Геометрия и топология полей квантовой глюодинамики

Страница создана Кристина Ефимова

Наука

Русский

Лайк
Поделиться
Встроить
На весь экран
Слайды
Скачать HTML
Скачать PDF
Жалоба

←

ПРОДОЛЖИТЬ ЧТЕНИЕ

→

Транскрипция содержимого страницы

Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже

Федеральное Государственное Унитарное Предприятие

Государственный Научный Центр Российской Федерации

Институт Теоретической и Экспериментальной Физики

               имени А.И. Алиханова

                                           На правах рукописи

             Бойко Павел Юрьевич

    Геометрия и топология полей
      квантовой глюодинамики
   Специальность: 01.04.02 – теоретическая физика

                 АВТОРЕФЕРАТ

      диссертации на соискание ученой степени

       кандидата физико-математических наук

                   Москва – 2008

УДК 530.12

   Работа выполнена в ГНЦ РФ Институт теоретической и эксперименталь-

ной физики им. А.И. Алиханова, г. Москва.

Научный руководитель:            доктор физико-математических наук,

                                 профессор,

                                 М.И. Поликарпов (ИТЭФ, г. Москва)

Официальные оппоненты:           доктор физико-математических наук,

                                 В.А. Новиков (ИТЭФ, г. Москва),

                                 доктор физико-математических наук,

                                 А.А. Белавин (ИТФ, г. Черноголовка)

Ведущая организация:             ГНЦ РФ ИФВЭ, г. Протвино

Защита состоится «21» октября 2008 г. в 11 часов на заседании диссертаци-

онного совета Д.201.002.01 при ГНЦ РФ ИТЭФ, расположенном по адресу:

г.Москва, ул. Б.Черемушкинская, д. 25, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ.

Автореферат разослан «1» августа 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.-мат. наук                                    В.В. Васильев

1. Общая характеристика работы

   Диссертация посвящена описанию вакуумного состояния решеточной кван-

товой глюодинамики.

1.1. Актуальность темы

   Нет сомнений в том, что сильно взаимодействующие частицы состоят из

кварков и глюонов, не наблюдаемых по отдельности. Вопрос о том, почему

кварки связываются в адроны с наблюдаемыми свойствами, до сих пор далек

от окончательного ответа.

   Опыт решения большого количества квантовомеханических задач учит

тому, что первым делом следует попытаться понять основное состояние си-

стемы, после чего можно надеяться, что свойства возбуждений получатся

естественным образом. В этой работе мы сконцентрируемся исключительно

на свойствах вакуума.

   Самые разнообразные модели вакуума были и остаются в разной степени

феноменологически успешными. В моделях “мешков” роль непертурбативно-

го вакуума сводится к граничным условиям на волновую функцию кварков

на границе адронного мешка. Вакуум Саввиди заполнен спонтанно генериру-

ющимся хромомагнитным полем, в спагетти-вакууме магнитное поле органи-

зовано в тонкие трубки. Вакуум модели дуальной сверхпроводимости имеет

конденсат “магнитных зарядов”, в результате (дуальный) эффект Мейснера

сжимает “электрическое” поле между кварком и антикварком в трубку, эта

модель детально рассматривается в первой главе. Множество вариаций мо-

дели инстантонной жидкости феноменологически успешны, особенно в опи-

сании свойств легких адронов.

   Могут ли все эти модели быть (хотя бы отчасти) верными одновременно?

Можно ли получить их параметры из первых принципов? На каком масштабе

эффективное описание сшивается с теорией возмущений? Как это происхо-

дит?

   Решеточная КХД оказалась уникальным инструментом для поиска от-

ветов на такие вопросы. Действительно, численное Монте-Карло моделиро-

вание теории представляет наблюдаемые в виде статистических средних по

ансамблям конфигураций калибровочных полей   {Aaµ (x)}.   Выделяя на каж-

                                  3

дой конфигурации интересующие эффективные степени свободы, например

“инстантоны” или “магнитные монополи”, можно непосредственно изучать

их динамику в настоящем непертурбативном вакууме (евклидовой) КХД.

При дополнительных предположениях оказывается возможным факторизо-

вать вклад рассматриваемых объектов в физические наблюдаемые, такие как

натяжение струны. Можно рождать новые объекты, вычисляя эффективное

действие. Можно даже удалять объекты из вакуума, исследуя соответствую-

щее изменение физических свойств теории. Мы будем называть знания такого

рода решеточной феноменологией.

Накопление и интерпретация фактов решеточной феноменологии привели

к существенному пересмотру старых моделей вакуума.

1.2. Цели диссертационной работы

1. Изучение скейлинговых свойств монополей, определенных в максималь-

ной абелевой калибровке решеточной SU (2) теории.

2. Исследование свойств погруженной HP1 модели и проекции.

3. Изучение структуры вакуумных флуктуаций топологической плотно-

сти методом погруженной HP1 модели.

1.3. Научная новизна и основные результаты диссертации

Следующие новые научные результаты выносятся на защиту:

1. Показана независимость геометрических свойств перколирующего кла-

стера монополей от масштаба обрезания. В частности, получено значе-

ние для плотности монополей, принадлежащих перколирующему кла-

стеру,

ρperc = 7.70(8) fm−3 .

2. Открыта корреляция направлений перколирующего кластера. Показан

скейлинг и непрерывный предел соответствующей корреляционной дли-

ны. Изучены скейлинговые свойства корреляторов монопольных токов,

получены значения соответствующих массовых параметров.

3. Показано, что плотность монополей, принадлежащих конечным класте-

рам, расходится в непрерывном пределе линейно по a−1 ,

ρf in ' (1.2 fm)−2 · a−1 .

4. Показано, что удаление центральных вихрей приводит к исчезновению

перколирующего кластера монополей. Одновременно показано, что уда-

ление монополей приводит к исчезновению перколирующего кластера

центральных вихрей.

1
5. Изучена конструкция погруженной кватернионной проективной (HP )

σ -модели и соответствующих решеточных операторов топологического

заряда и его плотности. Проведено сравнение с другими определениями.

6. Предложена конструкция калибровочно-ковариантной HP1 проекции и

изучены ее свойства. Обнаружено, что HP1 проекция сохраняет такие

непертурбативные динамические свойства, как глюонный конденсат,

киральный конденсат и натяжение струны. Статистически достоверно

определена квадратичная поправка к глюонному конденсату:

hαs G2 /πiHP = 0.066(2) GeV4 + (95(5) MeV)2 · a−2 .

При этом наблюдаемые в HP1 проекции не имеют (по крайней мере

лидирующего) пертурбативного вклада, такого как вклад нулевых ко-

лебаний в hG2 i и кулоновский член в потенциале. Напротив, остаток от
проекции демонстрирует только пертурбативное поведение.

7. Показано, что в формализме погруженной HP1 модели квадратичная

поправка к глюонному конденсату соответствует линейной расходимо-

сти характерной плотности топологического заряда и справедлива оцен-

ка
p
hq 2 i ' (1 fm)−3 · a−1 .
Это, в свою очередь, интерпретировано как проявление эффективно

трехмерной структуры топологических флуктуаций.

8. Предложено определение диффузионной размерности топологических

флуктуаций в вакууме. Показано, что существует масштабно-инвари-

антный режим диффузии, соответствующий эффективной размерности

структуры топологической плотности

                                   D = 3.07(3)

     независимо от шага решетки.

1.4. Апробация диссертации и публикации

   Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались

на семинарах ИТЭФ, университета Гумбольдта (Берлин), Института матема-

тических исследований (Ченнай, Индия); на многочисленных международ-

ных конференциях, в том числе Lattice 2001 (Берлин), 2002 (Бостон, США),

2003 (Цукуба, Япония), 2007 (Регенсбург, Германия).

   Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в зарубежных

реферируемых журналах, включенных в перечень ВАК [1-4], а также в тру-

дах международных конференций [5-8].

1.5. Структура и объем диссертации

   Диссертация включает в себя введение, две главы основного текста, за-

ключение и три приложения. Объем диссертации 134 страницы, включая 21

рисунок и 9 таблиц. Список литературы содержит 124 ссылки.

2. Содержание работы

   Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор-

мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана

научная и практическая значимость полученных результатов.

   Первая глава посвящена изучению скейлинговых свойств монополей,

определенных в максимальной абелевой калибровке решеточной     SU (2)   тео-

рии. Ключевые результаты представлены в разделах 1.3 и 1.5. Глава основана

на работах автора [1,4,6,7]. Раздел 1.1 содержит необходимые предваритель-

ные сведения, начиная с обсуждения механизма дуальной сверхпроводимости

и заканчивая определением максимальной абелевой проекции на решетке.

   В разделе 1.2 представлен краткий обзор наиболее важных феномено-

логических фактов, известных о монополях, определенных в максимальной

                                     6

абелевой проекции (МАП), на сегодняшний день. Показано, что, несмотря

на большую теоретическую неопределенность, решеточная феноменология

МАК монополей оказывается крайне нетривиальной и, по-видимому, указы-

вает на глубокую связь динамики монополей и невылетания цвета. Обсужда-

ются абелева и монопольная доминантность, дуальное уравнение Лондонов

для монопольных токов в присутствии струны КХД, эффективный потенци-

ал и оператор рождения монополя.

   Накопленные феноменологические знания о динамике монополей в мак-

симальной абелевой проекции подтверждают картину дуальной сверхпрово-

димости. Проблема, однако, заключается в модельно-зависимом характере

наблюдений такого сорта. Не имея сомнений в том, что дуальная абелева мо-

дель Хиггса может служить лишь приближением к описанию непертурбатив-

ной динамики КХД, мы вынуждены искать место монополей в оригинальной

неабелевой теории и связь их динамики с физическими наблюдаемыми. Этим

вопросам посвящена оставшаяся часть первой главы.

   Монополи определяются на решетке как граница дираковских струн, несу-

щих сингулярный абелев поток. Будучи геометрической границей, монопо-

ли представляют собой замкнутые ориентированные траектории         xµ (τ )   в 4-

мерном евклидовом пространстве-времени. Операционно, процедура абеле-

вой проекции может рассматриваться как отображение конфигурации ре-

шеточных калибровочных полей     Uµ (x)   в конфигурацию монопольных токов

xµ (τ ). Такое представление об абелевой проекции как о “черном ящике”, опре-
деляющим монополи по конфигурациям полей, является отправной точкой

модельно-независимого описания динамики абелевых монополей и их роли в

непертурбативной физике КХД. Непосредственно наблюдаемыми при этом

являются только траектории монополей, а единственным свободным пара-

метром – масштаб ультрафиолетового обрезания        a.   Раздел 1.3 посвящен

исследованию зависимости геометрических свойств монопольных траекторий

от масштаба обрезания. Ключевую роль в анализе занимают два хорошо из-

вестных понятия: асимптотический скейлинг и кластерная декомпозиция мо-

нопольных траекторий.

   По определению, кластер – это максимальная связная часть траекто-

рии. Любая конфигурация токов     xµ (τ )   на решетке единственным образом

разбивается на ансамбль непересекающихся кластеров. На каждой Монте-

                                     7

20
perc
fin

ρ, fm-3
10

0
0 0.05 0.1 0.15 0.2
a, fm

Рис. 1. Скейлинг плотности монополей, детали подгонок и обсуждение см. в тексте. Из
работы [1].

Карло конфигурации монопольных токов существует единственный перколи-

рующий кластер монополей, размер которого пропорционален объему решет-

ки, lperc ∝ V, V → ∞.
Остальные кластеры имеют конечную длину в термодинамическом пре-
1
деле V →∞ и характеризуются распределением по длинам P (l). Соответ-

ствующие плотности монополей в перколирующих и в конечных кластерах

принято нормировать следующим образом:

hlperc i hlfin i
ρperc = , ρfin = , (1)
4a3 V 4a3 V
где lperc , lfin – число ребер решетки в соответствующих кластерах,
V – число
узлов решетки, a – шаг решетки. Полная плотность ρ равна сумме ρperc и ρfin .

На рис. 1 показана плотность перколирующего кластера монополей ρperc

как функция шага решетки a, полученная в работе [1]. Слабая зависимость

от a подгонялась константой для значений β > 2.35. В результате получено

значение в непрерывном пределе a → 0 (показано сплошной линией на рис. 1).

ρperc = 7.70(8) fm−3 . (2)

1При этом количество и суммарная длина конечных кластеров растут, конечно, про-
порционально объему.

Далее в разделе 1.3 показано, что другие геометрические свойства перколи-

рующего кластера тоже не зависят от масштаба обрезания. Представлены

скейлинги средней длины монопольной траектории между самопересечения-

ми, среднего количества самопересечений в единице объема, корреляции на-

правлений тока как функции собственного времени и пространственные кор-

реляции токов. Независимость свойств перколирующего кластера монополей

от масштаба обрезания традиционно приводится в качестве оправдания “фи-

зической” или “калибровочно-инвариантной” природы монополей, определен-

ных в максимальной абелевой проекции, и их адекватности как эффективных

низкоэнергетических степеней свободы.

   Плотность монополей в конечных кластерах расходится при            a→0   и хо-

рошо подгоняется следующей функцией (пунктирная линия на рис. 1)

                                 1.55(4) fm−2
                        ρfin   =              − 6.1(5) fm−3 .                 (3)
                                      a
Отрицательная константа сигнализирует о невалидности подгонки в (нефи-

зической) области сильной связи и не важна при малых             a.
   Сосуществование одного перколирующего и конечных кластеров, обла-

дающих качественно различными скейлинговыми свойствами, оправдывает

кластерное разложение как подход к описанию геометрии монопольных то-

ков. Более того, было показано [9], что только лишь перколирующий кластер

способен обеспечить натяжение струны в смысле монопольной доминантно-

сти. Также известно [10], что пространственная перколяция монополей явля-

ется параметром порядка при температурном переходе конфайнмент-декон-

файнмент в   SU (2)   глюодинамике.

   Существование единственного экземпляра перколирующего кластера на

каждой динамически важной Монте-Карло конфигурации выглядит букваль-

но как соответствующее утверждение теории перколяции. Существенное от-

личие, тем не менее, заключается в том, что случайная перколяция пред-

полагает достаточную конечную решеточную (т.е. безразмерную) плотность

“занятых” ребер, необходимую для образования перколирующего кластера.

Это условие явно не выполняется для монопольных токов, решеточная плот-

ность монополей стремится к нулю в непрерывном пределе

                       (ρf in + ρperc ) · a3 ∝ a2 → 0, a → 0 .                (4)

                                           9

При типичном для работ автора значении шага решетки    a ∼ 0.1 fm   монопо-

ли занимают всего около 1-2% ребер решетки, что на порядок меньше порога

случайной перколяции ребер в 4-мерном пространстве. Таким образом, су-

ществование перколирующего кластера монополей в непрерывном пределе

не имеет отношения к случайной перколяции.

   Картина феноменологии абелевых монополей была бы неполной без об-

суждения их связи с другими известными низкоразмерными объектами, на-

селяющими вакуум решеточной глюодинамики. Раздел 1.4 посвящен связи

монополей и центральных вихрей. Приведена мотивация и краткий обзор

известных фактов о динамике центральных вихрей в решеточной    SU (2) тео-
рии и их связи с невылетанием. Геометрически вихри являются замкнутыми

двумерными поверхностями. Базовым наблюдением, показывающим факти-

ческое единство монополей и вихрей, стало открытие сильной пространствен-

ной корреляции в положении монопольных траекторий с поверхностями вих-

рей [11]. Кластерное разложение монопольных траекторий и поверхностей

вихрей согласовано [12]: на перколирующем кластере центральных вихрей

лежит весь перколирующий монопольный кластер и малая в непрерывном

пределе доля конечных кластеров. Основная часть конечных монопольных

кластеров занимает конечные кластеры вихрей. Также показано [4], что уда-

ление центральных вихрей приводит к удалению практически всех монопо-

лей, принадлежащих перколирующему кластеру. Симметрично, удаление мо-

нополей приводит к распаду единственного перколирующего кластера вихрей

на несколько неперколирующих, но все еще довольно больших кластеров. Хо-

рошо известно, что в обоих случаях натяжение струны равно нулю на моди-

фицированном ансамбле полевых конфигураций.

   Возвращаясь к расходимости (3), заметим, что она явно смешивает ин-
              −1
фракрасный (ΛQCD   ∼ 1 fm) и ультрафиолетовый (a  1 fm) масштабы. Дру-
гим примером подобного поведения является средний избыток неабелевого

действия, связанный с монопольной траекторией единичной длины. В конце

раздела 1.3 приводится краткий обзор результатов работы [13], посвящен-

ной действию монопольных траекторий. Показано, что добавочное действие,

связанное с монопольной траекторией физической длины    l ∼ 1 fm,   линейно

                                   10

расходится с шагом решетки

                                                   l
                                  hS̄(l)i ∝              .                      (5)
                                                  g2 a
Такое поведение типично для классического точечного монополя Дирака –

тот тоже имеет расходящийся как           1/a лагранжиан (действие на единицу дли-
ны на языке четырехмерной евклидовой теории)

                                      Z          2
                                            2 3 gm    1
                       Lclassical ∝       Bdr ∝    ∝ 2 .                        (6)
                                                 a   e a
        Открытие ультрафиолетовых расходимостей, сочетающих масштабы          ΛQCD
и   a   в свойствах вакуума, является прямым вызовом теории. Действительно,

в асимптотически свободной глюодинамике все эффекты на малых расстоя-

ниях должны быть понятны из первых принципов. С другой стороны, явная

зависимость от степеней     ΛQCD ∝ exp(−1/2b0 αs (a))        требует непертурбатив-

ного описания.

        Интерпретации феноменологических данных посвящен раздел 1.5. В на-

чале раздела приведена краткая сводка феноменологических фактов. Интер-

претация свойств монополей с точки зрения физики больших расстояний ос-

новывается на картине вакуума КХД как дуального сверхпроводника, подхо-

дящим формализмом является первично квантованная (евклидовая) кванто-

вая теория поля (Приложение Б). По аналогии с компактной              U (1) теорией
перколирующий кластер интерпретируется как классический конденсат на

языке эффективной теории поля. Независимость свойств перколирующего

кластера от обрезания поддерживает картину дуальной сверхпроводимости,

т.е. генерацию натяжения струны конденсатом монополей. Трудности, одна-

ко, возникают при интерпретации степенных расходимостей.

        Попытки последовательной интерпретации нетривиальной чувствитель-

ности монополей к масштабу обрезания и приводят к картине флуктуирую-

щих двумерных бран [14], населенных конденсатом монополей. Браны име-

ют следующие свойства: полная площадь в единице объема не зависит от

a, ассоциированное неабелевое действие расходится как a−2 , браны населены
скалярными частицами – монополями, монополи перколируют (сконденсиро-

ваны) на бранах, и, наконец, браны перколируют (сконденсированы) в про-

странстве. Детальное обсуждение бран изложено в разделе 1.5.4 диссертации.

                                             11

Картина бран кажется менее удивительной, учитывая связь монополей и

центральных вихрей, обсуждаемую выше. И центральные вихри, и монополи

дают вклад порядка      a−2   в среднюю плотность действия. В случае монополей

квадратичная расходимость “собирается” из линейных расходимостей плот-

ности и действия на единицу длины. В случае вихрей плотность не зависит от

a,   зато действие на единицу площади расходится квадратично. В работе [15]

было указано на то, что вклад бран в среднее действие может быть представ-

лен как квадратичная степенная поправка к лидирующей пертурбативной

расходимости (Приложение В). Квадратичная поправка дает линейный по

r    вклад в статический потенциал на малых расстояниях, что соответствует

нашим утверждениям о том, что браны (вихри + монополи) генерируют на-

тяжение струны  δV (r) = σr на всех расстояниях, в том числе при r → 0.
                             2
Соответствие вклада бран в hG i и V (r) квадратичной поправке было интер-

претировано как дуальность бран высшим порядкам теории возмущений, а

именно ультрафиолетовому ренормалону.

      Выводы к первой главе представлены в разделе 1.6.

      Вторая глава посвящена изучению топологической структуры вакуума

методом погруженной      HP1 модели. Основные результаты представлены в раз-
делах 2.3 и 2.4. Глава основана на работах автора [2,3]. Раздел 2.1 содержит

необходимые предварительные сведения, начиная с обсуждения геометриче-

ской фазы в нерелятивистской квантовой механике, а так же калибровочной

структуры комплексных проективных моделей в двух и кватернионных про-

ективных моделей в четырех измерениях. Общим для всех случаев является

выражение

                                  Aµ = −ih q |∂µ | q i                        (7)

для индуцированного калибровочного потенциалаAµ , а структура полей | q i
                                                                 n
в каждой модели своя. Именно для кватернионных проективных (HP ) мо-

делей поле Aµ принадлежит алгебре su(2).
                                     n
   Идея конструкции погруженной HP модели [16] состоит в том, чтобы

рассматривать (7) в качестве (калибровочно-ковариантного) уравнения на

скалярное поле    |qi   при заданном калибровочном поле      Aµ .   Конец раздела

2.1 посвящен обсуждению существования такого решения. При условии, что

решение уравнения (7) найдено, топологический заряд имеет смысл индекса

отображения     | q(x) i : S 4 → HPn ,   что позволяет сконструировать дискрет-

                                          12

ные версии операторов топологического заряда и его плотности с “хороши-

ми” свойствами. Описанию дискретной конструкции и ее свойств посвящен

раздел 2.2.

      Процедура погружения     HP1     модели заключается в построении конфи-

гурации кватернионно-значного скалярного поля              |qi    по исходной конфигу-

рации калибровочных        SU (2)   полей:   Uµ → | q i,   минимизируя функционал

невязки
                             1 X
                                   1 − Re(Uµ−1 (x) · Uµ (x)) ,
                                                            
                 F [U, q] =                                                                 (8)
                            8V x,µ
где
                                        h q(x) | q(x + µ
                                                       ^) i
                            Uµ (x) =                         .                              (9)
                                       |h q(x) | q(x + µ
                                                       ^) i|
Минимизация    F [U, q]   по всем конфигурациям         {| q i}   соответствует прибли-

женному решению непрерывного уравнения (7). Дополнительная, по срав-

нению с непрерывным выражением, нормировка в правой части (9) обеспе-

чивает унитарность    U.   Глобальная минимизация           F [U, q]   реализуется в ви-

де итеративного численного алгоритма. Было показано, что на ансамблях

калибровочных   SU (2)     конфигураций с действием Вильсона и             β ∈ [2.3, 2.6]
функционал (8) имеет следующие свойства:

  1. Существует единственный глобальный минимум невязки                    F [U, q],

  2. Качество аппроксимации         min F [U, q]   не зависит от ранга модели          n.
                                       q

Исходя из этого, мы в дальнейшем, во-первых, ограничимся простейшим слу-

чаем n = 1 и, во-вторых, будем считать поля погруженной HP1 модели | q i[U ]
однозначно определенными при заданных U . Конец раздела 2.2 посвящен

описанию решеточной конструкции операторов топологического заряда и его

плотности в терминах поля       | q i ∈ HP1 ' S 4 ,     а также численному сравне-

нию с другими определениями. Показано, что определение топологического

заряда методом погруженной          HP1    модели согласуется с теоретико-полевым

определением на гладких полях и с определением через теорему об индек-

се кирального оператора Дирака на вакуумных полях. Полученное значение

топологической восприимчивости

                                χ1/4 = 216(4) MeV                                       (10)

                                             13

согласуется с другими решеточными вычислениями [18].

   Логичным следующим шагом стало определение                              HP1        проекции, рассмат-

риваемое в разделе 2.3,

                                 Uµ (x) → | q(x) i → Uµ (x) .                                        (11)

В отличие от абелевой проекции, обсуждавшейся в первой главе,                                  HP1   про-

екция (11) явно калибровочно-ковариантна – при калибровочных поворотах

поля    U   и   U   преобразуются в точности одинаково. Уравнение (11) естествен-

ным способом позволяет рассматривать свойства полей                               U,   рассматриваемых

как обычные   SU (2) калибровочные поля. Каждому оператору X[U ] ставится
в соответствие проецированный оператор X [U ] = X[U]. Остаток от проек-

ции, поле Vµ (x), определен как фактор

                                      Vµ (x) = Uµ (x) · Uµ† (x) ,                                    (12)

в калибровке         Ω   такой, что

                                                         
                                        Ω             1  1
                                  |qi        = p            .                                        (13)
                                                1 + |ω|2 ω

Необходимость фиксации калибровки характерна для любого разделения по-

лей вида (12).

   Сводка наблюдаемых, вычисленных в  HP1 проекции, приведена в табл. 1.
         2
В ней hG i – средняя плотность действия, χ – топологическая восприимчи-
                                             −1
вость, σ – натяжение струны и hψ̄ψi ≡ hTr D i – киральный конденсат.
              1
Видно, что HP проецированные поля U в пределах ошибок воспроизводят

непертурбативные наблюдаемые и не имеют следов теории возмущений. И на-

оборот, остаток от проекции             V    демонстрирует только пертурбативные свой-

ства.

   Самым ярким примером подавления лидирующего пертурбативного вкла-

да является скейлинг средней плотности действия                           hG2 i   в   HP1   проекции. На
                                        2
рис. 2 показана зависимость                 k · a2 hG2 i   от   a2 .   Прямая линия соответствует

лучшей подгонке прямой

                         hαs G2 /πi = 0.066(2) GeV4 + (95(5) MeV/a)2 ,                               (14)

  2 Нормировочный         коэффициент k = παs /24 вводится по традиции.

                                                    14

Таблица 1. Сводка наблюдаемых (см. определения в тексте), вычисленных на HP1 про-
ецированных полях U и на остатке от проекции V . Примечания: ∗ согласуется с полным
действием; ∗∗ имеет сильные поправки при конечном a.

             Наблюдаемая                                       U                   V
               hαs G2 /πi                       0.066(2) GeV4 + (95(5) MeV/a)2 c0 /a4        ∗

               χ, a → 0                                  (216(4) MeV)4             0

               σ, a → 0                                (460(10) MeV)2 ∗∗           0
                                                                      3
             hψ̄ψi, a → 0                                (278(6) MeV)              0

                                      20

                                      15
                 2
                   / a , 10 Ge V
                 -3

                                      10
                 2

                                      5

                                      0
                                           0   0.1    0.2         0.3        0.4    0.5    0.6
                                                                  2     -2
                                                               a , GeV

Рис. 2. Скейлинг среднего плакетного действия на HP1 проецированных полях. Прямая –
лучшая подгонка вида (14). Из работы [2].

при этом наклон прямой соответствует глюонному конденсату, а значение в

нуле – квадратичной поправке. Видно, что скейлинг не содержит лидирую-

щей пертурбативной расходимости                             hG2 i ∝ 1/a4 .     Вместо этого присутствует

глюонный конденсат размерности 4 и квадратичная поправка. Численное со-

гласие конденсатов с существующей литературой [17] оправдывает интерпре-

тацию средней плотности действия в                             HP1      проекции как непертурбативной

части   hG2 i.
   Теоретическая неопределенность конструкции велика – прежде всего из-

за нелокальной и алгоритмически определенной процедуры погружения                                   HP1
σ -модели.   Гипотеза о том, что поля                        |qi      описывают всю непертурбативную

                                                             15

динамику исходных ансамблей и только ее, подтверждается исключитель-

но феноменологическими данными. Мы будем полагаться на эту гипотезу в

дальнейшем.

   Раздел 2.4 посвящен пространственной структуре топологической плот-

ности и состоит из двух частей. В начале раздела показано, что геометриче-

ский смысл поля       |qi   как отображения                    | q(x) i : S 4 → S 4      позволяет связать

лидирующие расходимости плотности действия и плотности топологического

заряда в     HP1   проекции. Эскиз анализа выглядит следующим образом [3].

   Параметризуем физическое пространство                                S4     и образ   HP1 = S 4   стерео-

графическими координатами                    xµ   и   yµ   и рассмотрим произвольную точку, в

которой отображение невырождено,

                                                                      ∂y
                                | q(x) i : x → y, det                    6= 0.                          (15)
                                                                      ∂x
Вводя якобиан и метрику отображения,

                                       ∂y µ                           Jλµ Jλν
                                Jνµ   = ν,                 g   µν
                                                                    =         ,                         (16)
                                       ∂x                             1 + y2
можно показать, что и кривизна индуцированной связности, и плотность то-

пологического заряда выражаются через (положительные) собственные зна-

чения   λµ   метрики, а именно (опущены численные коэффициенты пропорци-

ональности):

                                                                        X
                            2                     2             2
                        G       ∝ (Tr g) − Tr g                     ∝          λµ λν ,                  (17)
                                                                        µ6=ν
                                                       Y
                         q 2 ∝ det g =                         λµ .                                     (18)
                                                           µ

То же, конечно, справедливо для средних. Выражения (17) и (18) состав-

ляют основу дальнейшего феноменологического анализа. Подчеркнем, что

выразить плотность действия и плотность топзаряда через одни и те же                                     λµ
удалось только благодаря простой геометрической картине отображения (15),

другими словами – в         HP1   проекции.

   Сравнивая (17) и феноменологические данные (14), получим

                                      X                        Λ2
                                             hλµ λν i ∝          2
                                                                   + Λ4 ,                               (19)
                                                               a
                                      µ6=ν

                                                       16

где мы условно обозначили инфракрасный масштаб                       Λ   и явно удержали все

степени шага решетки. Структура (19) предполагает нетривиальный скей-

линг корреляторов          λ   с шагом решетки. В работе [3] было сделано предполо-

жение о том, что скейлинг вида (19) возможен только при локально сильно

асимметричном отображении – только одно собственное значение сингуляр-

но:

                       hλ0 i ∝ 1/a2 ,          hλi i ∝ Λ2 ,    i = 1, 2, 3 ,              (20)

где без потери общности сингулярность           ∝ 1/a2         приписана первому собствен-

ному значению. В этом случае             корреляторы λ         любого порядка   n   ведут себя
          2n−2   2     2
как   Λ (1/a +Λ ). В частности, это верно для характерной топологической
          p
плотности   hq 2 i, выражающейся через коррелятор λ четвертого порядка,
см. (18),
                                                        Λ6
                                          hq 2 i ∝         .                              (21)
                                                        a2
Более того, коэффициенты при квадратичной расходимости корреляторов                         λ
разного порядка связаны. Конец раздела 2.4.1 посвящен проверке гипоте-

зы (20). Показано, что действительно корреляторы разных порядков по                         λ
ведут себя как       Λ2n−2 (1/a2 + Λ2 ),    и коэффициенты при лидирующих расхо-

димостях связаны. Для характерной плотности топзаряда это приводит к

оценке
                                    p
                                     hq 2 i ' (1 fm)−3 · a−1 .                            (22)

Непосредственное измерение скейлинга характерной топологической плотно-

сти согласуется с этой оценкой.

      Асимметрия отображения            | q(x) i   (20) интерпретируется как эффектив-

ная трехмерность вакуумной структуры топологической плотности – вместо

инстантона топзаряд порядка единицы несет сильно асимметричный “блин”

характерного размера            (1 fm)3 × a.   Независимой проверке этой картины по-

священа оставшаяся часть раздела.

      Идея, лежащая в основе определения диффузионной размерности, заклю-

чается в погружении простой динамической системы, эволюция которой за-

висит от размерности пространства, в фоновое поле топологической плотно-

сти. Простейшей подходящей системой является случайное блуждание или

уравнение диффузии на непрерывном языке.

                                                   17

Модель, предложенная в [3], представляет собой модифицированное слу-

чайное блуждание вида

                                             |q(x + µ^)|γ
                    p(x, x + µ
                             ^) = P                γ + |q(x − µ   γ)
                                                                     ,                     (23)
                                     µ (|q(x + µ
                                               ^ )|           ^ )|

где   p(x, x + µ
               ^)   – вероятность перехода из узла              x   в направлении   µ   за один

шаг и степень       γ >0   не может быть зафиксирована a priori и остается сво-

бодным параметром модели. Фоновое поле топологической плотности                            q(x)
принимается заданным.

      Показано, что существует такое    γ , что вероятность возврата процесса (23)
зависит от времени степенным образом

                                                  ∗
                                   Φ(t) ∝ t−D(γ       )/2
                                                            ,                              (24)

что позволяет интерпретировать       D(γ ∗ ) как эффективную размерность струк-
                                                          ∗
туры топологической        плотности. Оказалось, что ни γ , ни D не зависят от

шага решетки, и

                                    D = 3.07(3) ,                                          (25)

что прекрасно согласуется с утверждением об эффективно трехмерной струк-

туре топологической плотности, сделанным на основании асимметрии (20).

      Выводы ко второй главе представлены в разделе 2.5.

      В заключении обсуждаются основные результаты работы и, прежде все-

го, интерпретация смешанных расходимостей вида (3),(5),(14),(22).

      Публикации автора по теме диссертации

  [1] V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, Nucl.

        Phys. B 672 (2003) 222.

  [2] P. Y. Boyko, F. V. Gubarev and S. M. Morozov, Phys. Rev. D 73 (2006)

        014512.

  [3] P. Y. Boyko and F. V. Gubarev, Phys. Rev. D 73 (2006) 114506.

  [4] P. Y. Boyko et al., Nucl. Phys. B 756 (2006) 71.

  [5] P. Y. Boyko, M. N. Chernodub, A. V. Kovalenko, S. M. Morozov and

        M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106 (2002) 628.

                                          18

[6] P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. Proc. Suppl.

    119 (2003) 724.

 [7] V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov and V. I. Zakharov, Nucl.

    Phys. Proc. Suppl. 129 (2004) 668.

 [8] P. Y. Boyko, F. V. Gubarev and S. M. Morozov, PoS LAT2007 (2007) 307.

  Список литературы

 [9] A. Hart and M. Teper, Phys. Rev. D 58, 014504 (1998).

[10] V. G. Bornyakov, V. K. Mitrjushkin and M. Muller-Preussker, Phys. Lett.

    B 284, 99 (1992).

[11] L. Del Debbio et.al., arXiv:hep-lat/9708023.

[12] A. V. Kovalenko, et.al., Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129, 665 (2004), A. V. Kovalenko

    et.al., Phys. Rev. D 71, 054511 (2005).

[13] V. G. Bornyakov et.al., Phys. Lett. B 537 (2002) 291.

[14] V. I. Zakharov, arXiv:hep-ph/0306261.

[15] V. I. Zakharov, arXiv:hep-ph/0309178.

[16] F. V. Gubarev and S. M. Morozov, Phys. Rev. D 72, 076008 (2005).

[17] A. Di Giacomo and G. C. Rossi, Phys. Lett. B 100, 481 (1981).; M. Baig,

    UAB-FT-124; P. E. L. Rakow, PoS LAT2005 (2006) 284.

[18] B. Lucini and M. Teper, JHEP 0106 (2001) 050

                                       19

Вы также можете почитать