Построения циркулем и линейкой: проблемы и решения

Построения циркулем и линейкой:
                                                  проблемы и решения
                                                                                     Александр Шкловер,
                                                                             учитель математики в школе «Летово»

Все права защищены. Никакая часть презентации не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети
Интернет и в корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ, для частного или публичного использования, без письменного разрешения владельца авторских прав.
© АО «Издательство "Просвещение"», 2021 г.

О чем этот вебинар?

            Что не так с построениями?

            А чего мы хотим?

            Как достичь целей?

            Геометрическое место точек

            Где место циркуля и линейки?

            Как распланировать тему

Что не так с построениями?

Проблемы
Формулировка не мотивирована

Проблемы
Формулировка не мотивирована

    Привычно:                           Непривычно:

    Найдите длину, докажите равенство   Постройте циркулем и линейкой
    элементов

Проблемы
Формулировка не мотивирована

    Привычно:                           Непривычно:

    Найдите длину, докажите равенство   Постройте циркулем и линейкой
    элементов

    Транспортир и линейка с делениями   Циркуль и линейка без делений

Проблемы
Формулировка не мотивирована        Может ли элемент быть
                                     данным, если он не дан?
Абстракция
  • Что такое данный элемент?
  • Проверяем чертеж или алгоритм?
• Либо скучно, либо сложно
• А мы хотим, чтобы ученик чертил
  циркулем и линейкой?

Проблемы
Формулировка не мотивирована
Абстракция
   Что такое данный элемент?
   Проверяем чертеж или алгоритм?
Либо скучно, либо сложно            Геометрия, 7 класс, Мерзляк А.Г. и другие

• А мы хотим, чтобы ученик чертил
  циркулем и линейкой?

Проблемы
Формулировка не мотивирована
Абстракция
   Что такое данный элемент?
   Проверяем чертеж или алгоритм?
Либо скучно, либо сложно
А мы хотим, чтобы ученик чертил
 циркулем и линейкой?

А чего мы хотим?

Чертеж: от рисунка к конструкции
Рисунок уникален     Конструкция воспроизводима

Чертеж: от рисунка к конструкции
Рисунок уникален                   Конструкция воспроизводима

Менины             Менины
Диего Веласкес     Пабло Пикассо

Чертеж: от рисунка к конструкции
Рисунок уникален                   Конструкция воспроизводима

                                    Два квадрата-1   Два квадрата-2

Менины             Менины
Диего Веласкес     Пабло Пикассо

Чертеж: от рисунка к конструкции
Рисунок уникален                   Конструкция воспроизводима

                                    Два квадрата-1         Два квадрата-2

Менины             Менины
Диего Веласкес     Пабло Пикассо     Общий набор свойств
                                     Алгоритм, т.е. последовательность действий

Если понимать чертеж, как конструкцию:
Чертежи становятся лучше

Если понимать чертеж, как конструкцию:
Чертежи становятся лучше

                 В параллелограмме диагональ перпендикулярна стороне…

Рисунок
Автор начал рисовать с параллелограмма

Если понимать чертеж, как конструкцию:
Чертежи становятся лучше

                 В параллелограмме диагональ перпендикулярна стороне…

Рисунок                                     Чертеж
Автор начал рисовать с параллелограмма      Автор выбрал порядок действий: начал с
                                            диагонали и стороны

Если понимать чертеж, как конструкцию:
Чертежи становятся лучше
Легче искать решение

Если понимать чертеж, как конструкцию:
Чертежи становятся лучше
Легче искать решение

Если понимать чертеж, как конструкцию:
Чертежи становятся лучше
Легче искать решение

Если понимать чертеж, как конструкцию:
Чертежи становятся лучше
Легче искать решение
Знаешь, что можно найти, а что нет

                                      Бессмысленно искать углы при вершинах

Как достичь целей?

Естественная формулировка: нарисуйте

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у
которого диагональ
перпендикулярна стороне

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у
которого диагональ
перпендикулярна стороне

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у
которого диагональ
перпендикулярна стороне

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у   Нарисуйте шестиугольник, у
которого диагональ            которого стороны равны через
перпендикулярна стороне       одну и есть три равных
                              не соседних угла

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у   Нарисуйте шестиугольник, у
которого диагональ            которого стороны равны через
перпендикулярна стороне       одну и есть три равных
                              не соседних угла

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у   Нарисуйте шестиугольник, у
которого диагональ            которого стороны равны через
перпендикулярна стороне       одну и есть три равных
                              не соседних угла

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у   Нарисуйте шестиугольник, у     Нарисуйте прямоугольный
которого диагональ            которого стороны равны через   треугольник с гипотенузой 5 и
перпендикулярна стороне       одну и есть три равных         высотой 2
                              не соседних угла

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у   Нарисуйте шестиугольник, у     Нарисуйте прямоугольный
которого диагональ            которого стороны равны через   треугольник с гипотенузой 5 и
перпендикулярна стороне       одну и есть три равных         высотой 2
                              не соседних угла

Естественная формулировка: нарисуйте
Нарисуйте параллелограмм, у   Нарисуйте шестиугольник, у     Нарисуйте прямоугольный
которого диагональ            которого стороны равны через   треугольник с гипотенузой 5 и
перпендикулярна стороне       одну и есть три равных         высотой 2
                              не соседних угла

Подборка рисовательных задач по ссылке в конце презентации

Из чего состоит умение строить чертеж?
Уметь формулировать последовательность действий, которые
 необходимы, что сделать чертеж

Уметь делать анализ чертежа

Выбирать ГМТ, подходящие для построения

Еще примеры рисовательных задач

Еще примеры задач на анализ

Отметьте точки B и C так, чтобы   Отметьте на стороне AB такую   Отметьте на луче CE точку M так,
M было серединой BC, а AB=AC.     точку M, что DMA+MAC=180.      чтобы угол AMB был прямым.

Геометрическое место точек

Как решать задачу на ГМТ?
Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и высотой 5

Как решать задачу на ГМТ?
Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и высотой 5

 Ослабим одно условие

Как решать задачу на ГМТ?
Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и высотой 5

 Ослабим одно условие     Ослабим другое

Как решать задачу на ГМТ?
Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и высотой 5

                        +                    =
 Ослабим одно условие       Ослабим другое        Совместим

Программы динамической геометрии

Азбука ГМТ

Сложность

Думаем о прямой теореме, а применяем обратную.

Дополните заготовки: окружность

Дополните заготовки: окружность

Дополните заготовки:
серединный перпендикуляр

Дополните заготовки:
серединный перпендикуляр

Дополните заготовки: биссектриса

Дополните заготовки: биссектриса

Дополните заготовки:
окружность на диаметре

Дополните заготовки:
окружность на диаметре

А где место циркуля и линейки?

А где место циркуля и линейки?

Циркуль и линейка в построениях – аналог аксиом

А где место циркуля и линейки?

Циркуль и линейка в построениях – аналог аксиом

Лучше проходить после, а не до.

Как распланировать тему?

Прежде чем проходить построения, познакомьтесь с окружностью

Минимум           Оптимум         Максимум
                                     5 уроков          7 уроков         9 уроков
Рисуем!
                                      2 урока           2 урока          2 урока
Порядок построений. Идея анализа

Азбука ГМТ                         2 урока (4 ГМТ)   1 урок (4 ГМТ)   1 урок (5 ГМТ)

Окружность, серединный
                                    По 1 задаче       По 1 уроку       По 1 уроку
перпендикуляр, биссектриса.

Окружность на диаметре                  нет               нет            1 урок

Разные задачи на ГМТ                    нет               нет            1 урок

Базовые построения
                                       1 урок           1 урок           1 урок
циркулем и линейкой
Легче проходить вписанную и
                                        нет               да               да
описанную окружность?

Легче проходить вписанные углы?         нет               нет              да

Подводя итоги

Мы ищем задачи, которые есть в опыте ребенка.
Через их решение формируем навыки создания чертежа.

Полезные ссылки

 Рисовательные задачи

 Задачи на дополнение заготовок

 Geogebra за 19 минут

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

                                                                                                     shklover.a.v@gmail.com

                                                                                              Группа компаний «Просвещение»
                                                                                              Адрес: 127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3, подъезд 8, бизнес-центр
                                                                                              «Новослободский»

                                                                                              Горячая линия: vopros@prosv.ru

Все права защищены. Никакая часть презентации не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в Интернете и в корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ, для частного или
публичного использования, без письменного разрешения владельца авторских прав. © АО «Издательство «Просвещение», 2021 г.