МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ: КОМПЬЮТЕРНАЯ АНИМАЦИЯ В СРЕДЕ GEOGEBRA - УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ - Издательство Юрайт
←
→
Транскрипция содержимого страницы
Если ваш браузер не отображает страницу правильно, пожалуйста, читайте содержимое страницы ниже
С. В. Ларин
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ:
КОМПЬЮТЕРНАЯ
АНИМАЦИЯ В СРЕДЕ
GEOGEBRA
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ
2-е издание, исправленное и дополненное
Книга доступна в электронной библиотечной системе
biblio-online.ru
Москва Юрайт 2019
2018УДК 372.851(075.8)
ББК 74.262.21я73
Л25
Автор:
Ларин Сергей Васильевич — кандидат физико-математических
наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и методики их препода-
вания Института математики, физики и информатики Красноярского
государственного педагогического университета имени В. П. Аста-
фьева.
Рецензенты:
Осипов Н. Н. — доктор физико-математических наук, профессор;
Майер В. Р. — доктор педагогических наук, профессор.
Ларин, С. В.
Л25 Методика обучения математике: компьютерная анимация в среде
GeoGebra : учеб. пособие для вузов / С. В. Ларин. — 2-е изд., испр.
2019. — 233 с. — (Серия : Образова-
и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018.
тельный процесс).
ISBN 978-5-534-08929-5
В учебном пособии показано значение анимации в различных обла-
стях алгебры и математического анализа, а также то, как она реали-
зуется в компьютерной среде GeoGebra, которая наилучшим образом
подходит для этого. Даются основы редактирования изображений
в программе GeoGebra, экспорта и импорта. Рассматриваются анима-
ционно-геометрическое моделирование арифметических операций,
вычерчивание графиков функций, использование анимационного
чертежа при решении задач с параметрами, компьютерная поддержка
изучения тригонометрии и др.
Каждому рисунку в тексте книги соответствует анимационный ана-
лог с тем же номером в «Альбоме анимационных рисунков», размещен-
ных в электронно-библиотечной системе «Юрайт».
Для студентов высших учебных заведений, обущающихся по гумани-
тарным направлениям, аспирантов, преподавателей, учителей мате-
матики, а также всех интересующихся.
УДК 372.851(075.8)
ББК 74.262.21я73
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена
в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания «Дельфи».
© Ларин С. В., 2015
© Ларин С. В., 2018, с изменениями
ISBN 978-5-534-08929-5 © ООО «Издательство Юрайт», 2019
2018Оглавление
Предисловие............................................................................ 7
Введение................................................................................. 10
1. Компьютерная анимация как новая дидактическая
составляющая методики преподавания математики...............10
2. Первое знакомство с GeoGebra....................................................11
3. Редактирование изображения, экспорт и импорт......................17
Глава 1. Анимационно-геометрическое
моделирование операций над числами............................... 18
1.1. Геометрическое сложение действительных чисел...................18
1.2. Геометрическое умножение действительных чисел................20
1.3. Геометрическое деление действительных чисел......................22
1.4. Геометрическое извлечение квадратного корня......................23
1.5. Анимационное деление с остатком целых чисел.....................24
1.6. Числовые неравенства..............................................................26
Глава 2. Анимационное вычерчивание графиков
функций.................................................................................. 34
2.1. Анимация при введении понятия функции..............................34
2.2. Линейная функция....................................................................37
2.2.1. Геометрический смысл коэффициентов.........................38
2.2.2. Физический смысл коэффициентов линейного
уравнения..................................................................................39
2.2.3. Построение графика линейной функции
на основе геометрического моделирования операций............40
2.3. Квадратичная функция.............................................................41
2.3.1. Зависимость графика от коэффициентов.......................41
2.3.2. Моделирование движений, описываемых
квадратичными функциями......................................................45
2.3.3. Построение графика квадратичной функции
на основе геометрического моделирования операций............47
2.3.4. Пять точек параболы.......................................................48
2.3.5. Построение графиков многочленов третьей
и четвертой степеней................................................................50
2.3.6. Скользящее растяжение..................................................52
32.4. Графики функций из школьного задачника.............................53
2.5. Преобразования графиков функций........................................56
2.6. График дробно-линейной функции..........................................62
2.6.1. График обратной пропорциональности..........................62
2.6.2. Различные способы построения графика
дробно-линейной функции.......................................................62
2.7. Анимационно-геометрическое решение задач
с параметрами...........................................................................70
Глава 3. Компьютерная анимация на уроках
тригонометрии...................................................................... 85
3.1. Числовая прямая и числовая окружность................................86
3.2. Выделение периода...................................................................88
3.3. Единицы измерения углов и дуг...............................................89
3.4. Построение на окружности дуги данной длины......................90
3.5. Наматывание отрезка оси абсцисс на единичную
окружность................................................................................92
3.6. Синус и косинус данного числа................................................96
3.7. Синусоида..................................................................................98
3.8. Свойства функции у = sin х.......................................................99
3.9. Сравнение значений синусов и косинусов данных чисел......101
3.10. Таблица синусов....................................................................102
3.11. График гармонического колебания......................................104
3.12. Регулируемая модель гармонического колебания...............105
3.13. Модель синусоидального движения.....................................106
3.14. Анимационное построение графика функции у = cos х......107
3.15. Функции у = tg x и у = ctg х...................................................108
3.16. Решение простейших тригонометрических уравнений......111
3.17. Анимационно-графическое решение
тригонометрических уравнений...........................................111
3.18. Обратные тригонометрические функции............................113
3.19. Формулы приведения............................................................117
3.20. Синус и косинус суммы.........................................................123
3.21. Основное тригонометрическое тождество и теорема
Пифагора...............................................................................129
3.22. Проективная тригонометрия*..............................................133
Глава 4. Анимация на комплексной плоскости................. 145
4.1. Предварительные сведения о комплексных числах...............145
4.2. Геометрическое моделирование арифметических
операций над комплексными числами...................................148
44.2.1. Геометрическое сложение комплексных чисел............148
4.2.2. Геометрическое умножение комплексных чисел.........149
4.2.3. Анимационный рисунок для деления
комплексных чисел..................................................................150
4.3. Построение отображений на комплексной плоскости,
задаваемых многочленами с комплексными
коэффициентами.....................................................................151
4.3.1. Линейная функция на комплексной плоскости............151
4.3.2. Квадратичная функция на комплексной плоскости.....152
4.3.3. Многочлен третьей степени на комплексной
плоскости.................................................................................154
4.4. Анимационно-графическое нахождение корней
многочленов............................................................................155
4.4.1. Нахождение корней многочлена в алгебраической
форме.......................................................................................155
4.4.2. Нахождение корней многочлена
в тригонометрической форме.................................................156
4.4.3. Общий случай нахождения корней многочлена..........157
4.5. Корни из комплексного числа................................................160
4.5.1. Инструмент для нахождения корней из данного
комплексного числа.................................................................160
4.5.2. Корни данной степени из единицы...............................162
4.6. Дробно-линейные отображения комплексной плоскости.....164
4.6.1. Образы окружностей и прямых.....................................164
4.6.2. Конформность дробно-линейных отображений...........165
4.6.3. Связь с инверсией..........................................................166
4.7. Основная теорема алгебры.....................................................169
4.7.1. Немного истории...........................................................169
4.7.2. Наглядно-геометрическое доказательство
основной теоремы алгебры по Колмогорову..........................172
4.7.3. Наглядно-геометрическое доказательство
основной теоремы алгебры по Даламберу.............................176
Глава 5. Анимация при изучении начал
математического анализа................................................... 177
5.1. Последовательности................................................................177
5.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии....................184
5.3. Предел функции......................................................................189
5.4. Производная............................................................................190
5.4.1. Определение касательной............................................. 191
5.4.2. Определение мгновенной скорости..............................193
5.4.3. Определение производной............................................193
55.5. Анимационно-геометрическое построение графика
производной данной функции................................................195
5.6. Построение графика функции с использованием
производной............................................................................200
5.7. Интеграл..................................................................................204
5.8. Нахождение площадей сегментов кривых второго
порядка....................................................................................209
5.8.1. Сегменты парабол..........................................................209
5.8.2. Сегменты гипербол........................................................212
5.8.3. Сегменты эллипсов........................................................218
Литература........................................................................... 225
Новые издания по дисциплине «Методика обучения
математике» и смежным дисциплинам............................. 227Предисловие
Предлагаемое
Предлагаемоечитателю учебноепособие
читателю учебное пособиеадресовано
адресованов первую
в первую оче-
очередь
редь учителям
учителям математики
математики, и магистрам,
а также а также будущим
будущим учителям учителям
– студентам —
математи-
студентам математических
ческих специальностей специальностей
педагогических педагогических
вузов, живо интересующимсявузов,
но-
живо
вымиинтересующимся новыми компьютерными
компьютерными технологиями в образовании, технологиями
и конечно жевновому
обра-
зовании
поколению и, конечно же, новому
школьников, которыепоколению школьников,
порой опережают старшеепризванных
поколение в
создать
овладениив России цифровуюзнаниями.
компьютерными экономику.
ВЧерез
результате изучения материала
анимационыые рисунки вносится студент должен:
движение в преподавание ма-
знать
тематики — то, чего раньше не было и что появилось лишь благодаря
• ролькомпьютерной
развитию и значение анимационной составляющей
техники и технологий. Современноесовременной
поколение
дидактики
школьников обучения
вырастает математике;
в условиях, когда компьютерные технологии изме-
уметь
няют нашу жизнь, выстраивая новое будущее. Всеобщая заинтересован-
• использовать
ность в компьютерной готовые анимационные
грамотности на все болеерисунки
высоком науровне,
урокахдиктует
мате-
матики;
всестороннее использование новых информационных технологий в обра-
• создавать собственный анимационный дидактический мате-
зовании.
риал,Роль
опираясь на анимационные
и значение возможности
анимации в математике ещекомпьютерной средыв
предстоит осознать,
GeoGebra;
освоении новых информационных технологий методика преподавания ма-
владеть
тематики находится в самом начале пути. Но уже сегодня ясно, что ани-
• навыками
мационные использования
чертежи (живые рисунки) анимационных рисунков в понятия
делают математические учебно-и
научных исследованиях.
утверждения наглядными, что способствует их пониманию и более проч-
Через
ному анимацию
усвоению. вносится
Особенно движение в является
поучительным преподавание математики из-
самостоятельное —
то, чего раньше
готовление не было
живого и что
рисунка, появилось лишь
предполагающее благодаря
глубокое развитиюв
проникновение
компьютерных техники
суть изображаемого. и технологий.
Анимационные Современное
рисунки поколениенауча-
можно использовать раз-
щихся вырастает
ных стадиях в условиях,
изучения материала:когда
как компьютерные технологии
наглядный дидактический изме-
материал
няют нашу жизнь,
при изучении выстраивая
нового, как источникновое будущее.
задач Всеобщая заинтересо-
и сопровождения их решений,
ванность в компьютерной
как инструмент грамотности наивсе
для экспериментирования более высоком
проведения научныхуровне
иссле-
диктует
дований.всестороннее использование новых информационных техно-
логий в образовании.
Содержание книги тесно примыкает к ныне действующим школьным
Анимационные
учебникам по алгебре чертежи (живые
и началам рисунки) делают
математического анализаматематические
для 10-11 клас-
понятия
сов, и может быть использовано учителями математики,их
и утверждения наглядными, что способствует какпониманию
при подго-
и более прочному усвоению. Особенно поучительным является само-
7стоятельное изготовление живого рисунка, предполагающее глубокое проникновение в суть изображаемого. Анимационные рисунки можно использовать на разных стадиях изучения материала: как наглядный дидактический материал при изучении нового, как источник задач и сопровождения их решений, как инструмент для экспериментиро- вания и проведения научных исследований. Содержание книги тесно примыкает к ныне действующим школь- ным учебникам по алгебре и началам математического анализа для 10—11 классов и может быть использовано учителями матема- тики, как при подготовке соответствующих уроков, так и при органи- зации самостоятельных исследований школьников. Введение и пять глав книги преследуют единую цель: показать на конкретных при- мерах роль и значение анимационной составляющей в различных областях школьной алгебры и математического анализа и ее реали- зацию в компьютерной среде GeoGebra, которая наилучшим образом подходит для этого. Каждая глава имеет свой математический сюжет, который может представить самостоятельный интерес. Вместе с тем достаточно подробное описание создания анимационных чертежей в отдельных местах стоит на первом месте. Знаком * отмечен допол- нительный материал, выходящий за рамки школьной программы. Введение посвящено знакомству с компьютерной средой GeoGebra через выполнение несложных первичных построений. Первая глава является ключевой в технологическом отношении. В ней рассматри- вается анимационно-геометрическое моделирование арифметических операций над действительными числами и операции извлечения ква- дратного корня из неотрицательного действительного числа. Кроме того, рассмотрено деление с остатком для целых чисел и числовые неравенства. Вторая и последующие главы не зависят одна от другой и их можно читать в любой последовательности. Вторая глава посвя- щена вычерчиванию графиков функций с использованием среды GeoGebra, преобразованиям графиков, использованию анимационного чертежа при решении задач с параметрами, моделированию движения по данной функции. В третьей главе дана компьютерная поддержка изучения тригонометрии. Изложены начала новой тригонометрии — этот материал можно использовать в рамках элективного курса. Четвертая глава посвящена анимационно-геометрическому модели- рованию действий над комплексными числами. Рассматриваются дробно-линейные преобразования комплексной плоскости, представ- лен алгоритм графического нахождения корней многочленов с ком- 8
плексными коэффициентами. В пятой главе создаются анимационные чертежи для вычерчивания графика производной данной функции и графика первообразной, проходящей через данную точку. С исполь- зованием определенного интеграла выводятся формулы для вычисле- ния площадей сегментов кривых второго порядка. В основу данного учебного пособия положена книга автора [8]. В настоящем издании, увеличен вводный материал по программе GeoGebra, дополнена глава 1, существенно переработана глава 2, напи- сана новая глава 3, посвященная тригонометрии, но изъяты главы, посвященные геометрическому материалу — коническим сечениям и задачам на построение циркулем и линейкой. По новому представ- лен материал, посвященный комплексным числам и значительно пере- работана и дополнена глава, посвященная началам математического анализа. В электронно-библиотечной системе издательства «Юрайт» разме- щены дополнительные материалы к пособию в виде «Альбома анима- ционных рисунков». Каждому рисунку в тексте книги соответствует анимационный аналог с тем же номером в альбоме. Представленные анимационные рисунки можно использовать в качестве дидактиче- ского наглядного материала. В то же время скопированный рисунок можно изменить. Читатель может стать соавтором, изменяя и допол- няя построения сообразно своим интересам. Предполагается, что читатель не только будет использовать уже созданные живые рисунки на уроках математики, но по мере заинтересованности все больше будет проявлять самостоятельность в создании собственного дидакти- ческого материала. Новые информационные технологии формируют новое лицо преподавания математики. Автор желает читателю успехов на этом пути.
Введение
1. Компьютерная анимация как новая дидактическая
составляющая методики преподавания математики
Сравнительно недавно появились компьютерные программы
GeoGebra и Geometr’s Sketchpad («Живая математика»), ориентирован-
ные на визуализацию математики. Главным их достоинством являются
возможности анимации. Ранее наглядность в обучении сопровождалась
лишь изготовлением статичных изображений, и только с появлением упо-
мянутых компьютерных сред мы приобрели движение как новую дидак-
тическую составляющую методики преподавания математики. Надо при-
знать, что в освоении этих новых возможностей методика математики сто-
ит в начале пути.
Решение математической задачи с использованием компьютерной
анимации проходит три этапа:
1) Моделирование условия задачи на экране компьютера.
2) Решение задачи на экране с использованием возможностей анима-
ции.
3) Построение математической модели решения, увиденного на экране.
Наиболее ярким представителем компьютерной составляющей анима-
ционной математики является компьютерная среда GeoGebra. Как сказа-
но в Википедии [19], «GeoGebra — свободно распространяемая динами-
ческая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать черте-
жи, в частности, с использованием построений с помощью циркуля и ли-
нейки. Кроме того, у программы богатые возможности работы с функци-
ями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов
и так далее) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позво-
ляет управлять и геометрическими построениями). Программа написана
102. Первое знакомство с GeoGebra 11
Маркусом Хохенвартером на языке Java (работает на большом числе опе-
рационных систем). Переведена на 39 языков. Полностью поддерживает
русский язык. В настоящее время активно разрабатывается».
Скачать бесплатно программу можно через Интернет [20],
Компьютерная среда GeoGebra позволяет визуализировать матема-
тику, проводить эксперименты и исследования при решении математиче-
ских задач. Особенностью этой среды является возможность создания на
экране чертежей, выполненных циркулем и линейкой, причём, если неко-
торую точку чертежа переместить (с помощью мышки) в другое место,
то все зависимые элементы чертежа изменяют свое положение так, что
сохраняется последовательность построения чертежа. Если, к примеру,
по точке X и некоторому набору параметров (длин отрезков, радиусов
окружностей) с помощью инструментов, заложенных в этой системе, по-
строена зависимая точка f (X), то можно задать анимацию точки X, при
которой эта точка будет перемещаться по заданной линии (например, по
оси абсцисс), в то время как зависимая точка f (X), оставляя след, будет
вычерчивать некоторую кривую. Это позволяет помимо графиков функ-
ций вычерчивать линии, задаваемые динамическими (кинематическими)
определениями (эллипс, гиперболу, параболу, циклоиду, кардиоиду и дру-
гие).
2. Первое знакомство с GeoGebra
Трудно ли освоить среду GeoGebra? Образно говоря, эта среда пред-
ставляет собой «мастерскую с инструментами» по изготовлению анима-
ционных чертежей и надо лишь знать под какой кнопкой лежит нужный
инструмент. Никаких специальных знаний программирования не требует-
ся.
Для первого знакомства с компьютерной средой GeoGebra читателю
предлагается открыть файл в GeoGebra и выполнить приведённые ниже
упражнения, смело экспериментируя и внимательно читая появляющиеся
пояснительные надписи. Первичные знания, заложенные в этих упраж-
нениях, в дальнейшем по мере надобности будут дополнены описаниями
других возможностей данной компьютерной среды.
Откроем файл в GeoGebra и рассмотрим экранное изображение свер-
ху вниз (рис. 1). Список вверху: Файл, Правка, Вид, Настройки, Инстру-
менты, Окно, Справка — составляет «Главное меню». Пробегая его кур-
сором, можно просмотреть появляющиеся списки команд.
1112 Введение
Следующая строка квадратиков с картинками называется «Панелью
инструментов». На этой панели представлены инструменты, которыми
можно пользоваться. На каждой из подсказывающих картинок в правом
нижнем углу имеется значок в виде маленького треугольника, кликнув на
который, можно просмотреть появившийся список инструментов и вы-
брать нужный из них.
Рис. 1.
Главную часть экрана составляет так называемое «Полотно» — поле
для построений (по аналогии с художественным полотном). Присутству-
ющие на нём оси системы координат можно спрятать, кликнув на Полотно
правой кнопкой мыши и выбирая команду «Оси». Слева от Полотна нахо-
дится «Панель объектов». Она служит для записи построенных объектов
(точек, прямых, отрезков, векторов, уравнений линий и так далее). По-
ложение панели объектов можно изменить. Наконец, в самом низу экра-
на словом «Ввод» помечено окно, называемое «Строкой ввода». Если, к
примеру, в этой строке написать уравнение некоторой линии в виде фор-
мулы зависимости y от x, то после ввода на Полотне появится график этой
линии.
После этого беглого знакомства переходим к выполнению упражне-
ний.
Упражнение 1. Построить окружность с данным центром и радиусом в
2 единицы.
Построение. Для построения центра окружности выбираем инстру-
мент «Точка» (кликнем на кнопку с подсказывающей картинкой) и клик-
122. Первое знакомство с GeoGebra 13
нем курсором на полотне. Появляется точка. По умолчанию она обозна-
чается очередной буквой латинского алфавита, в нашем случае буквой A.
Если мы хотим сменить обозначение на букву O, то нужно правой кноп-
кой мыши кликнуть на построенную точку, выбрать команду «Переиме-
новать» и указать другое имя — букву O. Затем на кнопке-картинке с
окружностью кликнем на маленький треугольник в правом нижнем углу и
в появившемся списке инструментов выбираем инструмент «Окружность
по центру и радиусу». Появляется подсказка как пользоваться выбран-
ным инструментом. Теперь кликнем на отмеченный центр будущей окруж-
ности и в появившейся табличке указываем радиус 2. На полотне появля-
ется задуманная окружность. Построение закончено.
На «Панели объектов» видим записи построенных объектов. Слово
«Коника» является общим названием кривой второго порядка — в нашем
случае это окружность. Слева от записи объекта изображен кружок. Если
кликнуть на него, то он посветлеет, а соответствующий объект сделается
невидимым. Чтобы вернуть объект на полотно, нужно кликнуть на кружок
повторно. Построенный на Полотне объект можно сделать невидимым и
по-другому: кликнуть на него правой кнопкой мыши и выбрать «Пока-
зывать объект». Аналогично можно спрятать обозначение построенного
объекта. При необходимости Панель объектов можно спрятать, восполь-
зовавшись командой из списка «Вид».
На окружности построим точку (с помощью кнопки «Точка»). Ком-
пьютер снова предложит назвать её буквой A, поскольку центр окружно-
сти мы назвали буквой O. Для перемещения точки A нажмем кнопку со
стрелкой. Если теперь, ухватившись курсором за точку A, перемещать её,
то она будет перемещаться только по окружности, на которой она постро-
ена.
Для анимации точки A кликнем на неё правой кнопкой мыши и в по-
явившемся списке команд выберем команду «Анимировать». Точка A бу-
дет перемещаться по окружности. В левом нижнем углу полотна появится
кнопка для остановки или возобновления анимации. Если мы хотим из-
менить параметры анимации точки A, то кликнем на неё правой кнопкой
мыши и в «Свойствах» выберем «Алгебра» и зададим «Шаг», «Скорость»
и «Повтор».
Начертим окружность в соответствии с её динамическим определени-
ем, как линии, вычерчиваемой точкой при её вращении вокруг данной точ-
ки плоскости. Для этого перейдем к новому полотну: кликнем «Файл» и
«Новое окно». Инструментом «Точка» на Полотне ставим две точки A и
B. Кликнем правой кнопкой мыши на точку B и отметим птичкой свойство
1314 Введение
«Оставлять след». Затем на панели инструментов выберем первую сле-
ва кнопку и кликнем на значок в виде маленького треугольника в правом
нижнем углу картинки со стрелкой. В появившемся списке инструментов
кликнем на «Вращение относительно точки». Кликнем на точку A, отме-
чая тем самым центр вращения. Теперь, ухватившись (курсором) за точку
B, будем перемещать её. В результате следы точки B будут вычерчивать
окружность в соответствии с её динамическим определением.
В списке «Настройки» выберем «Размер шрифта» и отметим, напри-
мер, «24 pt». Размер обозначений увеличится. Чтобы линию окружности
сделать тоньше, кликнем правой кнопкой мыши на точку B и идем по схе-
ме: Свойства → Стиль → Размер точки, и выбираем размер 1. Чтобы
убрать прежние следы точки B, идем по схеме: Вид → Обновить. Снова
водим точкой B и вычерчиваем более тонкую окружность.
Упражнение 2. Выполните следующие построения.
1) Вне осей координат постройте точку A инструментом, точку B(3, 2)
с помощью строки ввода (командой B = (3, 2)) и точку O инструментом
как точку пересечения осей координат (выберите на панели инструментов
картинку с точкой и в списке инструментов выберите инструмент «Пере-
сечение двух объектов»).
2) Через точки O и A проведите прямую, точки A и B соедините от-
резком, постройте луч с началом в точке O, проходящий через точку B.
Соответствующие инструменты найдите самостоятельно.
3) На прямой OA, отрезке AB и на луче OB отметьте по точке и за-
дайте анимацию каждой из отмеченных точек. Обратите внимание на пе-
ремещения этих точек. Поменяйте вид анимации.
Упражнение 3. Постройте прямую, которая задаёт функцию, и пря-
мую, которая не задаёт функцию (по двум точкам и отдельно строкой вво-
да). Напишите уравнения этих прямых.
Упражнение 4. Отметьте на оси абсцисс точку A, а на оси ординат точ-
ку B и проведите прямую AB (на рис. 1 имеем A(−4, 0), B(0, 3)). На по-
ле чертежа с помощью клавиши «ABC» сделайте надпись «y = kx + b»
размера «Большая». «Строкой ввода» введите параметры a = x(A),
b = y(B), k = b/a. В нашем случае на «Панели объектов» появятся за-
писи: a = −4, b = 3, k = −0,75. По построению, делаем вывод о том,
что коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс.
Отсюда его название: «угловой коэффициент». Для отслеживания пара-
метра b нажмите на клавишу «ABC», напишите «b =», затем во вкладке
«Объекты» найдите букву b и кликните на неё. В результате появится за-
пись «b = b» (вторая «b» в окошечке). После ввода на полотне появится
142. Первое знакомство с GeoGebra 15
надпись «b = 3». Аналогично создайте надпись «k = −0,75» для отсле-
живания параметра k.
Чтобы надписать прямую AB её уравнением, на ней ставим точку C и
создаём надпись y = kx+b, указывая буквы k и b из списка «Объекты». В
«Координатах» ставим букву C из списка «Объекты». В результате после
ввода на экране появляется надпись y = −0,75x + 3, привязанная к точке
C. Прячем эту точку. Построение закончено. Подобный рисунок, создан-
ный на экране, будем называть «живым рисунком» или «живым плака-
том».
Перемещением точек A и B изменяем положение прямой AB. Одно-
временно изменяются значения отслеживаемых коэффициентов k и b.
Упражнение 5. С помощью строки ввода постройте график функции
y = x2 + 2x − 3.
1) На оси абсцисс отметьте точку X, проведите через неё вертикаль-
ную прямую и отметьте точку A пересечения этой прямой с графиком дан-
ной функции.
2) Перемещением точки X найдите корни уравнения x2 + 2x − 3 = 0.
3) Заставьте точку A оставлять след, спрячьте параболу и задайте ани-
мацию точки X. Точка A вычертит спрятанную параболу.
4) Удалите следы путём «Вид — Обновить» и верните удалённую па-
раболу. Отметьте на параболе точку B и найдите симметричную относи-
тельно оси параболы точку B . Для этого через точку B проведите прямую
параллельно оси абсцисс и отметьте точку B пересечения горизонтальной
прямой с параболой. Найдите середину C отрезка BB (поищите соответ-
ствующий инструмент) и проведите через неё вертикальную прямую — ось
параболы. Постройте вершину параболы и найдите её координаты.
5) Замените уравнение параболы новым (для этого либо переместите
уравнение в строку ввода и замените его новым, либо правой кнопкой мы-
ши кликните на кривую и путём «Свойства — Основные — Определение»
перепишите уравнение).
Упражнение 6. С помощью строки ввода постройте график функции
y = x2 + 2x − 3.
1) Отметьте на параболе точку A и найдите ей симметричную относи-
тельно оси абсцисс точку A (с помощью инструмента). Заставьте точку A
оставлять след и задайте анимацию точки A. Напишите уравнение линии,
которую вычертит точка A .
2) С помощью инструмента выполните отражение графика данной
функции относительно оси абсцисс. Включите анимацию точки A и убе-
дитесь, что точка A вычерчивает линию симметричную графику данной
1516 Введение функции относительно оси абсцисс. 3) Выполните задания аналогичные заданиям 6.1 – 6.2 относительно оси ординат (относительно биссектрис координатных углов). Кликните на параболу правой кнопкой мыши и в «Свойствах» запишите другое уравне- ние. Напишите уравнения линий, вычерчиваемых точками, оставляющими следы. Упражнение 7. Постройте график кусочно заданной функции коман- дой в «Строке ввода»: f (x) = If [x > 3, −x∧ 3+3∗x∧ 2+6, 3∗sqrt(x+1)]. Кликнув правой кнопкой мыши на кривую, измените функцию. Для по- строенного графика выполните задания, аналогичные заданиям упражне- ния 6. Упражнение 8. Постройте (строкой ввода) график функции f (x) = = 2x2 − 3x − 1 штриховой линией и график функции g(x) = |f (x)| сплош- ной линией. Перемещением (мышкой) графика первой функции понаблю- дайте за преобразованием второй функции. Постройте график функции y = |2x2 − 3x − 1| и снова переместите график первой функции. Упражнение 9. Постройте (строкой ввода) график функции f (x) = = 2x2 − 3x − 1. Создайте ползунок для параметра m и постройте график функции y = m. Для этого выберите инструмент «Ползунок» и щелкните курсором на свободное место Полотна. Появится табличка с параметрами ползунка. В нашем случае ползунку присваиваем имя m. Ползунок мож- но передвинуть на другое место. В строке ввода запишите y = m. После ввода на полотне появится горизонтальная прямая для значения m, уста- новленного на ползунке. Ухватившись за точку на ползунке, можно изме- нить значение параметра m, соответственно изменится положение гори- зонтальной прямой. Изменением значений параметра m отметьте количе- ство точек пересечения прямой и параболы. Упражнение 10. Создайте ползунки для параметров a, b, c и строкой ввода постройте график функции y = ax2 + bx + c. Изменением парамет- ров с помощью ползунков проследите соответствующие изменения гра- фика функции. Упражнение 11. Рассмотрите протоколы предыдущих построений: «Вид», «Протокол», правой кнопкой мыши кликните на Полотно, выбе- рите «Шаги построения», «Проиграть». 16
3. Редактирование изображения, экспорт и импорт 17
3. Редактирование изображения, экспорт и импорт
После открытия ggb-файла на Вашем компьютере может оказаться,
что созданный ранее рисунок не умещается на экране. В этом случае нуж-
но изменить масштаб изображения с помощью колесика мышки. Чтобы
переместить изображение на экране, нужно воспользоваться клавишей
«Переместить чертеж» (вверху крайняя справа). Чтобы переместить над-
пись, нужно (при включенной клавише со стрелкой) зацепить её с по-
мощью правой кнопки мышки и переместить в нужное место. Чтобы за-
крепить надпись на установленном месте, нужно кликнуть на неё правой
кнопкой мыши и в появившемся списке команд воспользоваться коман-
дами «Закрепить объект», «Абсолютная позиция на экране».
Чтобы изменить цвет объекта (точки, линии или надписи), нужно клик-
нуть на неё правой кнопкой мыши и в появившемся списке команд вы-
брать «Свойства». затем «Цвет» и заказать нужный цвет. Для надписи
можно выбрать нужный размер шрифта.
Чтобы поместить рисунок или его часть из ggb-файла в текстовый
файл формата Word (экспорт рисунка), нужно при нажатой клавише «Пе-
ремещать» (крайняя слева) нажать правую клавишу мышки и «вытянуть»
прямоугольник так, чтобы он включил в себя нужную часть рисунка. За-
тем воспользоваться командами «Правка», «Копировать в буфер». После
этого выйти из ggb-файла, открыть текстовый файл и командой «Вста-
вить» поместить рисунок в нужное место.
Импортировать в ggb-файл можно файлы с расширениями gif, jpeg,
jpg, tif, png, bmp. Приведем пример. Предположим, в некоторой книге мы
нашли изображение одной из кривых второго порядка (эллипс, гипербо-
лу или параболу) и сомневаемся в правильности чертежа. Мы сканиру-
ем изображение, получаем файл с расширением jpg. Через буфер обмена
помещаем изображение на полотно ggb-файла. Затем, выбираем инстру-
мент «Коника по пяти точкам» и отмечаем пять точек на проверяемой кри-
вой. Появляется эллипс, гипербола или парабола, с которой мы и сравни-
ваем отсканированное изображение.
Нет смысла проводить инвентаризацию всех команд GeoGebra. При-
ступаем к рассмотрению математического материала, уделяя должное
внимание построениям анимационных чертежей. Практика поможет осво-
ить технологию их построения.Глава 1.
Анимационно-геометрическое моделирование
операций над числами
В этой главе мы покажем, как в среде GeoGebra геометрически выпол-
нить на экране компьютера операции сложения, вычитания, умножения,
деления действительных чисел и извлечение квадратного корня, а также
рассмотрим деление с остатком для целых чисел и числовые неравенства.
Геометрическое моделирование операций будет впоследствии элементом
более сложных построений.
1.1. Геометрическое сложение действительных чисел
Напомним известное «правило треугольника» для сложения векторов.
−−
→ −−→ −−→
Чтобы к вектору AB прибавить вектор CD, нужно построить вектор BE,
−−→ −−→ −−→
равный вектору CD. Тогда суммой векторов AB и CD является вектор
−→
AE, начало которого есть начало первого вектора, а конец — конец век-
−−→ −−→ − −
→ −−→ − −→ −−→ −→
тора BE, равного второму слагаемому CD: AB + CD = AB + BE = AE.
Взяв за основу это правило, построим сумму действительных чисел a и b
как сумму векторов с координатами (0, a) и (0, b).
Чтобы к действительному числу a прибавить действительное число b,
нужно на оси ординат отметить точки A(0, a) и B(0, b), а затем к вектору
−→ −−→ −→ −−→ −−→
OA прибавить вектор OB. Если OA+ OB = OC и получаем точку C(0, c),
то a + b = c.
181.1. Геометрическое сложение действительных чисел 19
Построение (рис. 2).
Рис. 2.
1) На оси ординат отмечаем точки A(0, a) и B(0, b).
2) Строим вспомогательную прямую для сложения: отмечаем на оси
абсцисс точку M , отличную от начала координат, и проводим через неё
вертикальную прямую.
3) Проектируем точку B на прямую для сложения: проводим прямую
через точку B параллельно оси абсцисс и отмечаем точку N пересечения
построенной прямой с прямой для сложения.
4) Соединяем (отрезком) точки A и M .
5) Через точку N проводим прямую параллельно построенному отрез-
ку AM и отмечаем точку C пересечения построенной прямой с осью ор-
динат. Построение закончено. Ордината точки C равна a + b. Передвигая
точки A и B по оси ординат, в точке C всегда будем иметь сумму.
Прибор для сложения чисел можно упростить, если отказаться от ис-
пользования только циркуля и линейки и воспользоваться встроенным
инструментом параллельного переноса на заданный вектор.
Построения (рис. 3).
1) Строим начало координат O и отмечаем «слагаемые» A(0, a), B(0, b).
−−→
2) Строим вектор OB.
3) Инструментом находим образ A точки A при параллельном пере-
−−→
носе на вектор OB. Получаем искомую точку A (0, a + b). Построение за-
кончено.
Меняя положения слагаемых, в точке A всегда получаем сумму a + b.
В дальнейшем нам понадобится находить сумму точек, расположен-
ных на одной вертикали. Суммой точек A(x, a) и B(x, b) будем называть
точку C(x, a + b). Приведем пример построения суммы таких точек.
Построение (рис. 4).
1920 Глава 1. Моделирование операций над числами
Рис. 3.
Рис. 4.
1) Строим (инструментом) точку O пересечения осей координат.
2) Строим вертикальную прямую, отличную от оси ординат. Для этого
на оси абсцисс отмечаем точку T и проводим через неё прямую параллель-
но оси ординат. Отмечаем на ней точки A и B, которые предстоит сложить.
3) Первое слагаемое — точку A соединяем отрезком с началом ко-
ординат O, второе слагаемое — точку B проектируем на ось ординат и
получаем точку D. Наконец, через точку D проводим прямую параллель-
но отрезку AO. Точку C пересечения построенной прямой с вертикальной
прямой, проходящей через точку T , мы назвали суммой точек A и B.
1.2. Геометрическое умножение действительных чисел
На экране компьютера в среде GeoGebra построим анимационный ри-
сунок для умножения действительных чисел.
201.2. Геометрическое умножение действительных чисел 21
Построение (рис. 5).
Рис. 5.
1) Первый сомножитель отмечаем точкой A(0, a) оси ординат, а второй
сомножитель отмечаем точкой B(b, 0) оси абсцисс.
2) Отмечаем единичную точку E(1, 0) оси абсцисс.
Определим умножение точек произвольной вертикальной прямой, по-
лагая (x, a) · (x, b) = (x, ab) для любых действительных чисел x, a, b. По-
строим такое произведение точек.
3) Точку A, изображающую первый сомножитель a, соединяем отрез-
ком с единичной точкой E оси абсцисс и через точку B, изображающую
второй сомножитель, проводим прямую параллельно построенному от-
резку. Отмечаем точку C пересечения построенной прямой с осью орди-
нат. Ордината точки C есть произведение a · b.
Перемещая поочередно точки A и B на отрицательные полуоси, можно
демонстрировать «правила знаков»: произведение чисел с разными зна-
ками отрицательно, а с одинаковыми — положительно.
Определим умножение точек произвольной вертикальной прямой, по-
лагая (см. бумажный текст исправлений)
Построение (рис. 6).
1) На оси абсцисс отмечаем точку T и проводим через неё вертикаль-
ную прямую. На ней отмечаем точки A и B, которые предстоит перемно-
жить.
2) Проектируем точки A и B на ось ординат и получаем точки соответ-
ственно C и D.
3) Для умножения чисел, соответствующих точкам C и D, «перено-
сим» точку D (соответствующее число) на ось абсцисс. Для этого на осях
2122 Глава 1. Моделирование операций над числами
Рис. 6.
координат отмечаем единичные точки E и E1 , соединяем их отрезком, че-
рез точку D проводим прямую параллельно отрезку EE1 и отмечаем ис-
комую точку F пересечения построенной прямой с осью абсцисс.
4) Находим произведение точек C и F (см. построение рисунка 5), по-
лучаем точку G.
5) Через точку G проводим прямую параллельно оси абсцисс и отме-
чаем точку H пересечения построенной прямой с вертикальной прямой,
проходящей через точку T . В соответствии с определением A · B = H.
1.3. Геометрическое деление действительных чисел
Чтобы геометрически действительное число a разделить на действи-
тельное число b = 0, нужно построить число c так, чтобы произведение
c · b давало бы a в полном соответствии с построением рисунка 5. Постро-
им «живой» рисунок, реализующий эти построения.
Построение (рис. 7).
1) Строим точки A(0, a), B(b, 0), b = 0, и точку E = (1, 0).
2) Точку A (числитель) соединяем отрезком с точкой B (со знамена-
телем) и через единичную точку E (расположенную на оси знаменателя)
проводим прямую параллельно отрезку AB. Отмечаем искомую точку C
пересечения построенной прямой с осью ординат. В соответствии с по-
строением рисунка 5 получаем C · B = A. Следовательно, C(0, a ).
b
Понятно как построить виртуальный прибор для деления точек произ-
вольной вертикальной прямой, что на языке координат точек приводит к
221.4. Геометрическое извлечение квадратного корня 23
Рис. 7.
следующему определению: (x, y) : (x, z) = (x, y ) для любых x, y, z ∈ R,
z
где z = 0.
1.4. Геометрическое извлечение квадратного корня
Построим анимационный рисунок для извлечения квадратного корня
из любого неотрицательного действительного числа x.
Построение (рис. 8).
Рис. 8.
1) Строим точку E = (−1, 0) и отмечаем на оси абсцисс точку X, счи-
тая X = (x, 0).
23Вы также можете почитать
