АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ЭКСПЕДИЦИИ КА К АСТЕРОИДУ АПОФИС С ВОЗВРАЩЕНИЕМ К ЗЕМЛЕ
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
ISSN 1729-5459. ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК НАУЧНЫХ ЦЕНТРОВ ЧЭС. 2013. № 4. Том 3
УДК 521.1; 629.78
АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ЭКСПЕДИЦИИ КА
К АСТЕРОИДУ АПОФИС С ВОЗВРАЩЕНИЕМ К ЗЕМЛЕ
Ивашкин В. В.1 , Крылов И. В.2 , Лан А.3
AN ANALYSIS OF OPTIMAL TRAJECTORIES FOR SPACE MISSION TO ASTEROID APOPHIS
WITH RETURN TO EARTH
Ivashkin V. V., Krylov I. V., Lang A.
Energy optimal trajectories for space mission to dangerous asteroid Apophis with return to
Earth are investigated in the paper. Two groups of the flights are studied: the flights that use
combined jet engines with a high thrust chemical engine and a low thrust electric-jet engine; and
the space flights that use only high thrust engines. The rocket “Soyuz-FG” with upper stage
“Fregat” is proposed to be used for the spacecraft launch and escape. There are determined
optimal trajectories for the mission during 2019-2022 years. It is shown that using electric jet
engine allows essential improving of the mission characteristics.
Keywords: optimal space trajectories, optimal control, electric-jet low thrust, high thrust,
interplanetary flight, asteroid Apophis, space mission to Apophis, return to Earth.
Введение 1. Случай комбинированной
двигательной установки
1.1. Схема полета
В работе определяются и исследуются
энергетически оптимальные траектории по-
лета КА для экспедиции на астероид Апо- Основные этапы такой экспедиции к Апо-
фис, включающей: полет к Апофису, пребы- фису: а) выведение КА на переходную ор-
вание у астероида некоторое время и после- биту ИСЗ; затем — геоцентрический разгон
дующее возвращение к Земле. Предполагает- КА двигателями большой тяги (ДБТ), время
ся, что для этого используется ракета «Союз- t ∈[t0 , t1 ]; б) гелиоцентрический перелёт КА
ФГ» с разгонным блоком «Фрегат». Исследо- от Земли к Апофису с двигателями малой тя-
ваны две группы полетов. Oдна группа вклю- ги (ДМТ) [1], t ∈ [t1 , t2 ]; в момент t2 выравни-
чает полеты КА с использованием химиче- ваются координаты и скорости КА и астеро-
ских двигателей большой тяги для разгона ида; в) приастероидный этап, t ∈ [t2 , t3 ]: вы-
от Земли и электроракетных двигателей ма- ход КА на орбиту у астероида, пребывание
лой тяги для межпланетного полета. Другая КА у астероида и на его поверхности, после-
группа включает полеты КА с использова- дующий отлёт КА от астероида; г) гелиоцен-
нием только двигателей большой тяги. Рас- трический перелёт КА от Апофиса к Земле с
смотрены полеты в 2019–2022 гг. Основной ДМТ, t ∈ [t3 , t4 ]; в конечный момент вырав-
вывод: экспедиция может быть осуществлена ниваются координаты КА и Земли; д) вход
в обоих случаях, хотя полезная масса замет- КА в атмосферу Земли, торможение, посад-
но больше в первом случае. ка.
1
Ивашкин Вячеслав Васильевич, д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Института прикладной
математики им. М. В. Келдыша РАН, профессор Московского государственного технического университета
им. Н. Э. Баумана; e-mail: ivashkin@keldysh.ru.
2
Крылов Игорь Валерьевич, канд. техн. наук, ведущий программист компании «Алиот» ITG; e-mail:
krylov_i_v@mail.ru.
3
Лан Аньци, аспирантка кафедры «Динамика и управление полетом ракет и космических аппаратов»
Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана; e-mail seatu_angel@126.com.Анализ оптимальных траекторий экспедиции КА к астероиду Апофис с возвращением. . . 81
1.2. Постановка задачи ДУ, при нулевой скорости на бесконечности
при разгоне от Земли. Затем, для случая иде-
При условии выполнения требо-
альной тяги и оптимальной величины ско-
ваний схемы перелёта и в пред-
рости на бесконечности. И, наконец, для
положении, что начальное время
реального случая кусочно-постоянной тяги.
t1 ∈ T1 = [25.06.2019; 27.09.2022]; общее вре- На первых двух этапах идеальной тяги мини-
мя экспедиции t4 − t1 = 730 сут., время пре- мизируемым функционалом J является ин-
бывания у астероида t3 − t2 = 30 сут.; ско- теграл от квадрата реактивного ускорения
рость истечения для ДБТ 3198 м/с; ДМТ по времени полета [2–4]. Для третьего этапа
имеет мощность N = 3, 75 кВт и скорость реальной тяги максимизируется масса КА в
истечения we = 25 км/с, необходимо опре- конце данного участка полета.
делить: граничные времена экспедиции t1 ,
t2 , t3 , t4 , величину и направление вектора
скорости «на бесконечности» при геоцентри- 1.5. Случай идеальной тяги и нулевой
ческом разгоне, а также программы управле- скорости на бесконечности
ния ДМТ на [t1 , t2 ] и [t3 , t4 ], так чтобы масса Разработан алгоритм определения опти-
КА в конечный момент mf = m(t4 ) была мальных траекторий для данного случая, ос-
максимальной. нованный на комбинированном методе оп-
тимизации с применением на заключитель-
1.3. Геоцентрический разгон КА ной фазе принципа максимума Понтрягина
и метода продолжения по параметру [2, 3, 5–
Выведение KA на низкую околозем- 14]. Определены оптимальные траектории на
ную орбиту осуществляется ракетой «Союз- первом участке, при t1 6 t 6t1 + ∆t1 , и на
ФГ», которая обеспечивает доставку массы втором участке, при t3 6 t 6 t3 + ∆t3 , для:
m0 = 7130 кг на высоту 200 км. Для разгона (∆t1 , ∆t3 ) ∈ [185–545] сут; t3 ∈ [15.06.2017;
КА до второй космической скорости или до 27.09.2022]. В частности, определены опти-
гиперболической скорости используется блок мальные значения функционала J1 для пер-
«Фрегат» с «сухой» массой 970 кг. Вычитая вого участка и функционала J3 для вто-
из указанной массы m0 массу топлива на раз- рого участка каждой траектории и постро-
гон и массу блока «Фрегат», получим массу ена зависимость суммарного функционала
КА m(t1 ) в момент начала гелиоцентриче- экспедиции J1 + J3 от начального времени
ского движения [2, 3]. При разгоне до второй при условии оптимального времени переле-
космической скорости эта начальная масса та Земля–Апофис и при условии суммар-
составляет ∼ 1630 кг. ной продолжительности экспедиции 2 года
(рис. 1) [3].
1.4. Гелиоцентрическое движение КА. Минимум этой функции определяет оп-
Математическая модель тимальную траекторию данного этапа. Для
нее t1 = 22.04.2020; ∆t1 = 388 сут.;
При определении оптимального движе- t3 = 14.06.2021; ∆t3 = 312 сут., конечная мас-
ния и управления движением КА на обо- са КА m(t4 ) = 1371 кг. Полезную массу, т.е.
их гелиоцентрических этапах полета Земля– массу спускаемого аппарата, получаем вычи-
Апофис и Апофис–Земля учитывается гра- танием массы двигательной установки малой
витационное притяжение Солнца как точки тяги: mКА = m(t4 ) − m∗ − k(m(t1 ) − m(t4 )).
и реактивное ускорение, сообщаемое с помо- Здесь m∗ = 300 кг — постоянная со-
щью ДМТ. При полете от Земли к Апофису, ставляющая массы ДМТ, k = 0, 2 — ко-
t1 6 t 6 t2 , в конце полета при t = t2 вырав- эффициент массы топливного бака. Тогда
ниваются радиус-векторы и векторы скоро- mКА = 1019 кг.
сти КА и астероида. При полете от Апофиса
к Земле, t3 6 t 6 t4 , в конце полета при t = t4 1.6. Случай идеальной тяги и оптимальной
выравниваются только радиус-векторы КА скорости на бесконечности
и астероида, скорость КА свободна. Зада-
ча определения оптимальных гелиоцентри- Разработан алгоритм определения опти-
ческих перелетов решается в три этапа. Сна- мальных траекторий для данного случая,
чала, для случая идеальной неограниченной основанный на принципе максимума Понт-
по величине тяги при заданной мощности рягина и методе продолжения по парамет-82 Ивашкин В. В., Крылов И. В., Лан А.
Рис. 1. Зависимость оптимального суммарного функционала J1 + J3 от времени начала экспедиции
для суммарной продолжительности экспедиции 2 года
ру. Для начального приближения использо- дов на коррекцию траектории и на поддер-
вана оптимальная траектория предыдуще- жание орбиты КА у астероида, она состав-
го этапа. Варьируя граничные времена пер- ляет 13 кг. Тогда оценка полезной массы КА
вого участка и скорость на бесконечности, составляет 980 кг для данного случая комби-
определяем оптимальную траекторию перво- нированной двигательной установки с малой
го участка в данной постановке, в частности, тягой на гелиоцентрическом полете.
функционал J1 (t1 , ∆t1 ). На этой основе на-
ходятся массовые характеристики экспеди-
ции, в частности, конечная масса, и опти- 2. Случай экспедиции с большой тягой
мальная траектория с максимумом этой мас-
сы. Для нее t1 = 22.04.2020; ∆t1 = 368 сут.; В данном случае при задании граничных
t3 = 25.05.2021; ∆t3 = 332 сут., конечная времен экспедиции для движения КА в по-
масса КА m(t4 ) = 1432 кг. После вычи- ле Солнца гелиоцентрические орбиты пере-
тания массы двигательной установки малой лета от Земли к Апофису и от Апофиса к
тяги получаем массу спускаемого аппарата: Земле определялись двукратным решением
mКА = 1099 кг, т.е. на 80 кг больше преды- задачи Эйлера–Ламберта (с учетом возмож-
дущего случая. ности совершения одного пассивного витка
по орбите), время пребывания у астероида
1.7. Случай кусочно-непрерывной тяги полагаем равным 7 сут. При этом, в част-
ности, вычислялись скорости на бесконечно-
Разработан алгоритм определения опти- сти в граничных точках траектории: V∞1 —
мальных траекторий для данного случая, ос- при отлете от Земли, V∞2 — при подлете к
нованный на принципе максимума Понтряги- Апофису, V∞3 — при отлете от астероида,
на и методе продолжения по параметру. Для V∞4 — при подлете к Земле. Эти скорости
начального приближения использована опти- позволяют найти импульсы: ∆V1 для разго-
мальная траектория предыдущего этапа. На на от Земли, ∆V2 для торможения у Апо-
его основе определены оптимальные траек- фиса, ∆V3 для разгона от Апофиса. Данная
тории для обоих гелиоцентрических участ- информация позволяет определить массу КА
ков — с точки зрения максимума конечной после сообщения этих импульсов скорости с
массы. Для оптимальной траектории экспе- помощью ДБТ, в частности, конечную массу
диции конечная масса КА 1343 кг, полезная и полезную массу КА при спуске в атмосфе-
масса 993 кг. Учет неидеальности тяги при- ре Земли, а также оптимальные траектории
вел к понижению массы на 106 кг. Сделана с максимумом полезной массы — для различ-
оценка уменьшения массы КА за счет расхо- ных времен экспедиции.Анализ оптимальных траекторий экспедиции КА к астероиду Апофис с возвращением. . . 83
Рис. 2. Оптимальная траектория экспедиции Рис. 3. Оптимальная траектория экспедиции
на первом участке Земля-Апофис. Случай на втором участке Апофис-Земля. Случай
большой тяги, суммарное время 630 сут. большой тяги, суммарное время 630 сут. Точка
Точка P1 — отлет с орбиты Земли. Точка P3 — отлет с Апофиса. Точка Pf — прилет к
P2 — прилет к Апофису орбите Земли
Получены следующие значения полезной ∼ 159 кг. Т.е. в случае двигательной уста-
массы КА mКА в зависимости от времени новки большой тяги хотя, в принципе, можно
экспедиции в 2019–2022 гг.: осуществить экспедицию к Апофису и обрат-
но, но ее возможности заметно меньше, чем
mКА = 180 кг, если ∆t = 420 сут.; в случае применения электрореактивной ма-
лой тяги.
mКА = 182 кг, если ∆t = 450 сут.;
mКА = 186 кг, если ∆t = 540 сут.; Выводы
mКА = 135 кг, если ∆t = 600 сут.; Использование РН Союз-ФГ с блоком
«Фрегат» и двигательной установки малой
mКА = 180 кг, если ∆t = 630 сут.;
электрореактивной тяги позволяет осуще-
mКА = 235 кг, если ∆t = 660 сут.; ствить экспедицию к астероиду Апофис в
2019–2021 гг. общей продолжительностью
mКА = 265 кг, если ∆t = 690 сут.; два года со сроком пребывания и исследо-
mКА = 224 кг, если ∆t = 730 сут. ваний КА у астероида — месяц, вернув на
Землю спускаемый аппарат массой ∼ 980 кг.
Для ∆t = 630 сут. приведем некоторые до- При полете с химическими двигателями
полнительные данные: большой тяги также можно осуществить экс-
педицию к астероиду в этот период, но масса
t1 = 23/07/2019; ∆t1 = 280 сут.; КА в этом случае будет меньше ∼ 150–200 кг.
∆t3 = 343 сут.; t4 = 13/04/2021.
Литература
На рис. 2 дана траектория па участке
Земля–Апофис, на рис. 3 дана траектория па 1. Ахметшин Р. З., Ефимов Г. Б., Жирнов
участке Апофис–Земля. В. А., Энеев Т. М. О возможности достиже-
ния астероидов Главного пояса космическим
Для уменьшения массы КА за счет до- аппаратом с ЭРД // Препринт Института
полнительных расходов на коррекцию тра- прикладной математики им. М. В. Келдыша
ектории (75 м/с + 25 м/с) и поддержание РАН. 2004. № 77. 31 с.
орбиты КА у Апофиса (10 м/с) дана оцен- 2. Ивашкин В. В., Крылов И. В. Оптимальные
ка в ∼ 21 кг. Тогда полезная масса составит траектории перелета КА с малой электроре-84 Ивашкин В. В., Крылов И. В., Лан А.
активной тягой к астероиду Апофис // ДАН. 9. Болтянский В. Г. Математические методы
2012. Т. 445. № 1. C. 32–36. оптимального управления. М.: Наука, 1969.
3. Ивашкин В .В., Крылов И. В., Лан А. Оп- 408 с.
тимальные траектории для экспедиции КА 10. Ивашкин В. В., Крылов И. В. Комплексный
к астероиду Апофис с возвращением к Зем- метод оптимизации космических траекторий
ле // Астрономический вестник. 2013. Т. 47. с малой тягой и его применение к задаче
№ 4. С. 361–372. перелёта от Земли к астероиду Апофис //
4. Гродзовский Г. М., Иванов Ю. Н., Токарев Препринт Института прикладной математи-
В. В. Механика космического полета. Про- ки им. М.В. Келдыша РАН. 2011. № 56. 32 с.
блемы оптимизации. М.: Наука, 1975. 704 c. 11. На Ц. Вычислительные методы решения гра-
5. Беллман Р. Динамическое программирова- ничных задач. М.: Мир, 1982. 296 с.
ние. М.: Издательство иностранной литера- 12. Григолюк Э. И., Шалашин В. И. Проблемы
туры, 1960. 400 c. нелинейного деформирования. М.: Наука,
6. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории 1988. 232 c.
оптимальных систем. М.: Наука, 1971. 424 c. 13. Жулин С. С. Метод продолжения по пара-
7. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариацион- метру и его приложение к задачам оптималь-
ные задачи механики и управления. Числен- ного управления // Вычислительные методы
ные методы. М.: Наука, 1973. 240 с. и программирование. 2007. Т. 8. С. 205–217.
8. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкре- 14. Петухов В. Г. Метод продолжения для опти-
лидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая мизации межпланетных траекторий с малой
теория оптимальных процессов. М.: Физмат- тягой // Космические исследования. 2012.
издат, 1983. 392 c. Т. 50. № 3. С. 258–270.
Ключевые слова: оптимальные космические траектории, оптимальное управление, электрореактив-
ная малая тяга, большая тяга, межпланетный перелет, астероид Апофис, экспедиция к Апофису,
возвращение к Земле.
Статья поступила 10 октября 2013 г.
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва
Московский государственный технический университет (МГТУ) им. Н.Э. Баумана
c Ивашкин В. В., Крылов И. В., Лан А., 2013Вы также можете почитать
