия p
представлена на чертеже проекцией p и градуирующими её
проекциями точек с отметками 18, 19, 20, 21, 22, 22, 21, 20 и 19.
Профиль топографической поверхности , соответствующий
профильной плоскости , - это плоская фигура, ограниченная про-
филем p линии p= .
Для определения координат точек профиля p в плоскости
выбирается базовая горизонталь профиля, которую называют базой
(основанием) профиля и обозначают b Hb . Числовая отметка Hb
базовой горизонтали зависит от формы сечения, например,
рельефа участка местности и инженерных сооружений на нем.
Чтобы получить профиль p, плоскость S с линией p совмеща-
ют с плоскостью чертежа. При построении наложенного профиля его
основание совмещают с основной проекцией плоскости S: b Hb S , а
при выполнении вынесенного профиля основание bHb располагают
произвольно на поле чертежа. В примере базовая горизон -28
p таль имеет отметку 18,
ос н ова н и е пр оф ил я
b18 и профиль p на-
b18(bHb) ходится в проекционной
связи с проекцией p .
p
Параллельно базе
bHb (на рис. 13. 12 это
b18 ) проводят другие
Ê горизонтали профиля.
Ê 20 Расстояние между со-
Ê
седними горизонталями
равно единице верти-
к ал ьн ого мас ш таба,
который в отдельных
случаях может отли-
чаться от горизонталь-
Nb A A N A18 ного.
0 2 4 6ì В общем случае
профиль p - кривая ли-
Рис. 13.2
ния, аппроксимирующая
точки профиля - профильные проекции градуирующих p точек.
Найдем точку K профиля p с отметкой 20, которую строят по
горизонтальной координате L K и вертикальной координате H K .
Координата L K определяется берущимся с плана расстоянием
L K от точки K20 до некой начальной точки N на p или и соот-
ношением линейного масштаба плана и горизонтального масштаба
профиля. В примере N A 18 , а указанные масштабы равны и LK=L K.
На базе b18 выбирают начало отсчета точку N b и откладывают от
неё по b18 координату L K , получая точку K , задающую положение
точки K профиля p по его ширине (длине). На рис. 13.2 точки N и
N b находятся в проекционной связи, LA=LA=0 и N b A .
Координата HK - высота точки K профиля и H K =H K -Hb, где H K -
числовая отметка точки K. Отложив с учетом вертикального масшта-
ба H K от точки K в перпендикулярном к базе b 18 направлении,
находят точку K профиля. В примере H K =20-18=2 ì, HA =0, A A .
Также строят другие точки профиля и проводят через них
плавную кривую p - профиль линии p= .29
На рис. 13.3 построена линия пересечения k топографичес-
0 2 4ì Ô k кой поверхности с проеци-
рующей цилиндрической по-
C7 верхностью Ô, заданной своей
7 основной проекцией Ô . Линия
B8 D8 k представлена на чертеже
Ê9 проекцией k Ô и проекциями
8
9 точек, в которых k пересекает-
N A7 8 ся с проекциями горизонталей
7 Рис. 13.3 топографической поверхности.
13.1.2. Решение 2ГПЗ (3-й случай)
Решение 2ГПЗ в 3-м случае (пересекаются две непроецирую-
щие поверхности) основано на положении: линия пересечения двух
поверхностей есть геометрическое место точек пересечения их
одноименных горизонталей (горизонталей с одинаковыми отметка-
ми). Алгоритм решения задачи следующий:
1. Градуируют пересекающиеся поверхности, строя их гори-
зонтали, если они не заданы.
2. Строят точки пересечения одноименных горизонталей
поверхностей.
3. Через построенные точки проводят линию пересечения
поверхностей (её проекция градуируется проекциями точек с
числовыми отметками пересечения одноименных горизонталей ).
При необходимости определяют видимость линии пересечения
и пересекающихся поверхностей относительно Ï .
ПРИМЕР 13.3. Построить линию пересечения плоскостей ,
Ã
заданной ABD, и Ã , заданной масштабом уклона n i (рис. 13.4, а).
Две плоскости пересекаются по прямой линии, следовательно,
в примере достаточно построить две точки, принадлежащие этой
прямой.
После градуирования плоскости (процесс градуирования на
рис. 13.4, а не показан) проводят проекции h 6 и h4 её горизонталей
à Ã
до пересечения их с проекциями h 6 и h 4 горизонталей плоскости Ã
в точках E 6 =h 6 h 6Ã и F4 =h4 h 4Ã . Прямая a E6 ,F4 - проекция
линии пересечения плоскостей и Ã.
Для определения видимости возьмем проекции M 4 N 6 =
Ã
=h4 h6 конкурирующих точек M Ã и N . Точка N с отметкой 6
плоскости выше точки M с отметкой 4 плоскости Ã. Поэтому часть
треугольника левее линии пересечения a видна, а правее - не видна.30
à) B7 á)
E6
6
M7
5
4 a
N6 M4 D3
A6 F4
a 0 2 4ì N
n Ãi n Ãi
Рис. 13.4
На рис. 13.4, б построена линия a пересечения плоскостей ,
Ã
заданной масштабом уклона n i , и Ã, заданной проекцией h 7 гори-
зонтали, уклоном i à =1:2 и его направлением. После построения
Ã
масштаба уклона n Ãi плоскости à (n Ãi h 7, l à =2 ì ) линию пересече-
ния a плоскостей проводят через точки M=h 7 h Ã7 и N=h 10 h 10Ã .
Плоскости с параллельными масштабами уклона пересекают-
ся по горизонтали. Так, на рис. 13.5, а плоскости и Ã пересекают-
ся по горизонтали с отметкой 6,2. Проекция горизонтали проходит
через точку пересечения прямых линий, соединяющих две пары
проекций точек с одинаковыми отметками, но расположенных на
линиях ската разных плоскостей. Отметка 6,2 линии пересечения
определена приближенно. A9 9
à) á) 8
n Ãi ni B8
8 5
p C7 7
7 ni
6 h6,2
6 6
D6
5
7 E5 5
4
0 1 2 3ì F4
0 1 2 3ì
Рис. 13.531
На рис. 13.5, б показано построение линии p пересечения
плоскости , заданной масштабом уклона n i , с поверхностью ,
представленной проекциями её горизонталей. Проекция p прохо-
дит через точки A 9 , B 8 , C 7 , ... пересечения проекций одноименных
горизонталей плоскости и поверхности . Указанные проекции
точек с числовыми отметками градуируют проекцию p линии p.
ПРИМЕР 13.4. Построение линий пересечения поверхностей
откосов.
На рис. 13.6 дана горизонтальная строительная площадка с
отметкой 15 и аппарель, выполненные в насыпи, так как они распо-
ложены выше окружающей плоской горизонтальной местности,
имеющей отметку 12.
Аппарель - наклонный прямолинейный или криволинейный
въезд или съезд (участок дороги с продольным уклоном).
Горизонтальная площадка задана на чертеже проекцией её
контурной линии (бровки), состоящей из половины дуги окружности
и отрезков прямых линий, а аппарель - проградуированной
проекцией a её бровки. Уклон откосов насыпи на участке левее
точки B i=1:1,5, на остальных участках сооружения уклон i=1:1.
Поверхности откосов насыпи на участках между точками A и B,
C и D, D и E плоские, между точками B и C имеют коническую форму,
на аппарели - ограничены поверхностью равного уклона, направ-
ляющей которой является бровка a. Как уже отмечалось, линия
пересечения поверхностей определяется точками пересечения их
одноименных горизонталей. Поэтому к построению линий пересече-
ния поверхностей смежных откосов приступают, осуществив их гра-
дуирование (см. раздел 12.6). После этого, например, проекция k
линии k пересечения плоского откоса с поверхностью равного
уклона проводится через точки пересечения проекций соответствую-
щих горизонталей этих поверхностей.
Плоскость, не проходящая через вершину конической поверх-
ности, пересекает её по кривой второго порядка (рис. 13.7). Плос-
кость и коническая поверхность пересекаются по эллипсу, если ук-
лон плоскости меньше уклона конической поверхности (a b); по
параболе, если уклон плоскости и конической поверхности одина-
ковы (a = b); по гиперболе, если уклон плоскости больше уклона
конической поверхности (a b). Соответственно плоский откос32
0 2 4ì
k a
E
+15,00 ni
Êðèâàÿ ëèíèÿ
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ
D
Ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ñìåæíûõ îòêîñîâ
+15,00
C +12,00
Ã
n Ãi
Ýëëèïñ B
A Ïàðàáîëà
ni +12,00 Ãðàíèöû çåìëÿíûõ ðàáîò
(ïîäîøâû îòêîñîâ íàñûïè)
Ïîâåðõíîñòü çåìëè ñ îòìåòêîé 12
Рис. 13.6
à (i=1:1) пересекает коническую поверх-
ность по параболе, а плоский откос
(i=1:1,5 ) - по эллипсу (рис. 13.6).
Поскольку плоские откосы Ã и
имеют одинаковый уклон, то прямая,
Ô
проекция и х лин ии пересечен ия,
является биссектрисой угла между
проекциями горизонталей этих откосов.
Заметим, что совокупность проек-
ций горизонталей поверхностей откосов
Рис. 13.7 с отметкой 12 представляет собой проек-33
цию линии пересечения откосов с горизонтальной (плоской)
поверхностью окружающей местности, имеющей такую же отметку.
Эта линия пересечения называется подошвой откосов насыпи и
является здесь границей земляных работ.
13.1.3. Решение 1ГПЗ (3-й случай)
В 3-м случае 1ГПЗ пересекаются непроецирующие линия и по-
верхность. Общий алгоритм решения задачи:
1. Линия заключается во вспомогательную поверхность: пря-
мая линия заключается во вспомогательную плоскость, кривая
линия - во вспомогательную цилиндрическую поверхность.
2. Строится линия пересечения данной поверхности и вспомо-
гательной.
3. Искомые точки - точки пересечения данной линии и по-
строенной.
При решении 1ГПЗ-3 следует проградуировать поверхность
(если она не проградуирована), а при необходимости и линию.
ПРИМЕР 13.5. Построить точку K пересечения прямой (A,B) и
плоскости ( CDE).
1. Вариант решения на рис. 13.8.
Градуируем плоскость , строя проекцию горизонтали
h6 D6 , а затем проекции горизонталей h 5 C 5 h 5 h 6 и h 9
E 9 h 9 h 6 (процесс градуирования отрезка [C,E] не показан).
M9 Заключаем прямую (A,B) в плос-
кость общего положения Ã , задавая
её проекциями параллельных гори-
E9
зонталей h 5Ã B 5 и h 9Ã A 9 , направ-
8 B5 ление которых выбрано произвольно,
h9Ã
7 но так, чтобы эти проекции пересекали
à проекции h 5 и h 9 горизонталей
6 h5 плоскости в пределах чертежа.
Ê Строим проекции точек M 9 =
=h 9 h 9 ; N5 =h 5Ã h 5 и проводим
Ã
C5
через них проекцию прямой (M 9 ,N 5 )
D6
- проекцию линии пересечения (M,N)
A9 Q плоскостей Ã и .
Точка K =(M 9 ,N 5 ) (A 9 ,B 5 ) -
0 2 4ì
проекция точки K пересечения
Рис. 13.8 N 5 прямой (A,B) и плоскости .34
Для определения видимости прямой (A,B) относительно плос-
кости Ï рассмотрим конкурирующие точки A и Q S (A 9 Q ). Точка
A прямой имеет отметку 9, а точка Q плоскости - отметку меньше 5
(учитывая уклон плоскости S). Поэтому участок прямой (A,K] рас-
положен над плоскостью S и виден относительно Ï .
2. Вариант решения на рис. 13.9.
Заключим прямую
G ( A,B ) в проецирующую
0 2 4ì
B плоскость Ã, пересекаю-
щую плоскость S по
Ê E9 прямой (G,T): Ã (A 9 ,B 5 );
8 B5 G9 = h 9 Ã и T6 = h 6 Ã
T (процесс градуирования
A
7 G 9 плоскости на рис. 13.9
не показан). Строим про-
6 филь [A,B] отрезка прямой
C5 T6 Ê (A,B) и профиль [G,T] от-
резка прямой (G,T), распо-
ложенных в профильной
A9 Ã D6 плоскости Ã. Её горизон-
таль с отметкой Hb=5 вы-
Рис. 13.9 бираем базовой горизон-
талью и проводим основа-
ние профиля b 5 Ã . Профили [A,B] и [G,T] расположены в проек-
ционной связи с проекциями [A 9 ,B 5 ] и [G 9 ,T 6 ].
Точка K=[A,B] [G,T] - точка пересечения профилей (A,B) и (G,T).
Проекция K найдена на (A 9 ,B 5 ) с помощью линии проекционной
связи (K,K ). K и K - проекции точки K=(A,B) S.
Чтобы построить точку K пересечения прямой (A,B), заданной
проекцией (A2,B6), с топографической поверхностью W (рис. 13.10, а),
градуируем прямую (эти построения на рисунке не показаны) и
заключаем её в плоскость общего положения Ã . Для этого через
точки A2 , 3, 4, 5, B6 проводим проекции параллельных горизонталей
в произвольном направлении, но таком, чтобы они пересекали
проекции горизонталей поверхности W в пределах чертежа. Отме-
тив точки пересечения проекций одноименных горизонталей
плоскости Ã и поверхности W, соединим их плавной кривой k ,35
à) A á) 4 4
2 C D 3
6 k
3 k
5 5
5 p
4 6
Ê Ê
4 C D
5 6 7
3 0 1 2 3ì
8
B6 7
2
Рис. 13.10
являющейся проекцией линии их пересечения. K =k (A 2 ,B 6 ) -
проекция точки пересечения прямой (A,B) и поверхности W.
Аналогично на рис. 13.10, б построена точка K пересечения
кривой p, представленной проекцией p и проекциями градуирующих
её точек с отметками 4, 5, 6 и 7 ì, с топографической поверхнос-
тью W. Зададим цилиндрическую поверхность F, направляющей
которой является линия p, а образующими - параллельные
горизонтали, проходящие через градуирующие её точки. Направле-
ние горизонталей произвольное, но такое, чтобы проекции горизон-
талей поверхностей F и W пересекались в пределах чертежа. Через
точки пересечения проекций одноименных горизонталей этих
поверхностей проводим плавную линию k - проекцию линии k
пересечения поверхностей F и W. K =k p - проекция точки пересе-
чения кривой p и поверхности W.
Видимость прямой (A,B) на рис. 13.10, а и кривой p на рис.
13.10, б определялась с помощью конкурирующих точек C и D, из
которых точка C принадлежит соответственно прямой или кривой, а
точка D - поверхности W. На обоих рисунках отметка точки C линии
меньше отметки точки D, расположенной на горизонтали поверхнос-
ти W (так, на рис. 13.10, а отметка точки C прямой (A,B) лежит в
пределах (2-3) ì, отметка же точки D поверхности равна 6). Поэто-
му участки прямой (A,B) и кривой p, на которых бралась точка C,
относительно Ï не видны. Точка K - граница видимости.36
13.2 Метрические задачи
Метрические задачи подробно рассмотрены в первой части
пособия. Напомним, что к метрическим относятся задачи на опреде-
ление расстояний, площадей, углов и т. д. Решение этих задач
основывается на решении двух задач, условно называемых
основными метрическими задачами (ОМЗ).
13.2.1. Основные метрические задачи
1ОМЗ - задача на перпендикулярность прямой и плоскости,
решаемая на чертеже с использованием признака перпендикуляр-
ности прямой и плоскости, а также теоремы о проецировании
прямого угла. Согласно этой теореме проекция перпендикуляра к
плоскости перпендикулярна проекциям её горизонталей (парал-
лельна масштабу уклона).
Прямая a, перпендику -
a 8 лярная плоскости , перпен-
дикулярна всем прямым этой
7 плоскости, включая её линию
7
90 - 6 6 ската n (рис. 13.11). Тогда, если
5 5 n линия ската n и, следователь-
Ê4 но, плоскость наклонены к
плоскости Ï под углом , то
2 3
n i перпендикуляр a наклонен к Ï
1 под углом (90 - ). В этом слу-
0 чае уклон i плоскости равен
tg , а уклон ia перпендикуляра
к ней a равен tg(90 - )=ctg .
Таким образом, i =1/i a - уклон
Рис. 13.11
плоскости и уклон перпенди-
куляра к плоскости обратно пропорциональны, причем отметки
перпендикуляра убывают в направлении, обратном убыванию
отметок плоскости (рис. 13.11). Естественно обратно пропорцио-
нальны и интервалы плоскости (интервал её линии ската) l ïë (l ) и
перпендикуляра к ней l ïåð (l a ): l ïë=1/l ïåð .
Пусть требуется из точки K (K 4 ) плоскости , заданной мас-
штабом уклона n i , провести к плоскости перпендикуляр a (рис.
13.12). Решение сводится к проведению проекции a перпен-
дикуляра, проходящей через проекцию K 4 точки K параллельноВы также можете почитать
